交通問題中的數(shù)學(xué)模型的分類與研究

PAGE目錄摘要： 1關(guān)鍵詞： 1引言 1一、交通問題中數(shù)學(xué)模型的分類 11、數(shù)學(xué)微分模型 11.1交通流的基本函數(shù)： 21.2連續(xù)交通流方程： 31.3間斷交通流方程 51.4應(yīng)用范圍： 61.5模型優(yōu)缺點： 62、動力學(xué)模型 62.1動力學(xué)交通流模型研究進(jìn)展 62.2交通流的流體力學(xué)模型 72.3交通流的氣體動力論模型 72.4交通流的跟馳模型 82.5元胞自動機(jī)模型 10二、基于元胞自動機(jī)理論模型及其模擬研究 121、交通流元胞自動機(jī)模型概述 121.1一維交通流元胞自動機(jī)模型 131.11NS模型及其改進(jìn)模型 131.12FI模型 172、交通流元胞自動機(jī)模擬 182.1元胞參數(shù)定義 182.2元胞自動機(jī)規(guī)則 192.3數(shù)值模擬 202.4結(jié)果分析 232.5結(jié)論 24三、小結(jié) 24四、參考文獻(xiàn) 25PAGE26交通問題中的數(shù)學(xué)模型的分類與研究陳明春（新疆石河子大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系新疆832000）摘要：本課題對以往交通問題中的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分類總結(jié)，然后著重分析每種方法比如動力學(xué)模型等模型的使用范圍以及相應(yīng)的缺陷，并且在各種方法總結(jié)比較中，挑選動力學(xué)模型中元胞自動機(jī)模型進(jìn)行使用，把車輛在路段上運(yùn)動的變化規(guī)律表述為元胞自動機(jī)的演變規(guī)則，建立基于元胞自動機(jī)理論的交通流模擬模型。標(biāo)定了元胞長度和最大速度等參數(shù)，繼而提出反映車輛在路段上自由行駛、跟馳行駛和減速行駛等交通行為的元胞自動機(jī)規(guī)則。關(guān)鍵詞：交通流數(shù)學(xué)模型分類元胞自動機(jī)引言：隨著我國改革開放的不斷深入，城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)的進(jìn)一步繁榮，城市規(guī)模的日益擴(kuò)大，城市交通中的各種機(jī)動車輛和非機(jī)動車輛數(shù)量迅速增加，從而使城市道路更為擁擠和難以管理，交通堵塞和擁擠嚴(yán)重、城市公共交通發(fā)展較慢，公交工具數(shù)量不足，結(jié)構(gòu)單一，運(yùn)營效率和效益低、交通管理設(shè)施、技術(shù)差，從而導(dǎo)致交通問題屢見不鮮。因此，研究城市交通問題能幫助我們深入分析城市交通系統(tǒng)中交通需求與交通供給之間的內(nèi)在作用規(guī)律，探究新的解決途徑，為城市交通的良好運(yùn)作與人們安全出行提供必要的理論保證。一、交通問題中數(shù)學(xué)模型的分類1、數(shù)學(xué)微分模型微分模型也是研究交通問題的一類重要方法，它以微積分學(xué)為基礎(chǔ)，把車輛看成連續(xù)的質(zhì)點，建立連續(xù)的交通流模型。下面以紅綠燈下的交通流模型為例介紹數(shù)學(xué)微分模型。各種類型的汽車一輛接著一輛沿著公路飛馳而過，其情景就像湍急的河流中奔騰的流水一樣。在這種情況下，很難分析每輛汽車的運(yùn)動規(guī)律，而是把車輛對看作連續(xù)的流體，稱為交通流。研究每一時刻通過公路上每一點的交通流的流量、速度和密度等變量間的關(guān)系。1.1交通流的基本函數(shù)：研究對象是無窮長公路上沿單向流動的一條車流。假定不允許超車，公路上也沒有岔道，即汽車不會從其他通道進(jìn)入或駛出。在公路上選定一個坐標(biāo)原點，記作。以車流運(yùn)動方向作為軸的正向，于是公路上任一點用坐標(biāo)表示。對于每一時刻和每一點，引入3個基本函數(shù)：流量時刻單位時間內(nèi)通過點的車輛數(shù)；密度時刻點處單位長度內(nèi)的車輛數(shù)；速度時刻通過點的車流速度。將交通流視為一維流體場，這些函數(shù)可以類比作流體的流量、密度和速度。這里的速度不表示固定的哪一輛汽車的速度。3個基本函數(shù)之間存在著密切關(guān)系。首先可以知道，單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)等于單位長度內(nèi)的車輛數(shù)與車流速度的乘積，即（1）其次，車流速度總是隨著車流密度的增加而減小的。當(dāng)一輛汽車前面沒有車輛時，它將以最大速度行駛，可以描述為時（最大值）；當(dāng)車隊首尾相接造成堵塞時，車輛無法前進(jìn)，可記為（最大值）時。如果簡化假設(shè)是的線性函數(shù)，則有：（2）再由可得：（3）表明流量隨車輛密度的增加先增后減，在處達(dá)到最大值。流量流量與密度的關(guān)系其中（2），（3）式是在平衡狀態(tài)下，和之間的關(guān)系，即假定所有車輛的速度相同，公路上各處的車流密度相同。