新教材高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊 第二章 等式與不等式 教學(xué)課件

2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系P23

2.1.3方程組的解集P462.2.1不等式及其性質(zhì)P742.2.2不等式的解集P1092.2.3一元二次不等式的解法P1352.2.4均值不等式及其應(yīng)用P170第二章等式與不等式2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集2.1.2一元二次方程的知識點一、等式的性質(zhì)與恒等式1.等式的性質(zhì)點析等式性質(zhì)的延伸:①對稱性:等式左右兩邊互換,所得結(jié)果仍是等式,即如果a=b,那么b=a;②傳遞性:如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代換).2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集知識點一、等式的性質(zhì)與恒等式點析等式性質(zhì)的延伸:①對稱性:等2.恒等式一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都成立,則稱其為恒等式,也稱等式兩邊恒等.恒等式是進行代數(shù)變形的依據(jù)之一.(1)平方差公式、兩數(shù)和(差)的平方公式.a2-b2=(a+b)(a-b)(平方差公式)(a+b)2=a2+2ab+b2(兩數(shù)和的平方公式)(a-b)2=a2-2ab+b2(兩數(shù)差的平方公式)2.恒等式(2)“十字相乘法”對任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.可以利用這個恒等式來進行因式分解.給定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,則x2+Cx+D=(x+a)(x+b).為了方便記憶,已知C和D,尋找滿足條件的a和b的過程,通常用右圖表示,其中兩條交叉的線表示對應(yīng)數(shù)相乘后相加要等于C,也正因為如此,這種因式分解的方法被稱為“十字相乘法”.點析運用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)進行因式分解時需滿足的條件:①分解因式的多項式是二次三項式;②二次項系數(shù)是1,常數(shù)項可以分解為兩個數(shù)的積,且一次項系數(shù)是這兩個數(shù)的和.(2)“十字相乘法”點析運用x2+(a+b)x+ab=(x+微思考(1)下列各式是否正確?③若x+a=y-a,則x=y;④若x=y,則ax=by.(2)什么是立方差與立方和公式?提示:(1)①正確;②③④錯誤.(2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).微思考③若x+a=y-a,則x=y;微練習(xí)分解因式:x2+2xy+y2-4=

.

解析:x2+2xy+y2-4=(x+y)2-4=(x+y-2)(x+y+2).答案:(x+y-2)(x+y+2)微練習(xí)知識點二、方程的解集(1)方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.(2)一般地,把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集.微練習(xí)求方程x2-3x+2=0的解集.解:∵x2-3x+2=0,∴(x-1)(x-2)=0,∴x=1或x=2,∴方程的解集為{1,2}.知識點二、方程的解集微練習(xí)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測公式法分解因式例1分解因式:(1)x2-25;(2)a2-6a+9;(3)4m(x-y)-8n(y-x);(4)(a2+4)2-16a2.分析掌握提取公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵.解:(1)x2-25=(x+5)(x-5);(2)a2-6a+9=(a-3)2;(3)4m(x-y)-8n(y-x)=4(x-y)(m+2n);(4)(a2+4)2-16a2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.反思感悟分解因式的常用方法(1)平方差公式法;(2)完全平方公式法;(3)提取公因式法;探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測公式法分解因式反思感悟分解探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1分解因式:(1)8a3b2-12ab3c;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc);(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×6(a+b)+36=(a+b-6)2.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1分解因式:(1)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測十字相乘法分解因式例2把下列各式因式分解.(1)x2+3x+2;(2)6x2-7x-5;(3)5x2+6xy-8y2.解:(1)x2+3x+2=(x+1)(x+2).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測十字相乘法分解因式探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5).(3)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)6x2-7x-5=(探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟十字相乘法分解因式易誤點用十字相乘法分解因式,還要注意避免以下兩種錯誤:一是沒有驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數(shù);二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟十字相乘法分解因式探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2(1)x2+10x+16分解因式為(

)A.(x+2)(x+8) B.(x-2)(x+8)C.(x+2)(x-8) D.(x-2)(x-8)(2)x2-13xy-30y2分解因式為(

)A.(x-3y)(x-10y) B.(x+15y)(x-2y)C.(x+10y)(x+3y) D.(x-15y)(x+2y)(3)6x2-29x+35分解因式為(

)A.(2x-7)(3x-5) B.(3x-7)(2x-5)C.(3x-7)(2x+5) D.(2x-7)(3x+5)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2(1)x2+10探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:(1)x2+10x+16=(x+2)(x+8).(2)x2-13xy-30y2=(x-15y)(x+2y).(3)6x2-29x+35=(3x-7)(2x-5).答案:(1)A

(2)D

(3)B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:(1)x2+10x+探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求方程的解集例3求方程x(x-2)+x-2=0的解集.分析將方程左邊整理化成兩個一次因式乘積的形式,進而求解.解:把方程左邊因式分解,得(x-2)(x+1)=0,從而,得x-2=0或x+1=0,所以x1=2,x2=-1.所以方程的解集為{-1,2}.反思感悟因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是:①將方程右邊的各項移到方程左邊,使方程右邊為0;②將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積的形式;③令每個因式分別為零,得到兩個一元一次方程;④解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求方程的解集探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究請用求根公式求解本例方程的解集.解:原方程可化為x2-x-2=0,∴x1=2,x2=-1,∴方程的解集為{-1,2}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究請用求根公式求解本探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用典例

