黃克智張量分析習題解析教案課件

黃克智張量分析習題解析黃克智張量分析習題解析1第1頁/共51頁第1頁/共51頁2第2頁/共51頁第2頁/共51頁31.2求證：(A×B)

×(C×D)=B(A·C×D)

－A(B·C×D)

=C(A·B×D)

－D(A·B×C)證明：第3頁/共51頁1.2求證：(A×B)×(C×D)=B(A·C4第4頁/共51頁第4頁/共51頁5第5頁/共51頁第5頁/共51頁6第6頁/共51頁第6頁/共51頁7第7頁/共51頁第7頁/共51頁81.3

求證矢量的非退化性。即：若矢量v與它所屬的矢量空間中的任意矢量u都正交，即：u·v=0，則矢量v=0。證明：因為u

為任意，所以可取u1，u2，u3，使得由u·v=0得因為detU≠0，所以vx=vy=vz=0

是唯一零解，即：v=0。第8頁/共51頁1.3求證矢量的非退化性。即：若矢量v與它所屬的矢量91.4已知：矢量

u，v，求證：證明：

1.5求證：a，b

線性相關。

證明：

即第9頁/共51頁1.4已知：矢量u，v，求證：證明：110或故即，a，b

線性相關。1.6求證：a，b，c

線性相關。

證明：

即或a，b，c共面。三維空間中共面的三矢量線性相關。

第10頁/共51頁或故即，a，b線性相關。1.6求證：111.7已知：矢量b=2i+j-2k，c=i+2j+3k，i，j，k為笛卡兒基；若將c分解為與b

平行的矢量及垂直于

b

的矢量a之和，即c=a+mb。求a；m(其中b·a=0)解：第11頁/共51頁1.7已知：矢量b=2i+j-2k，c=i+2121.8利用證明gij

是對稱正定的。證明：

>即gij

是對稱正定的。

1.9

求證：對于一組非共面的gi，存在唯一的gj，gj也是非共面的。證明：參見：1.2.2.4由協(xié)變基矢量求逆變基矢量式（1.2.17）及式（1.2.25）。第12頁/共51頁1.8利用證明gij是對稱131.10已知：以i，j，k表示三維空間中笛卡坐標基矢量，（1）按公式（1.2.17），求g1，g2，g3以i，j，k

表示的式子；（2）求grs。解：第13頁/共51頁1.10已知：以i，j，k表示三維空間中笛卡坐標基矢14第14頁/共51頁第14頁/共51頁15第15頁/共51頁第15頁/共51頁161.11根據(jù)上題結果驗算公式：gj=gjigi解：第16頁/共51頁1.11根據(jù)上題結果驗算公式：gj=gjigi解：171.12已知：u=2g1+3g2-g3，v=g1-g2+g3，基矢量同上題。運用1.11題求得的grs計算：（1）u·v；（2）u，v

的協(xié)變分量。解：第17頁/共51頁1.12已知：u=2g1+3g2-g3，v=g1-g18第18頁/共51頁第18頁/共51頁191.13已知:（1）圓柱坐標系如圖（a），r=x1，=x2，z=x3。（2）球坐標系如圖（b），r=x1，=x2，=x3。x3'Ox2‘x1'z

rx3'Ox2‘x1'

r求：兩種坐標系中：（1）gi

通過笛卡兒基

i，j，k

的表達式，畫出簡圖。（2）求gi，說明gi

和gi

的大小與方向有何關系。（3）由gi求gij，gij，。第19頁/共51頁1.13已知:（1）圓柱坐標系如圖（a），r=x1，20解：（1）

圓柱坐標系：第20頁/共51頁解：（1）圓柱坐標系：第20頁/共51頁21球坐標系：x3'Ox2‘x1'z

rg1g2g3x3'Ox2‘x1'