1.2連續(xù)交通流方程：將交通流類比于流體，假定和都是和的連續(xù)、可微函數(shù)，并滿足解析運(yùn)算所需要的性質(zhì)，下面根據(jù)守恒原理導(dǎo)出這些函數(shù)滿足的方程。由積分知道，時刻，區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)為，單位時間內(nèi)通過，點的流量和之差等于車輛數(shù)的變化率，即：（4）這是交通流的積分形式，它并不需要函數(shù)對的連續(xù)性。在關(guān)于和的解析性質(zhì)的假定下，（4）式的左右端可分別記作所以（4）式化為：由于區(qū)間是任意的，所以有：（5）這就是連續(xù)交通流方程。當(dāng)把表示為的已知函數(shù)時（如（3）式），導(dǎo)數(shù)也是已知函數(shù)，記作，于是按照求導(dǎo)法則有這樣，方程(5)可以寫成：（6）其中是初始密度。方程（6）的解描述了任意時刻公路上各處的車流分布情況，再由即可得到流量函數(shù)。（6）式是一階擬線性偏微分方程，用特征方程和首次積分法求解得到結(jié)果：（7）（8）容易驗證（7），（8）滿足方程（6）。等式對求導(dǎo)有：（9）等式對求導(dǎo)有：，將（7）式代入得到。這個結(jié)果代入（9）式就是方程（6）。那么（7），（8）滿足初始條件則是顯然的。方程（6）的特征線方程（6）的解（7），（8）有著明顯的幾何意義，在平面上（8）式表示一族直線，它與軸的交點坐標(biāo)為，斜率為（對的斜率），當(dāng)函數(shù)給定后，隨著改變。這族直線成為方程的特征線。則（7）式表明，沿每一條特征線車流密度是常數(shù)，當(dāng)然在不同特征線上隨著不同而不同。方程（6）的特征線1.3間斷交通流方程當(dāng)密度函數(shù)出現(xiàn)間斷時，是具有實際意義的也是常見的一種情況。一連串的間斷點在平面上構(gòu)成一條孤立的、連續(xù)的間斷線，記作并假定它是可微的。在任意時刻，在軸上是孤立的，取區(qū)間，使。在內(nèi)交通流方程的積分形式（4）仍然成立。將分為兩個區(qū)間和，在每個區(qū)間內(nèi)是連續(xù)、可微的，于是有：其中和分別表大于示從小于和一側(cè)趨向時的極限值。在這種趨向下和的極限值記作：和在間斷點處的跳越值記作：如圖所示：當(dāng)時（11）式中的=0，=0。利用（12），（13）式的記號立即得到或者記作：在處間斷這就是間斷線應(yīng)滿足的方程，其中和可以用連續(xù)交通流方程得到的和在間斷點處取極限值算出。在處間斷1.4應(yīng)用范圍：該模型適用于研究一維單車道交通流，即研究對象是無窮長公路上沿單向流動的一條車流，并且前提條件是不允許超車，公路上沒有岔道，汽車不會從其他通道進(jìn)入或駛出。1.5模型優(yōu)缺點：該模型按照守恒關(guān)系建立微分交通流模型，利用特征線求解，能夠合理的解釋很多交通流中出現(xiàn)的現(xiàn)象。同時，該模型利用間斷線的研究方法，能夠很好的研究解決紅綠燈信號以及類似于紅綠燈信號模型出現(xiàn)的情況。2、動力學(xué)模型動力學(xué)模型是研究現(xiàn)代交通問題的主要方法之一，它主要是以元胞自動機(jī)（CA）為動態(tài)模型，建立一種適合普遍的交通問題的數(shù)學(xué)建模方法。交通問題中的研究對象如車輛和人都是不連續(xù)的，車流運(yùn)動也有很大的隨機(jī)性和不確定性，用非線性的離散模型來刻劃交通現(xiàn)象，這在交通研究的方法上是一個創(chuàng)新。模擬的基本思想是將路面格子化，每個格子視為有獨立思維的小元胞，若干個小元胞對應(yīng)一輛或幾輛小汽車，把車輛在路面上的運(yùn)動看成是格子場的演變，元胞可以像小汽車一樣通過觀察周圍環(huán)境的變化來決定下一步的運(yùn)動狀態(tài)，凡車輛應(yīng)遵守的交通規(guī)則都表述為元胞的演變規(guī)則，車輛行駛的加速、減速、慣性、跟馳等均可以通過元胞的速度變化規(guī)則來詳細(xì)刻劃，從而把交通流的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為元胞的演變規(guī)則加以研究。2.1動力學(xué)交通流模型研究進(jìn)展動力學(xué)交通流模型的發(fā)展是伴隨著汽車工業(yè)和交通需求的迅速增長而發(fā)展起來的。上個世界30年代，J.P.Kinzer首次將泊松分布應(yīng)用于交通流；50年代初，L。A。Pipes首次提出跟馳模型；1955年，M.J.Lighthill，J.B.Whitbam以及P.I.Richards各自獨立的提出了交通流力體模型，簡稱LWR模型。20世紀(jì)70年代，H.J.Payne提出了交通動量方程和連續(xù)性方程構(gòu)成的交通流動力學(xué)高階模型；與此同時，著名的物理學(xué)家I.Prigogine和R.Herman運(yùn)用氣體動理論提出了交通流氣體動理論模型。在非線性科學(xué)和復(fù)雜科學(xué)的推動下，K。Nagel和M。Schreckenberg提出了一維元胞自動機(jī)交通流模型，簡稱NS模型；后來，O.Biham，A.Aiddleton和D.Levine提出了二維的元胞自動機(jī)交通流模型，簡稱BML模型。概括起來，目前，關(guān)于動力學(xué)交通流模型的研究主要分為三大類型：基于連續(xù)性描述的流體力學(xué)模型、基于概率統(tǒng)計描述的氣體動力論模型、基于微觀離散描述的跟馳模型以及元胞自動機(jī)模型。