小波分析與實例課件

小波分析1精選可編輯ppt小波分析1精選可編輯ppt小波分析講解傅里葉變換與小波分析小波分析的基本知識多尺度分析與Mallat算法小波分析的應用2精選可編輯ppt小波分析講解傅里葉變換與小波分析2精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析小波分析是近年來迅速發(fā)展起來的一個數(shù)學分支。除了在數(shù)學學科本身中的價值外，小波分析在許多非數(shù)學的領域也有著廣泛的應用。3精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析小波分析是近年來迅速發(fā)展起來的一個數(shù)1、傅里葉變換與小波分析一、傅里葉變換對于平穩(wěn)信號，做完FFT（快速傅里葉變換）后，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。4精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析一、傅里葉變換4精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析頻率隨著時間變化的非平穩(wěn)信號，進行FFT后：如左圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩(wěn)信號。而下邊兩個則是頻率隨著時間改變的非平穩(wěn)信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三個時域上有巨大差異的信號，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩(wěn)信號，我們從頻譜上無法區(qū)分它們，因為它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同。5精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析頻率隨著時間變化的非平穩(wěn)信號，進行F1、傅里葉變換與小波分析

可見，傅里葉變換處理非平穩(wěn)信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現(xiàn)的時刻并無所知。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。然而平穩(wěn)信號大多是人為制造出來的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩(wěn)的，所以在比如生物醫(yī)學信號分析等領域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣簡單的方法。事件相關電位股市折線圖6精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析可見，傅里葉變換處理非1、傅里葉變換與小波分析加窗傅里葉變換（短時傅里葉變換STFT）7精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析加窗傅里葉變換（短時傅里葉變換STF1、傅里葉變換與小波分析窗劃分太窄，窗內(nèi)的信號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率分辨率差。窗劃分太寬，時域上又不夠精細，時間分辨率低。8精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析窗劃分太窄，窗內(nèi)的信號太短，會導致頻1、傅里葉變換與小波分析小波定義：①?、诓▌有裕?精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析小波定義：9精選可編輯ppt小波的3個特點小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個數(shù)量級。信號長度為M時，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計算復雜性分別如下公式：10精選可編輯ppt小波的3個特點小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生1、傅里葉變換與小波分析11精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析11精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析12精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析12精選可編輯ppt小波運算的步驟（1）選擇小波函數(shù)，并與分析信號起點對齊；（2）計算在這一時刻要分析信號與小波函數(shù)的逼近程度，即小波變換系數(shù)C。C越大，就意味著此刻信號與所選擇的小波函數(shù)波形越相近；（3）將小波函數(shù)沿時間軸右移一個單位時間，然后重復（1）、（2）步驟，求出變換系數(shù)C，直到覆蓋整個信號長度；13精選可編輯ppt小波運算的步驟（1）選擇小波函數(shù)，并與分析信號起點對齊；13小波運算的步驟（4）將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個單位，然后重復步驟（1）、（2）、（3）；（5）對所有的伸縮尺度重復步驟（1）、（2）、（3）、（4）。14精選可編輯ppt小波運算的步驟（4）將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個單位，然后2、小波分析的基本知識小波基礎術語:①緊支撐:對于函數(shù)f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內(nèi)，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值為0。那么這個函數(shù)f(x)就是緊支撐函數(shù)，而這個0附近的取值范圍就叫做緊支撐集。比如：在(-1,1)之間的高斯函數(shù)。②L2（R）:滿足成立的自變量為實數(shù)的實值或復值函數(shù)f的全體。L2（0,2π）：f（x+2π）=f（x），15精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識小波基礎術語:15精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識小波定義：設ψ∈L2（R）∩L（R），在R上不幾乎處處為0，且滿足

則稱ψ為小波。其中為ψ的傅里葉變換。16精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識小波定義：16精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識

稱為依賴參數(shù)a，b的連續(xù)小波，叫基本小波或小波。若是窗函數(shù)，就叫為窗口小波函數(shù)，一般我們恒假定為窗口小波函數(shù)。17精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識稱為依賴參數(shù)a，b的連續(xù)小波，2、小波分析的基本知識a為尺度參數(shù)18精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識a為尺度參數(shù)18精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識b為位移參數(shù)19精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識b為位移參數(shù)19精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識小波正變換：小波逆變換：

是f（t）在函數(shù)上的投影。20精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識小波正變換：是一維連續(xù)小波的例子：1.Haar小波：Haar小波是一組相互正交的函數(shù)集，是一個最簡單的時域不連續(xù)的二進小波，Haar的應用十分廣泛，常用與圖像處理。21精選可編輯ppt2022/11/6一維連續(xù)小波的例子：1.Haar小波：Ha一維連續(xù)小波的例子2.Mexico草帽小波：

草帽函數(shù)又稱為Marr小波。其在時域、頻域都有很好的局部特性，但它的正交性尺度函數(shù)不存在，主要用于信號處理和邊緣檢測。22精選可編輯ppt2022/11/6一維連續(xù)小波的例子2.Mexico草帽小波：一維連續(xù)小波的例子：3.Morlet小波：

