數(shù)字信號處理 離散傅立葉變換

3.1FT,FS;3.2DTFT；3.3抽樣定理；3.4DFS；3.5DFT；3.6DFT的性質；3.7DFT的使用；3.8關于正弦信號的抽樣傅立葉變換是信號分析與處理的基本工具第3章離散傅里葉變換11.傅立葉級數(shù)3.1連續(xù)信號的傅立葉變換FS2傅立葉系數(shù)是第次諧波的系數(shù)，所以在頻率坐標軸上是離散的，間隔是。32.傅立葉變換：FTFS：若是非周期信號，可以認為：4由有頻譜密度561.對應連續(xù)非周期對應連續(xù)周期；2.連續(xù)離散3.密度強度FTFS請深刻理解FS和FT的定義，及它們的區(qū)別與聯(lián)系！7FT存在的必要條件：說法1：說法2：因為8因為所以，如果是絕對可積的，那么它一定是平方可積的，但是反之不一定成立。例如，是平方可積的，但不是絕對可積的。所以，取更穩(wěn)妥（即更嚴格）。9周期信號：可以實現(xiàn)傅里葉級數(shù)的分解，屬于功率信號；非周期信號：可以實現(xiàn)傅里葉變換，屬于能量信號；？那么，周期信號可否實現(xiàn)傅里葉變換在經(jīng)典數(shù)學的意義上是不可實現(xiàn)的，但在引入了奇異函數(shù)后可以實現(xiàn)。10周期信號FS11例：令求其傅立葉變換。因為：所以，嚴格意義上的傅立葉變換不存在，可將其展開為傅立葉級數(shù)：現(xiàn)利用函數(shù)將作傅立葉變換：12FSFT線譜13DiscreteTimeFourierTransform,DTFT3.2離散時間信號的傅里葉變換DTFT和Z變換的關系！（一）定義141.

是離散的，所以變換需要求和；2.是的連續(xù)函數(shù)；3.是的周期函數(shù)，周期為；4.存在的條件是空間（二）特點15可以看作是將在頻域展開為傅立葉級數(shù)，傅立葉系數(shù)即是；5.DTFT7.由可以得到的幅度譜、相位譜及能量譜，從而實現(xiàn)離散信號的頻頻分析；6.是在單位圓上取值時的變換：168.反變換17四種傅立葉變換:時域頻域1.連續(xù)非周期連續(xù)非周期()FT2.連續(xù)周期

離散非周期()FS3.離散非周期連續(xù)周期（）DTFT4.離散周期離散周期DFS

？切實理解四種FT之間的對應關系18四種傅立葉變換191.線性2.移位3.奇偶、虛實性質（三）性質20如果是實信號，即如果是實偶信號，即則是的實函數(shù)！214.如果則：5.如果則：時域卷積定理頻域卷積定理！226.時域相關定理互相關：自相關：自相關函數(shù)的DTFT始終是的實函數(shù)！DTFT237.Parseval’s定理

注意：Parseval’s定理有著不同的表示形式；：上述關系只對能量信號成立；：能量譜248.Wiener—Khinchin定理對功率信號，其自相關函數(shù)定義為：定義：功率譜25說明：1.在內(nèi)的積分等于信號的功率，所以稱為功率譜，同理，為能量譜；2.始終是的實函數(shù)；3.相關函數(shù)和功率譜是隨機信號分析與處理的主要工具，它們都需要靠“估計”得到，這就形成了豐富的“估值理論”。264.思考：由功率譜是否可以得到原信號？27例1：（四）應用28越大，主瓣越窄函數(shù)過零點29例2.信號截短：令：則：是周期的線譜，與卷積后，頻譜將發(fā)生失真，影響其分辨率(Resolution)注意：所有有限長的信號都應看作一 無限長的信號和一矩形窗相乘 的結果。關鍵是對頻域的影響。30兩個線譜和函數(shù)的卷積：31窗函數(shù)頻譜：峰值左、右第一個過零點之間的距離稱為主瓣，主瓣外第一個峰值稱為邊瓣。我們希望主瓣的寬度越小越好，邊瓣的幅度越小越好。若想分辨出兩個譜峰，數(shù)據(jù)的長度：是矩形窗主瓣的寬度32例3:低通高通相頻？？？333.3抽樣定理34現(xiàn)研究信號抽樣的數(shù)學模型：請掌握公式的推導！FTDTFT的性質35周期延拓，無窮迭加迭加后可能產(chǎn)生的影響36或要求：若保證相等則可保留全部信息即：抽樣頻率至少要等于信號最高頻率的兩倍。此即抽樣定理。Nyquist抽樣定理，或Shannon抽樣定理37如何保證？1.做頻譜分析，了解的行為；2.使用抗混迭濾波器，限制的范圍。：抽樣頻率；：折迭頻率；如果抽樣頻率不滿足要求，將出現(xiàn)頻譜的混迭（Aliasing),將無法恢復原信號。38如何由重建出

工程上：使用D/A轉換器；在滿足抽樣定理的情況下，的一個周期即等于，因此，可截取之。?理論上：導出如下：39其余為零插值函數(shù)插值公式權40如何對作頻譜分析顯然：因為是離散的，故頻譜是周期的；因為是周期的，故頻譜是離散的；

即：

的頻譜應是離散的、且是周期的。但：是功率信號，不能直接作DTFT；3.4離散傅立葉級數(shù)（DFS）周期序列?41離散、非周期FS:離散化42離散、周期周期?43即：是周期的，周期是，間隔是是周期的，周期是，間隔是所以，各取一個周期，有：此即DFS!44DFS中，仍取無窮長，實際上沒必要！改為：此即DFT!45從實際上，當我們在計算機上實現(xiàn)信號的頻譜分析時，要求：時域、頻域都是離散的；時域、頻域都是有限長；FT、FS、DTFT、DFS都不符合要求但利用DFS的時域、頻域的周期性，各取一個周期，就形成新的變換對：從原理上，和的各自一個周期即可表示完整的序列；但DFT并不是“第五種”傅立葉變換！為什么要由DFS過渡到DFT？46這一對式子，左、右兩邊都是離散的，有限長，因此可方便地用來實現(xiàn)頻譜分析。但使用時，一定要想到，它們均來自DFS,即和都是周期的！3.5離散傅立葉變換（DFT）47DFT的圖形解釋48Z變換、DTFT、DFT的取值范圍49關系：50DFT的性質：1.線性

2.正交性正交陣513.循環(huán)移位52為實序列：4.奇、偶、虛、實對稱性質復序列純虛序列？535.Pars