電路分析：第八章 一階電路分析4

第八章一階電路分析

8－1零輸入響應(yīng)（1學(xué)時）

8－2零狀態(tài)響應(yīng)（1學(xué)時）

8－3完全響應(yīng)（自學(xué)）

8－4三要素法（2學(xué)時）

8－5階躍響應(yīng)（自學(xué)）

8－6沖激響應(yīng)（自學(xué)）

8－7電路應(yīng)用，電路實(shí)驗(yàn)和計算機(jī)分析電路實(shí)例（自學(xué)）第八章一階電路分析

由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。本章主要討論由直流電源驅(qū)動的含一個動態(tài)元件的線性一階電路。含一個電感或一個電容加上一些電阻元件和獨(dú)立電源組成的線性一階電路，可以將連接到電容或電感的線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧－諾頓等效電路來代替（如圖所示）。tU穩(wěn)態(tài)暫態(tài)舊穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài)

過渡過程:C電路處于舊穩(wěn)態(tài)KRU+_開關(guān)K閉合電路處于新穩(wěn)態(tài)RU+_“穩(wěn)態(tài)”與“暫態(tài)”的概念: 二、過渡過程產(chǎn)生的原因1.電路內(nèi)部含有儲能元件L、C;2.電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生變化;三、穩(wěn)態(tài)分析和動態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)動態(tài)1.換路發(fā)生很長時間；換路剛發(fā)生;iL、

uC隨時間變化;3.代數(shù)方程組描述電路；微分方程組描述電路;2.IL、

UC不變；K+–uCUsRCi

t=0§8-1零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)：激勵(獨(dú)立電源)為零，僅由電容或電感的初始儲能作用于電路產(chǎn)生的響應(yīng)。一、RC電路的零輸入響應(yīng)已知uC(0-)=U0求uC和i。解:

iK(t=0)+–uRC+–uCRuC-uR=uC-Ri=0特征根RCp+1=0特征方程則初始值uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0令=RC,稱為一階電路的時間常數(shù)。(?)tU0uC0I0ti0∴iK(t=0)+–uRC+–uCR一、RC電路的零輸入響應(yīng)時間常數(shù)的大小反映了電路過渡過程時間的長短.=RC大過渡過程時間的長小過渡過程時間的短電壓初值一定：R大（C不變）i=u/R放電電流小放電時間長U0tuc0小大C大（R不變）W=0.5Cu2

儲能大iK(t=0)+–uRC+–uCR一、RC電路的零輸入響應(yīng)工程上認(rèn)為,經(jīng)過3-5,過渡過程結(jié)束。：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t023

5U0U0e

-1

U0e

-2U0e

-3

U0e

-5

能量關(guān)系：設(shè)uC(0+)=U0電容放出能量電阻吸收能量U0tuc00.368U0一、RC電路的零輸入響應(yīng)二.RL電路的零輸入響應(yīng)特征方程Lp+R=0特征根p=由初始值i(0+)=I0確定積分常數(shù)AA=i(0+)=I0i

(0+)=i

(0-)=iK(t=0)USL+–uLRR1令=L/R(左/右Left/Right),稱為一階RL電路時間常數(shù);L大（R不變）起始能量大R小（L不變）放電過程消耗能量小放電慢大-RI0uLttI0i0電流初始值一定：iK(t=0)USL+–uLRR1二.RL電路的零輸入響應(yīng)時間常數(shù)的計算方法：=L/Req=L/(R1//

R2)+-R1R2LReqC=ReqCR1R2LReq1.一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時間常數(shù)

RC電路=RC,RL電路=L/R3.同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。小結(jié):t≥0iK(t=0)+–uRC+–uCR零狀態(tài)響應(yīng)：儲能元件初始能量為零的電路在輸入激勵作用下產(chǎn)生的響應(yīng).列方程：§8-2零狀態(tài)響應(yīng)

解答形式為：齊次方程的通解齊次方程的特解一、RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0uc(0-)=0求:電容電壓uc(t)

和電流i(t)?已知因?yàn)樗奢斎爰顩Q定，稱為強(qiáng)制分量；它也是電路的穩(wěn)態(tài)解，也稱為穩(wěn)態(tài)分量;變化規(guī)律由電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定;全解:uC(0+)=A+US=0A=-US由起始條件uC(0+)=0定積分常數(shù)A齊次方程的通解：特解（強(qiáng)制分量、穩(wěn)態(tài)分量）=US：通解（自由分量，暫態(tài)分量）iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài))自由分量(暫態(tài))tuc-USuC'uC"USti0§8-2零狀態(tài)響應(yīng)

iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0

二、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)iLK(t=0)US+–uRL+–uLR求:電感電流iL(t)