2.2交通流的流體力學(xué)模型交通流的流體力學(xué)模型將交通流視為由大量車輛組成的可壓縮連續(xù)流體介質(zhì)，力圖以車輛的平均密度，平均速度，交通流量等宏觀量來刻畫車輛的平均合作行為。流體力學(xué)模型在推動交通流理論的發(fā)展過程匯總，起著非常重要的作用，其中重要的模型有LWR模型、Payne模型等。LWR模型描述了“交通激波”現(xiàn)象，也就是交通過程只能給形成的車輛密度的不連續(xù)性和由此行程的交通阻塞，以及交通阻塞的消散過程。但是，LWR模型假設(shè)了速度、密度之間始終滿則平衡關(guān)系，因此該模型不適用于描述本質(zhì)上處于非平衡態(tài)的交通現(xiàn)象，例如存在車輛上下、下砸到的交通，時停時走的“幽靈式”交通阻塞，交通遲滯等。延續(xù)LWR模型的思想，并考慮交通流速度動態(tài)變化，在引用連續(xù)性方程的同時，引進(jìn)動力學(xué)方程，Payne建立了如下兩個方程構(gòu)成的高階連續(xù)模型—Payne模型：（1）（2）（2）式的右邊第一項為期望項，為期望指數(shù)，反映駕駛員對前方交通狀態(tài)改變的反應(yīng)過程；第二項式馳豫項，描述車輛速度在弛豫時間內(nèi)向平衡速度的調(diào)整；最優(yōu)速度函數(shù)和其他參數(shù)一般通過對所考察的道路實測和參數(shù)辨識來確定。模型優(yōu)缺點：Payne模型允許速度偏離平衡速度密度關(guān)系，較之LWR模型能更準(zhǔn)確地描述實際車流，即可描述諸如交通激波形成以及阻塞消散，又能夠分析任意小擾動引起的交通失穩(wěn)、交通遲滯、時停時走的交通形成現(xiàn)象等等。2.3交通流的氣體動力論模型著名的物理學(xué)家Prigogine和著名的交通流專家Herman在研究交通流時認(rèn)為不能忽略車輛的個體行為對交通流的影響，個體行為不同會帶來不同的集體運(yùn)動行為。如果把每一輛車用一個粒子來表示，那么交通流就被視為由許多相互作用的粒子構(gòu)成的氣體。借鑒于氣體運(yùn)動的統(tǒng)計物理描述辦法，引入粒子分布函數(shù)，建立類似的Boltzmann方程。通過對Boltzmann方程逐級求解，就可以得到宏觀交通流的連續(xù)模型。最初的Prigogine-Herman模型得到的很多交通性質(zhì)與實測結(jié)果不相吻合，因此，在此模型的基礎(chǔ)上，先后提出了許多改進(jìn)模型，其中Helbing模型最為成功。Helbing在考慮了車輛的加速和相互作用機(jī)制后，將描述車輛運(yùn)動狀態(tài)的粒子分布函數(shù)所遵守的Boltzmann方程改寫為其中，是兩輛車輛的速度，是車輛的期望速度，為擴(kuò)散函數(shù)，為超車概率，是與密度有關(guān)的因子。是車輛之間的作用函數(shù)。通過對上式方程求矩得到：其中，是交通壓力，定義為：是速度方差，是車輛在馳騁時間內(nèi)趨近的動態(tài)平衡速度。與其他模型相比，Helbing模型動態(tài)平衡速度與安全距離之間相互點的密度和速度有關(guān)，表示為：模型優(yōu)缺點：Helbing模型的數(shù)值模擬表明該模型能夠描述由匝道引起的各種交通狀態(tài)和交通相變，不僅能準(zhǔn)確地解釋“幽靈式的交通阻塞”，而且還能解釋時停時走交通引起的堆集形成以及同步交通等非線性動態(tài)現(xiàn)象。模型應(yīng)用：以Helbing模型為基礎(chǔ)研制的交通軟件包MAS-TER具有計算速度快、魯棒性強(qiáng)的特點，可以實時仿真幾千里長的高速公路交通。2.4交通流的跟馳模型跟馳模型中將交通流處理為分散的粒子組成，以單個車輛作為描述對象，通過研究單個車輛的前后作用，來了解交通流的特性。從力學(xué)觀點來看，它實際上是一種質(zhì)點系動力學(xué)模型，假設(shè)車隊中的每一輛車必須與前車保持一定的間距以免發(fā)生碰撞，后車的加速或減速取決于前車?？紤]車輛對刺激的反應(yīng)滯后效應(yīng)以及車輛運(yùn)動的隨機(jī)性，每輛車的運(yùn)動規(guī)律可以通過如下類型的微分方程來描述：其中車距為，相對速度(速度差)為、。跟馳模型就是通過求解這類微分方程來確定車流的演化。實測數(shù)據(jù)表明，駕駛員對前方車距變化會發(fā)生延遲的反應(yīng)從而產(chǎn)生小擾動，小擾動沿車流上游傳播，經(jīng)過一定程度的放大后，引起暢行車輛的不穩(wěn)定，這個不穩(wěn)定性造成交通“擠壓”，導(dǎo)致局部區(qū)域車輛密集，阻塞相就此形成。因此，分析跟馳模型的穩(wěn)定性條件是相當(dāng)重要的。目前，跟馳模型研究的主要熱點集中在基于Bando等人提出的優(yōu)化速度模型上，該模型的一般形式其中是猶豫時間，優(yōu)化速度可取多種形式。其中最常用的一種形式為：是車輛行駛的最大速度，是車輛之間安全距離。當(dāng)時，以避免車輛碰撞；當(dāng)時，，即車輛暢行，不會發(fā)生相互作用；該模型的穩(wěn)定性條件是Bando等人研究了周期邊界條件下，車流的動力學(xué)行為，結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)交通流處于不穩(wěn)定狀態(tài)時，會出現(xiàn)時停時走現(xiàn)象，在系統(tǒng)的時空演化圖上交替地出現(xiàn)高密度和低密度的區(qū)域。