rg1g2g3第21頁/共51頁球坐標系：x3'O22（2）圓柱坐標系：第22頁/共51頁（2）圓柱坐標系：第22頁/共51頁23球坐標系：第23頁/共51頁球坐標系：第23頁/共51頁24第24頁/共51頁第24頁/共51頁25（3）第25頁/共51頁（3）第25頁/共51頁26圓柱坐標系：第26頁/共51頁圓柱坐標系：第26頁/共51頁27球坐標系：第27頁/共51頁球坐標系：第27頁/共51頁28x3'Ox2‘x1'x3'Ox2‘x1'

rz

rddrdzdddrrdrdrr第28頁/共51頁x3'O291.14斜圓錐面上坐標系x1=，x2=z，R，H，C

為已知（如圖）。求：g，g，g（，=1，2）。yzHxO

rg1g2RCz解：動點所在圓周的半徑為

圓心至z

軸的距離在xy平面上，該圓以為參數(shù)的方程為第29頁/共51頁1.14斜圓錐面上坐標系x1=，x2=z，yx30于是，動點的矢徑為第30頁/共51頁于是，動點的矢徑為第30頁/共51頁31第31頁/共51頁第31頁/共51頁32第32頁/共51頁第32頁/共51頁331.15二維空間為半徑為R的半球面，如圖，x1=，x2=。用兩種方法求g，g，g，g

(，=1，2)。zR

g2

g1

OyRRx解：第33頁/共51頁1.15二維空間為半徑為R的半球面，如圖，x1=34第34頁/共51頁第34頁/共51頁35第35頁/共51頁第35頁/共51頁361.16已知：圓柱坐標系中、球坐標系中矢量的逆變分量vi。利用題1.13結果分別求兩個坐標系中的協(xié)變分量vi。解：（1）圓柱坐標系（2）球坐標系第36頁/共51頁1.16已知：圓柱坐標系中、球坐標系中矢量的逆變分量371.17求：題1.13所示圓柱坐標和球坐標xi，與笛卡兒坐標xj′的轉換系數(shù)

解：圓柱坐標系：第37頁/共51頁1.17求：題1.13所示圓柱坐標和球坐標xi38球坐標系：第38頁/共51頁球坐標系：第38頁/共51頁391.18（1）已知:笛卡兒坐標系中v

的分量為v1′，v2′，v3′；求：圓柱坐標中v

的分量v1，v2，v3。（2）已知:笛卡兒坐標系中v

的分量為v1′，v2′，v3′；求：球坐標中v

的分量v1，v2，v3。解：（1）（2）第39頁/共51頁1.18（1）已知:笛卡兒坐標系中v的分量為v1′401.19試求線元dxk的長度dsk。解：1.20試求線元dxk與dxl的夾角kl。解：第40頁/共51頁1.19試求線元dxk的長度dsk。解：411.27設一動點軌跡為xi(t)（t≥0，標量），定義求證：vi為矢量分量。第41頁/共51頁1.27設一動點軌跡為xi(t)（t≥0，標量），421.28由應變ij的定義出發(fā)，求證：ij

是對稱二階張量的分量。式中dxi

是介質的拉格朗日坐標的微分。第42頁/共51頁1.28由應變ij的定義431.38在笛卡兒坐標系中，各向同性材料的彈性關系為

（1）利用商法則證明此式必定可以表示為一個張量的代數(shù)運算等式，寫出其實體形式，說明等式中各階張量的階數(shù)。（2）將上式表示為可運用于任意坐標系的張量分量形式。（3）寫出任意坐標系中的協(xié)變分量Dijkl

用E，及度量張量分量表達的形式，以及D

的并矢表達式。第43頁/共51頁1.38在笛卡兒坐標系中，各向同性材料的彈性關系為44解:(1)(2)第44頁/共51頁解:(1)(2)第44頁/共51頁45(3)第45頁/共51頁(3)第45頁/共51頁461.39已知：矩陣[A]，[B]，[C]=[A][B]，a=det[A]，b=det[B]，c=det[C]。求：利用置換符號證明：c=ab。證明：或第46頁/共51頁1.39已知：矩陣[A]，[B]，[C]=[A]471.40已知：矩陣中某兩列的元素成比例，例如：

