方差分析的基本原理課件

第六章方差分析1第六章方差分析1第一節(jié)方差分析的基本原理2第一節(jié)方差分析的基本原理2一、方差分析的意義

u檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)法適用于樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)及兩樣本平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，但在生產(chǎn)和科學(xué)研究中經(jīng)常會(huì)遇到比較多個(gè)處理優(yōu)劣的問題，即需進(jìn)行多個(gè)平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)。這時(shí)，若仍采用t檢驗(yàn)法就不適宜了。這是因?yàn)椋?一、方差分析的意義u檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)法適用于樣本1、u或t檢驗(yàn)過程煩瑣

例如，一試驗(yàn)包含5個(gè)處理，采用t檢驗(yàn)法要進(jìn)行=10次兩兩平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)；若有k個(gè)處理，則要作=k(k-1)/2

次類似的檢驗(yàn)。41、u或t檢驗(yàn)過程煩瑣例如，一試驗(yàn)包含5個(gè)處理2、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的準(zhǔn)確性和檢驗(yàn)的靈敏性低(1)t檢驗(yàn)要進(jìn)行兩兩比較，每次僅用2個(gè)樣本信息估計(jì)總體方差，誤差估計(jì)的準(zhǔn)確性低(2)

k個(gè)處理平均值的自由度為k(n-1)，而t檢驗(yàn)查tα值的自由度為2(n-1)，從而降低了檢驗(yàn)的靈敏性兩兩比較合并均方：k個(gè)樣本合并均方：52、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的準(zhǔn)確性和檢驗(yàn)的靈敏性低(1)3、t檢驗(yàn)增大犯α錯(cuò)誤的概率t檢驗(yàn)時(shí)對具有不同秩次的平均數(shù)采用同一個(gè)tα

，會(huì)增大犯α錯(cuò)誤的概率，降低推斷的可靠性。

2個(gè)平均數(shù)比較：α

=0.055個(gè)平均數(shù)比較：α’

=1-(1-0.05)10=0.401310個(gè)平均數(shù)比較：α”

=1-(1-0.05)45=0.900663、t檢驗(yàn)增大犯α錯(cuò)誤的概率t檢驗(yàn)時(shí)對具有不同秩次因此，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t(或u)檢驗(yàn)，須采用方差分析法。方差分析(analysisofvariance)由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的?！獙⒍鄠€(gè)樣本(處理)的觀測值作為一個(gè)總體，用方差來表示變異，把引起事件總的變異分解為各種因素的變異，并對每個(gè)因素引起的變異作數(shù)量估計(jì)，從而說明各因素的變異幅度及其在總變異中的重要程度；并用剩余變異無偏估計(jì)隨機(jī)誤差，進(jìn)而比較處理均值間的差異。7因此，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t(或u)檢驗(yàn)，須采有關(guān)術(shù)語：1、試驗(yàn)指標(biāo)(experimentalindex)為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測定的性狀或觀測的項(xiàng)目稱為試驗(yàn)指標(biāo)。由于試驗(yàn)?zāi)康牟煌?，選擇的試驗(yàn)指標(biāo)也不相同。在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中常用的試驗(yàn)指標(biāo)有：日增重、產(chǎn)仔數(shù)、產(chǎn)奶量、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(biāo)(如血糖含量、體高、體重)等。2、試驗(yàn)因素(experimentalfactor)試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。如研究如何提高豬的日增重時(shí)，飼料的配方、豬的品種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對日增重有影響，均可作為試驗(yàn)因素來考慮。當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱為單因素試驗(yàn)；若同時(shí)研究兩個(gè)或兩個(gè)以上的因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱為兩因素或多因素試驗(yàn)。試驗(yàn)因素常用大寫字母A、B、C、…等表示。8有關(guān)術(shù)語：1、試驗(yàn)指標(biāo)(experimentalinde3、因素水平(leveloffactor)試驗(yàn)因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。研究某種飼料中4種不同能量水平對肥育牛瘦肉率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗(yàn)因素的4個(gè)水平。因素水平用代表該因素的字母加添足標(biāo)1，2，…，來表示。如A1、A2、…，B1、B2、…，等。4、試驗(yàn)處理(treatment)事先設(shè)計(jì)好的實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目叫試驗(yàn)處理，簡稱處理。在單因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是試驗(yàn)因素的某一水平。例如進(jìn)行飼料的比較試驗(yàn)時(shí)，實(shí)施在試驗(yàn)單位(某種畜禽)上的具體項(xiàng)目就是喂飼某一種飼料。所以進(jìn)行單因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平就是一個(gè)處理。在多因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目是各因素的某一水平組合。例如進(jìn)行3種飼料和3個(gè)品種對豬日增重影響的兩因素試驗(yàn)，整個(gè)試驗(yàn)共有3×3=9個(gè)水平組合，在多因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合就是一個(gè)處理。93、因素水平(leveloffactor)試驗(yàn)因素所5、試驗(yàn)單位(experimentalunit)在試驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體叫試驗(yàn)單位。在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中，一只家禽、一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚，即一個(gè)動(dòng)物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚，即一組動(dòng)物都可作為試驗(yàn)單位。試驗(yàn)單位往往也是觀測數(shù)據(jù)的單位。6、重復(fù)(repetition)在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個(gè)處理(飼料)有4次重復(fù)。105、試驗(yàn)單位(experimentalunit)在試驗(yàn)二、方差分析的基本原理1、線性模型與基本假定假設(shè)某單因素試驗(yàn)有k個(gè)處理，每個(gè)處理有n次重復(fù)，共有nk個(gè)觀測值。這類試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表7.1所示。11二、方差分析的基本原理1、線性模型與基本假定假設(shè)某單因素試驗(yàn)表7.1k個(gè)處理每處理有n個(gè)觀測值的數(shù)據(jù)模式處理觀察值(xij,i=1~k;j=1~n)總和平均1x11x12…