二次函數(shù)y=-x2+(m-1)x+m的圖像與y軸交于點(0,3).(1)求出m的值并畫出此二次函數(shù)的圖像.(2)求此二次函數(shù)的圖像與x軸的交點及函數(shù)圖像頂點的坐標.(3)x取什么值時,函數(shù)圖像在x軸上方.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)由二次函數(shù)y=-x2+(m-1)x+m的圖像與y軸交于點(0,3),得m=3.∴二次函數(shù)為y=-x2+2x+3.圖像如圖所示.(2)由-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3.∴二次函數(shù)圖像與x軸的交點為(-1,0),(3,0).∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴函數(shù)圖像的頂點坐標為(1,4).(3)由圖像可知:當(dāng)-1<x<3時,函數(shù)圖像在x軸上方.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)由二次函數(shù)y=-探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛本題是二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的簡單應(yīng)用,要注意把握二次函數(shù)圖像的特征,尤其是頂點、對稱軸和開口方向.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛本題是二次函數(shù)圖像探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.下列由等式的性質(zhì)進行的變形,錯誤的是(

)B.如果a=3,那么a2=9C.如果a=3,那么a2=3a D.如果a2=3a,那么a=3解析:如果a=3,那么

,正確,故選項A不符合題意;如果a=3,那么a2=9,正確,故選項B不符合題意;如果a=3,那么a2=3a,正確,故選項C不符合題意;如果a=0時,兩邊都除以a,無意義,故選項D符合題意.答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.下列由等式的性質(zhì)進行的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.下列分解因式正確的是(

)A.x2+y2=(x+y)(x-y) B.m2-2m+1=(m+1)2C.a2-16=(a+4)(a-4) D.x3-x=x(x2-1)解析:A.原式不能分解,錯誤;B.原式=(m-1)2,錯誤;C.原式=(a+4)(a-4),正確;D.原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1),錯誤.答案:C3.若x=3是方程3x-a=0的解,則a的值是

.

解析:把x=3代入方程3x-a=0得9-a=0,解得a=9.答案:9探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.下列分解因式正確的是(探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.不論x取何值等式2ax+b=4x-3恒成立,則a+b=

.

解析:∵不論x取何值等式2ax+b=4x-3恒成立,∴x=0時,b=-3,x=1時,a=2,即a=2,b=-3,∴a+b=2+(-3)=-1.答案:-15.若式子3x2-mx-2因式分解的結(jié)果是(3x+2)(x+n),試求實數(shù)m,n的值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.不論x取何值等式2ax知識點一、一元二次方程的解集1.配方法(1)一般地,方程x2=t:①當(dāng)t>0時,解集為

;②當(dāng)t=0時,解集為{0};③當(dāng)t<0時,解集為?.(2)一般地,方程(x-k)2=t:①當(dāng)t>0時,解集為

;②當(dāng)t=0時,解集為{k};③當(dāng)t<0時,解集為?.2.公式法

(3)當(dāng)Δ=b2-4ac<0時,方程的解集為?.2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系知識點一、一元二次方程的解集2.公式法(3)當(dāng)Δ=b2-43.因式分解法對一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),左邊若能因式分解,變成(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式,根據(jù)幾個因式之積為0,則至少有一個因式為0,則x1=點析(1)因式分解法是解一元二次方程的特殊方法.用因式分解法解一元二次方程是通過因式分解把一元二次方程降次轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程求解,它在解符合某些特點的方程時很方便,當(dāng)不能用因式分解法求解時,還需要利用公式法求解.(2)用因式分解法解一元二次方程應(yīng)注意的問題.①有些一元二次方程需要變形后(如移項,去括號,合并同類項等),才能用因式分解法求解;②用因式分解法解一元二次方程時,方程的一邊必須為零;③不能在方程的兩邊同除以含有未知數(shù)的整式.3.因式分解法點析(1)因式分解法是解一元二次方程的特殊方法微思考(1)方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù))一定是一元二次方程嗎?提示:不一定,a≠0時為一元二次方程,a=0,b≠0時為一元一次方程.(2)任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)都可以化為(x-k)2=t的形式嗎?提示:都可以.一元二次方程微思考微練習(xí)關(guān)于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情況是(

)A.兩個不等的實數(shù)根B.兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法確定解析:∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,∴該方程無實數(shù)根.答案:C微練習(xí)知識點二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集時,其兩根x1,x2滿足如下關(guān)系:點析(1)根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用:①不解方程,求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值;②已知方程一根,求方程的另一根;③與根的判別式相結(jié)合,解決一些綜合題.知識點二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系點析(1)根與系數(shù)的關(guān)系微思考利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題時,需要注意什么條件?提示:先把方程化為ax2+bx+c=0的形式,然后驗證,是否滿足a≠0,Δ=b2-4ac≥0這兩個條件,同時滿足這兩個條件才能用根與系數(shù)關(guān)系解題.微練習(xí)一元二次方程3x2-6x-7=0的兩根和為

.

