中央電大經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)應(yīng)用題和計(jì)算題

五、應(yīng)用題（20分）1．設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個(gè)單位時(shí)的成本函數(shù)為：C(q)1000.25q

6q（萬元）,（1）當(dāng)q10（2）當(dāng)產(chǎn)量q最??？（）總成本C(q)1000.25q26q，平均成本C(q)1000.25q6，q邊際成本C(q)0.5q6．所以，C10)1000.25102610185（萬元，C(10)1000.2510618.5（萬元）10C10)0.510611（萬元）（2）令C(q)100q2

0.250，得q20（q20舍去．因?yàn)閝20是其在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn)，且該問題確實(shí)存在最小值，所以當(dāng)q20.2.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時(shí)的總成本函數(shù)為C(q)204q0.0q2（元，單位銷售價(jià)格為p140q（元件，問產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少．C(q)204q2R(q)qp14q2L(q)R(qC(q)10q0.02q220L(q)100.04qL(q)100.04q0得，q250250L(250)102500.022502201230（元。3．投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為C(q)2q40(萬元/百臺)．試求產(chǎn)46解：成本函數(shù)為：C(q)q(2x40)dx360當(dāng)產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時(shí)，總成本的增量為C6(2x40)dxx2|6

40x|6100（萬元）4 4 4C(q)q(2x40)dx36q240q360C(q)q4036qC(q)1

36 36，令C(q)1q2 q2

0qq6（負(fù)值舍去q6是惟一駐點(diǎn)，平均成本有最小值，所以當(dāng)x6（百臺）時(shí)可使平均成本達(dá)到最低.3、投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為3（萬元，且邊際成本為C(q)2q60（百臺。46解：成本函數(shù)為：C(q)q(2x60)dx360當(dāng)產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時(shí)，總成本的增量為C6(2x60)dxx2|

60x|6140（萬元）4 4 4C(q)q(2x60)dx36q260q360C(q)q6036qC(q)1

36 36，令C(q)1q2 q2

0qq6（負(fù)值舍去q6是惟一駐點(diǎn)，平均成本有最小值，所以當(dāng)x6（百臺）時(shí)可使平均成本達(dá)到最低。C(q/件R(q)120.02q，求：①產(chǎn)量為多少時(shí)利潤最大？②在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？解：邊際利潤為：L(q)R(q)C(q)100.02qL(q)0q500。q500是惟一駐點(diǎn)，最大利潤存在，所以①當(dāng)產(chǎn)量為500件時(shí)，利潤最大。②L0.02x)dx10x|550

0.01x

|550-25（元）50025

500

500已知某產(chǎn)品的邊際成本為C(q)4q3(萬元百臺(18(萬元)解：因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)為C(q)

(4q=2q3qc當(dāng)q0時(shí)，C(0)c=18，即C(q)=2q2又平均成本函數(shù)為

3q18A(q)

C(q)2q318q q令A(yù)(q)2180，解得q3百臺)q2該問題確實(shí)存在使平均成本最低的產(chǎn)量.所以當(dāng)x=3時(shí)，平均成本最低.最底平均成本為18233

9 (萬元/百臺)36、已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為C(q)4q (萬元/百臺)，收入函數(shù)為R(q)10q1q（萬元2再增加生產(chǎn)200臺，利潤將會發(fā)生怎樣的變化？解：邊際利潤為：L(q)R(q)C(q)10q4q62qL(q0q3q3是惟一駐點(diǎn)，而最大利潤存在，所以當(dāng)產(chǎn)量為335百臺時(shí)，利潤改變量為L

5(62x)dx6x|5x2|5

6(5(52

32)3 3 312164（萬元）即利潤將減少4萬元。7..設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(x)5x(萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售x百噸時(shí)的邊際收入為R(x)112x（/百噸大時(shí)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？.解：⑴因?yàn)檫呺H成本為C(x)1，邊際利潤L(x)R(x)C(x)102xL(x0x5x5L(x5百⑵當(dāng)產(chǎn)量由5百噸增加至6百噸時(shí)，利潤改變量為L2x)dxx2)65 51（萬元）即利潤將減少1萬元.8..設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個(gè)單位時(shí)的成本函數(shù)為：C(x)100x26x（萬元）,求：⑴當(dāng)x10時(shí)的總成本和平均成本；⑵當(dāng)產(chǎn)量x為多少時(shí)，平均成本最?。?解：⑴因?yàn)榭偝杀?、平均成本和邊際成本分別為：C(x)100x26xC(x)100x6，xC(10)1001102610260C(10)100110626，10⑵C(x)1001x2令C(x)0，得x10（x10舍去，可以驗(yàn)證x10是C(x)的最小值點(diǎn)，所x10時(shí)，平均成本最?。€性代數(shù)計(jì)算題1 1 3 1A

1

，求(IA)1。1 2 1 0 0 1 1 3 0 1 3解：因?yàn)?IA0 1 01 1 51 0 5 0 0 1 1 2 1 2 00 1 3 1 0 0 1 [IA I]1 0 5 0 1 00

5 0 1 03 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 2 5 0 1 1105010501010010601310001053 30 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 110 6 5 所以，(IA)15 3 3 2 1 1 0 1 2、設(shè)矩陣A=2 2 7，I是3階單位矩陣，求(IA)1。3 4 81 1 3 解：因?yàn)镮A2 3 7 3 4 91 1 3 1 0 0 1 1 3 1 0 03701 00 113701 00 11214900 11030 3 11 0 2 3 1 0 1 0 0 1 3 20 1 1 2 1 00 1 0 3 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3 2所以(IA)1=3 0 1。1 1 0 2

