黑龍江省哈爾濱市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試試題

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參考答案一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A．1﹣i B．1+i C． D．解：因為復(fù)數(shù)＝＝．所以＝．故選：D．2．若＝（3，m），＝（2，﹣1），且⊥，則實數(shù)m的值為（）A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6解：∵⊥，∴＝6﹣m＝0，解得m＝6．故選：B．3．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下17，22，37，42，31，58，61，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都減2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是（）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差解：在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下17，22，37，42，31，58，61，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都減2后所得數(shù)據(jù)，則A樣本的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都比B樣本的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都大于2，A，B兩樣本的方差相同．故選：D．4．α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，且滿足m?β，則以下結(jié)論正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，α∥β，則m∥β C．若m∥α，m∥β，則α∥β D．若m∥n，n∥α，則m∥α解：若m∥α，n∥α，則m∥n或m與n相交或m與n異面，故A錯誤；若m∥α，α∥β，則m∥β或m?β，又m?β，所以m∥β，故B正確；若m∥α，m∥β，則α∥β或α與β相交，故C錯誤；若m∥n，n∥α，則m∥α或m?α，故D錯誤．故選：B．5．在△ABC中，若＝＝，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形解：由結(jié)合正弦定理可得，即，化簡得sin＝sin＝sin，又，，∈（0，）此時正弦函數(shù)單調(diào)遞增，故＝＝，又A+B+C＝π，故A＝B＝C＝，即△ABC為等邊三角形故選：B．6．某種心臟手術(shù)成功率為0.7，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率．先利用計算器或計算機產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.7，故我們用0、1、2表示手術(shù)不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手術(shù)成功，再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組隨機數(shù)：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5解：根據(jù)題意，10組隨機數(shù)：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有569、683、537、989，共4個，則“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為0.4；故選：C．7．設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B＝2A，則的取值范圍是（）A．（+1，+2） B．（+1，3） C．（3，+2） D．（3，+∞）解：因為B＝2A，由正弦定理可得，＝＝＝2cosA+2cos2A﹣1+2cos2A＝4cos2A+2cosA﹣1，因為△ABC為銳角三角形，則，即，解得，所以，因為函數(shù)y＝4cos2A+2cosA﹣1在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為．故選：A．8．點M，N分別是棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱BD，CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運動．若PA1∥面AMN，則PA1的長度范圍是（）A． B． C． D．[2，3]【解答】解取B1C1的中點E，BB1的中點F，連結(jié)A1E，A1F，EF，取EF中點O，連結(jié)A1O，∵點M，N分別是棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點，∴AM∥A1E，MN∥EF，∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，∴平面AMN∥平面A1EF，∵動點P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運動，且PA1∥面AMN，∴點P的軌跡是線段EF，∵A1E＝A1F＝，EF＝，∴A1O⊥EF，∴當(dāng)P與O重合時，PA1的長度取最小值A(chǔ)1O＝，當(dāng)P與E（或F）重合時，PA1的長度取最大值為A1E＝A1F＝．∴PA1的長度范圍為[，]．故選：B．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分）9．如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線交點為O，M為PB的中點，下列結(jié)論正確的是（）A．OM∥PD B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA解：對于A，由于O為BD的中點，M為PB的中點，則OM∥PD，故正確；對于B，由于OM∥PD，OM?平面PCD，PD?平面PCD，則OM∥平面PCD，故正確；對于C，由于OM∥PD，OM?平面PAD，PD?平面PAD，則OM∥平面PAD，故正確；對于D，由于M∈平面PAB，故錯誤．故選：ABC．10．