和電壓uL(t)?已知iL(0-)=0AuLUSt0tiL0RUS-=A1.一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)是儲能元件初始能量為零的電路在輸入激勵作用下產(chǎn)生的響應(yīng)。2.衰減快慢取決于時間常數(shù)

RC電路=RC,RL電路=L/R3.同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。小結(jié):t≥0iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0

一、一階電路全響應(yīng)全響應(yīng)：換路瞬間儲能元件已有初始儲能，且換路后電路中有激勵。全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)iK(t=0)US+–uRC+–uCRuc(0-)=U0，求:uc(t)、i(t)?已知將uc(0+)=U0代入得：A=U0-US1.微分法§8-3完全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量

上式可以改寫為以下形式：

式中第一項(xiàng)為初始狀態(tài)單獨(dú)作用引起的零輸入響應(yīng)，第二項(xiàng)為輸入(獨(dú)立電源)單獨(dú)作用引起的零狀態(tài)響應(yīng)。

也就是說電路的完全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。這是線性動態(tài)電路的一個基本性質(zhì)，是響應(yīng)可以疊加的一種體現(xiàn)?！?－4三要素法(重點(diǎn))

本節(jié)專門討論由直流電源驅(qū)動的只含一個動態(tài)元件的一階電路全響應(yīng)的一般表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出三要素法。(a)RC一階電路(b)RL一階電路一、三要素法

僅含一個電感或電容的線性一階電路，將連接動態(tài)元件的線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧和諾頓等效電路代替后，可以得到圖(a)和(b)所示的等效電路。三要素法根據(jù)經(jīng)典法推導(dǎo)的結(jié)果：可歸納得一階電路微分方程解的通用表達(dá)式：KRE+_C三要素法：總結(jié)一階電路規(guī)律所得：響應(yīng)由初始值、穩(wěn)態(tài)值、時間常數(shù)決定三要素不用列微分方程，可直接由三要素寫出響應(yīng)表達(dá)式。穩(wěn)態(tài)值初始值時間常數(shù)直流電源激勵時，穩(wěn)態(tài)值和初始值均為穩(wěn)態(tài)值f(∞)KRE+_C其中三要素為:

初始值----穩(wěn)態(tài)值----時間常數(shù)----代表一階電路中任一電壓、電流函數(shù)。式中

利用求三要素的方法求解過渡過程，稱為三要素法。只要是一階電路，就可以用三要素法。KRE+_C三要素法(重點(diǎn))三要素法求解過渡過程要點(diǎn)：.終點(diǎn)起點(diǎn)t分別求初始值、穩(wěn)態(tài)值、時間常數(shù)；..將以上結(jié)果代入過渡過程通用表達(dá)式；

畫出過渡過程曲線（由初始值穩(wěn)態(tài)值）（電壓、電流隨時間變化的關(guān)系）

a.初始值的求?。河脫Q路定理；d.寫出解答式：

c.時間常數(shù)的求?。呵蟪龃骶S南或諾頓等效電路中等效電阻Req,則b.穩(wěn)態(tài)值的求取：用開路支路代替電容或用短路支路代替電感，畫出t=∞時的等效電路(直流電阻電路)，可求出任一電壓ujk(∞)或電流ij(∞)；

三要素法：求得電壓、電流的初始值、穩(wěn)態(tài)值和時間常數(shù)后，直接寫出其解答式的方法。（重點(diǎn)）“三要素”的計算（之一)初始值的計算:步驟:

(1)求換路前的(2)根據(jù)換路定理得出：(3)根據(jù)換路后的等效電路，求未知的或。步驟:

(1)畫出換路后的等效電路（注意:在直流激勵的情況下,令C開路,L短路）；

(2)根據(jù)電路的解題規(guī)律，求換路后所求未知數(shù)的穩(wěn)態(tài)值。注:

在交流電源激勵的情況下，要用相量法來求解。穩(wěn)態(tài)值

的計算:“三要素”的計算（之二)求穩(wěn)態(tài)值舉例+-t=0C10V4k3k4kuct=0L2334mA原則:要由換路后的電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)計算。(同一電路中各物理量的

是一樣的)時間常數(shù)

的計算:“三要素”的計算（之三)對于較復(fù)雜的一階RC電路，將C以外的電路，視為有源二端網(wǎng)絡(luò)，然后求其等效內(nèi)阻R'。則:步驟:

(1)對于只含一個R和C的簡單電路，；Ud+-CRC

電路

的計算舉例Ud+-t=0CR1R2（2）對于只含一個L的電路，將L以外的電路,視為有源二端網(wǎng)絡(luò),然后求其等效內(nèi)阻R'。則:R、L電路的求解：t=0ISRLR1R2LRUd+-R、L

電路的計算舉例t=0ISRLR1R2+–uS4Ω4Ω6H3H時間常數(shù)的計算方法（除源后求等效L,C,R)：US+–1828時間常數(shù)

=(6//3)/(4//4)=1S時間常數(shù)

=(8//8)/(1+2)=12S“三要素法”例題求:電感電壓例1已知：K在t=0時閉合，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。t=03ALKR2R1R3IS2211H第一步:求初始值？t=03ALKR2R1R3IS2211Ht=0-時等效電路3ALt=0+時等效電路2AR1R2R3t=03ALKR2R1R3IS2211H第二步:求穩(wěn)態(tài)值t=時等效電路t=03ALKR2R1R3IS2211HR1R2R3第三步:求時間常數(shù)t=03ALKR2R1R3IS2211HLR2R3R1LR'第四步:將三要素代入通用表達(dá)式得過渡過程方程；t≥0第五步:畫過渡過程曲線（由初始值穩(wěn)態(tài)值）起始值-4Vt穩(wěn)態(tài)值0Vt≥0例2圖示電路原處于穩(wěn)定狀態(tài)。t=0時開關(guān)閉合，

求t0的電容電壓uC(t)和電流i(t)，并畫波形圖。

例2圖示電路原處于穩(wěn)定狀態(tài)。t=0時開關(guān)閉合，

求t0的電容電壓uC(t)和電流i(t)，并畫波形圖。

由于開關(guān)轉(zhuǎn)換時電容電流有界，電容電壓不能躍變，故：解：1.計算初始值uC(0+)

開關(guān)閉合前，圖(a)電路已經(jīng)穩(wěn)定，電容相當(dāng)于開路，電流源電流全部流入4電阻中，此時電容電壓與電阻電壓相同：

2.計算穩(wěn)態(tài)值uC()

開關(guān)閉合后，電路如圖(b)所示，經(jīng)過一段時間，重新達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，電容相當(dāng)于開路，根據(jù)用開路代替電容所得到一個電阻電路，運(yùn)用疊加定理求得：

時間常數(shù)為：

3.計算時間常數(shù)

計算與電容相連接的電阻單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻，它是三個電阻的并聯(lián)：ab

4.將uC(0+)=8V,uC()=7V和=0.1s代入得到響應(yīng)的一般表達(dá)式：

求得電容電壓后，電阻電流i(t)可以利用歐姆定律求得：

也可以用疊加定理分別計算2A電流源，10V電壓源和電容電壓uC(t)單獨(dú)作用引起響應(yīng)之和:

由于電路中每個響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)，不必重新計算，用三要素公式得到:

值得注意的是該電阻電流在開關(guān)轉(zhuǎn)換時發(fā)生了躍變，i(0+)=1Ai(0-)=1.667A，因而在電流表達(dá)式中，標(biāo)明的時間范圍是t>0，而不是t0。電阻電流i(t)還可以利用三要素法直接求得:

例3：

圖示電路原來已穩(wěn)定，已知：L＝2H,R1＝R2＝4Ω,US＝12V。在t=0時將S閉合，試求S閉合后的i1、i2、iL和uL。

t=0SR1USi1R2i2LuLiL解：利用三要素法：

t=0S

R1

USi1

R2i2LuLiLi1(0+)=i2(0+)=1.5A

解：

t=0S

R1

USi1

R2i2LuLiLi1(∞)=i2(∞)=3A

uL(∞)=0i1(t)=i2(t)=3－1.5At＞0iL(t)=6－3At≥0uL(t)=6Vt＞0

例4如圖所示電路中，直流電壓源的電壓Us＝10V，R1=R2=2Ω，R3=5Ω,C=0.5F，電路原已穩(wěn)定，試求換路后的uc(t)。

例4如圖所示電路中，直流電壓源的電壓Us＝10V，R1=R2=2Ω，R3=5Ω,C=0.5F，電路原已穩(wěn)定，試求換路后的uc(t)。(a)原電路圖

(b)t=0－時的等效電路

解：用三要素法求解：（1）畫t=0－時的等效電路，如圖（b）所示。電路原以穩(wěn)定，電容等于開路，與C串聯(lián)的R3的電流及電壓皆為零所以：（2）由換路定律可得uC(0+)=uC(0-)＝-5V。（3）畫t=∞時的等效電路，如圖（c）所示。(4)求電路時間常數(shù)τ。（5）由公式得