，k為一個實數(shù)。求：利用置換符號證明:證明：第47頁/共51頁1.40已知：矩陣中某兩列的元素成比例481.41質量為m，繞定點O以角速度轉動的質點（如圖），其動量矩矢量的定義為L=mr×v，其中，r

為定點O

至質點的矢徑，v

為質點的線速度。求證：L=I·，式中I為慣性矩張量，I=m[(r·r)G－rr]

v

m

r

O證明：第48頁/共51頁1.41質量為m，繞定點O以角速度轉動的質點491.42求圖1.11所示球坐標系中的面元矢量da1，da2，da3。解：第49頁/共51頁1.42求圖1.11所示球坐標系中的面元矢量da50第50頁/共51頁第50頁/共51頁51感謝您的觀看！第51頁/共51頁感謝您的觀看！第51頁/共51頁52黃克智張量分析習題解析黃克智張量分析習題解析53第1頁/共51頁第1頁/共51頁54第2頁/共51頁第2頁/共51頁551.2求證：(A×B)

×(C×D)=B(A·C×D)

－A(B·C×D)

=C(A·B×D)

－D(A·B×C)證明：第3頁/共51頁1.2求證：(A×B)×(C×D)=B(A·C56第4頁/共51頁第4頁/共51頁57第5頁/共51頁第5頁/共51頁58第6頁/共51頁第6頁/共51頁59第7頁/共51頁第7頁/共51頁601.3

求證矢量的非退化性。即：若矢量v與它所屬的矢量空間中的任意矢量u都正交，即：u·v=0，則矢量v=0。證明：因為u

為任意，所以可取u1，u2，u3，使得由u·v=0得因為detU≠0，所以vx=vy=vz=0

是唯一零解，即：v=0。第8頁/共51頁1.3求證矢量的非退化性。即：若矢量v與它所屬的矢量611.4已知：矢量

u，v，求證：證明：

1.5求證：a，b

線性相關。

證明：

即第9頁/共51頁1.4已知：矢量u，v，求證：證明：162或故即，a，b

線性相關。1.6求證：a，b，c

線性相關。

證明：

即或a，b，c共面。三維空間中共面的三矢量線性相關。

第10頁/共51頁或故即，a，b線性相關。1.6求證：631.7已知：矢量b=2i+j-2k，c=i+2j+3k，i，j，k為笛卡兒基；若將c分解為與b

平行的矢量及垂直于

b

的矢量a之和，即c=a+mb。求a；m(其中b·a=0)解：第11頁/共51頁1.7已知：矢量b=2i+j-2k，c=i+2641.8利用證明gij

是對稱正定的。證明：

>即gij

是對稱正定的。

1.9

求證：對于一組非共面的gi，存在唯一的gj，gj也是非共面的。證明：參見：1.2.2.4由協(xié)變基矢量求逆變基矢量式（1.2.17）及式（1.2.25）。第12頁/共51頁1.8利用證明gij是對稱651.10已知：以i，j，k表示三維空間中笛卡坐標基矢量，（1）按公式（1.2.17），求g1，g2，g3以i，j，k

表示的式子；（2）求grs。解：第13頁/共51頁1.10已知：以i，j，k表示三維空間中笛卡坐標基矢66第14頁/共51頁第14頁/共51頁67第15頁/共51頁第15頁/共51頁681.11根據(jù)上題結果驗算公式：gj=gjigi解：第16頁/共51頁1.11根據(jù)上題結果驗算公式：gj=gjigi解：691.12已知：u=2g1+3g2-g3，v=g1-g2+g3，基矢量同上題。運用1.11題求得的grs計算：（1）u·v；（2）u，v