x1j…

x1nT1.2x21x22…

x2j…

x2nT2.┇

┇

┇

…

┇…

┇┇┇ixi1xi2…

xij…

xinTi.┇

┇┇…

┇…

┇┇┇kxk1xk2…

xkj…

xknTk.

Tx1.x2.xi.xk.x注：xij指第i個(gè)處理第j個(gè)觀察值（i=1~k;j=1~n）12表7.1k個(gè)處理每處理有n個(gè)觀測值的數(shù)據(jù)模式處理觀察值(xij可以分解為:其中:μ表示全試驗(yàn)觀測值總體的平均數(shù)；

i是第i個(gè)處理的效應(yīng)（treatmenteffects）表示處理i對試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響。顯然有εij是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N（0，σ2）。（7-1）式叫做單因素試驗(yàn)的線性模型，亦稱數(shù)學(xué)模型。在這個(gè)模型中xij表示為總平均數(shù)μ、處理效應(yīng)

i、試驗(yàn)誤差εij之和。(7-1)(7-2)13xij可以分解為:其中:μ表示全試驗(yàn)觀測值總體的平均數(shù)；ε由εij

相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布N（0，σ2），可知各處理i(i=1，2，…，k)所屬總體亦應(yīng)具正態(tài)性，即服從正態(tài)分布N(μi,σ2)。盡管各總體的均數(shù)μi

可以不等或相等，σ2則必須是相等的。所以，單因素試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型可歸納為：效應(yīng)的可加性(additivity)、分布的正態(tài)性(normality)、方差的同質(zhì)性(homogeneity)。這也是進(jìn)行其它類型方差分析的前提或基本假定。14由εij相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布N（0，σ2若將表7.1中的觀測值xij（i=1,2,…,k;j=1,2,…,n）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（模型）用樣本符號來表示，則(7-3)15若將表7.1中的觀測值xij（i=1,2,…,k;j=1

（7-1）、（7-3）兩式告訴我們：每個(gè)觀測值都包含處理效應(yīng)(i或)，與誤差(εij或)，故kn個(gè)觀測值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。16（7-1）、（7-3）兩式告訴我們：16藥劑A(x1)B(x2)C(x3)D(x4)19212022232418252127192713201522總和Ti.76927296平均19231824觀察值【例7.1】-22-3317藥劑A(x1)B(x2)C(x3)D(x4)1921202藥劑A(x1)B(x2)C(x3)D(x4)19212022232418252127192713201522總和Ti.76927296平均19231824觀察值18藥劑A(x1)B(x2)C(x3)D(x4)192120222、自由度與平方和的剖分

在方差分析中是用樣本方差即均方（MS）來度量資料的變異程度的。表7.1中全部觀測值的總變異可以用總均方來度量。將總變異分解為處理間變異和處理內(nèi)變異，就是要將總均方分解為處理間均方和處理內(nèi)均方。但這種分解是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和，剖分成處理間平方和與處理內(nèi)平方和兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，剖分成處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來實(shí)現(xiàn)的。192、自由度與平方和的剖分在方差分析中是用樣本方差(1)平方和的剖分

在表7.1中，反映全部觀測值總變異的總平方和是各觀測值xij與總平均數(shù)的離均差平方和，記為SST。即（7-4）20(1)平方和的剖分在表7.1中，反映全部觀測值總變異的總因?yàn)?1因?yàn)?1其中所以（7-5）（7-5）式中，為各處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離均差平方和與重復(fù)數(shù)n的乘積，反映了重復(fù)n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSt，即:（7-6）22其中所以（7-5）（7-5）式中，(7-5)式中，為各處理內(nèi)離均差平方和之和，反映了各處理內(nèi)的變異即誤差，稱為處理內(nèi)平方和或誤差平方和，記為SSe，即:（7-7）23(7-5)式中，為各于是有SST

=SSt+SSe

（7-8）這個(gè)關(guān)系式中三種平方和的簡便計(jì)算公式如下：其中，C=T2

/(kn)稱為矯正數(shù)。（7-9）CTnSSikit-=S=2.11CxSSijnjkiT-=SS==21124于是有這個(gè)關(guān)系式中三種平方和的簡便計(jì)算公式如下：其中，C=(2)自由度的剖分