甲乙兩名同學(xué)在本學(xué)期的六次考試成績統(tǒng)計如圖，甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均值分別為、，則（）A．每次考試甲的成績都比乙的成績高 B．甲的成績比乙穩(wěn)定 C．一定大于 D．甲的成績的極差大于乙的成績的極差【解答】解甲乙兩名同學(xué)在本學(xué)期的六次考試成績統(tǒng)計如圖，甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均值分別為、，則由折線圖得：在A中，第二次考試甲的成績比乙的成績低，故A錯誤；在B中，甲的成績比乙穩(wěn)定，故B正確；在C中，一定大于，故C正確；在D中，甲的成績的極差小于乙的成績的極差，故D錯誤．故選：BC．11．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c＝3，b＝2，B＝2C，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinC＝ B．a(chǎn)＝ C．a(chǎn)＝c D．S△ABC＝2解：∵B＝2C，∴sinB＝sin2C＝2sinCcosC，由正弦定理知，，可得＝，可得cosC＝，sinC＝＝，即選項A正確；由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab?cosC，∴9＝a2+（2）2﹣2a?（2）?，即a2﹣4a+3＝0，解得a＝3，或a＝1，若a＝3，則A＝C＝，此時cosC＝，與題意不符，∴a＝1＝，即選項B正確，選項C錯誤；△ABC的面積S△ABC＝ab?sinC＝×1×2×＝，即選項D錯誤．故選：AB．12．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，△ABC為等腰直角三角形，AB⊥BC，且AC＝AA1＝2，E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點，D，M分別是AA1，BB1上的兩個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．FM與BD一定是異面直線 B．三棱錐D﹣MEF的體積為定值 C．直線B1C1與BD所成角為 D．若D為AA1中點，則四棱錐D﹣BB1FE的外接球體積π解：對于A，當(dāng)M與B重合時，F(xiàn)M與BD是相交直線，故A錯誤；對于B，由已知可得B1F⊥A1C1，又平面ABC⊥平面CAA1C1，∴B1F⊥平面CAA1C1，在矩形AEFA1中，△DEF的面積S＝×EF×A1F＝×2×1＝1，又B1F＝A1C1＝1，∴VD?MEF＝VM?DEF＝×1×1＝，故B正確；對于C，由AA1⊥平面A1B1C1，得AA1⊥B1C1，又B1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，∴B1C1⊥平面A1B1BA，得直線B1C1與BD所成角為，故C正確；對于D，由題意可知，四邊形BB1FE為矩形，連接BF，則矩形BB1FE的外接圓的圓心為BF的中點O1，且O1F＝O1B＝，過O1作O1N⊥EF，垂足為N，連接DN，O1D，則O1N＝，DN＝1，O1N⊥DN，故O1D＝，∴O1就是四棱錐D﹣BB1FE的外接球的球心，外接球的半徑為R＝，則外接球的體積為V＝，故D正確．故選：ABCD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．如圖，正方形ABCD的邊長為2，P是線段DC上的動點（含端點），則的取值范圍是[0，4]．解：建立平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xy，正方形ABCD的邊長為2，P是線段DC上的動點（含端點），則A（0，0），B（2，0），C（2，2），P（x，2），（0≤x≤2）所以＝（x﹣2，2），＝（2，2），所以＝2（x﹣2）+4＝2x，所以2x∈[0，4]．故答案為：[0，4]．14．若三個原件A，B，C按照如圖的方式連接成一個系統(tǒng)，每個原件是否正常工作不受其他元件的影響，當(dāng)原件A正常工作且B，C中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次為0.7，0.8，0.9，則這個系統(tǒng)正常工作的概率為0.686解：系統(tǒng)正常工作的情況分成兩個步驟，A正常工作且B，C至少有一個正常工作的情況，A正常工作的概率為：0.7；B，C至少有一個正常工作的情況的概率為1減去B，C都不正常工作的情況的概率，即：B，C至少有一個正常工作的概率為：1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.9）＝0.98，所以：這個系統(tǒng)正常工作的概率為：0.7×0.98＝0.686；故答案為：0.686；15．若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣3+2i|＝1，則|z﹣6﹣2i|的最小值為4．解：因為復(fù)數(shù)z滿足|z﹣3+2i|＝1，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡是以C（3，﹣2）為圓心，半徑為1的圓，又|z﹣6﹣2i|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z與點P（6，2）之間的距離，所以|z﹣6﹣2i|的最小值為PC﹣1＝．故答案為：4．16．已知三棱錐S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝2，異面直線SC與AB所成角的余弦值為，則三棱錐S﹣ABC的體積為，三棱錐S﹣ABC的外接球的表面積為．解：如圖，分別取AC、SA、SB、AB的中點M、N、E、F，連接MN、NE、EF、MF、ME，可得MN∥SC，NE∥AB，則∠MNE為異面直線SC與AB所成角，∴cos∠MNE＝，設(shè)SA＝t，可得MN＝，NE＝AB＝1，EF＝，MF＝1，則ME＝，在△MNE中，由余弦定理，可得ME2＝MN2+NE2﹣2MN?NE?cos∠MNE，∴××1×，解得t＝2，∴三棱錐S﹣ABC的體積為V＝＝，設(shè)底面三角形ABC的中心為G，三棱錐S﹣ABC的外接球的球心為O，連接OG，則OG⊥平面ABC，AG＝，OG＝，則三棱錐S﹣ABC的外接球的半徑R＝OA＝＝．∴三棱錐S﹣ABC的外接球的表面積為S＝4π×＝．故答案為：；．三、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求證：（1）直線DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．