等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值

關(guān)于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值第1頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:形式1:形式2:復(fù)習(xí)回顧第2頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五一、常用數(shù)列的求和方法：(3)裂項(xiàng)法：設(shè){an}是等差數(shù)列，公差d≠0新課講授第3頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五(4)倒序相加法：用于與首末兩端等距離的和相等。第4頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五.將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)？Sn是關(guān)于n的二次式，常數(shù)項(xiàng)為零。（d可以為零）則Sn=An2+Bn令新課講授第5頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五

結(jié)論1：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=pn2+qn，(p,q為常數(shù))是關(guān)于n的二次式，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列。{an}是等差數(shù)列Sn=pn2+qn(p,q為常數(shù),d=2p)當(dāng)d≠0時(shí),Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)若C≠0，則數(shù)列{an}不是等差數(shù)列。若C=0，則{an}為等差數(shù)列；結(jié)論2：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常數(shù)）當(dāng)d=0時(shí),Sn=na1不是二次函數(shù)第6頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五問(wèn)題與思考第7頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五第8頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五第9頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五

例1若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34，最后三項(xiàng)和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列共有______項(xiàng)。13

例2已知數(shù)列{an}中Sn=2n2+3n，求證：{an}是等差數(shù)列.第10頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五例1、若等差數(shù)列{an}前4項(xiàng)和是2，前9項(xiàng)和是－6，求其前n項(xiàng)和的公式。，解之得：解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則有：∴第11頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五

設(shè)Sn=an2+bn，依題意得：S4=2,S9=－6,即解之得：另解：第12頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.第13頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對(duì)稱(chēng)軸為7n113Sn第14頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第15頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五∴a7+a8=0等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0第16頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五解:由S3=S11得d<0，則d/2＜0∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.則Sn的圖象開(kāi)口向下，如圖所示

又S3=S11所以圖象的對(duì)稱(chēng)軸為7n113Sn例1的變式題一：等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1>０，S3=S11，問(wèn)：這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)的和最大？第17頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五例2：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=21，公差d=－2，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大值。S11最大為121的前n項(xiàng)和為,②當(dāng)n為何值時(shí)，最大，s22最大①數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=-8n+48已知求：例3設(shè)等差數(shù)列第18頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五求等差數(shù)列前n項(xiàng)的最大(小)的方法方法1:由利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸求得最值及取得最值時(shí)的n的值.方法2:利用an的符號(hào)①當(dāng)a1>0,d<0時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正,此時(shí)所有正項(xiàng)的和為Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②當(dāng)a1<0,d>0時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.第19頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五練習(xí):已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C第20頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五當(dāng)d≠0時(shí),Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)則Sn=An2+Bn令小結(jié)Sn是關(guān)于n的二次式，常數(shù)項(xiàng)為零。（d可以為零）第21頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五

結(jié)論1：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=pn2+qn，(p,q為常數(shù))是關(guān)于n的二次式，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列。{an}是等差數(shù)列Sn=pn2+qn(p,q為常數(shù),d=2p)若C≠0，則數(shù)列{an}不是等差數(shù)列。若C=0，則{an}為等差數(shù)列；結(jié)論2：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常數(shù)）小結(jié)第22頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五結(jié)論:3：等差數(shù)列前n項(xiàng)和不一定是關(guān)于n的二次函數(shù)：（1）當(dāng)d≠0是，sn是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)；（2）當(dāng)d=0是，sn=na1,不是項(xiàng)數(shù)