在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀測值要受這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個(gè)數(shù)減1，即kn-1?？傋杂啥扔洖閐fT，即:

dfT=kn–1（7-10）25(2)自由度的剖分在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各在計(jì)算處理間平方和時(shí)，各處理均數(shù)要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減1，即k-1。處理間自由度記為dft，即：

dft=k-1（7-11）在計(jì)算處理內(nèi)平方和時(shí)，要受k個(gè)條件的約束，即,(i=1~k)。故處理內(nèi)自由度為資料中觀測值的總個(gè)數(shù)減k，即kn-k。處理內(nèi)自由度記為dfe，即：dfe=kn–k=k(n-1)（7-12）26在計(jì)算處理間平方和時(shí)，各處理均數(shù)要受這一條件的約束，故處理間因?yàn)樗?/p>

綜合以上各式得：(7-13)(7-14)27因?yàn)樗约矗嚎偩揭话悴坏扔谔幚黹g均方加處理內(nèi)均方。各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或）。（7-15）(3)均方的計(jì)算

28即：總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。各部分平方和除以計(jì)算均方后，通過比較處理間均方相對誤差均方的大小即可判斷處理效應(yīng)所引起的變異所占比重，從而可以判斷試驗(yàn)是否存在明顯處理效應(yīng)。29計(jì)算均方后，通過比較處理間均方相對誤差均方的大小即可判斷處理三、方差分析中的F測驗(yàn)方差分析的F檢驗(yàn)用于測驗(yàn)?zāi)稠?xiàng)變異因素的效應(yīng)是否真實(shí)存在將要測驗(yàn)的那一項(xiàng)變異因素的均方作分子，另一項(xiàng)變異因素（例如誤差項(xiàng)）的均方作分母（具體情況與所用試驗(yàn)設(shè)計(jì)和模型有關(guān)）如果F<1，則不必查F表，即可確定P>0.05，應(yīng)該接受H030三、方差分析中的F測驗(yàn)方差分析的F檢驗(yàn)用于測驗(yàn)?zāi)稠?xiàng)變異因F測驗(yàn)需具備的條件：（1）被抽樣總體的變數(shù)x服從正態(tài)分布，即x～N(μ,σ2

)（2）和彼此相互獨(dú)立。注：當(dāng)試驗(yàn)資料不符合這些條件時(shí)，需要作適當(dāng)轉(zhuǎn)換。31F測驗(yàn)需具備的條件：（1）被抽樣總體的變數(shù)x服從正態(tài)分布，即第二節(jié)方差分析的一般步驟一、平方和與自由度的分解二、列出方差分析表，作F測驗(yàn)三、若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較四、結(jié)果的解釋/說明32第二節(jié)方差分析的一般步驟一、平方和與自由度的分【例】以A（CK）、B、C、D共4種藥劑處理水稻種子，測得苗高結(jié)果如下表：藥劑苗高觀測值總和平均A182120137218B202426229223C101517145614D2827293211629T..=3362133【例】以A（CK）、B、C、D共4種藥劑處理水稻種子，測得苗一、平方和與自由度的分解1、平方和的計(jì)算方法一：方法二：，C=T2

/(kn)CTnSSikit-=S=2.11CxSSijnjkiT-=SS==21134一、平方和與自由度的分解1、平方和的計(jì)算方法一：方法二：，C方法二：C=T2/(k·n)=3362/(4×4)=7056CxSSijnjkiT-=SS==211CTnSSikit-=S=2.11=(182+212+…+322)－C=602=(722+922+562+1162)/4－C=504SSe=SST－SSt=602－504=9835方法二：C=T2/(k·n)=3362/(4×4)=70562、自由度的分解tTedfdfdf-=-=tkdf1Tkndf-=1=4×4－1=15=4－1=3=15－3=12362、自由度的分解tTedfdfdf-=-=tkdf1Tknd二、列出方差分析表，作F測驗(yàn)表7.5藥劑處理后水稻苗高的方差分析表變異來源dfSS藥劑處理間3504隨機(jī)誤差1298總15602MS168.008.17F20.56顯著F值F0.05=3.49F0.01=5.95**37二、列出方差分析表，作F測驗(yàn)表7.5藥劑處理后水三、若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較1、最小顯著差數(shù)法（LSD法）到底哪些處理間存在真實(shí)差異？如何判斷？——多重比較38三、若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較1、最小顯著差數(shù)法（LSD將這一判斷標(biāo)準(zhǔn)記作：39將這一判斷標(biāo)準(zhǔn)記作：39LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm)LSD0.01=3.055×2.02=6.17(cm)處理平均數(shù)與對照的差數(shù)A（CK）18-LSD0.05=4.40D2911**LSD0.01=6.17B235*C14-440LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm2、最小顯著極差法（LSR法）

——LeastSignificantRanges根據(jù)極差抽樣分布原理，將一組k個(gè)平均數(shù)由大到小排列后，依所比較的兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個(gè)平均數(shù)間的極差分別確定最小顯著極差LSRα值的多重比較方法。用于比較任意兩個(gè)處理間的平均數(shù)的差異顯著性，兩平均數(shù)的差數(shù)的絕對值大于或等于LSRα則差異顯著與LSD法相比，不同處理間的差數(shù)進(jìn)行比較時(shí)需要根據(jù)差數(shù)所包含的平均數(shù)個(gè)數(shù)(m)不同確定不同的比較標(biāo)準(zhǔn)412、最小顯著極差法（LSR法）

