【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章第四節(jié) 直線與平面垂直 文 蘇教

第四節(jié)直線與平面垂直編輯ppt第四節(jié)直線與平面垂直考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考編輯ppt雙基研習(xí)·面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的___________________，那么這條直線和這個(gè)平面垂直．該直線叫做這個(gè)平面的垂線，該平面叫做這條直線的垂面．即對(duì)于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的______________直線．所有直線都垂直任意一條編輯ppt(2)判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條_____________都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．它的數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：如果______________________________________，那么l⊥α.(3)性質(zhì)定理：同垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_________．符號(hào)表示：_________________________.相交直線m?α，n?α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n平行a⊥α，b⊥α，則a∥b編輯ppt(4)點(diǎn)到平面的距離：從平面外一點(diǎn)引平面的一條垂線，這個(gè)點(diǎn)和___________間的線段長，叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．2．斜線在平面內(nèi)的射影垂足編輯ppt(1)過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影；當(dāng)這一點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，該點(diǎn)在平面上的射影就是它自身；這一點(diǎn)與_________之間的線段長叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．(2)一條直線和一個(gè)平面相交，但不垂直時(shí)，這條直線就叫做這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫做_________．射影斜足編輯ppt從平面外一點(diǎn)向平面引斜線，這點(diǎn)與_________間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段．如上圖所示，直線PR∩α＝R，PR不垂直于α，直線PR是α的一條斜線，點(diǎn)R為斜足，線段PR是點(diǎn)P到α的斜線段．(3)平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段有且只有一條，而這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段有_______條．斜足無數(shù)編輯ppt(4)從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足與斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影，垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的射影．如上圖所示，直線QR是直線PR在平面α上的射影，線段QR是點(diǎn)P到平面α的斜線段PR在平面α上的射影．編輯ppt(5)斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上．3．直線與平面所成的角(設(shè)為θ)(1)斜線與平面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的_______所成的________，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．射影銳角編輯ppt(2)當(dāng)一條直線垂直于平面時(shí)，規(guī)定它們所成的角是_______；當(dāng)一條直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，規(guī)定它們所成的角為________.0°直角編輯ppt直線l和α的位置關(guān)系l?α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范圍θ＝______θ＝_____θ∈___________0°90°編輯ppt思考感悟如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面是否垂直？提示：不一定垂直，若平面內(nèi)一組平行線與直線l垂直，但直線l與平面的關(guān)系是不確定的．編輯ppt1．三棱錐的四個(gè)面中直角三角形最多有________個(gè)．答案：42．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊，則能保證該直線與平面垂直的是________．答案：①③課前熱身編輯ppt3．下列說法正確的個(gè)數(shù)是________．①若l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α②若直線l與平面α垂直，則l與α內(nèi)的任一直線垂直③若E、F分別為△ABC中AB、BC邊上的中點(diǎn)，則EF與經(jīng)過AC邊的所有平面平行④兩條垂直的直線中有一條和一個(gè)平面平行，則另一條和這個(gè)平面垂直答案：1編輯ppt4．給出下列四個(gè)說法：①經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直；②如果一條直線和兩個(gè)垂直平面的一個(gè)垂直，它必和另一個(gè)平行；③過不在平面內(nèi)的一條直線可作無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直；編輯ppt④如果兩個(gè)平面互相垂直，經(jīng)過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與另一個(gè)平面垂直的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．其中正確的是________．答案：④編輯ppt考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考直線與平面垂直的判定考點(diǎn)一考點(diǎn)突破證明線面垂直的方法和常用結(jié)論(1)利用線面垂直的定義．(2)利用線面垂直的判定定理．編輯ppt(3)兩平行線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(4)兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面．(5)一直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，那么它必定垂直于另一個(gè)平面．(6)兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么兩平面的交線垂直于第三個(gè)平面．編輯ppt如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心，求證：OE⊥平面ACD1.【思路分析】根據(jù)線面垂直的判定定理，要證明OE⊥平面ACD1，只須在平面ACD1內(nèi)找兩條相交直線分別與OE垂直．例1編輯ppt編輯ppt編輯ppt【名師點(diǎn)評(píng)】

證明線面垂直，往往利用線線垂直或面面垂直轉(zhuǎn)化，除此外，構(gòu)造等腰三角形證垂直及利用勾股定理求長度之間的關(guān)系證明垂直，甚至借助矩形相鄰邊的垂直等，都是可能用到的方法．編輯ppt已知：S－ABC為正三棱錐，AH⊥面SBC于H.求證：H是△SBC的垂心．【思路分析】只需證SH⊥BC、BH⊥SC，要證SH⊥BC，只需證SA⊥BC.由于是正三棱錐，所以只需證對(duì)棱互相垂直即可．線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用考點(diǎn)二例2編輯ppt【證明】取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，SD，則SD⊥BC，AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD.∵SA?平面SAD，∴BC⊥SA.同理，SC⊥AB，SB⊥AC.連SH.∵AH⊥平面SBC，BC?平面SBC，編輯ppt∴AH⊥BC，又SA⊥BC，AH∩SA＝A，∴BC⊥面SAH，又∵SH?面SAH，∴BC⊥SH.同理BH⊥SC.∴H是△SBC的垂心．【名師點(diǎn)評(píng)】證明線線垂直常采用線面垂直進(jìn)行證明，構(gòu)造一個(gè)線的垂面是證明線面垂直的常用方法．編輯ppt變式訓(xùn)練1