解：（1）∵D，E分別為AB，BC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1為棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）在ABC﹣A1B1C1的直棱柱中，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1、A1B1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F?平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D＝D，且DE、B1D?平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F?平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．18．今年受疫情影響，我市中小學(xué)生全體在家線上學(xué)習(xí)．為了了解學(xué)生在家主動鍛煉身體的情況，某校隨機抽查了部分學(xué)生，對他們每天的運動時間進行調(diào)查，并將調(diào)查統(tǒng)計的結(jié)果分為四類：每天運動時間t≤20分鐘的學(xué)生記為A類，20分鐘＜t≤40分鐘記為B類，40分鐘＜t≤60分鐘記為C類，t＞60分鐘記為D類．收集的數(shù)據(jù)繪制如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（Ⅰ）這次共抽取了50名學(xué)生進行調(diào)查統(tǒng)計，抽查的學(xué)生每天的運動時間的中位數(shù)落類；（Ⅱ）將條形統(tǒng)計圖補充完整，并求扇形統(tǒng)計圖中D類所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；（Ⅲ）學(xué)校要求學(xué)生在家主動鍛煉身體的時間必須超過20分鐘才能達標(biāo)，若該校共有3000名學(xué)生，請你估計該校達標(biāo)學(xué)生約有多少人？解：（Ⅰ）這次共抽取了15÷30%＝50名學(xué)生進行調(diào)查統(tǒng)計，抽查的學(xué)生每天的運動時間的中位數(shù)落B類，故答案為：50，B；（Ⅱ）D類有學(xué)生：50﹣15﹣22﹣8＝5（人），補充完整的條形統(tǒng)計圖如圖所示，扇形統(tǒng)計圖中D類所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是：360°×＝36°；（Ⅲ）3000×＝2100（人），因此該校達標(biāo)學(xué)生約為2100人．19．設(shè)△ABC是銳角三角形，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c，并且（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）＝sin（﹣B）sin（+B）．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若?＝12，a＝2，求b，c（其中b＜c）．解：（Ⅰ）（sinA﹣sinB）（sinA+sinB）＝sin（﹣B）sin（+B）．可得：＝，∴，∴．…（Ⅱ），∴bc＝24，又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，∴b+c＝10，∵b＜c，∴b＝4，c＝6．…20．用分層隨機抽樣從某校高一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)期末成績（滿分為100分，成績都是整數(shù)）中抽取一個樣本量為100的樣本，其中男生成績數(shù)據(jù)40個，女生成績數(shù)據(jù)60個，再將40個男生成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）估計男生成績樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；（Ⅱ）在區(qū)間[40，50）和[90，100]內(nèi)的兩組男生成績樣本數(shù)據(jù)中，隨機抽取兩個進行調(diào)查，求調(diào)查對象來自不同分組的概率；（Ⅲ）已知男生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75，女生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為73.5和119，求總樣本的平均數(shù)和方差．解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，在[40，80）內(nèi)的成績占比為70%，在[40，90）內(nèi)的成績占比為95%，因此第80百分位數(shù)一定位于[80，90）內(nèi)．因為80+10×＝84，所以估計男生成績樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約是84．（Ⅱ）在區(qū)間[40，50）和[90，100]內(nèi)的男生成績樣本數(shù)據(jù)分別有4個和2個，則在這6個數(shù)據(jù)中隨機抽取兩個的樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)為n（Ω）＝5+4+3+2+1＝15．記事件A＝“調(diào)查對象來自不同分組”，則事件A包含的樣本點個數(shù)為n（A）＝4×2＝8，所以P（A）＝＝．（Ⅲ）設(shè)男生成績樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，…，x40，其平均數(shù)為＝71，方差為＝187.75；女生成績樣本數(shù)據(jù)為y1，y2，…，y60，其平均數(shù)為＝73.5，方差為＝119；總樣本的平均數(shù)為，方差為s2．由按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，得＝+＝72.5．因為s2＝[（xi﹣）2+（yj﹣）2]＝[（xi﹣+﹣）2+（yj﹣+﹣）2]，又2（xi﹣）（﹣）＝2（﹣）（（xi﹣））＝2（﹣）（xi﹣40）＝0，同理2（yj﹣）（﹣）＝0，所以s2＝[（xi﹣）2+（﹣）2+（yj﹣）2+（﹣）2]＝{40[+（﹣）2]+60[+（﹣）2]}＝{40[187.75+（71﹣72.5）2]+60[119+（73.5﹣72.5）2]}＝148．所以總樣本的平均數(shù)和方差分別為72.5和148．21．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形BCC1B1是正方形，二面用A﹣BC﹣B1為直二面角，∠ABC＝90°．（1）求證：BC1⊥A1C；（2）若B