式中，i表示虛數(shù)，w表示常數(shù)。Morlet小波不具有正交性的同時也不具有緊支集。其特點是能夠獲取信號中的幅值和相應的信息，廣泛應用于地球物理信號處理中。23精選可編輯ppt2022/11/6一維連續(xù)小波的例子：3.Morlet小波：Daubechies(dbN)小波系（多貝西）多貝西小波是以英格麗·多貝西的名字命名的一種小波函數(shù)，多貝西小波主要應用在離散型的小波轉(zhuǎn)換，是最常使用到的小波變換。多貝西小波是一種正交小波，所以它很容易進行正交變換。對于有限長度的小波，應用于快速小波變換時，會有兩個實數(shù)組成的數(shù)列：一是作為高通濾波器的系數(shù)，稱作小波濾波器；二是低通濾波器的系數(shù)，稱為調(diào)整濾波器（尺度濾波器）。我們通常以濾波器長度N來形容濾波器為dbN，例如N=2的多貝西小波寫作db2；N=4的多貝西小波寫作db4。24精選可編輯pptDaubechies(dbN)小波系（多貝西）Daubechies(dbN)小波系（多貝西）圖1.425精選可編輯pptDaubechies(dbN)小波系（多貝西）圖1.425精小波函數(shù)表26精選可編輯ppt小波函數(shù)表26精選可編輯ppt小波函數(shù)表27精選可編輯ppt小波函數(shù)表27精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

這就是信號f(t)的連續(xù)小波變換公式，其中參數(shù)a和b都是連續(xù)變化的參數(shù)，a為尺度參數(shù)（在某種意義上就是頻率的概念），b是時間參數(shù)或平移參數(shù)。不嚴謹?shù)刂v，Wf(a,b)指的是對信號f(t)進行小波變換后當頻率為a時間為b時的變換值?？梢钥闯?，一維信號f(t)經(jīng)過小波變換后將變成二維信號。28精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

這就是信號f(2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

例：已知一信號f(t)＝3sin(100pt)＋2sin(68pt)＋5cos(72pt)，且該信號混有白噪聲，對該信號進行連續(xù)小波變換。小波函數(shù)取db3，尺度為1、1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下：

t＝0：0.01：1；

f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))；

coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，￠db3￠，￠plot￠)；

title(￠對不同的尺度小波變換系數(shù)值￠)；

Ylabel(￠尺度￠)；

Xlabel(￠時間￠)；

29精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

例：已知一信號f(t2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

小波變換的系數(shù)如圖所示的灰度值圖表征，橫坐標表示變換系數(shù)的系號，縱坐標表示尺度，灰度顏色越深，表示系數(shù)的值越大。30精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

小波變

離散小波變換：

在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論一下連續(xù)小波ya，b(t)和連續(xù)小波變換Wf(a，b)的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間變量t的。

在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)

這里，b∈R，a∈R＋，且a≠0，y是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)?/p>

2、小波分析的基本知識—離散小波變換

31精選可編輯ppt

離散小波變換：

在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)，

2、小波分析的基本知識—二進小波變換32精選可編輯ppt

2、小波分析的基本知識—二進小波變換32精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—二進小波變換

定義：設yj，k(t)∈L2(R)，且滿足

(1.64)

由此得到的小波yj，k(t)稱為二進正交小波。

33精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—二進小波變換

定義：設yj，k(3、多尺度分析與Mallat算法多分辨分析為了改變信號的分辨率使得人們可以根據(jù)特定的目標處理相關的細節(jié)，1983年，P.J.Burt與E.A.Adelson在計算機視覺的應用中引進了一個能夠處理低分辨率圖像，同時根據(jù)需要進一步提高圖像分辨率的多分辨率Laplace塔式算法。1986年Mallat和Meyer構造了多分辨分析公式。隨著多分辨分析的出現(xiàn)，構造小波的困難得到了較圓滿的解決。為了對信號進行較高分辨率的處理，需要一種所謂的“增量信息”。為此，Mallat選用正交小波基作為對“增量信息”進行數(shù)學描述，并最終發(fā)展成為了多分辨分析。34精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法多分辨分析34精選可編輯pp3、多尺度分析與Mallat算法35精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法35精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法參考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.1136精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法參考：36精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法濾波器族：下圖是一系列帶通濾波器的頻域圖37精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法濾波器族：下圖是一系列帶通濾3、多尺度分析與Mallat算法一個信號離散信號x(n)經(jīng)過這一系列帶通濾波器濾波后，將得到一組系數(shù)Vi(n)。如下圖所示：這樣，我們就把一個信號分解成了不同頻率的分量。只要這些帶通濾波器的頻率能夠覆蓋整個原信號x(n)的頻譜范圍，反變換時，把這些不同頻率信號，按其分量大小組合起來，就可得到原信號x(n)。這樣一組帶通濾波器就稱為濾波器族。38精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法一個信號離散信號x(n)經(jīng)過3、多尺度分析與Mallat算法濾波器族能實現(xiàn)將信號分為不同頻率分量，從而實現(xiàn)分解信號并分析信號的目的。但是在濾波器族的計算中，我們需要指定頻域分割方式。研究者們給出了一種分割方式，即均分法，從而引出了子帶編碼的概念。子帶編碼通過使用均分頻域的濾波器，將信號分解為若干個子帶。這樣是可以實現(xiàn)無冗余且無誤差地對數(shù)據(jù)分解及重建目的。但是Mallat在1989年的研究表明，如果只分為2個子帶，可以實現(xiàn)更高效的分解效率。從而引入了多分辨率分析（MRA）。39精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法濾波器族能實現(xiàn)將信號分為不同3、多尺度分析與Mallat算法多分辨率分析：如果子帶編碼時將信號帶寬先對分為高通（實際為帶通）和低通兩個部分，對應于兩個濾波器。然后對低通部分繼續(xù)等分。下圖為子帶編碼示意圖。40精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法多分辨率分析：40精選可編輯3、多尺度分析與Mallat算法