＝5＋（－5-5）V=(5-10e-2t)Vt≥0(c)t=∞時的等效電路(d)求等效電阻的等效電路例5圖示電路中，開關(guān)轉(zhuǎn)換前電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S由1端接至2端，求t>0時的電感電流iL(t)，電阻電流i2(t)，i3(t)和電感電壓uL(t)。

解：用三要素法計算電感電流。

1.計算電感電流的初始值iL(0+)

直流穩(wěn)態(tài)電路中，電感相當(dāng)于短路，此時電感電流為:

開關(guān)轉(zhuǎn)換時，電感電壓有界。電感電流不能躍變，即

2.計算電感電流的穩(wěn)態(tài)值iL()

開關(guān)轉(zhuǎn)換后，電感與電流源脫離，電感儲存的能量釋放出來消耗在電阻中，達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)時，電感電流為零，即3.計算時間常數(shù)

與電感連接的電阻單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻以及時間常數(shù)為:4.計算iL(t)，

uL(t)，

i2(t)和i3(t)。

將iL(0+)=10mA,iL()=0和=110-7s代入得到電感電流的表達(dá)式：

然后根據(jù)KCL，KVL和VCR求出其它電壓電流:例6圖示電路在t=0時閉合開關(guān)，求電容電壓

uC(t)和電流i2(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。

解：在開關(guān)閉合以后，與電容連接的含有獨(dú)立電壓源和受

控源的電阻單口網(wǎng)絡(luò)用圖(c)所示的戴維寧等效電

路代替，其中:

用外加電源法求圖(b)所示電阻單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻Ro

時間常數(shù)為

用三要素公式得到電容電壓的表達(dá)式

從圖(a)電路中開關(guān)閉合后的電路求得電流i2(t)二、包含開關(guān)序列的一階電路

本小節(jié)討論的一階電路中包含有在不同時刻轉(zhuǎn)換的開關(guān)，在開關(guān)沒有轉(zhuǎn)換的時間間隔內(nèi)，它是一個直流一階電路，可以用三要素法來計算。對于這一類電路，我們可以按照開關(guān)轉(zhuǎn)換的先后次序，從時間上分成幾個區(qū)間，分別用三要素法來求解電路的響應(yīng)。例7圖示電路中，電感電流iL(0-)=0,t=0時，開

關(guān)S1閉合，經(jīng)過0.1s，再閉合開關(guān)S2，同時斷開S1。

試求電感電流iL(t)，并畫波形圖。解：1.在0t0.1s時間范圍內(nèi)響應(yīng)的計算

S1閉合后，iL(0+)=iL(0-)=0，處于零狀態(tài)，電感電流為零狀態(tài)響應(yīng)。可以用三要素法求解2.在t0.1s時間范圍內(nèi)響應(yīng)的計算

此后的電感電流屬于零輸入響應(yīng)，iL()=0。

仍然用三要素法，先求t=0.1s時刻的初始值。

根據(jù)三要素公式得到

在此時間范圍內(nèi)電路的時間常數(shù)為

電感電流iL(t)的波形曲線如圖(b)所示。在t=0時，它從零開始，以時間常數(shù)1=0.1s確定的指數(shù)規(guī)律增加到最大值0.316A后，就以時間常數(shù)2=0.0667s確定的指數(shù)規(guī)律衰減到零?！?－5階躍函數(shù)和階躍響應(yīng)

在上一節(jié)的討論中，我們看到直流一階電路中的各種開關(guān)，可以起到將直流電壓源和電流源接入電路或脫離電路的作用，這種作用可以描述為分段恒定信號對電路的激勵。

波形如圖(a)所示。當(dāng)t=0時，(t)從0躍變到1。當(dāng)躍變量是k個單位時，可以用階躍函數(shù)k(t)來表示，其波形如圖(b)所示。當(dāng)躍變發(fā)生在t=t0時刻，可以用延遲階躍函數(shù)(t-to)表示，其波形如圖(c)所示。函數(shù)(-t)表示t<0時，(-t)=1，t>0時，(-t)=0，如圖(d)所示。一、階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)(t)的定義為：二、階躍響應(yīng)

單位階躍信號作用下電路的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為電路的階躍響應(yīng)，用符號s(t)表示。

它可以利用三要素法計算出來。對于圖(a)所示RC串聯(lián)電路，其初始值uC(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值uC()=1，時間常數(shù)為=RC。對于圖(b)所示RL并聯(lián)電路，其初始值iL(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值iL()=1，時間常數(shù)為=L/