安徽省池州市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期5月月考試題

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A.直線∥平面 B.的面積為C.四棱錐體積為 D.四棱錐的表面積為【答案】ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.在中，已知，則________________．【答案】14.設(shè)復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，若滿足，則____________．【答案】15.如圖，在中，已知，，，，，線段AM，BN相交于點(diǎn)P，則的余弦值為_(kāi)__________.【答案】16.如圖，是邊長(zhǎng)為2的正方形，其對(duì)角線與交于點(diǎn)，將正方形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，.設(shè)三棱錐的外接球的體積為，三棱錐的體積為，則__________．【答案】四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖，已知在中，，，，點(diǎn)M，N分別在邊AB，邊AC上，且，點(diǎn)O為BN與CM的交點(diǎn)．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)，，，，．因?yàn)镹，O，B三點(diǎn)共線，所以，則解得故．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以?8.設(shè)是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且．（1）求的值；（2）求的實(shí)部的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】(1)設(shè)，則∵z2是實(shí)數(shù)，且，∴，得，∴.(2)由(1)知，則，即，∴z1的實(shí)部取值范圍為.19.已知，，分別為銳角三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且滿足．（1）求；（2）若，求銳角的周長(zhǎng)l的取值范圍．【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】由可得：所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槔谜叶ɡ淼茫核运运砸驗(yàn)槭卿J角三角形，所以，所以所以所以所以三角形周長(zhǎng)l的范圍為．20.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.(1)當(dāng)a=2時(shí),求證:AO⊥平面BCD.(2)當(dāng)二面角A-BD-C的大小為120°時(shí),求二面角A-BC-D的正切值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】(1)根據(jù)題意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=,所以AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO.又AO⊥BD,BD∩CO=O,所以AO⊥平面BCD.(2)折疊后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=.如圖,過(guò)點(diǎn)A作CO的垂線交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,因?yàn)锽D⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因?yàn)锳H?平面AOC,所以BD⊥AH.又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BC,垂足為K,連接HK,因?yàn)锽C⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因?yàn)镠K?平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH為二面角A-BC-D的平面角.在△AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.在Rt△CHK中,HK==,在Rt△AHK中,tan∠AKH===.所以二面角A-BC-D的正切值為.21.如圖，在中，，，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)，．（1）若，求x及y；（2）在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過(guò)M點(diǎn)，設(shè)，，求的最小值．【答案】（1），；（2）.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，又，，所以，，因?yàn)镸，B，C三點(diǎn)共線，M，D，A三點(diǎn)共線，所以，解得，則，所以，.【小問(wèn)2詳解】由，得：，，因?yàn)?，所以，因?yàn)镸，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小值為．22.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見(jiàn)解析;（Ⅲ）.【詳解】解：（Ⅰ）如圖，由已知AD//BC，故或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.因?yàn)锳D⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.（Ⅱ）證明：因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因?yàn)锽C//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因?yàn)?/p>