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2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖.(注:同比是指本期與同期作對(duì)比;環(huán)比是指本期與上期作對(duì)比.如:2019年2月與2018年2月相比較稱同比,2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比)根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2019年12月份,全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平B.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲C.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲D.2018年11月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格3.甲乙丙丁四人中,甲說(shuō):我年紀(jì)最大,乙說(shuō):我年紀(jì)最大,丙說(shuō):乙年紀(jì)最大,丁說(shuō):我不是年紀(jì)最大的,若這四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬(wàn)公里,其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬(wàn)公里,超過(guò)世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程(單位:萬(wàn)公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B(niǎo).從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C.2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列5.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為,若拋物線上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好在射線上,則直線被截得的弦長(zhǎng)為()A. B. C. D.7.用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.1208.已知拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn),,當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí),所在直線的斜率為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)),若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的最大值為()A. B. C. D.10.已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線上一點(diǎn),為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī),算法框圖中輸入的,,,,為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī),則輸出的,分別是()A., B.,C., D.,12.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,若動(dòng)點(diǎn)滿足,則的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)()在區(qū)間上的值小于0恒成立,則的取值范圍是________.14.在中,、的坐標(biāo)分別為,,且滿足,為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的取值范圍為_(kāi)_________.15.已知函數(shù),曲線與直線相交,若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為,則可取到的最大值為_(kāi)_________.16.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),若恒成立,求的最大值;(2)記的解集為集合A,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列前項(xiàng)的和.19.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).求橢圓的方程;已知是橢圓的內(nèi)接三角形,①若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),原點(diǎn)為的垂心,求線段的長(zhǎng);②若原點(diǎn)為的重心,求原點(diǎn)到直線距離的最小值.20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)(,),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知數(shù)列滿足:,,且對(duì)任意的都有,(Ⅰ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅱ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅲ)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示,即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),得到答案.詳解:由題意,復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1),位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示,其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.2.D【解析】
先對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理,再結(jié)簡(jiǎn)單的合情推理一一檢驗(yàn)即可【詳解】由折線圖易知A、C正確;2019年3月份及6月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比是負(fù)的,所以B錯(cuò)誤;設(shè)2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格分別為,由題意可知,,,則有,所以D正確.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查了對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理,屬于中檔題.3.C【解析】
分別假設(shè)甲乙丙丁說(shuō)的是真話,結(jié)合其他人的說(shuō)法,看是否只有一個(gè)說(shuō)的是真話,即可求得年紀(jì)最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是甲,那么乙說(shuō)謊,丙也說(shuō)謊,而丁說(shuō)的是真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故甲說(shuō)的不是真話,年紀(jì)最大的不是甲;②假設(shè)乙說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,那么甲說(shuō)謊,丙說(shuō)真話,丁也說(shuō)真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故乙說(shuō)謊,年紀(jì)最大的也不是乙;③假設(shè)丙說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,所以乙說(shuō)真話,甲說(shuō)謊,丁說(shuō)的是真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故丙在說(shuō)謊,年紀(jì)最大的也不是乙;④假設(shè)丁說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的不是丁,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,那么甲也說(shuō)謊,說(shuō)明甲也不是年紀(jì)最大的,同時(shí)乙也說(shuō)謊,說(shuō)明乙也不是年紀(jì)最大的,年紀(jì)最大的只有一人,所以只有丙才是年紀(jì)最大的,故假設(shè)成立,年紀(jì)最大的是丙.綜上所述,年紀(jì)最大的是丙故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,解題時(shí)可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說(shuō)明這種情形不會(huì)發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.4.D【解析】
由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng),顯然正確;對(duì)于,,選項(xiàng)正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯(cuò).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題5.B【解析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?,所以不合題意;選項(xiàng),計(jì)算,不符合函數(shù)圖象;對(duì)于選項(xiàng),與函數(shù)圖象不一致;選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見(jiàn)方法為排除法.6.B【解析】
由焦點(diǎn)得拋物線方程,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱可求出點(diǎn)的坐標(biāo),寫(xiě)出直線方程,聯(lián)立拋物線求交點(diǎn),計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,則,即,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,如圖:∴,解得,或(舍去),∴∴直線的方程為,設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為,由,解得或,∴,∴,故直線被截得的弦長(zhǎng)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,屬于中檔題.7.A【解析】