——LeastSignifLSR法根據(jù)其比較標(biāo)準(zhǔn)此方法包括兩種：復(fù)極差法（q法）新復(fù)極差法（SSR法，shortestsignificantranges)*這里的qα、SSRα由α、

df、m三因素確定。*SE指標(biāo)準(zhǔn)誤，隨檢驗(yàn)的對象不同（平均數(shù)或總和數(shù)）而不同。42LSR法根據(jù)其比較標(biāo)準(zhǔn)此方法包括兩種：復(fù)極差法（q法）新復(fù)極4343①計(jì)算SE（比較四種藥劑處理的平均數(shù)）②據(jù)ve=12查附表6得SSRα，計(jì)算LSR

α，

并列表m234SSR0.053.083.233.33SSR0.014.324.554.68LSR0.054.404.624.76LSR0.016.186.516.6944①計(jì)算SE（比較四種藥劑處理的平均數(shù)）②據(jù)ve=12查附③按從大到小的順序排列各處理平均數(shù)，并

用應(yīng)定方法標(biāo)識(shí)其差異顯著性處理平均數(shù)D29B23A18C14P=4P=3P=2P=2P=3P=245③按從大到小的順序排列各處理平均數(shù)，并

用應(yīng)定方法標(biāo)字母標(biāo)記法

原則：凡是兩個(gè)平均數(shù)無共同字母則表示差異顯著，只要有一個(gè)字母相同就說明其間差異不顯著字母標(biāo)記法標(biāo)記步驟(0.05標(biāo)記小寫字母，0.01標(biāo)記大寫字母)：a)首先將全部平均數(shù)從大到小依次排列在最大的平均數(shù)標(biāo)上字母a將該平均數(shù)與以下的平均數(shù)依次比較，凡不顯著的都標(biāo)上相同字母a，直到顯著，標(biāo)上下一字母b3、多重比較結(jié)果的表示方法46字母標(biāo)記法

原則：凡是兩個(gè)平均數(shù)無共同字母則表示差異以標(biāo)上字母b的平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，從下向上與上方各自比其大的平均數(shù)比較，凡是不顯著的都標(biāo)以b，直到顯著為止注意：向上比較顯著時(shí)不標(biāo)新字母，向下比較顯著時(shí)要標(biāo)以新字母再以標(biāo)有b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，向下依次比較，直到顯著，標(biāo)以字母c，再以標(biāo)c平均數(shù)向上比較直到顯著為止重復(fù)上述步驟，直到所有平均數(shù)都比較完47以標(biāo)上字母b的平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，從下向上與上方各自比其大的平均用字母標(biāo)記法標(biāo)記四種藥劑試驗(yàn)的平均數(shù)差異關(guān)系p234SSR0.053.083.233.33SSR0.014.324.554.68LSR0.054.404.624.76LSR0.016.186.516.69處理差異顯著性α=0.05α=0.01D29B23A18C14abcAcABBCC48用字母標(biāo)記法標(biāo)記四種藥劑試驗(yàn)的平均數(shù)差異關(guān)系p234SSR0四種藥劑處理效應(yīng)間存在顯著差異在0.05顯著性水平上有D與其它藥劑之間差異顯著，B藥劑顯著高于A和C藥劑，而A和C藥劑間差異不顯著而在0.01顯著性水平上，D與A、C藥劑處理間差異極顯著，B藥劑則極顯著高于C藥劑的處理效果。四、結(jié)果的解釋/說明49四種藥劑處理效應(yīng)間存在顯著差異在0.05顯著性水平上有D與其另一例p23456789SSR0.053.003.153.233.303.343.373.393.41LSR0.051.241.301.331.361.381.391.401.40處理差異顯著性α=0.05α=0.01A3B39.3A2B18.7A1B18.0A3B27.7A2B27.3A2B37.0A1B26.7A3B16.7A1B35.7aabbbccccccdddd50另一例p23456789SSR0.053.003.153.2凡是與對照比較或與預(yù)定的比較對象的比較，一般可選用LSD法關(guān)于多重比較方法的選擇選用時(shí)考慮到否定一個(gè)正確的H0和接受一個(gè)不正確的H0的相對重要性51凡是與對照比較或與預(yù)定的比較對象的比較，一般可選用LSD法關(guān)顯著尺度：

LSD法最低，SSR法次之，q法最高犯第一類錯(cuò)誤概率：

LSD法最大，SSR法次之，q法最小*所以，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)論事關(guān)重大或要求較嚴(yán)格時(shí)，宜采用q測驗(yàn)，一般試驗(yàn)可采用LSD法52顯著尺度：LSD法最低，SSR法次之，q法最高犯第一類第三節(jié)數(shù)學(xué)模型一、方差分析的模型據(jù)其中ti的不同可將模型分為兩類：(1)固定模型(2)隨機(jī)模型53第三節(jié)數(shù)學(xué)模型一、方差分析的模型據(jù)其中ti的不同可1、固定模型指試驗(yàn)的各處理均抽自特定的處理總體，這些總體遵循N(mi,s)的分布，處理效應(yīng)ti

=mi

–m是固定的,試驗(yàn)的目的在于研究ti的大小，如果重復(fù)做試驗(yàn)，所用處理不變，試驗(yàn)的假設(shè)為：mmt==iiH或：00e2*在F測驗(yàn)H0被否定后，進(jìn)一步的工作是多重比較，用于比較每個(gè)處理的效應(yīng)大小541、固定模型指試驗(yàn)的各處理均抽自特定的處理總體，這些*每次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)所用材料和試驗(yàn)處理都是固定的，即ti

