多維空間的立體角

汪寅鵬多維空間的立體角2018/8/19 1/5多維空間的立體角立體角的概念在幾何學、電動力學、光學、天文學等領域應用十分廣泛。本文從二維空間的平面角開始對 n維空間的立體角進行探討。平面角我們先來分析平面角的單位元，如圖所示，單位元 ????可以表示為：????????=??其中，????的長度近似為????，設??→??的任意曲線微元（即為直線微元）為 ????，????與半徑??的夾角為??，則：?????=????sin??對上述微元進行積分，則從 A到B的曲線對應的角為：????????=∫ sin??????設dl的法線方向的單位向量為??，設??與??的夾角為ψ則：????=-??2????????????????????=∫cos??=∫????????立體角對于三維空間的立體角，通常將某一曲面投影至球面，計算其與半徑平方的商的曲面積分。汪寅鵬多維空間的立體角2018/8/19 2/5設曲面的面積微元為????（其大小代表曲面大小，方向為外法線方向）；設r為觀測點指向面積微元的向量，則????在以??為半徑的球上的投影面積為：??????????=⊥??立體角微元dΩ為：??????dΩ=??曲面對空間的立體角為：??????=∫?? ??不難得到，全空間的立體角 Ω=4π下面再給出幾個特殊空間圖形所張的立體角計算公式及值：頂角為2θ的圓錐：Ω=2π(1-cos??)半球：2π球面三角形：A+B+C-π四面體：對于任意四面體 OABC，設α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=12(α+β+γ)，則：tan

Ω

=√tan

θtan

θ-

αtan

θ-

βtan

θ-

γ4

2

2

2

2汪寅鵬多維空間的立體角2018/8/19 3/5正方體的一個頂角的立體角為 ??2，正四面體的一個頂角為 arctan1023√2（或者23arccos27）??維空間的立體角設n維立體角Ω的頂點位于 n維球的球心，設 n維球的表面積為 S，半徑為R，則：??(??)??(??)=??-1??則問題的關鍵在于求出 n維球體的表面積：由Gauss公式：∫????????=∮????????? ????由于??代表n維球徑向矢量，設：??=????+1??

????+????+?2 ?? 3??

+????????則：????=??222???????=??+??+???12??=????故：????(??)=????(??)????(??)=????(??)通過換元易得：( ) ??????=????(??)其中，??(??)為單位球體的體積：??(??)=∫????????????????012??V222:??+??+?+??≤1n012??()1??????????????12??-1-1????-1V222≤2:??+??+?+??1-??n-112??-1??故：??=???(1-2??-12??)??-1??-1??汪寅鵬多維空間的立體角2018/8/19 4/51??-11??-1β=β∫2????=2β∫2????(1-??)2(1-??)2nn-1-1n-10換元，令??=cos??????+1β=2??2Γ(2)∫sinn?????=√????n??-1??-1??1)0Γ(+2由于β=2，可得：1????2βn= ??Γ(+1)2最終可得：????2????(??)=?? ??Γ(+1)2????-1 2???? ????(??)= ????(2+1)??????(??)=列表如下：?? ??(??)?? 2?? 2????2?? 4????2 3?? 2????

????2????(2+1)??(??)2??2????43????31 2 4????

??(??)22??4??22???? 8 2 4????

28

2 5????

8 2??3??35??????163615????8147????393248105????

151 3 6????6163 7????10514 8????24324 9945????

33??163??151 4??3324105??汪寅鵬多維空間的立體角2018/8/19 5/5圖像如下：附源代碼：n=1:10;V=n