對(duì)數(shù)字分類(lèi)討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),同理也有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)故滿足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列,組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)字分類(lèi)討論,屬于基礎(chǔ)題。8.A【解析】
本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長(zhǎng)最小時(shí)A,P位于同一水平線上,計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo),計(jì)算斜率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長(zhǎng)最小值,即計(jì)算PA+PF最小值,結(jié)合拋物線性質(zhì)可知,PF=PN,所以,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處,三角形周長(zhǎng)最小,故此時(shí)M的坐標(biāo)為,所以斜率為,故選A.【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì),難度中等.9.A【解析】
若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,分別畫(huà)出與的圖象,結(jié)合圖象可得.【詳解】解:,∴,設(shè),∴,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,∴,當(dāng)時(shí),,當(dāng),,函數(shù)恒過(guò)點(diǎn),分別畫(huà)出與的圖象,如圖所示,,若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值,∴且,即,且∴,故實(shí)數(shù)m的最大值為,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問(wèn)題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10.D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為,為雙曲線上的一點(diǎn),為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn),且都位于第一象限,且,可知為的三等分點(diǎn),且,點(diǎn)在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).11.B【解析】
試題分析:由程序框圖可知,框圖統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)不小于80和成績(jī)不小于60且小于80的人數(shù),由莖葉圖可知,成績(jī)不小于80的有12個(gè),成績(jī)不小于60且小于80的有26個(gè),故,.考點(diǎn):程序框圖、莖葉圖.12.D【解析】
設(shè)出的坐標(biāo)為,依據(jù)題目條件,求出點(diǎn)的軌跡方程,寫(xiě)出點(diǎn)的參數(shù)方程,則,根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍,可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),則∵,∴∴∴為點(diǎn)的軌跡方程∴點(diǎn)的參數(shù)方程為(為參數(shù))則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有:又∵∴故選:D【點(diǎn)睛】考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力,熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換,能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積,屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有:①直接法;②定義法;③相關(guān)點(diǎn)法;④參數(shù)法;⑤待定系數(shù)法二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
首先根據(jù)的取值范圍,求得的取值范圍,由此求得函數(shù)的值域,結(jié)合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組,解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于,所以,由于區(qū)間上的值小于0恒成立,所以().所以,由于,所以,由于,所以令得.所以的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法,考查三角函數(shù)值恒小于零的問(wèn)題的求解,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.14.【解析】
由正弦定理可得點(diǎn)在曲線上,設(shè),則,將代入可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.【詳解】解:由正弦定理得,則點(diǎn)在曲線上,設(shè),則,,又,,因?yàn)?,則,即的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義,考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生計(jì)算能力,有一定的綜合性,但難度不大.15.4【解析】
由于曲線與直線相交,存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為,所以函數(shù)的周期,可得到的取值范圍,再由解出的兩類(lèi)不同的值,然后列方程求出,再結(jié)合的取值范圍可得的最大值.【詳解】,可得,由,則或,即或,由題意得,所以,則或,所以可取到的最大值為4.故答案為:4【點(diǎn)睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用及三角方程的求解,熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.16.【解析】
變換得到,計(jì)算焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),由題意得到,令,分類(lèi)討論求得函數(shù)的最小值,即可求得的最大值.(2)由時(shí),不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為在上恒成立,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,當(dāng)時(shí),由,可得,令,則只需,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;故當(dāng)時(shí),取得最小值,即的最大值為.(2)依題意,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,即在上恒成立,所以,即,即,解得在上恒成立,則,所以,所示實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的解法,以及不等式的恒成立問(wèn)題的求解與應(yīng)用,著重考查了轉(zhuǎn)化思想,以及推理與計(jì)算能力.18.(1)(2)【解析】
(1)由基本量法,求出公比后可得通項(xiàng)公式;(2)求出,用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為又因?yàn)椋越獾茫ㄉ幔┗蛩?,即?)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務(wù)必掌握.19.;①;②.【解析】
根據(jù)題意列出方程組求解即可;①由原點(diǎn)為的垂心可得,軸,設(shè),則,,根據(jù)求出線段的長(zhǎng);②設(shè)中點(diǎn)為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),為的重心,則,設(shè):,,,則,當(dāng)斜率不存在時(shí),則到直線的距離為1,,由,則,,,得出,根據(jù)求解即可.【詳解】解:設(shè)焦距為,由題意知:,因此,橢圓的方程為:;①由題意知:,故軸,設(shè),則,,,解得:或,,不重合,故,,故;②設(shè)中點(diǎn)為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),為的重心,則,當(dāng)斜率不存在時(shí),則到直線的距離為1;設(shè):,,,則,,則,則:,,代入式子得:,設(shè)到直線的距離為,則時(shí),;綜上,原點(diǎn)到直線距離的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的知識(shí)點(diǎn),結(jié)合運(yùn)用向量,韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離的知識(shí),屬于難題.20.(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,對(duì)分成和兩種情況討論,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,從而有,,,三個(gè)方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當(dāng)時(shí),則,故在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設(shè),則,∴在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),.∴,即所求的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值
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