解析:設(shè)3x2-6x-7=0的兩根分別為x1,x2,答案:2微思考微練習(xí)答案:2探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求一元二次方程的解集例1用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笙铝蟹匠痰慕饧?(1)x2-2x-8=0;(2)2x2-7x+6=0;(3)(x-1)2-2x+2=0.分析根據(jù)方程的特征,合理選用配方法、公式法或因式分解法解方程.解:(1)方法一

移項,得x2-2x=8,配方,得(x-1)2=9,由此可得x-1=±3,∴x1=4,x2=-2,∴方程的解集為{-2,4}.方法二

原方程可化為(x-4)(x+2)=0,∴x-4=0或x+2=0,∴x1=4,x2=-2,∴方程的解集為{-2,4}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求一元二次方程的解集解:(探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)方法一

原方程可化為(x-2)(2x-3)=0,(3)原方程可化為(x-1)2-2(x-1)=0.因式分解,得(x-1)(x-1-2)=0,∴x-1=0或x-3=0,∴x1=1,x2=3,∴方程的解集為{1,3}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)方法一原方程可化為探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟一元二次方程的常見解法(1)開平方法:如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么(2)配方法:用配方法解一元二次方程的一般步驟是:①化二次項系數(shù)為1:用二次項系數(shù)去除方程兩邊,將方程化為x2+px+q=0的形式;②移項:把常數(shù)項移至方程右邊,將方程化為x2+px=-q的形式;③配方:方程兩邊同時加上“一次項系數(shù)一半的平方”,使方程左邊成為含有未知數(shù)的完全平方形式,右邊是一個常數(shù),把方程化為(x+m)2=n(n≥0)的形式;探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟一元二次方程的常見探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測④用直接開平方法解變形后的方程.(3)因式分解法①平方差公式法;②完全平方公式法;③提取公因式法;④十字相乘法.(4)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測④用直接開平方法解變形后的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1求下列方程的解集:(1)4x2-4x-1=0;(2)x2+3x+1=0;(3)x2-7x+10=0.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1求下列方程的解集探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(3)∵x2-7x+10=(x-2)(x-5),∴原方程可化為(x-2)(x-5)=0,從而可知x-2=0或x-5=0,即x=2或x=5.∴方程的解集為{2,5}.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(3)∵x2-7x+10=探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測直接應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系進行計算例2已知一元二次方程x2+3x-1=0的兩根分別是x1,x2,請利用根與系數(shù)的關(guān)系求:分析先求x1+x2,x1x2,再用它們表示所求.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測直接應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系進行探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟在求含有一元二次方程兩根的代數(shù)式的值時,利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用.在計算時,要先根據(jù)原方程求出兩根之和與兩根之積,再將代數(shù)式變形為局部含有兩根之和與兩根之積的形式,然后代入求值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟在求含有一元二次方探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究(1)若x1,x2是一元二次方程x2+3x-5=0的兩個根,則

答案:(1)15

(2)10探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究(1)若x1,x2探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用例3已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-3=0.(1)對于任意的實數(shù)m,判斷方程根的情況,并說明理由;(2)若x=-1是這個方程的一個根,求m的值和方程的另一個根.分析(1)根據(jù)判別式的意義判斷根的情況;(2)根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求方程的另一個根.解:(1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,∵m2≥0,∴Δ>0,∴方程有兩個不相等的實根.(2)設(shè)方程的另一個根為x2,∴-1×x2=-3,解得x2=3.∵-1+3=m,∴m=2.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟一元二次方程根的情況1.一元二次方程的判別式方程ax2+bx+c=0(a,b,c為實數(shù),且a≠0):當(dāng)Δ=b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)Δ=b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)Δ=b2-4ac<0時,方程沒有實數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(2)以兩個實數(shù)x1,x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟一元二次方程根的情探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知關(guān)于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有兩個實數(shù)根x1,x2.(1)求k的取值范圍;(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.解:(1)依題意得Δ≥0,即[-2(k-1)]2-4k2≥0,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知關(guān)于x的方程探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測整體代入法求代數(shù)式的值典例

若a是方程x2+x-2019=0的一個實數(shù)根,則2a2+2a-1的值是

.

解析:∵a是方程x2+x-2

019=0的根,∴a2+a-2

019=0,即a2+a=2

019.∴2a2+2a-1=2×2

019-1=4

037.答案:4037方法點睛根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2+a=2

019,然后利用整體代入法計算即可,不需求出方程的根.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測整體代入法求代數(shù)式的值探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.下列方程中,無實數(shù)根的方程是(

)A.x2+1=0 B.x2+x=0C.x2+x-1=0 D.x2=0解析:A.∵Δ=-4×1=-4<0,∴方程無實數(shù)根;B.∵Δ=12>0,∴方程有兩個不相等實數(shù)根;C.∵Δ=12-4×1×(-1)=5>0,∴方程有兩個不相等實數(shù)根;D.∵Δ=0,∴方程有兩個相等實數(shù)根.故選A.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.下列方程中,無實數(shù)根的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.若關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1有實數(shù)根,則m的取值范圍是(

)A.m≤3且m≠2 B.m<3C.m≤3 D.m<3且m≠2解析:∵關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1即(m-2)x2+2x+1=0有實數(shù)根,∴m-2≠0且Δ≥0,即22-4×(m-2)×1≥0,解得m≤3,∴m的取值范圍是m≤3且m≠2.故選A.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.若關(guān)于x的一元二次方程探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.已知關(guān)于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一個根是1,則k=

.