=mi

-m是固定的*固定模型所做出的推斷僅限于試驗(yàn)所用處理范圍之內(nèi)，不可推而廣之*用于效應(yīng)比較一類的試驗(yàn)，包括多數(shù)栽培試驗(yàn)（如肥料、密度、農(nóng)藥...）以及很多室內(nèi)效應(yīng)比較試驗(yàn)等55*每次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)所用材料和試驗(yàn)處理都是固定的，即ti=指試驗(yàn)的各處理是從同一個(gè)總體N(0,)抽得的一組隨機(jī)樣本，ti

=mi

–m是隨機(jī)變量，隨試驗(yàn)的不同而不同。試驗(yàn)的目的不在于研究ti的大小，而在于研究ti的變異度；如果重復(fù)做試驗(yàn)，所用處理會(huì)改變。試驗(yàn)的假設(shè)為：2、隨機(jī)模型2ts00220>=ttss：：AHH*在F測驗(yàn)H0被否定后，進(jìn)一步的工作是是計(jì)算的大小，然后估計(jì)遺傳力等遺傳參數(shù)2ts2ts56指試驗(yàn)的各處理是從同一個(gè)總體N(0,*每次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)都要再次隨機(jī)抽取樣本，因此ti

=mi

–m會(huì)發(fā)生變化*隨機(jī)模型所做出的推斷不僅限于試驗(yàn)所用處理，其目的在于推斷抽出這些處理的整個(gè)總體，因而其推斷可以在一定條件下推而廣之*在育種和生態(tài)一類的試驗(yàn)中應(yīng)用較為廣泛，目的在于總體特征的研究57*每次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)都要再次隨機(jī)抽取樣本，因此*隨機(jī)模型所做比較項(xiàng)目固定模型隨機(jī)模型①處理來源②試驗(yàn)?zāi)康蘑劢y(tǒng)計(jì)假設(shè)④H0被否的進(jìn)一步工作⑤推斷范圍兩類模型的比較58比較項(xiàng)目固定模型隨機(jī)模型①處理來源②試驗(yàn)?zāi)康蘑劢y(tǒng)計(jì)假設(shè)判斷兩類模型的標(biāo)準(zhǔn)：(1)看處理因素的水平是否可以完全控制：隨機(jī)模型的處理因素水平不可以控制固定模型的處理因素水平可以完全控制溫度——菌落生長的影響化肥——植物產(chǎn)量的提高農(nóng)家肥——植物產(chǎn)量的提高59判斷兩類模型的標(biāo)準(zhǔn)：(1)看處理因素的水平是否可以完全控制：判斷兩類模型的標(biāo)準(zhǔn):*欲通過試驗(yàn)看一個(gè)地區(qū)辣椒產(chǎn)量的整體水平(2)看研究目的：固定模型：特定個(gè)體的比較隨機(jī)模型：總體變異情況的研究*欲通過試驗(yàn)從一批辣椒品種中選出幾個(gè)產(chǎn)量水平較高的品種在某地區(qū)推廣如前面四種藥劑試驗(yàn)的例子60判斷兩類模型的標(biāo)準(zhǔn):*欲通過試驗(yàn)看一個(gè)地區(qū)辣椒產(chǎn)量的整體水第三節(jié)單因素方差分析——適用于單因素完全隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)61第三節(jié)單因素方差分析——適用于單因素完一、每個(gè)處理觀察值數(shù)目相等的單向分組資料62一、每個(gè)處理觀察值數(shù)目相等的單向分組資料62處理盆1盆2盆3盆4總和平均A氨水12430282610827.0B氨水2272421269824.5C碳酸氫銨3128253011428.5D尿素3233332812631.5E對照212216218020.0T..=52626.3【例】表水稻盆栽施肥試驗(yàn)產(chǎn)量結(jié)果(g/盆)63處理盆1盆2盆3盆4總和平均A氨水1243028261082表不同肥料處理后水稻產(chǎn)量的方差分析表變異來源DFSSMSFF0.01處理間4301.275.3011.19**4.89誤差15101.06.73總和19402.2LSR:LSD:64表不同肥料處理后水稻產(chǎn)量的方差分析表變異來源DFSS資料的LSR值(n

=15)多重比較結(jié)果p2345SSR0.053.013.163.253.31SSR0.014.174.374.504.58LSR0.053.904.104.224.29LSR0.015.415.675.845.94施N法均值5%水平1%水平尿素31.5碳酸氫銨28.5氨水127.0氨水224.0對照20.0aabbbAAABBBCCc65資料的LSR值(n=15)多重比較結(jié)果p2345SSR0.資料的LSR值(n

=15)多重比較結(jié)果p2345Q0.053.013.674.084.37Q0.014.174.845.255.56LSR0.053.904.765.295.67LSR0.015.416.286.817.21施N法均值5%水平1%水平尿素31.5碳酸氫銨28.5氨水127.0氨水224.0對照20.0aaabbbcAAABBBCC66資料的LSR值(n=15)多重比較結(jié)果p2345Q0.05LSD:多重比較結(jié)果施N法均值與CK差值