6 3A

，B1 2(AB)-1．2 0

4 10 2

6

2 1．解：因?yàn)锳B=

1 2= 2 0 4 14 1(AB I)=2 1 1 02 1 1 04 1 0 1 0 1 2 1 2 0 1

1

1 10 1 2 1

2 21 1

1 2 1所以(AB)-1= 2 22 10 1 2 1A

1 1 4，B

，求A1B 2 1 0

解：求逆矩陣的過程見復(fù)習(xí)指導(dǎo)P77的4，此處從略。2 1 1

2 1

11 1

A1

2 1A1B

2 1

3。3 1 1

3

1 1 2

22

2．設(shè)矩陣A1 2,B1 2，求解矩陣方程XAB。3 5 2 3 解：2 1 01 2 1 01 0 5 21 0 5 23 5 0 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 5 2 1 2 5 2 1 0∴

3

∴X2 3

3 11 1 1 1 0

26．.設(shè)矩陣A1 2 1,B，求A1B 2 2 1.解：利用初等行變換得1010210123001010210123001 00 1 1 1 1 014314320100110100211011110160041050160 1 00 1 0 5 3 1 01

4 1 0 0 1 6 4 3 1 4 3 1 0 3 1 即 A15 3 1 4 由矩陣乘法得4 3 12 4

4 A1B5 3 16。 6 4 1 72x

5x

3求線性方程組

1 x2x

36x3

的一般解． 1 2 3．解：因?yàn)樵鰪V矩陣

2x14x 6x 121 2 32 5 3 1 2 6 3 1 0 4 1A1 2 6 30 9 9 90 1 1 1 2 14 6 12 0 18 18 18 0 0 0 0x4x1所以一般解為1 3 （其中

是自由未知量）xx1 3x2 3x 2xx 01 3 4求線性方程組x

2x

0的一般解．2x1 2 3 4解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣

x 5x3x 01 2 3 41 0 2 1 1 0 2

1 0 2 A1 1 3 20 1 1 10 1 1 1 2 1 5 1 1 0 0 0x2xxx所以一般解為1x

3 4 （x

是自由未知量）xx 3 42 3 43、當(dāng)取何值時(shí)，齊次線性方程組 x3xx02x1 2 35x 1 2

3x3

0有非0解？并求一般解。3x8xx01 2 31 3 1 1

1 1 0 4 解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣A2 5 30

1 0

1 所以當(dāng)=4 3 8 0 1 0 0 4x4xx時(shí)，該線性方程組有無窮多解，且一般解為：x

3（

是自由未知量。x 32 34取何值時(shí)，線性方程組x x

2x

x 21 22 x x2

37x

43x

6 有解，在有解的情況下求方程組的一般解。x9x17243 x41xx1 2 3 4解：方程組的增廣矩陣1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 A2 1 7 3 6 0 1 11 5 10 9 7 4 1 0 2 22 10 191 1211 1212112120 111510011151000000001 0948 011150000011150000x89x4x

3 4 （

,x是自由未知量）x 105x 3 42 3 42xx xx 1x1 2 3 45．

2x

x4x 2x17x243 4 51234212342111 112142

1 2 1 4 20 5 3 7 7 4 11

5 3

31 0

1 6 41 2 1 4

5 5 5

3 7 30 5 3 7 30 1 5 5 50 0 0

0 0

0 05x1x 6x 451 3所以，方程組的一般解為：

5 4 5（xx是自由未知量） 3 7 3 3 4x x x 2 5 3 5 4 56．求線性方程組 x3x 2xx 1 1 2 3 43x8x 4xx 0 1 2 3 42xx1 2

4x3

2x 14x1

2x2

6xx 23 4.解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形

113211132138410 0122214210580126120580331321321110015012230108

1690 0 2 10 12 0 0 1 5 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 15x 161此時(shí)齊次方程組化為

48x 9得方程組的一般解為

2x 5x3

464x1615x1 4xx2

98x46

4是自由未知量．5x3 47．.當(dāng)為何值時(shí)，線性方程組 xx 5x4x 2 1 2 3 4 2xx 3xx 13x

1 2 3 42x1

2x3

3x 347x1

5x2

9x3

10x 4有解，并求一般解。1154115421154221311 011393322330113937591002261814 1154210851113930113930

80 0 0 0 8 0 0 0 0 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 8x 5x 11 3x 13x2

49x4

3（x3x4

是自由未知量）v微分計(jì)算題試卷yesinxcos5x，求dy．．解：因?yàn)?yesinx(sinx)5cos4x(cosx)esinxcosx5cos4xsinx所以dy(esinxcosx5cos4xsinx)dxe

exlnxdx1x2 e

1e 2．解：

xln1

lnx 2 211

d(lnx)e2

1

exdxe212 21 4 4x設(shè)yecosxx

，求dy．3 3 1．解：yecosx(cosx)(x2)ecos2x(sinx) x223 1dy( x2sinxecos2x)dx24sin1

sin1xdx．x2．解：

xdx

sin

1d(1

cos1cx25．.yesin

x x xtanx，求dy．.解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得dyd(esinxtanx) d(esinx)d(tanx)1 1esinxd(sinx) dx esinxcosxdx dxcos2x cos2x1(esinxcosx )dxcos2xx6．.計(jì)算exdx．x………10分解：由不定積分的湊微分法得xexdxx

2exd( x)

xc7．.已知2xsinx2y．.解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得y(2xsinx2)(2x)sinx22x(sinx2)2xln2sinx22xcosx2(x2)2xln2sinx22x2xcosx2π2xcos8．計(jì)算2 ．0.解：由定積分的分部積分法得π2xcos2x/r/