解析:依題意,得2×12-3k×1+4=0,即2-3k+4=0,解得k=2.答案:2答案:-1

3探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.已知關(guān)于x的一元二次方探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.已知關(guān)于x的方程x2-2x+m-1=0.(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根,求m的取值范圍;(2)若方程有一個實數(shù)根是5,求此方程的另一個根.解:(1)∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴Δ=(-2)2-4(m-1)>0,即4-4m+4>0,解得m<2,即m的取值范圍是(-∞,2).(2)設(shè)方程的另一個實數(shù)根為x2,∵5+x2=2,∴x2=-3.∴當(dāng)方程有一個實數(shù)根是5時,另一個根為-3.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.已知關(guān)于x的方程x2-知識點一、二元一次方程組的解集(1)方程組的解集一般地,將多個方程聯(lián)立,就能得到方程組.方程組中,由每個方程的解集得到的交集稱為這個方程組的解集.(2)二元一次方程組方程組含有兩個未知數(shù),每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共有兩個方程,像這樣的方程組叫做二元一次方程組.2.1.3方程組的解集知識點一、二元一次方程組的解集2.1.3方程組的解集點析二元一次方程組的解法(1)代入消元法:把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來,再代入另一個方程,實現(xiàn)消元,進而求得這個二元一次方程組的解.這種方法叫做代入消元法,簡稱代入法.(2)加減消元法:當(dāng)二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時,把這兩個方程的兩邊分別相加或相減,就能消去這個未知數(shù),得到一個一元一次方程.這種方法叫做加減消元法,簡稱加減法.點析二元一次方程組的解法微思考解二元一次方程組的基本思路是什么?提示:解二元一次方程組的基本思路是消元,把“二元”變?yōu)椤耙辉?微思考微練習(xí)求下列方程組的解集.解:(1)由②得y=4-2x,③把③代入①,得3x+4(4-2x)=6,解這個方程,得x=2,把x=2代入③,得y=0,所以這個方程組的解集為{(x,y)|(2,0)}.(2)把①代入②,得3x+2(2x-3)=8,解這個一元一次方程,得x=2,把x=2代入①,得y=1,所以這個方程組的解集為{(x,y)|(2,1)}.(3)②×2,得10x+4y=20,③③-①,得7x=14,解得x=2,把x=2代入①,得6+4y=6,解得y=0.所以這個方程組的解集為{(x,y)|(2,0)}.微練習(xí)解:(1)由②得y=4-2x,③知識點二、三元一次方程組和二元二次方程組1.三元一次方程組方程組含有三個未知數(shù),每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共有三個方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.點析三元一次方程組的解法(1)解三元一次方程組時,先觀察三個方程中各未知數(shù)系數(shù)的特點及整個式子的特點,然后確定先要消去的未知數(shù),再靈活選擇代入消元法或加減消元法將三元化為二元,達到消元的目的.(2)三元一次不定方程組的解法當(dāng)“三元一次方程組”只含有兩個方程時,我們將其中一個未知數(shù)看成已知數(shù),此時,方程組即二元一次方程組,利用消元思想即可求解.知識點二、三元一次方程組和二元二次方程組2.二元二次方程組二元二次方程:含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)為2,像這樣的方程叫做二元二次方程.二元二次方程組:方程組中含有兩個未知數(shù),含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)為2,并且一共有兩個方程,像這樣的方程組叫做二元二次方程組.點析(1)二元二次方程組有兩種類型:一是由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成;二是由兩個二元二次方程組成,我們主要學(xué)習(xí)第一種類型.(2)解二元二次方程組的思路是消元和降次.2.二元二次方程組微思考解三元一次方程組的基本思想和注意問題有哪些?提示:解三元一次方程組的基本思想是消元,其方法有代入消元法和加減消元法兩種,通過消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程.解三元一次方程組時要特別注意:①三元一次方程組的解法多種多樣,只要逐步消元,解出每一個未知數(shù)即可;②解三元一次方程組時,每一個方程都至少要用到一次,否則解出的結(jié)果也不正確.微思考微練習(xí)

把x=1,y=2代入②,得1+2+z=6,所以z=3,所以這個方程組的解集為{(x,y,z)|(1,2,3)}.微練習(xí)把x=1,y=2代入②,得1+2+z=6,探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測二元一次方程組的解集及其應(yīng)用

分析方程組整理后,利用加減消元法求解即可.①-②得4y=28,即y=7.把y=7代入①得x=5.則方程組的解集為{(5,7)}.反思感悟二元一次方程組的求解策略解二元一次方程組,通常利用消元的思想,消元的方法有:代入消元法和加減消元法.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測二元一次方程組的解集及其應(yīng)用探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測②×2-①,得x=1.將x=1代入②,得y=-3.所以原方程組的解集為{(1,-3)}.①+②,得30x=60,解得x=2.將x=2代入①,得y=3.所以原方程組的解集為{(2,3)}.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測②×2-①,得x=1.①+②探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測二元二次方程組的解集