從圖中看出，每次分割保留高通部分的濾波結果，因為這里已經(jīng)是信號的細節(jié)了，而且通常我們分析的信號，其絕大部分能量都在低頻部分。所以高頻部分的分割可以到此為止，但是低通部分仍然有更多的細節(jié)可以劃分劃分出來，所以將低通部分繼續(xù)等分。分割迭代進行。這樣做的優(yōu)點是，我們只需要設計兩個濾波器，然后每次迭代將其對分。缺點是，頻域的分割方式確定。對于某些信號來說，這樣的劃分并不是最優(yōu)的。41精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法從圖中看出，每3、多尺度分析與Mallat算法

這里仍然有個問題。每次都將頻譜分為剩下的一半，那實際上，我們永遠也取不到整個頻段。就好比一杯水，每次都只許喝一半，那將永遠無法把它完全喝完。所以，這樣分割后的函數(shù)仍然是無限多的。為解決這個問題，終于引出了我們最初想討論的尺度函數(shù)的概念。

在上圖中，我們對頻域進行分割，當分割到某個頻率j時，不再繼續(xù)分割了，剩下的所有低頻部分由一個低通濾波器來表示，這就可以實現(xiàn)對信號頻譜的完整分割。這個剩余低通濾波器就是尺度函數(shù)。事實上，很容易看出，尺度函數(shù)無非就是某級多分辨率分析中的低通濾波器。也就是圖中最下面一級的LP。42精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法這里仍然有個問3、多尺度分析與Mallat算法loadnoissinc=cwt(noissin,1:48,'db4');c=cwt(noissin,1:48,'db4','plot');c=cwt(noissin,2:2:128,'db4','plot');43精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法loadnoissin433、多尺度分析與Mallat算法44精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法44精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法S＝A3＋D3＋D2＋D1設以Vj表示圖1.17分解中的低頻部分Aj，Wj表示分解中的高頻部分Dj，則Wj是Vj在Vj＋1中的正交補，即45精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法3、多尺度分析與Mallat算法S＝A3＋D3＋D2＋D1若令fj∈Vj代表分辨率為2－j的函數(shù)f∈L2(R)的逼近(即函數(shù)f的低頻部分或“粗糙像”)，而dj∈Wj代表逼近的誤差(即函數(shù)f的高頻部分或“細節(jié)”部分)，則上式意味著：

fN＝f1＋fd＝f2＋d2＋d1＝…＝fN-1＋dN－1＋…＋d2＋d1

所以上式可簡寫為這表明，任何函數(shù)f∈L2(R)都可以根據(jù)分辨率為2－N時f的低頻部分(“粗糙像”)和分辨率2－j(1≤j≤N)下f的高頻部分(“細節(jié)”部分)完全重構，這恰好是著名Mallat塔式重構算法的思想。

46精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法3、多尺度分析與Mallat算法小波重構47精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法小波重構47精選可編輯pptMallat算法中僅僅對低頻系數(shù)進行分解，但是對于有些信號來說，對高頻系數(shù)進行分解更加合適。小波包分解即將低頻系數(shù)和高頻系統(tǒng)都進行同樣的分解，然后選取一個最合適的分解路徑。然后通過構建一個代價函數(shù)求來對于路徑進行評價，選取最優(yōu)路徑。3、多尺度分析與Mallat算法48精選可編輯pptMallat算法中僅僅對低頻系數(shù)進行分解，但是對4、小波分析的應用小波的信號分解與求頻小波在圖像壓縮中的應用小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用機械故障診斷小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測49精選可編輯ppt4、小波分析的應用小波的信號分解與求頻49精選可編輯ppt4,小波的應用——小波的信號分解與求頻clearallclcfs=1024;%采樣頻率f1=100;%信號的第一個頻率f2=300;%信號第二個頻率t=0:1/fs:1;s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);%生成混合信號[tt]=wpdec(s,3,'dmey');%小波包分解，3代表分解3層plot(tt)wpviewcf(tt,1);50精選可編輯ppt4,小波的應用——小波的信號分解與求頻clearall4,小波的應用——小波的信號分解與求頻65-128Hz257-320Hz51精選可編輯ppt4,小波的應用——小波的信號分解與求頻65-128Hz2574,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用小波變換的基本思想是用一組小波或基函數(shù)表示一個函數(shù)或信號，例如圖像信號。以哈爾（Haar）小波基函數(shù)為例，基本哈爾小波函數(shù)（Haarwaveletfunction）定義如下：1,當0≤x<1/2Ψ(x)=-1,當1/2≤x<10,其他設有一幅分辨率只有4個像素的一維圖像，對應像素值為：[9735]。52精選可編輯ppt4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用小波變4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用分辨率平均值細節(jié)系數(shù)4[9735]2[84][1-1]1[6][2]