取上述優(yōu)化速度時，交通流演化過程中會出現(xiàn)三個不同的區(qū)域：穩(wěn)定區(qū)域、亞穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域，分別對應(yīng)Burgers方程描述的密度波，類似KdV方程所描述的孤立波和交通阻塞所呈現(xiàn)的扭結(jié)一反扭結(jié)(kink-antikink)密度波。與實測數(shù)據(jù)比較，優(yōu)化速度模型的結(jié)果與實際交通相當(dāng)符合，但是，最近實測數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化速度函數(shù)與交通狀態(tài)有關(guān)，此外，加速過程與減速過程的對稱性不能自動地避免車輛碰撞。鑒于優(yōu)化速度模型沒有包含對相對速度效應(yīng)，特別是快速車接近慢速車時就會發(fā)生追尾而引起事故，Treiber等人提出了智能駕駛模型：該模型考慮在暢通運(yùn)行狀態(tài)的加速趨勢：以及第輛車接近前輛車的減速趨勢：其中為前車與后車的速度差（接近速度），為車間距，是期望最小間距，與實際間距的關(guān)系為：它隨著速度和接近速率變化而變化，為阻塞距離。模型優(yōu)缺點：利用智能駕駛模型進(jìn)行數(shù)值模擬得到的結(jié)果與氣體動理論的Helbing模型的結(jié)果一致，能夠再現(xiàn)復(fù)雜的交通行為。實際上，可以從智能駕駛模型出發(fā)推導(dǎo)出宏觀的連續(xù)模型—Helbing模型。2.5元胞自動機(jī)模型傳統(tǒng)的交通流模型如流體力學(xué)模型、氣體動力學(xué)模型、跟馳模型等在理論研究和實際應(yīng)用中發(fā)揮了重要作用。然而由于交通流在時間、空間上具有高度的隨機(jī)性、動態(tài)性和復(fù)雜性，交通系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的非線性特征。實證研究表明，交通流存在三相：自由流(freeflow)、大范圍移動阻塞(widemovingjams)和同步流(synchronizedflow)，還有一些“異?！爆F(xiàn)象，如亞穩(wěn)態(tài)(meta-stablestates)、滯回效應(yīng)(hysteresiseffect)、排隊消散(platoondispersion)等，傳統(tǒng)模型對此難以解釋。另一方面，真實交通系統(tǒng)一般路網(wǎng)規(guī)模巨大，道路使用者眾多，傳統(tǒng)的微觀仿真方法面臨著計算資源約束，要求有結(jié)構(gòu)簡單、計算迅速的交通流模型。目前基于元胞自動機(jī)(CellularAutomata，CA)的交通流模型取得了很大進(jìn)展。CA是研究系統(tǒng)復(fù)雜性的重要工具，在很多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，Cremer等最早用CA思想對交通流進(jìn)行了研究。雖然CA模型微觀上的規(guī)則簡單、不太真實，但從統(tǒng)計物理的角度看，可以再現(xiàn)系統(tǒng)的宏觀特性，一般其看作“最小化”的系統(tǒng)，用來揭示系統(tǒng)的本質(zhì)規(guī)律。另外，CA時間、空間、狀態(tài)變量均離散，元胞狀態(tài)并行局部更新，適合計算機(jī)模擬，能夠?qū)崿F(xiàn)大規(guī)模路網(wǎng)的快速計算。交通流元胞自動機(jī)模型的出現(xiàn)和發(fā)展為交通流理論研究提供了一種新的方向。交通流元胞自動機(jī)((CellularAutomata，簡稱CA)是一時間和空間都離散的動力系統(tǒng)。散布在規(guī)則格網(wǎng)中的每一元胞取有限的離散狀態(tài)，遵循同樣的作用規(guī)則，依據(jù)確定的局部規(guī)則作同步更新。（1）元胞自動機(jī)定義元胞自動機(jī)的嚴(yán)格定義為：A、規(guī)整的元胞網(wǎng)格覆蓋d維空間的一部分；B、歸屬于網(wǎng)格的每個格位r的一組布爾變量。給出每個元胞在時間的局部狀態(tài)；C：演化規(guī)則按下列方式指定狀態(tài)的時間演化過程：，式中指定從屬于元胞的給定鄰居元胞。從定義中可知，演化規(guī)則R對所有格位都是同一的，且同時應(yīng)用于他們中的每個元胞，由此得到同步動力學(xué)。同時，時間的狀態(tài)只隨時間t的狀態(tài)而變化，這就要求對狀態(tài)進(jìn)行長期記憶，并引入對時間等的狀態(tài)的相依性。（2）元胞的鄰居在元胞自動機(jī)中，每個元胞下一時刻的狀態(tài)都取決于其本身的狀態(tài)和元胞鄰居的狀態(tài)。在網(wǎng)格上，每個元胞的鄰居的大小是一樣的。最簡單的情況即一維網(wǎng)格，鄰居由元胞本身加上它的臨近元胞構(gòu)成；在二維網(wǎng)格中，有幾種可能性：除元胞本身外，東、南、西、北四個近鄰元胞，或是上面的五個元胞和東北、東南、西南、西北四個對角線元胞(Mare鄰居)。