分析根據(jù)解二元二次方程組的步驟求解即可.解:由方程①,得(x+y)·(x-y)=-3,③由方程②,得x+y=-1,④聯(lián)解③④,得x-y=3,⑤聯(lián)解④⑤,得x=1,y=-2.所以原方程組的解集為{(1,-2)}.反思感悟二元二次方程組的解法解二元二次方程組的基本思想是先消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程,再降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測二元二次方程組的解集分析根探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測三元一次方程組的解集例3求下列方程組的解集:分析(1)方程2x-y=7是二元一次方程,可以將另外兩個方程結(jié)合起來消去z,再和2x-y=7聯(lián)立求解即可;或?qū)用含x的代數(shù)式表示出來,再分別代入前兩個方程,消去y,解方程組,進而得到原方程組的解集.(2)由x∶y=3∶2,y∶z=2∶5,得x∶y∶z=3∶2∶5,引入?yún)?shù)k,用含k的式子分別表示x,y,z,再代入③中,求出k的值,或?qū)與z用含y的式子表示出來,代入③,進而求出原方程組的解集.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測三元一次方程組的解集分析(1探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測把x=3,y=-1代入①,得3+3×(-1)+2z=2,所以z=1.所以這個三元一次方程組的解集為{(x,y,z)|(3,-1,1)}.方法二

由③,得y=2x-7,④把④代入①,整理得7x+2z=23,⑤把④代入②,整理得7x-4z=17,⑥探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測把x=3,y=-1代入①,得探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(2)方法一

由①和②,得x∶y∶z=3∶2∶5.設(shè)x=3k,y=2k,z=5k(k≠0),并代入③,得5k+3k+2k=20,解得k=2.所以x=3k=6,y=2k=4,z=5k=10.所以這個三元一次方程組的解集為{(x,y,z)|(6,4,10)}.把y=4分別代入④和⑤,得x=6,z=10.所以這個三元一次方程組的解集為{(x,y,z)|(6,4,10)}.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(2)方法一由①和②,得x探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟(1)解三元一次方程組時若能根據(jù)題目的特點,靈活地進行消元,則可準確、快速地求解.消去一個未知數(shù)把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”的方法:①先消去某個方程缺少的未知數(shù);②先消去系數(shù)最簡單的未知數(shù);③先消去系數(shù)成整數(shù)倍的未知數(shù);④注意整體加減或代入的應(yīng)用.(2)解特殊的三元一次方程組的技巧:解特殊的三元一次方程組時,應(yīng)具體問題具體分析,觀察方程組的特點及未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系,靈活消元.對于一些特殊的方程組,有特殊的解法,例如:若一個方程組由兩個方程構(gòu)成,其中一個方程是x∶y∶z=a∶b∶c(a,b,c為常數(shù),且都不為0),另一個方程是關(guān)于x,y,z的三元一次方程,解這種方程組時,可引入k(k≠0),用含k的式子表示x,y,z,再代入三元一次方程中,化“三元”為“一元”,求出k的值,進而可求出x,y,z的值.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟(1)解三元一次方程探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3求下列方程組的解集:解:(1)①+③,得3x+5y=11,④③×2+②,得3x+3y=9,即x+y=3.⑤把x=2,y=1代入③,得2+2-z=5,所以z=-1.所以這個三元一次方程組的解集為{(x,y,z)|(2,1,-1)}.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3求下列方程組的解集探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(2)方法一

①+②+③,得2x+2y+2z=8,即x+y+z=4,④④-①,得z=3.④-②,得x=-1.④-③,得y=2.所以這個三元一次方程組的解集為{(x,y,z)|(-1,2,3)}.方法二

②-①,得z-x=4,④把x=-1代入①,得-1+y=1,所以y=2.所以這個三元一次方程組的解集為{(x,y,z)|(-1,2,3)}.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(2)方法一①+②+③,得探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測方程組的解集實際應(yīng)用例4“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一.大約在1500年前成書的《孫子算經(jīng)》中,就有關(guān)于“雞兔同籠”的記載:“今有雛兔同籠,上有二十五頭,下有七十六足,問雛兔各幾何?”這四句話的意思是:有若干只雞兔關(guān)在一個籠子里,從上面數(shù),有25個頭;從下面數(shù),有76條腿,問籠中各有幾只雞和兔?分析設(shè)籠中有x只雞,y只兔,根據(jù)“上有二十五頭,下有七十六足”,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測方程組的解集實際應(yīng)用探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測解:設(shè)籠中有x只雞,y只兔,∴原方程組的解集為{(12,13)}.答:籠中有12只雞,13只兔.反思感悟二元一次方程組的實際應(yīng)用本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,解答此類問題的關(guān)鍵是讀懂題意,合理設(shè)出未知數(shù),找出等量關(guān)系,列方程組求解.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測解:設(shè)籠中有x只雞,y只兔,探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練4某天,一蔬菜經(jīng)營戶用90元錢按批發(fā)價從蔬菜批發(fā)市場買了西紅柿和豆角共50kg,然后在市場上按零售價出售,西紅柿和豆角當(dāng)天的批發(fā)價和零售價如下表所示:如果西紅柿和豆角全部以零售價售出,他當(dāng)天賣這些西紅柿和豆角賺了多少元錢?探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練4某天,一蔬菜經(jīng)營戶探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測∴(2.9-2)x+(2.6-1.5)y=49.答:他當(dāng)天賣這些西紅柿和豆角賺了49元錢.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測∴(2.9-2)x+(2.6探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測A.{(-1,2)} B.{(1,2)}C.{(2,1)} D.{(2,-1)}把x=2代入①得,y=-1,則方程組的解集為{(2,-1)}.故選D.答案:D探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測A.{(-1,2)} B.{探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測2.小林買了7本數(shù)學(xué)書和2本語文書共花了100元;小敏買了4本語文書和2本數(shù)學(xué)書共花了80元,則買2本數(shù)學(xué)書和1本語文書要花(