對于2維圖像，同樣可以用依次對行列進行小波變換得到2維圖像的分解。這時經(jīng)過一次小波變換得到是2維圖像的近似值(CA)以及水平(CH)、垂直(CV)和對角(CD)細節(jié)分量值。顯然，從2維圖像的CA、CH、CV和CD值可以重構出原來的2維圖像。變化過程：[9735]→[841-1]→[621-1]53精選可編輯ppt4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用分辨率平均值細節(jié)系數(shù)4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用[9735][841-1]

[841-1]

[621-1]×＝

54精選可編輯ppt4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用[9734,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用

55精選可編輯ppt4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用1234556精選可編輯ppt4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用1234556精選可4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用①圖像預處理：需要對去噪目標圖像進行預處理，完成圖像的灰度轉(zhuǎn)換，噪聲評估等內(nèi)容。②小波分解：將目標圖像進行小波分解，獲得對應層的小波低頻系數(shù)，水平方向，垂直方向以及對角線方向的高頻系數(shù)。③閾（yu）值估計量化：對于分解的每一層，將含噪信號在各尺度上進行小波分解，保留大尺度低分辨率下的全部小波系數(shù)；對于個尺度高分辨率下的小波系數(shù)，可以設定一個閾值，幅值低于該閾值的小波系數(shù)置為0，高于該閾值的小波系數(shù)全部保留。④小波重構：利用量化后的小波高頻系數(shù)以及原來的低頻系數(shù)完成圖像小波重構。57精選可編輯ppt4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用①圖像4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用58精選可編輯ppt4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用58精4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用loadwoman;subplot(121);image(X);colormap(map);title('原始圖像')％畫出原圖像[c,s]=wavedec2(X,2,'sym4');%進行兩層小波分解len=length(c);%處理分解系數(shù)，突出輪廓，弱化細節(jié)forI=1:lenif(c(I)>350)c(I)=2*c(I);elsec(I)=0.5*c(I);endendnx=waverec2(c,s,'sym4');%分解系數(shù)重構subplot(122);image(nx);title('增強圖像')%畫出增強圖像59精選可編輯ppt4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用loa4,小波的應用——機械故障診斷當機械運行發(fā)生故障時，其振動信號中往往是首先出現(xiàn)相應的瞬態(tài)脈沖波形。能否及時準確地予以捕捉分析，常常是能否及時發(fā)現(xiàn)故障，采用相應對策，避免出現(xiàn)重大損失的先決條件。傳統(tǒng)的傅里葉分析和時域分析由于需要的數(shù)據(jù)量較大，難以及時作出有效的診斷，而小波分析具有良好的時域定位特征，只需要少數(shù)數(shù)據(jù)就可以對振動信號在時域和頻域進行定量分析，從而為及時發(fā)現(xiàn)故障提供了一種有力的分析手段。60精選可編輯ppt4,小波的應用——機械故障診斷當機械運行發(fā)生故障時，其振動信4,小波的應用——機械故障診斷①齒輪裂紋和斷裂41%②齒面疲勞31%③齒面擦傷和劃痕10%④齒面磨損10%⑤其他故障類型8%61精選可編輯ppt4,小波的應用——機械故障診斷①齒輪裂紋和斷裂41%61精選4,小波的應用——機械故障診斷clc;clearall;closeall;loadleleccum;%載入信號數(shù)據(jù)s=leleccum;Len=length(s);[ca1,cd1]=dwt(s,'db1');%采用db1小波基分解a1=upcoef('a',ca1,'db1',1,Len);%從系數(shù)得到近似信號d1=upcoef('d',cd1,'db1',1,Len);%從系數(shù)得到細節(jié)信號s1=a1+d1;%重構信號figure;subplot(2,2,1);plot(s);title('源信號');subplot(2,2,2);plot(ca1);title('一層小波分解的低頻信息');subplot(2,2,3);plot(cd1);title('一層小波分解的高頻信息');subplot(2,2,4);plot(s1,'r-');title('一層小波分解的重構信號');62精選可編輯ppt4,小波的應用——機械故障診斷clc;clearall;4,小波的應用——機械故障診斷63精選可編輯ppt4,小波的應用——機械故障診斷63精選可編輯ppt4,小波的應用——小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測神經(jīng)網(wǎng)絡引入預測領域使得預測理論及方法產(chǎn)生了質(zhì)的飛越。目前神經(jīng)網(wǎng)絡具有分布式、聯(lián)想。記憶和很強的泛化能力，以及自學習和容錯性可以以任意精度逼近非線性函數(shù)等優(yōu)點。但是，神經(jīng)網(wǎng)絡應用于預測中存在如下問題：

①難以確定網(wǎng)絡的結構；

②訓練速度較慢；

③容易陷入局部次優(yōu)點等。64精選可編輯ppt4,小波的應用——小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測神經(jīng)網(wǎng)絡引入預測領4,小波的應用——小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測小波方法與神經(jīng)網(wǎng)絡結合的方法有兩種：一種是先通過小波對網(wǎng)絡流量時間序列進行小波分解，得到小波變換尺度系數(shù)序列和小波系數(shù)序列，然后輸入到一個神經(jīng)網(wǎng)絡中加以訓練得到預測。二是把神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層的傳輸函數(shù)用小波函數(shù)代替，這樣從本質(zhì)上改變了預測模型的結構，在不影響預測精度的前提下，大大縮短了模型的訓練時間，提高了訓練速度，克服了神經(jīng)網(wǎng)絡容易陷入局部次優(yōu)點的缺點，而且把神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層的傳輸函數(shù)用小波函數(shù)代替、算法易實現(xiàn)和推廣。65精選可編輯ppt4,小波的應用——小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測小波方法與神經(jīng)網(wǎng)絡結合的方4,小波的應用——小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測模型采用三層小波網(wǎng)絡結構，在輸入端有p個輸入，即一起輸入含有p個時間序列值，p表示預測序列值與相關步數(shù)。隱含層包含n個神經(jīng)元，輸出層有1個神經(jīng)元，輸出為第k+1個時間序列的預測值。66精選可編輯ppt4,小波的應用——小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測小波神經(jīng)網(wǎng)4,小波的應用——小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測