D尿素31.511.5**C碳酸氫銨28.58.5**A氨水127.07.0**B氨水224.04.0*E對照20.0-v=15時(shí)，t0.05=2.131;t0.01=2.947LSD0.05=3.91;LSD0.01=5.4067LSD:多重比較結(jié)果施N法均值與CK差值D尿素31.51二、每個(gè)處理觀察值數(shù)目不相等的單向分組資料68二、每個(gè)處理觀察值數(shù)目不相等的單向分組資料68每個(gè)處理觀察值數(shù)目不相等時(shí)平方和與自由度的分解69每個(gè)處理觀察值數(shù)目不相等時(shí)平方和與自由度的分解69每個(gè)處理觀察值數(shù)目不相等時(shí)的多重比較70每個(gè)處理觀察值數(shù)目不相等時(shí)的多重比較705個(gè)不同品種羊的育肥試驗(yàn)，后期30天增重(kg)如表7.12所示。試比較品種間增重有無差異。品種增重(kg)niTi.B121.519.520.022.018.020.06121.020.2B216.018.517.015.520.016.06103.017.2B319.017.520.018.017.0591.518.3B421.018.519.020.0478.519.6B515.518.017.016.0466.516.6合計(jì)25460.5【例】715個(gè)不同品種羊的育肥試驗(yàn)，后期30天增重(kg1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度721、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度722、列方差分析表，進(jìn)行F測驗(yàn)變異來源自由度平方和均方F值F0.05F0.01EMS品種間誤差總變異方差分析顯示F=5.99＞F0.01(4,20)，P＜0.01，表明品種間差異極顯著，此試驗(yàn)為固定模型，下一步需要進(jìn)行品種間的多重比較732、列方差分析表，進(jìn)行F測驗(yàn)變異來源自由度平方和均方F值F03、多重比較假設(shè)用SSR法（可用其它多重比較方法）因?yàn)楦魈幚碇貜?fù)數(shù)不等，應(yīng)先計(jì)算出平均重復(fù)次數(shù)n0來代替標(biāo)準(zhǔn)誤SE中的n

秩次距(p)SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.954.021.8442.51333.104.221.9382.63843.184.331.9882.70653.254.402.0312.750743、多重比較假設(shè)用SSR法（可用其它多重比較方法）因?yàn)楦魈幚硌蚱贩N平均增重多重比較梯形表品種-16.6-17.2-18.3-19.6B120.23.63.01.90.6B419.63.02.41.3B318.31.71.1B217.20.6B516.675羊品種平均增重多重比較梯形表品種-16.6-17.2-18處理12…i…l總亞處理………12…j…m……觀察值………xi11xi21…xij1…xim1……xi12xi22…xij2…xim2………………xi1kxi2k…xijk…ximk………………xi1nxi2n…xijn…ximn亞組總和………Ti1.Ti2.…Tij.…Tim.……亞組平均…………………組總和T1..T2..…Ti..…Tl..T…組平均……三、系統(tǒng)分組資料76處理12…i…l總亞處理………12…j…m……………xi17777系統(tǒng)分組資料平方和與自由度的分解78系統(tǒng)分組資料平方和與自由度的分解78二級分組資料的方差分析及其期望均方變異來源自由度SSMSFEMS混合模型隨機(jī)模型組間l-1SStMStMSt/MSe1亞組間l(m-1)SSe1MSe1MSe1/MSe2亞組內(nèi)(誤差)lm(n-1)SSe2MSe2總變異lmn-1SST*若組間差異顯著，則進(jìn)行多重比較*若亞組間差異不顯著，可將亞組間和亞組內(nèi)的平方和進(jìn)行合并，求其合并均方：*首先對亞組間進(jìn)行F測驗(yàn)*若亞組間差異顯著，然后對組間進(jìn)行F測驗(yàn)79二級分組資料的方差分析及其期望均方變異來源自由度SSMSFE系統(tǒng)分組資料的多重比較F測驗(yàn)中的備比量被比較平均數(shù)所包含的觀察值個(gè)數(shù)80系統(tǒng)分組資料的多重比較F測驗(yàn)中的備比量被比較平均數(shù)所包含的觀【例】表4種培養(yǎng)液下株高增長量（mm）81【例】表4種培養(yǎng)液下株高增長量（mm）81【例】資料的方差分析表82【例】資料的方差分析表82第四節(jié)兩向分組資料的方差分析兩向分組(交叉分組)資料:試驗(yàn)包括兩個(gè)因素兩個(gè)因素的每個(gè)水平均衡相遇其水平組合總數(shù)即為處理數(shù)按組合觀察值是否有重復(fù)其方差分析分兩種情況組合內(nèi)有重復(fù)觀察值組合內(nèi)無重復(fù)觀察值83第四節(jié)兩向分組資料的方差分析兩向分組(交叉分組)資A因素B因素總和平均B1B2…Bj…BbA1