)A.25元 B.30元

C.35元 D.45元答案:C探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測2.小林買了7本數(shù)學(xué)書和2本探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測答案:1∶2∶3探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測答案:1∶2∶3探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測②+①,得x2+x=2,解得x1=-2,x2=1,把x1=-2代入①,得y1=-2,把x2=1代入①,得y2=1,答案:{(-2,-2),(1,1)}探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測②+①,得x2+x=2,答案探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測解:由方程②,得y=1-x.③把方程③代入方程①,得x2+(1-x)2=1.整理,得x2-x=0.解得x1=0,x2=1.把x=0代入方程③,得y=1;把x=1代入方程③,得y=0.所以方程組的解集為{(0,1),(1,0)}.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測解:由方程②,得y=1-x.知識點一、不等關(guān)系與不等式、實數(shù)大小的比較1.不等關(guān)系與不等式(1)不等式中自然語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.(2)不等式的定義:含有不等號的式子.2.2.1不等式及其性質(zhì)知識點一、不等關(guān)系與不等式、實數(shù)大小的比較(2)不等式的定義點析不等式a≥b和a≤b的含義(1)不等式a≥b應(yīng)讀作“a大于或者等于b”,其含義是指“或者a>b,或者a=b”,等價于“a不小于b”,即若a>b與a=b之中有一個正確,則a≥b正確.(2)不等式a≤b應(yīng)讀作“a小于或者等于b”,其含義是指“或者a<b,或者a=b”,等價于“a不大于b”,即若a<b與a=b之中有一個正確,則a≤b正確.點析不等式a≥b和a≤b的含義2.實數(shù)大小的比較(1)數(shù)軸上的兩點A,B的位置關(guān)系與其對應(yīng)實數(shù)a,b的大小關(guān)系.①數(shù)軸上的任意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.②數(shù)軸上點的位置與實數(shù)大小的關(guān)系(表示實數(shù)a和b的兩個點分別為A和B),如下:2.實數(shù)大小的比較(2)比較兩個實數(shù)的大小

(2)比較兩個實數(shù)的大小點析比較兩個實數(shù)大小的方法1.數(shù)軸比較法:在數(shù)軸上分別標出兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.2.比差法:設(shè)兩個實數(shù)分別為a,b.若a-b<0,則a<b;若a-b=0,則a=b;若a-b>0,則a>b.點析比較兩個實數(shù)大小的方法微思考(1)怎樣比較a2+b2與2ab的大小關(guān)系?提示:(作差法)∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab.微思考微練習(xí)(1)已知t=a+4b,s=a+b2+4,則t和s的大小關(guān)系是(

)A.t>s

B.t≥sC.t<s

D.t≤sA.P≥Q B.P≤QC.P>Q D.P<Q答案:(1)D

(2)C微練習(xí)A.P≥Q B.P≤Q答案:(1)D(2)C知識點二、不等式的性質(zhì)1.不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1:如果a>b,那么a+c>b+c;(2)性質(zhì)2:如果a>b,c>0,那么ac>bc;(3)性質(zhì)3:如果a>b,c<0,那么ac<bc;(4)性質(zhì)4:如果a>b,b>c,那么a>c.(5)性質(zhì)5:a>b?b<a.2.不等式的性質(zhì)的推論(1)推論1:如果a+b>c,則a>c-b;(2)推論2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;(3)推論3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;(4)推論4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1);知識點二、不等式的性質(zhì)點析1.對不等式性質(zhì)的理解(1)性質(zhì)5和性質(zhì)4,分別稱為“對稱性”與“傳遞性”,在它們的證明中,要用到比較大小的“定義”等知識.(2)性質(zhì)1(即可加性)是移項法則“不等式中任何一項的符號變成相反的符號后,可以把它從一邊移到另一邊”的依據(jù).(3)性質(zhì)2,3(即可乘性)在使用中要特別注意研究“乘數(shù)的符號”.(4)推論2(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等號方向不變,不能相減”.(5)推論3和推論4(即同向同正可乘性,可乘方性),即均為正數(shù)的同向不等式相乘,得同向不等式,并無相除式.(6)性質(zhì)1和性質(zhì)5是雙向推導(dǎo),其他是“單向”推導(dǎo).點析2.不等式性質(zhì)的適用條件(1)在應(yīng)用不等式的性質(zhì)4時,如果兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號,那么等號是傳遞不過去的,如a≤b,b<c,則a<c.當(dāng)兩個不等式都帶等號時,要特別注意兩個不等式同時取等號的條件是否具備,否則等號不能傳遞過去.(2)在應(yīng)用性質(zhì)2,3時,要特別注意“乘數(shù)c的符號”.例如當(dāng)c≠0時,若a>b,則ac2>bc2;若無c≠0這個條件,即若a>b,則ac2>bc2就是錯誤的.不等式相乘時,不等式不僅要同向,而且還要各數(shù)都為正.2.不等式性質(zhì)的適用條件不等式相乘時,不等式不僅要同向,而且微思考利用不等式性質(zhì)應(yīng)注意哪些問題?提示:在使用不等式時,一定要弄清不等式(組)成立的前提條件.不可強化或弱化成立的條件.如“同向不等式”才可相加、“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符號”等都需要注意.微思考微練習(xí)已知a≥b,可以推出(