推算可知，當(dāng)元胞空間維數(shù)增加時，一個元胞的直接鄰居數(shù)目是成指數(shù)增長，描述了兩種鄰居的例子：兩種常見的二維元胞自動機(jī)鄰居兩種常見的二維元胞自動機(jī)鄰居（3）邊界條件可以想見，一個無限網(wǎng)格的系統(tǒng)的演化是不可能進(jìn)行模擬處理的。也就是說，元胞自動機(jī)系統(tǒng)必須是有限的，有邊界的。目前常用的邊界是由擴(kuò)展鄰居的方法獲得的，有四種情況如下：ba周期邊界周期邊界b1a固定邊界固定邊界aa絕熱邊界絕熱邊界ba映射邊界b映射邊界（4）規(guī)則每個元寶在確定的時間有兩種可能的狀態(tài)，即或1（代表元胞），則時間的狀態(tài)只決定于時間的三元組：。由此三元組合可以計算出元胞自動機(jī)規(guī)則由256種。二、基于元胞自動機(jī)理論模型及其模擬研究1、交通流元胞自動機(jī)模型概述隨著我國經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，私家車和城市汽車保有量迅猛增長，城市交通擁堵現(xiàn)象日益嚴(yán)重，從而引起了人們的極大關(guān)注。如何描述城市交通的規(guī)律，充分利用交通資源，以科學(xué)理論指導(dǎo)交通系統(tǒng)的發(fā)展和改善，己迫在眉睫。在交通工程領(lǐng)域，描述交通特性的方法主要有概率論方法、交通流體動力學(xué)、車輛跟馳理論和元胞自動機(jī)模型等。交通流元胞自動機(jī)模型是20世紀(jì)90年代發(fā)展起來的交通流新動力學(xué)方法。交通流元胞自動機(jī)由元胞、元胞的狀態(tài)空間、鄰居及局部規(guī)則四部分組成。（1）元胞和元胞空間元胞又可稱為基元，是元胞自動機(jī)的最基本的組成部分，分布在離散的一維或二維空間的格點上；（2）狀態(tài)取值于一個有限的離散集，交通流元胞自動機(jī)的元胞只能有一個狀態(tài)變量；（3）鄰居在給出規(guī)則之前，必須定義一定的鄰居規(guī)則，明確哪些元胞屬于該元胞的鄰居；（4）規(guī)則根據(jù)元胞當(dāng)前狀態(tài)以及鄰居狀況確定下一時刻該元胞狀態(tài)的函數(shù)，也稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)。交通流元胞自動機(jī)是由分布在規(guī)則網(wǎng)格中的每一個元胞取有限的離散狀態(tài)，遵循確定的規(guī)則做出同步更新，即大量元胞通過簡單的局部相互作用而構(gòu)成的動力系統(tǒng)。不同于一般的動力學(xué)模型，交通流元胞自動機(jī)不是由嚴(yán)格的物理方程確定，而是通過構(gòu)造一系列模型的規(guī)則來實現(xiàn)的，這恰恰增強(qiáng)了其表達(dá)復(fù)雜關(guān)系的能力，為其在復(fù)雜的交通流領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。1.1一維交通流元胞自動機(jī)模型最早的一維交通流元胞自動機(jī)模型采用一維格點鏈上的粒子來模擬公路上的車輛。所有的車輛的行進(jìn)方向都相同。在每一個時步，若某車前方是空的，則它可以向前行進(jìn)一步。否則它就在原地不動，即使前方的車輛在此時步中離開。整個系統(tǒng)采用周期邊界條件以保持車輛數(shù)守恒。圖3-3為兩次時步演化圖。一維交通流元胞自動機(jī)模型忽略了十字路口，交通燈和交叉口方向上車輛的影響，強(qiáng)調(diào)了同一路段上同方向車輛的相互作用。這種模型適合與模擬高速公路或城市交通環(huán)線上的交通流。常用的一維元胞自動機(jī)模型為NS和FI模型及其以兩種模型為基礎(chǔ)的改進(jìn)模型。1.11NS模型及其改進(jìn)模型NS模型是典型的一維單車道交通流CA模型，適用于模擬高速公路交通流。與早期的交通流CA模型相比，該模型的模擬結(jié)果與實際觀測結(jié)果較為吻合，因此得到了普遍應(yīng)用。（1）模型簡介該模型用一個一維點陣代表一條單車道，即將所研究的單車道分成n個長度為L的小路段(元胞)，點陣中每個位置代表一個元胞，每個位置或空閑或容納一輛車。定義元胞長度L為道路阻塞時的平均車頭間距；車輛速度的取值范圍為元胞長度/s；時間步長可以認(rèn)為是駕駛員的反應(yīng)時間，通常取1s；每個位置的狀態(tài)有7種，分別為：空閑、該位置車速為0、1、2、3、4和5。在NS模型中，所有車輛的狀態(tài)將同時按照以下4條規(guī)則變化：加速規(guī)則：如果則。減速規(guī)則：，則。隨機(jī)規(guī)則：在概率下，。車輛速度：。這里的是本車與前車之間的空格數(shù)，表示車輛的位置。因為s，所以。在該模型中，加速規(guī)則反映了駕駛員將逐步使車輛加速到最大速度；減速規(guī)則反映了駕駛員為避免與前車發(fā)上碰撞而采取的減速措施；隨機(jī)規(guī)則反映了駕駛員運(yùn)動行為的不確定性；在NS模型中，隨機(jī)減速概率是一個重要參數(shù)，當(dāng)時，NS模型就是一個確定型CA模型。