從小波神經(jīng)網(wǎng)絡訓練圖可以看出一步預測用了4100epochs；五步用了4005epochs，十步用了3475epochs；而沒有使用小波的神經(jīng)網(wǎng)絡訓練圖在訓練一步、五步、十步時的訓練次數(shù)分別為5739epochs，7317epochs，6277epochs。可以明顯看出小波神經(jīng)網(wǎng)絡對訓練時間能夠起到很大的提升。67精選可編輯ppt4,小波的應用——小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測67精選可編輯ppt4,小波的應用——小波分析在加工誤差分析中的應用

在機械制造中，零件的尺寸、形狀、相對位置等的形成，實際上取決于刀具和工件在整個切削運動中的相互位置和相對運動。由于工藝精度或其自身的各種原因，會形成誤差

在各種零件的加工中，為了及時、準確的了解工藝系統(tǒng)的狀態(tài)，反映系統(tǒng)的特性或工藝能力，通常會按加工順序?qū)庸さ牧慵叽邕M行記錄，形成離散的數(shù)據(jù)點。這些可以通過離散小波變換來進行分析與處理。68精選可編輯ppt4,小波的應用——小波分析在加工誤差分析中的應用4,小波的應用——小波分析在加工誤差分析中的應用

我們通過將閾值調(diào)整，可以選擇性的去處高頻成分（隨機誤差），以獲取需要的數(shù)據(jù)。

上升的曲線就是加工系統(tǒng)的變值系統(tǒng)性誤差，它實際上是整個工藝系統(tǒng)中機床、刀具的熱變形以及刀具磨損等因素共同作用的結果。小波變換分析的精髓就在于對那些變化平穩(wěn)的信息（低頻信息），可以在大范圍上觀察，對于變化很塊的信息（高頻信息），又可以在小范圍上觀察。相對于傳統(tǒng)的誤差分析方法，更加方便?？旖莺陀行?，能使我們更加及時、準確的掌握當前系統(tǒng)，為研究和探討誤差產(chǎn)生的原因、機理打下基礎。69精選可編輯ppt4,小波的應用——小波分析在加工誤差分析中的應用Matlab小波工具箱70精選可編輯pptMatlab小波工具箱70精選可編輯ppt謝謝觀看！注：ppt內(nèi)多圖來自知乎咚懂咚懂咚。71精選可編輯ppt謝謝觀看！71精選可編輯ppt小波分析72精選可編輯ppt小波分析1精選可編輯ppt小波分析講解傅里葉變換與小波分析小波分析的基本知識多尺度分析與Mallat算法小波分析的應用73精選可編輯ppt小波分析講解傅里葉變換與小波分析2精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析小波分析是近年來迅速發(fā)展起來的一個數(shù)學分支。除了在數(shù)學學科本身中的價值外，小波分析在許多非數(shù)學的領域也有著廣泛的應用。74精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析小波分析是近年來迅速發(fā)展起來的一個數(shù)1、傅里葉變換與小波分析一、傅里葉變換對于平穩(wěn)信號，做完FFT（快速傅里葉變換）后，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。75精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析一、傅里葉變換4精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析頻率隨著時間變化的非平穩(wěn)信號，進行FFT后：如左圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩(wěn)信號。而下邊兩個則是頻率隨著時間改變的非平穩(wěn)信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三個時域上有巨大差異的信號，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩(wěn)信號，我們從頻譜上無法區(qū)分它們，因為它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同。76精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析頻率隨著時間變化的非平穩(wěn)信號，進行F1、傅里葉變換與小波分析

