高等數(shù)學(xué)課件：第7章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用7

1小結(jié)思考題作業(yè)空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線第七節(jié)微分法在幾何上的

應(yīng)用第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2設(shè)空間曲線的方程(1)式中三個函數(shù)均可導(dǎo)，不同時為零.

1.空間曲線的方程為參數(shù)方程一、空間曲線的切線與法平面微分法在幾何上的應(yīng)用3考察割線趨近于極限位置——上式分母同除以割線的方程為切線的過程微分法在幾何上的應(yīng)用4曲線在M處的切線方程切向量切線的方向向量稱為曲線的切向量.微分法在幾何上的應(yīng)用引入記法方向數(shù)5法平面過M點且與切線垂直的平面.微分法在幾何上的應(yīng)用也是切線的一組方向數(shù)，從而切向量的方向余弦為6切線方程法平面方程例微分法在幾何上的應(yīng)用7設(shè)曲線直角坐標(biāo)方程為法平面方程為2.空間曲線的方程為曲線的參數(shù)方程是由前面得到的結(jié)果,在M(x0,y0,z0)處,令切線方程為x為參數(shù),兩個柱面的交線微分法在幾何上的應(yīng)用8例在拋物柱面與的交線上,

求對應(yīng)的點處的切向量.x為參數(shù),于是解所以交線上與對應(yīng)點的切向量為:交線的參數(shù)方程為取微分法在幾何上的應(yīng)用9設(shè)空間曲線方程為3.空間曲線的方程為確定了隱函數(shù)(此曲線方程仍可用方程組

兩邊分別對表示.)x求全導(dǎo)數(shù):兩個曲面的交線微分法在幾何上的應(yīng)用10

利用2.結(jié)果,

微分法在幾何上的應(yīng)用11法平面方程為切線方程為在點

M(x0,y0,z0)處的微分法在幾何上的應(yīng)用12解例

切線方程和法平面方程.法一

直接用公式;令微分法在幾何上的應(yīng)用13法平面方程切線方程微分法在幾何上的應(yīng)用14切線方程法二

將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)

切線方程和法平面方程.法平面方程微分法在幾何上的應(yīng)用想想還有其它方法嗎？15設(shè)曲線思考證

因原點即于是證明此曲線必在以原點為的法平面都過原點,在任一點中心的某球面上.曲線過該點的法平面方程為故有微分法在幾何上的應(yīng)用

在法平面上,任取曲線上一點16

今在曲面Σ上任取一條1.設(shè)曲面Σ的方程為的情形隱式方程二、曲面的切平面與法線微分法在幾何上的應(yīng)用過點M的曲線Γ,設(shè)其參數(shù)方程為17微分法在幾何上的應(yīng)用

則※式可改寫成即向量垂直.※18曲面Σ在點M的微分法在幾何上的應(yīng)用法線,向量稱為曲法向量.切平面,曲面Σ在點M的面Σ在點M的19曲面在M(x0,

y0,

z0)處的法向量:微分法在幾何上的應(yīng)用切平面方程為法線方程為所以曲面Σ上在點M的20解令切平面方程法線方程

例∥切平面方程為法線方程為曲面在M處的法向量:微分法在幾何上的應(yīng)用212.曲面方程形為的情形曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令或顯式方程微分法在幾何上的應(yīng)用22因為曲面在M處的切平面方程:全微分的幾何意義表示切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量.切平面上點的豎坐標(biāo)的增量微分法在幾何上的應(yīng)用23其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它與z軸的正向所成的角是銳角,則法向量的方向余弦為微分法在幾何上的應(yīng)用鈍角！24因為(第三個分量為負(fù)),思考

求旋轉(zhuǎn)拋物面在任意點P(x,y,z)處向上的法向量(即與z軸夾角為銳角的法向量).解而為向下的法向量故向上的法向量應(yīng)為:微分法在幾何上的應(yīng)用25令∥

解

切線方程和法平面方程.應(yīng)同時垂直于分析曲線在點處切線向量s微分法在幾何上的應(yīng)用當(dāng)空間曲線方程為一般式時,求切向量曾采用了推導(dǎo)法.現(xiàn)采用向量代數(shù)法求切向量例26∥令∥

切線方程和法平面方程.微分法在幾何上的應(yīng)用27

例

證過直線L的平面束方程為即其法向量為微分法在幾何上的應(yīng)用求過直線L且與曲面相切之切平面方程.28設(shè)曲面與切平面的切點為則過直線L的平面束方程其法向量為因而微分法在幾何上的應(yīng)用29過直線L的平面束方程為故所求切平面方程為或即或微分法在幾何上的應(yīng)用30因為曲面在M處的切平面方程:全微分的幾何意義表示切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量.切平面上點的豎坐標(biāo)的增量微分法在幾何上的應(yīng)用31空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線微分法在幾何上的應(yīng)用三、小結(jié)(空間曲線三種不同形式方程的切線與法平面的求法