模型優(yōu)缺點：從模擬結(jié)果看，NS模型很好地反映了車流運(yùn)動的宏觀特性，主要表現(xiàn)在：(1)呈現(xiàn)起動-停車波現(xiàn)象，即在空間-時間圖上，可以清晰地看到車流逐漸由低密度下暢行到高密度下?lián)頂D的運(yùn)動過程，形象地表現(xiàn)出車流運(yùn)動象波一樣在車隊中傳播的景象；(2)模擬得到了連續(xù)的流量-密度曲線，與實測結(jié)果極為相似，顯示出交通流的兩種狀態(tài)——擁擠狀態(tài)和非擁擠狀態(tài)。NS模型是最簡單的一維交通流CA模型，僅4條規(guī)則就可以表現(xiàn)出交通流的最基本特性。在該模型的基礎(chǔ)上，人們又做了多種改進(jìn)和修正，以期更準(zhǔn)確地反映交通流特性。由NS模型模擬得到的流量-密度曲線是連續(xù)的，然而近幾年來的實驗和研究表明，流量-密度曲線在接近通行能力的地方有明顯的間斷，流量會突然下降，這說明流量-密度曲線具有不連續(xù)性。為此一些學(xué)者對NS模型做了改進(jìn)，并使用統(tǒng)計物理學(xué)中的亞穩(wěn)態(tài)(metastability)和滯后(hysteresis)等概念來解釋這種不連續(xù)現(xiàn)象。研究表明，NS模型中的隨機(jī)概率對交通流狀態(tài)的變化有較大影響，因此在一些改進(jìn)模型中加入了車輛的隨機(jī)加速概率，而且隨機(jī)加速、減速概率將根據(jù)車速的不同而變化，即，這一類模型稱為隨機(jī)概率基于車速的改進(jìn)模型。在這些模型的模擬結(jié)果曲線中，都呈現(xiàn)亞穩(wěn)態(tài)和滯后現(xiàn)象。這一類模型主要有以下幾種。（2）恒速控制模型在恒速控制模型中，車輛在最大速度和其他速度下具有不同的隨機(jī)減速概率。該模型的規(guī)則：（1）加速規(guī)則：如果則。（2）減速規(guī)則：，則。（3），，其中（4）車輛速度：。這就意味著當(dāng)，只要前方有空位，車輛就將以運(yùn)動，而不會像NS模型那樣要在隨機(jī)減速概率影響下以的速度運(yùn)動，因此這種模型被稱為NS模型的恒速控制模型。（3）慢起動模型在通常情況下，車輛從靜止到運(yùn)動需要一個反應(yīng)過程，這個過程稱為慢起動(Slow-to-start)。為了描述慢起動，可以用一個概率來表示駕駛員的反應(yīng)程度和所受到的干擾，它一般應(yīng)大于車輛在運(yùn)動中所受的隨機(jī)影響。因此在慢起動模型中，僅對速度為零的車輛采用慢起動規(guī)則，而對其他速度的車輛均以相同的概率減速。以下是3種不同的慢起動模型。Takaysu和Takaysu最早在元胞自動機(jī)模型中引入慢起動規(guī)則，這種模型稱為TT模型。該模型規(guī)定，速度為零且前方只有一個空格的車輛應(yīng)以一定的概率慢起動，即在加速規(guī)則中如果，那么車速應(yīng)在概率下加1，其余規(guī)則與NS模型相同。因此，由TT模型模擬得出的最大流量將低于NS模型的模擬結(jié)果。Benjamin、Johnson和Hui提出的BJH模型與TT模型相近，都是在車輛的加速規(guī)則中對速度為零的車輛引入慢起動概率，不同的是：在BJH模型中，只有在前一時刻根據(jù)減速規(guī)則已確定速度為零(即在隨機(jī)規(guī)則之前已確定速度為零)的車輛，在本時刻才需要以一定的概率慢起動。Barlovic等人明確提出隨機(jī)減速概率是速度的函數(shù)，即，而且應(yīng)在執(zhí)行規(guī)則(1)之前首先確定這個參數(shù)的值，這種模型稱為VDR模型。VDR模型的規(guī)則：（1）加速規(guī)則：如果則。（2）減速規(guī)則：，則。（3），，其中。（4）車輛速度：。模型優(yōu)缺點：這種慢啟動模型考慮了實際情況下的真實情況，模型模擬結(jié)果將更接近實際情況，并且這種模型說明，在前一時刻中速度為零的車輛在本時刻應(yīng)當(dāng)有更大的隨機(jī)減速概率。（4）考慮前車車速的改進(jìn)模型在NS模型中，車輛的速度只與前后兩車的間距有關(guān)，而與前車車速無關(guān)。當(dāng)車速小于兩車間距時，車輛便立刻減速。在實際行駛中，盡管駕駛員最關(guān)注的是本車與前車的距離，但他也會根據(jù)前車速度來確定自己車輛的速度和加速度。Werth、Froese和Wolf建立了考慮前車車速的改進(jìn)模型(WFW模型)，該模型包含以下5條規(guī)則。（1）加速規(guī)則：。（2）減速規(guī)則：。（3）隨機(jī)規(guī)則：在概率下，。（4）減速規(guī)則：。（5）車輛運(yùn)動：。該模型中有兩個減速規(guī)則，根據(jù)規(guī)則(4)確定的速度可以避免車輛發(fā)生碰撞，但是必須已知下一時刻前車的速度，因此，在該模型中所有車輛的速度并不是同時更新，而是順序更新。模型優(yōu)缺點：在NS模型基礎(chǔ)上，考慮了駕駛員可以根據(jù)前車速度來確定自己車輛的速度和加速度。（5）基于時間的CA模型在實際交通中，駕駛員可以看到前方不止一輛車，駕駛員經(jīng)過綜合判斷后，可以估計出車輛間的車頭時距，并及時對前車的變化作出反應(yīng)。為此，Ning·W對NS模型提出一項改進(jìn)措施：引入一個新的參數(shù)(平均車頭時距)作為速度變化的臨界值，并將描述駕駛行為不確定性的隨機(jī)概率分為加速概率和減速概率兩個參數(shù)，得到了比NS模型更為理想的模擬結(jié)果。其規(guī)則如下：（1）如果且，則在概率下。