可見，傅里葉變換處理非平穩(wěn)信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現(xiàn)的時刻并無所知。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。然而平穩(wěn)信號大多是人為制造出來的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩(wěn)的，所以在比如生物醫(yī)學信號分析等領域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣簡單的方法。事件相關電位股市折線圖77精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析可見，傅里葉變換處理非1、傅里葉變換與小波分析加窗傅里葉變換（短時傅里葉變換STFT）78精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析加窗傅里葉變換（短時傅里葉變換STF1、傅里葉變換與小波分析窗劃分太窄，窗內(nèi)的信號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率分辨率差。窗劃分太寬，時域上又不夠精細，時間分辨率低。79精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析窗劃分太窄，窗內(nèi)的信號太短，會導致頻1、傅里葉變換與小波分析小波定義：①?、诓▌有裕?0精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析小波定義：9精選可編輯ppt小波的3個特點小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個數(shù)量級。信號長度為M時，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計算復雜性分別如下公式：81精選可編輯ppt小波的3個特點小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生1、傅里葉變換與小波分析82精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析11精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析83精選可編輯ppt1、傅里葉變換與小波分析12精選可編輯ppt小波運算的步驟（1）選擇小波函數(shù)，并與分析信號起點對齊；（2）計算在這一時刻要分析信號與小波函數(shù)的逼近程度，即小波變換系數(shù)C。C越大，就意味著此刻信號與所選擇的小波函數(shù)波形越相近；（3）將小波函數(shù)沿時間軸右移一個單位時間，然后重復（1）、（2）步驟，求出變換系數(shù)C，直到覆蓋整個信號長度；84精選可編輯ppt小波運算的步驟（1）選擇小波函數(shù)，并與分析信號起點對齊；13小波運算的步驟（4）將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個單位，然后重復步驟（1）、（2）、（3）；（5）對所有的伸縮尺度重復步驟（1）、（2）、（3）、（4）。85精選可編輯ppt小波運算的步驟（4）將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個單位，然后2、小波分析的基本知識小波基礎術語:①緊支撐:對于函數(shù)f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內(nèi)，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值為0。那么這個函數(shù)f(x)就是緊支撐函數(shù)，而這個0附近的取值范圍就叫做緊支撐集。比如：在(-1,1)之間的高斯函數(shù)。②L2（R）:滿足成立的自變量為實數(shù)的實值或復值函數(shù)f的全體。L2（0,2π）：f（x+2π）=f（x），86精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識小波基礎術語:15精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識小波定義：設ψ∈L2（R）∩L（R），在R上不幾乎處處為0，且滿足

則稱ψ為小波。其中為ψ的傅里葉變換。87精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識小波定義：16精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識

稱為依賴參數(shù)a，b的連續(xù)小波，叫基本小波或小波。若是窗函數(shù)，就叫為窗口小波函數(shù)，一般我們恒假定為窗口小波函數(shù)。88精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識稱為依賴參數(shù)a，b的連續(xù)小波，2、小波分析的基本知識a為尺度參數(shù)89精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識a為尺度參數(shù)18精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識b為位移參數(shù)90精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識b為位移參數(shù)19精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識小波正變換：小波逆變換：

是f（t）在函數(shù)上的投影。91精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識小波正變換：是一維連續(xù)小波的例子：1.Haar小波：Haar小波是一組相互正交的函數(shù)集，是一個最簡單的時域不連續(xù)的二進小波，Haar的應用十分廣泛，常用與圖像處理。92精選可編輯ppt2022/11/6一維連續(xù)小波的例子：1.Haar小波：Ha一維連續(xù)小波的例子2.Mexico草帽小波：

草帽函數(shù)又稱為Marr小波。其在時域、頻域都有很好的局部特性，但它的正交性尺度函數(shù)不存在，主要用于信號處理和邊緣檢測。93精選可編輯ppt2022/11/6一維連續(xù)小波的例子2.Mexico草帽小波：一維連續(xù)小波的例子：3.Morlet小波：

式中，i表示虛數(shù)，w表示常數(shù)。Morlet小波不具有正交性的同時也不具有緊支集。其特點是能夠獲取信號中的幅值和相應的信息，廣泛應用于地球物理信號處理中。94精選可編輯ppt2022/11/6一維連續(xù)小波的例子：3.Morlet小波：Daubechies(dbN)小波系（多貝西）多貝西小波是以英格麗·多貝西的名字命名的一種小波函數(shù)，多貝西小波主要應用在離散型的小波轉(zhuǎn)換，是最常使用到的小波變換。多貝西小波是一種正交小波，所以它很容易進行正交變換。對于有限長度的小波，應用于快速小波變換時，會有兩個實數(shù)組成的數(shù)列：一是作為高通濾波器的系數(shù)，稱作小波濾波器；二是低通濾波器的系數(shù)，稱為調(diào)整濾波器（尺度濾波器）。我們通常以濾波器長度N來形容濾波器為dbN，例如N=2的多貝西小波寫作db2；N=4的多貝西小波寫作db4。95精選可編輯pptDaubechies(dbN)小波系（多貝西）Daubechies(dbN)小波系（多貝西）圖1.496精選可編輯pptDaubechies(dbN)小波系（多貝西）圖1.425精小波函數(shù)表97精選可編輯ppt小波函數(shù)表26精選可編輯ppt小波函數(shù)表98精選可編輯ppt小波函數(shù)表27精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

這就是信號f(t)的連續(xù)小波變換公式，其中參數(shù)a和b都是連續(xù)變化的參數(shù)，a為尺度參數(shù)（在某種意義上就是頻率的概念），b是時間參數(shù)或平移參數(shù)。不嚴謹?shù)刂v，Wf(a,b)指的是對信號f(t)進行小波變換后當頻率為a時間為b時的變換值?？梢钥闯?，一維信號f(t)經(jīng)過小波變換后將變成二維信號。99精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

這就是信號f(2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

例：已知一信號f(t)＝3sin(100pt)＋2sin(68pt)＋5cos(72pt)，且該信號混有白噪聲，對該信號進行連續(xù)小波變換。小波函數(shù)取db3，尺度為1、1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下：

t＝0：0.01：1；

f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))；

coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，￠db3￠，￠plot￠)；

title(￠對不同的尺度小波變換系數(shù)值￠)；

Ylabel(￠尺度￠)；

Xlabel(￠時間￠)；

100精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

例：已知一信號f(t2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

小波變換的系數(shù)如圖所示的灰度值圖表征，橫坐標表示變換系數(shù)的系號，縱坐標表示尺度，灰度顏色越深，表示系數(shù)的值越大。101精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—連續(xù)小波變換