如圖，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中點(diǎn)，AF＝AG，EF＝EG，求證：BC∥FG.編輯ppt證明：如圖，連結(jié)DE，由AD⊥AB，AD⊥AC，可得AD⊥平面ABC，而BC?平面ABC，則AD⊥BC.又AE⊥BC，得到BC⊥平面ADE，①∵AF＝AG，EF＝EG，AD∩ED＝D，∴FG⊥平面ADE.②由①、②得到BC∥FG.編輯ppt對(duì)于線面垂直問題，首先應(yīng)分析它給出了哪些條件，可以得出什么結(jié)論，再分析問題是什么，需要什么條件，從而在條件與結(jié)論之間搭起一座橋梁，在分析時(shí)要緊緊圍繞“線線垂直、線面垂直可相互轉(zhuǎn)化”這一思想進(jìn)行探究．與線面垂直有關(guān)的探索性問題考點(diǎn)三編輯ppt如圖所示，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn)．(1)求證：BM∥平面PAD；(2)在△PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD.例3編輯ppt【思路分析】

(1)取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)EM、EA.(2)尋找與面PBD垂直的平面及交線，再據(jù)面面垂直的性質(zhì)探尋N點(diǎn)的位置．【解】

(1)證明：∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E，編輯ppt編輯ppt(2)由(1)知ABME為平行四邊形．PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.同理CD⊥平面PAD.∵AE?平面PAD，∴AB⊥AE，∴ABME為矩形．編輯ppt∵CD∥ME，CD⊥PD，PD⊥AE.∴PD⊥平面ABME，PD?平面PBD.∴平面PBD⊥平面ABME，作MF⊥EB，交BE于F，∴MF⊥平面PBD.延長MF交AE于N，在矩形ABME內(nèi)，AB＝ME＝1，編輯ppt編輯ppt【名師點(diǎn)評(píng)】該題要找平面PBD的垂線，應(yīng)先找出面PBD的垂面ABME，則垂線就在面ABME內(nèi)，且與交線BE垂直，故要找垂線往往是先找垂面．編輯ppt編輯ppt解：(1)取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形，所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.編輯ppt編輯ppt②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí)，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE、CE為相交直線，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD.綜上所述，總有AB⊥CD.編輯ppt方法技巧1．這部分內(nèi)容知識(shí)多，準(zhǔn)確理解，熟練掌握定義、判定定理、性質(zhì)定理并能夠進(jìn)行三種語言的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵．2．直線與平面垂直的判定方法①定義法：直線與平面內(nèi)任一直線垂直．方法感悟編輯ppt②判定定理法：要證一條直線與一個(gè)平面垂直，只要證這條直線和這個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可．③面面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面．3．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用：線線、線面、面面的垂直關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化：編輯ppt失誤防范1．在觀察空間幾何體圖形時(shí)，線線、線面的垂直“位置”觀察錯(cuò)誤，沒有合理地推導(dǎo)，只憑主觀猜想造成結(jié)論錯(cuò)誤．2．在某些題目中，所給的邊角數(shù)量較多，這類題應(yīng)主要由數(shù)量如勾股定理、等腰等，構(gòu)造出垂直關(guān)系，易忽視數(shù)量對(duì)垂直的影響．編輯ppt考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年的江蘇高考試題來看，線面垂直的判定與性質(zhì)是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其題型既有填空題，也有解答題，難度中等偏高．預(yù)測(cè)2012年江蘇高考考查的可能性仍然較大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象力，邏輯推理能力以及分析問題解決問題的能力．編輯ppt(本題滿分14分)如圖，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.規(guī)范解答例編輯ppt編輯ppt∴EN綊AM，∴四邊形AMNE為平行四邊形．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰直角三角形.7分編輯ppt∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，而AE?平面PAD，∴CD⊥AE.10分又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.14分編輯ppt【名師點(diǎn)評(píng)】本題主要考直線面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，理清關(guān)系，合理轉(zhuǎn)化，對(duì)空間想象力，推理論證能力要求較高．編輯ppt1．已知m、n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，有下列4個(gè)命題：①若m∥n，n?α，則m∥α；②若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n；④若m，n是異面直線，m?α，n?β，m∥β，則n∥α.其中正確的命題序號(hào)是________．名師預(yù)測(cè)編輯ppt解析：根據(jù)空間線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理可知正確的命題序號(hào)是②③.答案：②③2．在正三棱錐P－ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)結(jié)論：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．編輯ppt解析：如圖，設(shè)P在面ABC內(nèi)射影為O，則O為正△ABC的中心．①可證AC⊥面PBO，∴AC⊥PB；②AC∥DE，可得AC∥面PDE；③BA與DE不垂直，故AB與平面PDE不垂直．答案：①②編輯ppt3．如圖，在底面為菱形的直四棱柱ABCD