（2）如果，則。（3）如果且，在在概率下。（4）。使用范圍：該模型適用于在單車道車流量較密集的交通流模擬。模型優(yōu)缺點：對駕駛員的直觀距離判斷能力要求較高，隨機(jī)概率和在不同的情況下具有高度的不確定性，模型的實際研究需要大量的數(shù)據(jù)調(diào)查為依據(jù)，但是模型結(jié)果要較NS模型更為理想。綜上，NS模型給出了基于人類駕駛行為或外部條件改變而引起的正常速度的變化，它描述了駕駛者在加減速度時的反應(yīng)過度，提供了產(chǎn)生自發(fā)性堵塞的關(guān)鍵因素。1.12FI模型FI模型是由日本學(xué)者Fukui和Ishibashi提出的。在FI模型中，演化規(guī)則：（1）如果車輛與前車的間距大于車輛的最大速度，車輛將以最大速度前進(jìn)；即時，；（2）如果車輛與前車的間距小于車輛的最大速度，則車輛的前進(jìn)速度等于。即時，；（3）根據(jù)隨機(jī)減速規(guī)則，表示第輛車的行駛速度，當(dāng)車輛能夠以最大速度前進(jìn)時，它將以概率從減速為。即時，。其中；模型優(yōu)缺點：FI模型與NS模型的區(qū)別在于加速方式和隨機(jī)減速方式不同。在NS模型中，如果車速小于最大速度，車輛在下一時刻的速度最多只能達(dá)到；而在FI模型中，只要車速小于最大速度，則車輛就可能加速到(考慮隨機(jī)規(guī)則)；在NS模型中，所有車輛都可能隨機(jī)減速，而在FI模型中，只有以最大速度行駛的車輛才能減速。2、交通流元胞自動機(jī)模擬2.1元胞參數(shù)定義2.11元胞長度在CA模型中，首先定義一個一維點陣來代表一條單車道，即將所研究的單車道分成n個長度為L的小路段(元胞)，該點陣中每個位置或空閑或容納一輛車。其中，定義元胞長度L是阻塞時的平均車頭間距。。更新的時間步長一般可以認(rèn)為是駕駛員的反應(yīng)時間，一般取。這樣在CA模型中，位移、速度、時間都取整數(shù)，具有離散性。每個位置的狀態(tài)有7種，分別是：位置空閑和該位置處車輛速度分別為0，1，2，3，4，5元胞長度/秒。這樣定義的元胞長度的不足是：由于元胞長度取值偏大，導(dǎo)致車輛運(yùn)動的加速度過大，這樣，車輛在加速時總是以最大加速度加速，而在減速時，又以最大減速度減速。通過縮小元胞長度能夠獲得較小的加速度值?？紤]到城市道路上車輛阻塞密度一般為120125，將元胞長度取為平均車頭間距的1/4(若=125，則平均車頭間距為8)，對城市道路來說一個元胞長度即為2。于是路段上每4個連續(xù)的元胞容納一輛車，在某一時刻，這4個連續(xù)的元胞具有相同的狀態(tài)，即所容納車輛的速度相同。2.12最大速度本模型中的最大速度并不是指車輛所能達(dá)到的最大設(shè)計車速。在城市道路上，出于安全考慮，都規(guī)定了車輛的最大行駛速度，我國城市道路的限速是()。為了減少過程中的問題，本文僅取最大速度為。由于每個元胞長度為，因此在元胞自動機(jī)模型中最大速度將為2.5元胞長度/秒，車速范圍為。2.13最大加速度和最大減速度根據(jù)車輛動力學(xué)原理，車輛在加速和制動過程中，能夠達(dá)到的最大加、減速度主要由道路的路面附著系數(shù)(靜摩擦系數(shù))來決定。在平直、干燥的柏油路面上(路面附著系數(shù)約為)，車輛能夠達(dá)到的最大加、減速度為。根據(jù)前面對元胞長度的取值，相當(dāng)于4元胞長度/秒2，加速度范圍為。2.14更新時間間隔更新時間間隔取為。2.15邊界條件CA模型采用的邊界條件是封閉的道路系統(tǒng)，換句話說道路系統(tǒng)是一個閉環(huán)，即一輛車從路段出口離開，馬上從入口進(jìn)入另一路段。這樣可簡單地將所研究路段上的車輛數(shù)控制在指定的數(shù)量上，來研究某一密度下的交通狀況。該模型可以保證所研究路段的車流模擬穩(wěn)定性，對單車型交通流的研究效果較好，但對于車輛組成復(fù)雜的道路系統(tǒng)，它會造成真實道路系統(tǒng)中車輛類型比例與期望值的較大差異。2.2元胞自動機(jī)規(guī)則在規(guī)則中使用的變量符號定義如下。把一列正在行駛的車輛從小到大排序，第n輛車記為本車，第n-1輛為前車。再假設(shè)在1s內(nèi)車輛的速度是勻速的，而且時間t的取值為整數(shù)秒。記：時刻本車的位置(元胞長度)；：時刻本車的速度(元胞長度/秒)；：時刻本車的加速度(元胞長度/秒2)；：時刻前車的位置(元胞長度)；：時刻前車的速度(元胞長度/秒)；：時刻，本車車頭與前車車尾之間的間隔(元胞長度)，即。為方便起見，本車在時段內(nèi)行駛的距離記為秒=，速度變化記為秒=。道路上所有車輛的狀態(tài)同時按下述的元胞自動機(jī)規(guī)則變化。(1)加速規(guī)則在時刻，若，則車輛加速行駛。其中：如果，則；如果，則；如果，則。(2)減速規(guī)則在時刻，若，則車輛減速行駛。其中：如果，則；如果，則。(3)修正規(guī)則在時刻，已知本車的加速度是，設(shè)前車的加速度是最大減速度(-4)，那么在時刻：如果，則本車的加速度依然??；如果，則本車的加速度取(但不小于-4)，再重新計算和，一直到為止。此時得到的即為修正后本車在時刻的實際加速度值。(4)隨機(jī)規(guī)則在概率下，經(jīng)過修正規(guī)則修正的車輛繼續(xù)減速，其減速增量為，且使修正后的加速度加上不小于最大減速度。