小波變

離散小波變換：

在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論一下連續(xù)小波ya，b(t)和連續(xù)小波變換Wf(a，b)的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間變量t的。

在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)

這里，b∈R，a∈R＋，且a≠0，y是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)?/p>

2、小波分析的基本知識—離散小波變換

102精選可編輯ppt

離散小波變換：

在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)，

2、小波分析的基本知識—二進小波變換103精選可編輯ppt

2、小波分析的基本知識—二進小波變換32精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—二進小波變換

定義：設yj，k(t)∈L2(R)，且滿足

(1.64)

由此得到的小波yj，k(t)稱為二進正交小波。

104精選可編輯ppt2、小波分析的基本知識—二進小波變換

定義：設yj，k(3、多尺度分析與Mallat算法多分辨分析為了改變信號的分辨率使得人們可以根據(jù)特定的目標處理相關的細節(jié)，1983年，P.J.Burt與E.A.Adelson在計算機視覺的應用中引進了一個能夠處理低分辨率圖像，同時根據(jù)需要進一步提高圖像分辨率的多分辨率Laplace塔式算法。1986年Mallat和Meyer構造了多分辨分析公式。隨著多分辨分析的出現(xiàn)，構造小波的困難得到了較圓滿的解決。為了對信號進行較高分辨率的處理，需要一種所謂的“增量信息”。為此，Mallat選用正交小波基作為對“增量信息”進行數(shù)學描述，并最終發(fā)展成為了多分辨分析。105精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法多分辨分析34精選可編輯pp3、多尺度分析與Mallat算法106精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法35精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法參考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.11107精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法參考：36精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法濾波器族：下圖是一系列帶通濾波器的頻域圖108精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法濾波器族：下圖是一系列帶通濾3、多尺度分析與Mallat算法一個信號離散信號x(n)經(jīng)過這一系列帶通濾波器濾波后，將得到一組系數(shù)Vi(n)。如下圖所示：這樣，我們就把一個信號分解成了不同頻率的分量。只要這些帶通濾波器的頻率能夠覆蓋整個原信號x(n)的頻譜范圍，反變換時，把這些不同頻率信號，按其分量大小組合起來，就可得到原信號x(n)。這樣一組帶通濾波器就稱為濾波器族。109精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法一個信號離散信號x(n)經(jīng)過3、多尺度分析與Mallat算法濾波器族能實現(xiàn)將信號分為不同頻率分量，從而實現(xiàn)分解信號并分析信號的目的。但是在濾波器族的計算中，我們需要指定頻域分割方式。研究者們給出了一種分割方式，即均分法，從而引出了子帶編碼的概念。子帶編碼通過使用均分頻域的濾波器，將信號分解為若干個子帶。這樣是可以實現(xiàn)無冗余且無誤差地對數(shù)據(jù)分解及重建目的。但是Mallat在1989年的研究表明，如果只分為2個子帶，可以實現(xiàn)更高效的分解效率。從而引入了多分辨率分析（MRA）。110精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法濾波器族能實現(xiàn)將信號分為不同3、多尺度分析與Mallat算法多分辨率分析：如果子帶編碼時將信號帶寬先對分為高通（實際為帶通）和低通兩個部分，對應于兩個濾波器。然后對低通部分繼續(xù)等分。下圖為子帶編碼示意圖。111精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法多分辨率分析：40精選可編輯3、多尺度分析與Mallat算法

從圖中看出，每次分割保留高通部分的濾波結果，因為這里已經(jīng)是信號的細節(jié)了，而且通常我們分析的信號，其絕大部分能量都在低頻部分。所以高頻部分的分割可以到此為止，但是低通部分仍然有更多的細節(jié)可以劃分劃分出來，所以將低通部分繼續(xù)等分。分割迭代進行。這樣做的優(yōu)點是，我們只需要設計兩個濾波器，然后每次迭代將其對分。缺點是，頻域的分割方式確定。對于某些信號來說，這樣的劃分并不是最優(yōu)的。112精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法從圖中看出，每3、多尺度分析與Mallat算法

這里仍然有個問題。每次都將頻譜分為剩下的一半，那實際上，我們永遠也取不到整個頻段。就好比一杯水，每次都只許喝一半，那將永遠無法把它完全喝完。所以，這樣分割后的函數(shù)仍然是無限多的。為解決這個問題，終于引出了我們最初想討論的尺度函數(shù)的概念。