x11x12…x1j…x1bT1.A2x21x22…x2j…x2bT2.………………………Aixi1xi2…xij…xibTi.………………………Aaxa1xa2…xaj…xabTa.總和T.1T.2…T.j…T.bT..平均……A因素水平數(shù)為i=1,2,…,aB因素水平數(shù)為j=1,2,…,b共有處理組合數(shù)ab個(gè),即觀察值總數(shù)為ab個(gè)一、組合內(nèi)無重復(fù)觀測值的兩向資料x.1xa.x.bx.jx.2x1.xi.x2.x..84A因素B因素總和平均B1B2…Bj…BbA1x11x12…1、模型851、模型852、平方和與自由度的分解862、平方和與自由度的分解863、方差分析及其期望均方變異來源自由度SSMSFEMS混合模型隨機(jī)模型固定模型A因素a-1SSAMSAMSA/MSeB因素b-1SSBMSBMSB/MSe誤差(a-1)(b-1)SSeMSe總變異ab-1SST873、方差分析及其期望均方變異來源自由度SSMSFEMS混合模4、多重比較884、多重比較88【例7.9】（P119）采用5種生長素處理豌豆，未處理為對照，待種子發(fā)芽后，分別每盆中移植4組，每組6盆，試驗(yàn)共有4組24盆，并按組排于溫室中，使同組各盆條件一致。當(dāng)各盆見第一朵花時(shí)記錄總結(jié)間數(shù)，見下表：89【例7.9】（P119）采用5種生長素處理【例7.9】資料的方差分析表變異來源DFSSMSFF0.05F0.01光照組間35.451.82<1

激素間565.8713.174.56**2.904.56誤差1543.302.89總和23114.6290【例7.9】資料的方差分析表變異來源DFSSMSFF0.05二、組合內(nèi)有重復(fù)觀測值的兩向資料A因素B因素總和Ti..平均B1B2…Bj…BbA1………x1j1x1j2…x1jk…x1jn……T1..A2………x2j1x2j2…x2jk…x2jn……T2..……………………………………Ai………xij1xij2…xijk…xijn……Ti..……………………………………Aa………xaj1xaj2…xajk…xajn……Ta..總和Tj.T.1.T.2.…T.j.…T.b.T…平均……A因素水平數(shù)為i=1,2,…,aB因素水平數(shù)為j=1,2,…,b每個(gè)處理重復(fù)觀察值數(shù)為k=1,2,…,n共有處理組合數(shù)ab個(gè),則觀察值總數(shù)為abn個(gè)91二、組合內(nèi)有重復(fù)觀測值的兩向資料A因素B因素總和平均B1B21、模型921、模型922、平方和與自由度的分解932、平方和與自由度的分解933、方差分析及其期望均方變異來源自由度SSMSFEMS固定模型隨機(jī)模型混合模型A因素a-1SSAMSAB因素b-1SSBMSBA×B互作(a-1)(b-1)SSA×BMSA×B誤差ab(n-1)SSeMSe總變異abn-1SST因不同模型而異943、方差分析及其期望均方變異來源自由度SSMSFEMS固定模4、多重比較954、多重比較95【例】表7.153種肥料施于3種土壤的小麥產(chǎn)量96【例】表7.153種肥料施于3種土壤的小麥產(chǎn)量96表7.16表7.15資料的方差分析表肥類平均數(shù)的比較組合平均數(shù)的比較97表7.16表7.15資料的方差分析表肥類平表7.17表7.15資料的多重比較（肥類均值）98表7.17表7.15資料的多重比較（肥類均值）98表7.18表7.15資料的多重比較（組合均值）99表7.18表7.15資料的多重比較（組合均值）9如互作不存在，兩個(gè)因素各最好水平的組合為最優(yōu)處理如存在互作，兩個(gè)因素各最好水平的組合不一定為最優(yōu)處理100如互作不存在，兩個(gè)因素各最好水平的組合為最優(yōu)處理100第五節(jié)方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換一、方差分析的三個(gè)基本假定101第五節(jié)方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換一、方差分析的三1、處理效應(yīng)和環(huán)境(誤差)效應(yīng)具有“可加性”1021、處理效應(yīng)和環(huán)境(誤差)效應(yīng)具有“可加性”102SST