的協(xié)變分量。解：第17頁/共51頁1.12已知：u=2g1+3g2-g3，v=g1-g70第18頁/共51頁第18頁/共51頁711.13已知:（1）圓柱坐標系如圖（a），r=x1，=x2，z=x3。（2）球坐標系如圖（b），r=x1，=x2，=x3。x3'Ox2‘x1'z

rx3'Ox2‘x1'

r求：兩種坐標系中：（1）gi

通過笛卡兒基

i，j，k

的表達式，畫出簡圖。（2）求gi，說明gi

和gi

的大小與方向有何關系。（3）由gi求gij，gij，。第19頁/共51頁1.13已知:（1）圓柱坐標系如圖（a），r=x1，72解：（1）

圓柱坐標系：第20頁/共51頁解：（1）圓柱坐標系：第20頁/共51頁73球坐標系：x3'Ox2‘x1'z

rg1g2g3x3'Ox2‘x1'

rg1g2g3第21頁/共51頁球坐標系：x3'O74（2）圓柱坐標系：第22頁/共51頁（2）圓柱坐標系：第22頁/共51頁75球坐標系：第23頁/共51頁球坐標系：第23頁/共51頁76第24頁/共51頁第24頁/共51頁77（3）第25頁/共51頁（3）第25頁/共51頁78圓柱坐標系：第26頁/共51頁圓柱坐標系：第26頁/共51頁79球坐標系：第27頁/共51頁球坐標系：第27頁/共51頁80x3'Ox2‘x1'x3'Ox2‘x1'

rz

rddrdzdddrrdrdrr第28頁/共51頁x3'O811.14斜圓錐面上坐標系x1=，x2=z，R，H，C

為已知（如圖）。求：g，g，g（，=1，2）。yzHxO

rg1g2RCz解：動點所在圓周的半徑為

圓心至z

軸的距離在xy平面上，該圓以為參數(shù)的方程為第29頁/共51頁1.14斜圓錐面上坐標系x1=，x2=z，yx82于是，動點的矢徑為第30頁/共51頁于是，動點的矢徑為第30頁/共51頁83第31頁/共51頁第31頁/共51頁84第32頁/共51頁第32頁/共51頁851.15二維空間為半徑為R的半球面，如圖，x1=，x2=。用兩種方法求g，g，g，g

(，=1，2)。zR

g2

g1

OyRRx解：第33頁/共51頁1.15二維空間為半徑為R的半球面，如圖，x1=86第34頁/共51頁第34頁/共51頁87第35頁/共51頁第35頁/共51頁881.16已知：圓柱坐標系中、球坐標系中矢量的逆變分量vi。利用題1.13結果分別求兩個坐標系中的協(xié)變分量vi。解：（1）圓柱坐標系（2）球坐標系第36頁/共51頁1.16已知：圓柱坐標系中、球坐標系中矢量的逆變分量891.17求：題1.13所示圓柱坐標和球坐標xi，與笛卡兒坐標xj′的轉換系數(shù)

解：圓柱坐標系：第37頁/共51頁1.17求：題1.13所示圓柱坐標和球坐標xi90球坐標系：第38頁/共51頁球坐標系：第38頁/共51頁911.18（1）已知:笛卡兒坐標系中v

的分量為v1′，v2′，v3′；求：圓柱坐標中v

的分量v1，v2，v3。（2）已知:笛卡兒坐標系中v

的分量為v1′，v2′，v3′；求：球坐標中v

的分量v1，v2，v3。解：（1）（2）第39頁/共51頁1.18（1）已知:笛卡兒坐標系中v的分量為v1′921.19試求線元dxk的長度dsk。解：1.20試求線元dxk與dxl的夾角kl。解：第40頁/共51頁1.19試求線元dxk的長度dsk。解：931.27設一動點軌跡為xi(t)（t≥0，標量），定義求證：vi為矢量分量。第41頁/共51頁1.27設一動點軌跡為xi(t)（t≥0，標量），941.28由應變ij的定義出發(fā)，求證：ij

是對稱二階張量的分量。式中dxi

是介質的拉格朗日坐標的微分。第42頁/共