在上圖中，我們對頻域進行分割，當分割到某個頻率j時，不再繼續(xù)分割了，剩下的所有低頻部分由一個低通濾波器來表示，這就可以實現(xiàn)對信號頻譜的完整分割。這個剩余低通濾波器就是尺度函數(shù)。事實上，很容易看出，尺度函數(shù)無非就是某級多分辨率分析中的低通濾波器。也就是圖中最下面一級的LP。113精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法這里仍然有個問3、多尺度分析與Mallat算法loadnoissinc=cwt(noissin,1:48,'db4');c=cwt(noissin,1:48,'db4','plot');c=cwt(noissin,2:2:128,'db4','plot');114精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法loadnoissin433、多尺度分析與Mallat算法115精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法44精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法S＝A3＋D3＋D2＋D1設以Vj表示圖1.17分解中的低頻部分Aj，Wj表示分解中的高頻部分Dj，則Wj是Vj在Vj＋1中的正交補，即116精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法3、多尺度分析與Mallat算法S＝A3＋D3＋D2＋D1若令fj∈Vj代表分辨率為2－j的函數(shù)f∈L2(R)的逼近(即函數(shù)f的低頻部分或“粗糙像”)，而dj∈Wj代表逼近的誤差(即函數(shù)f的高頻部分或“細節(jié)”部分)，則上式意味著：

fN＝f1＋fd＝f2＋d2＋d1＝…＝fN-1＋dN－1＋…＋d2＋d1

所以上式可簡寫為這表明，任何函數(shù)f∈L2(R)都可以根據(jù)分辨率為2－N時f的低頻部分(“粗糙像”)和分辨率2－j(1≤j≤N)下f的高頻部分(“細節(jié)”部分)完全重構，這恰好是著名Mallat塔式重構算法的思想。

117精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法3、多尺度分析與Mallat算法小波重構118精選可編輯ppt3、多尺度分析與Mallat算法小波重構47精選可編輯pptMallat算法中僅僅對低頻系數(shù)進行分解，但是對于有些信號來說，對高頻系數(shù)進行分解更加合適。小波包分解即將低頻系數(shù)和高頻系統(tǒng)都進行同樣的分解，然后選取一個最合適的分解路徑。然后通過構建一個代價函數(shù)求來對于路徑進行評價，選取最優(yōu)路徑。3、多尺度分析與Mallat算法119精選可編輯pptMallat算法中僅僅對低頻系數(shù)進行分解，但是對4、小波分析的應用小波的信號分解與求頻小波在圖像壓縮中的應用小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用機械故障診斷小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測120精選可編輯ppt4、小波分析的應用小波的信號分解與求頻49精選可編輯ppt4,小波的應用——小波的信號分解與求頻clearallclcfs=1024;%采樣頻率f1=100;%信號的第一個頻率f2=300;%信號第二個頻率t=0:1/fs:1;s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);%生成混合信號[tt]=wpdec(s,3,'dmey');%小波包分解，3代表分解3層plot(tt)wpviewcf(tt,1);121精選可編輯ppt4,小波的應用——小波的信號分解與求頻clearall4,小波的應用——小波的信號分解與求頻65-128Hz257-320Hz122精選可編輯ppt4,小波的應用——小波的信號分解與求頻65-128Hz2574,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用小波變換的基本思想是用一組小波或基函數(shù)表示一個函數(shù)或信號，例如圖像信號。以哈爾（Haar）小波基函數(shù)為例，基本哈爾小波函數(shù)（Haarwaveletfunction）定義如下：1,當0≤x<1/2Ψ(x)=-1,當1/2≤x<10,其他設有一幅分辨率只有4個像素的一維圖像，對應像素值為：[9735]。123精選可編輯ppt4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用小波變4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用分辨率平均值細節(jié)系數(shù)4[9735]2[84][1-1]1[6][2]

對于2維圖像，同樣可以用依次對行列進行小波變換得到2維圖像的分解。這時經(jīng)過一次小波變換得到是2維圖像的近似值(CA)以及水平(CH)、垂直(CV)和對角(CD)細節(jié)分量值。顯然，從2維圖像的CA、CH、CV和CD值可以重構出原來的2維圖像。變化過程：[9735]→[841-1]→[621-1]124精選可編輯ppt4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用分辨率平均值細節(jié)系數(shù)4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用[9735][841-1]

[841-1]

[621-1]×＝

125精選可編輯ppt4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用[9734,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用

126精選可編輯ppt4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用12345127精選可編輯ppt4,小波的應用——小波在圖像壓縮中的應用1234556精選可4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用①圖像預處理：需要對去噪目標圖像進行預處理，完成圖像的灰度轉(zhuǎn)換，噪聲評估等內(nèi)容。②小波分解：將目標圖像進行小波分解，獲得對應層的小波低頻系數(shù)，水平方向，垂直方向以及對角線方向的高頻系數(shù)。③閾（yu）值估計量化：對于分解的每一層，將含噪信號在各尺度上進行小波分解，保留大尺度低分辨率下的全部小波系數(shù)；對于個尺度高分辨率下的小波系數(shù)，可以設定一個閾值，幅值低于該閾值的小波系數(shù)置為0，高于該閾值的小波系數(shù)全部保留。④小波重構：利用量化后的小波高頻系數(shù)以及原來的低頻系數(shù)完成圖像小波重構。128精選可編輯ppt4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用①圖像4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用129精選可編輯ppt4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用58精4,小波的應用——小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用loadwoman;subplot(121);image(X);colormap(map);title('原始圖像')％畫出原圖像[c,s]=wavedec2(X,2,'sym4');%進行兩層小波分解len=length(c);%處理分解系數(shù)，突出輪廓，弱化細節(jié)forI=1:lenif(c(I)>350)c(I)=2*c(I);elsec(I)=0.5*c(I);endendnx=waverec2(c,s,'sym4');%分解系數(shù)重構subplot(122);image(nx);title('增強圖像')%畫出增強圖像130精選可編輯ppt4,小波