)解析:∵c2≥0,a≥b,∴ac2≥bc2.答案:B微練習(xí)解析:∵c2≥0,a≥b,∴ac2≥bc2.微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“√”,錯誤的打“×”.(1)若a>b,c<d,則a-c>b-d.(

)(4)已知a>b,e>f,c>0,則f-ac<e-bc.(

)答案:(1)√

(2)×

(3)√

(4)√微判斷(4)已知a>b,e>f,c>0,則f-ac<e-bc知識點三、直接證明與間接證明1.直接證明(1)綜合法:一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論,則綜合法可用框圖表示為:(2)分析法:一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法.用Q表示要證明的結(jié)論,則分析法可用框圖表示為:知識點三、直接證明與間接證明2.間接證明反證法:一般地,假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.2.間接證明答案:C答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明不等式

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟證明不等式的解題策略1.利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上,記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應(yīng)用.2.應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推導(dǎo)時,應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件,且不可省略條件或跳步推導(dǎo),更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.3.除了熟練掌握不等式的性質(zhì)外,還應(yīng)掌握一些常用的證明方法.如作差比較法、作商比較法、分析法等.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟證明不等式的探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用不等式的性質(zhì)求范圍例2已知1<a<4,2<b<8,試求2a+3b與a-b的取值范圍.分析先根據(jù)a,b的取值范圍得出2a,3b,-b的取值范圍,再根據(jù)同向不等式的可加性求出2a+3b與a-b的取值范圍.解:∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24.∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又∵1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.故2a+3b的取值范圍是(8,32),a-b

的取值范圍是(-7,2).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用不等式的性質(zhì)求范探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問題1.恰當(dāng)設(shè)計解題步驟,合理利用不等式的性質(zhì).2.運用不等式的性質(zhì)時要切實注意不等式性質(zhì)的前提條件,切不可用似乎是很顯然的理由,代替不等式范圍的求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用不等式的探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測綜合法與分析法的應(yīng)用例3設(shè)a≥b>0,證明:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(請用分析法和綜合法兩種方法證明)證明:方法一:(綜合法)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因為a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,從而(3a2-2b2)(a-b)≥0,所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2.方法二:(分析法)要證3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需證3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0,只需證(3a2-2b2)(a-b)≥0,∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0,∴(3a2-2b2)(a-b)≥0成立,∴原不等式得證.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測綜合法與分析法的應(yīng)用探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟分析綜合法的解題思路分析綜合法的解題思路是:根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)論P;若由P可推出Q,即可得證.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟分析綜合法的探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測不等式性質(zhì)的實際應(yīng)用例4建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測不等式性質(zhì)的實際應(yīng)用探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究現(xiàn)有A,B,C,D四個長方體容器,A,B的底面積均為a2,C,D的底面積均為b2,A,C的高都是a,B,D的高都是b,且a≠b.現(xiàn)在規(guī)定一種游戲規(guī)則:每人一次從四種容器中取兩個,盛水總和多者為勝.請研究對于先取者是否有必勝的方案?如果有,有幾種?解:設(shè)A,B,C,D四個容器的容積依次為VA,VB,VC,VD.由題意,有VA=a3,VB=a2b,VC=ab2,VD=b3.將A,B,C,D兩兩一組進行比較有下列三種可能:(VA+VB)-(VC+VD)=a3+a2b-ab2-b3=(a-b)·(a+b)2,(VA+VC)-(VB+VD)=a3+ab2-a2b-b3=(a-b)·(a2+b2),(VA+VD)-(VB+VC)=a3+b3-a2b-b2a=(a+b)·(a-b)2.由題設(shè)知,a>0,b>0,a≠b,因此只有(VA+VD)-(VB+VC)=(a+b)(a-b)2能判斷其大于0,而其他兩組結(jié)果的正負依賴于a,b的取值.a>b時為正,a<b時為負.因此,先取A,D者必勝,并且答案是唯一的.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究現(xiàn)有A,B,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測作差(商)法比較大小典例(1)已知a>0,試比較a與