(5)前進(jìn)規(guī)則；車輛按元胞自動機(jī)規(guī)則運(yùn)動的程序框圖按照元胞自動機(jī)規(guī)則確定的路段上所有車輛運(yùn)動狀態(tài)的程序框圖如圖所示。車輛按元胞自動機(jī)規(guī)則運(yùn)動的程序框圖2.3數(shù)值模擬用長度L=500的一維離散的格點鏈來表示一條單向車道，根據(jù)上述規(guī)則進(jìn)行數(shù)值模擬，可得到描述交通過程的基本圖，每個元胞的實際長度為2m，則數(shù)值模擬的實際道路長度為1000m，車輛位置隨機(jī)分布在500個一維離散的格點上，邊界條件采用周期性邊界條件，最大速度=5m/sN為分布在格點鏈上的車輛總數(shù)，則：車流密度：；平均速度：；車流量：；數(shù)值模擬時，在模擬運(yùn)行的開始一段時間，車輛的運(yùn)行狀況與車輛的初始分布有很大的關(guān)系，為了消除初始分布和系統(tǒng)暫態(tài)對數(shù)值模擬的影響，將系統(tǒng)運(yùn)行1000步后顯示時間車輛圖形。時間截取步數(shù)為N（車輛數(shù)總數(shù)）。下面是在不同車流密度下的位置時空斑圖：圖圖1不同車流密度位置時空斑圖對比圖在現(xiàn)實情形中，城市長達(dá)500米的道路上基本都有紅綠燈設(shè)置，那么下面模擬在道路上設(shè)置紅綠燈情況下的車流等的位置關(guān)系。在此約定，紅綠燈的位置設(shè)置在道路中間位置，即stop=N/2處，紅燈持續(xù)時間為20秒。規(guī)則不變，通過matlab模擬得到如下的模擬結(jié)果：圖2圖2紅綠燈下不同車流密度對比圖圖3不同圖3不同情形下車流密度對比圖圖圖4不同情形下車流量對比圖2.4結(jié)果分析對比圖1中沒有添加紅綠燈車輛位置—時空演化圖可以發(fā)現(xiàn)，時車輛位置分布比較均勻，車流速度較大，車輛位置與時間具有較好的線性關(guān)系，交通流處于稀薄狀態(tài)；而隨著密度的增大到時，交通流逐漸由稀薄流向稠密流轉(zhuǎn)變，車頭間距越來越小，車輛速度迅速減小，道路通行能力隨之下降，這時車輛已經(jīng)不太可能自由運(yùn)動，有些區(qū)域出現(xiàn)了車輛停滯的堵塞相，呈現(xiàn)了高速公路實際交通流中觀察到的啟動-停車波動現(xiàn)象，車輛位置與時間關(guān)系為非線性關(guān)系，車流也進(jìn)入了時停時走的狀態(tài)，從而導(dǎo)致了交通流量的下降，與實際情況基本相符。對比圖2中添加紅綠燈車輛位置-時空演化圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)密度較小時（），紅綠燈左右側(cè)車輛分布均勻，有較好的線性關(guān)系，并且較之圖1可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)經(jīng)過紅綠燈后車流分布更加趨于線性關(guān)系，車流無任何交通阻塞，極大的改善了交通擁擠現(xiàn)象。同時，當(dāng)車流密度逐漸增大后，盡管有紅燈20s對車速的限制，從時空圖觀察發(fā)現(xiàn)，車輛位置并沒有因此而明顯改善，并且較之圖1中時空斑圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)車流密度較大時，即使在中間位置設(shè)置紅綠燈，對交通改善效果也不是十分明顯。對比圖3中車流密度與車速的演示圖可以發(fā)現(xiàn)，在同等條件下，車流密度逐漸增大，車輛速度就逐漸減小，但并不是簡單的線性變化，從圖中可以發(fā)現(xiàn)明顯的拐點，并且在添加紅綠燈的情形下，這個拐點會提早出現(xiàn)（本模型中無紅綠燈時在時出現(xiàn)，有紅綠燈時在時出現(xiàn)），這也就解釋了安裝紅綠燈后會迫使汽車提前減速，為減少交通安全事故提供的保障。對比圖4車流量--密度關(guān)系圖可以發(fā)現(xiàn)，在正常交通行為前提下，車流量會在某一密度下出現(xiàn)峰值(本模型為與時出現(xiàn)），也就是車流量可以達(dá)到一個最大值，當(dāng)密度繼續(xù)增大后，出現(xiàn)局部阻塞現(xiàn)象，車流量逐漸減小,直至趨近于0，并且從圖中知道，當(dāng)沒有添加紅綠燈時，當(dāng)密度時便出現(xiàn)，當(dāng)密度繼續(xù)增大便發(fā)生交通局部堵塞，交通流急劇下降，嚴(yán)重干擾正常的城市交通行為，而添加紅綠燈后，交通流峰值在左右出現(xiàn)，在一定程度上減緩了交通阻塞的出現(xiàn)，為城市正常的交通行為提供了有利條件。2.5結(jié)論本小節(jié)在基于元胞自動機(jī)NS模型下，，采用周期邊界條件，模擬在道路上適當(dāng)位置添加紅綠燈的城市道路交通流。模擬結(jié)果顯示，在同等交通承載能力下，選擇適當(dāng)位置添加紅綠燈將對交通流產(chǎn)生較大影響，能在一定程度上限制交通事故的發(fā)生，提高城市道路交通行為能力。三、小結(jié)交通問題在數(shù)學(xué)模型中的分類多種多樣，在現(xiàn)實中的應(yīng)用也十分廣泛。不僅有傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)微分非線性模型，經(jīng)典的概率統(tǒng)計模型