的大小.(2)已知x∈R,m∈R,比較x2+x+1與-2m2+2mx的大小.分析(1)本題需要分類討論.(2)分別把“x2+x+1”與“-2m2+2mx”視為整體,利用作差比較法進行比較.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測作差(商)法比較大小探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛作差法和作商法是比較實數(shù)大小和證明不等式的重要方法,但是它們又有各自的適用范圍,對于不同的問題應(yīng)當(dāng)選擇不同的方法進行解決.(1)一般實數(shù)大小的比較都可以采用作差法,但是我們要考慮作差后與0的比較,通常要進行因式分解,配方或者其他變形操作,所以,作差后必須容易變形到能看出與0的大小關(guān)系的式子.(2)作商法主要適用于那些能夠判斷出恒為正數(shù)的數(shù)或者式子,具有一定的局限性,作商后要與1進行比較,所以,作商后必須易于變成能與1比較大小的式子,此種方法主要適用于那些含有冪指數(shù)的數(shù)或式子的大小的比較.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛作差法和作商探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.設(shè)a,b,c∈R,且a>b,則(

)解析:A選項中若c小于等于0則不成立;B選項中若a為正數(shù)b為負數(shù)則不成立;C選項中若a,b均為負數(shù)則不成立,故選D.答案:D探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.設(shè)a,b,c∈R探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.(多選題)已知a,b,c為非零實數(shù),且a-b≥0,則下列結(jié)論正確的有(

)A.a+c≥b+c

B.-a≤-b答案:ABD探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.(多選題)已知a探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.設(shè)m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,則m,n的大小關(guān)系是

.

解析:m-n=2a2+2a+1-(a+1)2=a2≥0.答案:m≥n4.已知60<x<84,28<y<33,則x-y的取值范圍為

,的取值范圍為

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.設(shè)m=2a2+2探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測知識點一、不等式的解集與不等式組的解集一般地,不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.對于由若干個不等式聯(lián)立得到的不等式組來說,這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集.2.2.2不等式的解集知識點一、不等式的解集與不等式組的解集2.2.2不等式的解記憶口訣同大取大,同小取小,大小取中,兩背皆空.點析求不等式組解集的方法(1)求每個不等式的解集;(2)把各個不等式的解集表示在數(shù)軸上,找出公共部分.不等式組的解集有4種情況(a>b):記憶口訣同大取大,同小取小,大小取中,兩背皆空.點析求不等微思考方程的解與方程的解集是一樣嗎?提示:不一樣.方程的解集是方程的解構(gòu)成的集合.微練習(xí)A.{x|x<-2}B.{x|-2<x≤1}C.{x|x≤-2}

D.{x|x≥-2}答案:A微思考A.{x|x<-2}B.{x|-2<x≤知識點二、絕對值不等式一般地,含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式.點析1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法(1)若c>0,則|ax+b|≤c等價于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等價于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根據(jù)a,b的值解出即可.(2)若c<0,則|ax+b|≤c的解集為?,|ax+b|≥c的解集為R.知識點二、絕對值不等式2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法(1)零點分區(qū)間法零點分區(qū)間法的一般步驟:①令每個絕對值號內(nèi)的代數(shù)式為零,并求出相應(yīng)的根;②將這些根按從小到大的順序排列,把實數(shù)集分為若干個區(qū)間;③在所分區(qū)間內(nèi)去掉絕對值號得若干個不等式,解這些不等式,求出解集;④取各個不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用絕對值的幾何意義求解由于|x-a|+|x-b|與|x-a|-|x-b|分別表示數(shù)軸上與x對應(yīng)的點到a,b對應(yīng)的點的距離之和與距離之差,因此對形如|x-a|+|x-b|≤c(c>0)或|x-a|-|x-b|≥c(c>0)的不等式,利用絕對值的幾何意義求解更直觀.2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-微思考方程|x|=3的解是什么?提示:方程|x|=3的解是x=±3.微練習(xí)不等式|x+1|<5的解集為

.

解析:|x+1|<5?-5<x+1<5?-6<x<4.答案:(-6,4)微思考知識點三、數(shù)軸上兩點間的距離及中點坐標公式(1)距離公式:一般地,如果實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為A,B,即A(a),B(b),則線段AB的長為AB=|a-b|.(2)中點坐標公式:A(a),B(b),線段AB的中點M對應(yīng)的數(shù)為x,則微練習(xí)若A(5),B(7),則AB=

,AB的中點坐標為

.

答案:2

6知識點三、數(shù)軸上兩點間的距離及中點坐標公式微練習(xí)答案:26探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測不等式組的解集例1解不等式組,并把解集在數(shù)軸上表示出來:分析分別求出各不等式的解集,再求出各個解集的交集,并在數(shù)軸上表示出來即可.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測不等式組的解集分析分別求出探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)解不等式2x+3>1,得x>-1,解不等式x-2<0,得x<2,則不等式組的解集為{x|-1<x<2}.將解集表示在數(shù)軸上如下:解不等式x+8<4x-1,得x>3,則不等式組的解集為{x|x>3},將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)解不等式2x+3探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟一元一次不等式組的求解策略熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此類問題的關(guān)鍵.