=SSt+SSe103SST=SSt+SSe103效應(yīng)的可加性與倍加性處理可加性倍加性環(huán)境1環(huán)境2環(huán)境1環(huán)境2A10201020B30403060處理與環(huán)境彼此獨(dú)立，其效應(yīng)是線性可加的處理與環(huán)境不是彼此獨(dú)立的，其效應(yīng)非線性可加104效應(yīng)的可加性與倍加性處理可加性倍加性環(huán)境1環(huán)境2環(huán)境1環(huán)境22、試驗(yàn)誤差是獨(dú)立的隨機(jī)變量，且符合N(0,σ2)－“正態(tài)性”*誤差的隨機(jī)性是F測驗(yàn)的基本假定*εij相互之間是獨(dú)立的——嚴(yán)格遵循試驗(yàn)設(shè)計(jì)的隨機(jī)性——要杜絕系統(tǒng)誤差，嚴(yán)格試驗(yàn)管理與環(huán)境控制*εij與ti之間也是獨(dú)立的，如存在關(guān)聯(lián)，則會(huì)表現(xiàn)為εij不符合正態(tài)分布1052、試驗(yàn)誤差是獨(dú)立的隨機(jī)變量，且符合N(0,σ2)－“正態(tài)性3、所有試驗(yàn)處理必須具有共同的誤差方差－“同質(zhì)性”即假定各處理的εij~N(0,s2)如果計(jì)算所得處理內(nèi)方差相差比較懸殊，可以通過F測驗(yàn)或2檢驗(yàn)其是否同質(zhì)，如不同質(zhì)可以:*將試驗(yàn)分成比較同質(zhì)的幾個(gè)部分進(jìn)行分析*將特殊處理從全試驗(yàn)中剔除求合并均方的前提是：1063、所有試驗(yàn)處理必須具有共同的誤差方差－“同質(zhì)性”即假定各處二、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換處理原始數(shù)據(jù)12A(%)1.21.5B(%)68方差轉(zhuǎn)換前轉(zhuǎn)換后0.0450.007220.07221、平方根轉(zhuǎn)換平方根轉(zhuǎn)換121.101.222.452.83樣本平均數(shù)與其方差有比例關(guān)系如泊松分布()－稀有現(xiàn)象的數(shù)據(jù)每一次調(diào)查的偶然性比較大其方差會(huì)因平均數(shù)而異，不符合“同質(zhì)性”做平方根處理后各處理內(nèi)的方差同質(zhì)性優(yōu)于處理前107二、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換處理原始數(shù)據(jù)12A(%)1.21.5B(%)68處理倍加性環(huán)境1環(huán)境2A1020B3060對數(shù)轉(zhuǎn)換環(huán)境1環(huán)境21.001.301.481.782、對數(shù)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)表現(xiàn)效應(yīng)為倍加性或可乘性誤差方差非同質(zhì)性和非可加性通常也是用于稀有現(xiàn)象資料108處理倍加性環(huán)境1環(huán)境2A1020B3060對數(shù)轉(zhuǎn)換環(huán)境1環(huán)境經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后各處理內(nèi)方差同質(zhì)性增強(qiáng)對于改進(jìn)非可加性的影響，比平方根轉(zhuǎn)換更有效109經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后各處理內(nèi)方差同質(zhì)性增強(qiáng)109生物學(xué)試驗(yàn)中一些連續(xù)性變數(shù)，有時(shí)容易形成左偏的一個(gè)分布，其均方會(huì)隨處理平均數(shù)增加而增加，偏離正態(tài)分布可以采用對數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)換對數(shù)轉(zhuǎn)換將數(shù)據(jù)的普通尺度變?yōu)閷?shù)尺度，將分布的右側(cè)長尾縮短，使之趨向正態(tài)分布110生物學(xué)試驗(yàn)中一些連續(xù)性變數(shù)，有時(shí)容易形成左偏的一個(gè)分布，其均3、反正弦轉(zhuǎn)換常用于平均數(shù)與方差有關(guān)聯(lián)的資料以二項(xiàng)分布資料最為典型1113、反正弦轉(zhuǎn)換常用于平均數(shù)與方差有關(guān)聯(lián)的資料111通過反正弦轉(zhuǎn)換，使具有小方差的小成數(shù)增大，大成數(shù)減小，改進(jìn)了因不同p值造成的處理的誤差均方的異質(zhì)性；也相對改進(jìn)了處理內(nèi)均方的非獨(dú)立性112通過反正弦轉(zhuǎn)換，使具有小方差的小成數(shù)增大，大成數(shù)減小，改進(jìn)了4、用幾個(gè)觀察值的平均數(shù)做方差分析1134、用幾個(gè)觀察值的平均數(shù)做方差分析113三、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后資料的方差分析分析要點(diǎn)方差分析步驟同未經(jīng)轉(zhuǎn)換資料平方和與自由度的分解方法相同但是，平方和的計(jì)算采用轉(zhuǎn)換后數(shù)據(jù)F測驗(yàn)顯著時(shí)，多重比較也要用轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)對分析的結(jié)果進(jìn)行解釋和描述時(shí)要用轉(zhuǎn)換后的平均數(shù)反轉(zhuǎn)換，再作結(jié)論114三、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后資料的方差分析分析要點(diǎn)方差分析步驟同未經(jīng)轉(zhuǎn)換資解：資料分析(2)平方和與自由度分解試驗(yàn)資料為單向分組資料，設(shè)有一個(gè)對照試驗(yàn)設(shè)有k=4個(gè)處理，每處理有n=6個(gè)觀察值資料數(shù)據(jù)為成數(shù)數(shù)據(jù)，且很多大于70，做方差分析前應(yīng)做反正弦數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換(1)反正弦數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換與資料整理反正弦轉(zhuǎn)換求總和數(shù)與平均數(shù)(下頁表)【例】115解：資料分析(2)平方和與自由度分解試驗(yàn)資料為單向分組資料表不同處理有生活力花粉的百分?jǐn)?shù)(p)轉(zhuǎn)化后：有生活力花粉百分?jǐn)?shù)的反正弦值()116表不同處理有生活力花粉的百分?jǐn)?shù)(p)轉(zhuǎn)化后：有生活力117117(3)列方差分析表變因DFSSMSFF0.05F0.01處理間誤差總變異118(3)列方差分析表變因DFSSMSFF0.05F0.01處理(4)花粉生活力試驗(yàn)的多重比較判斷標(biāo)準(zhǔn)LSDα=?119(4)花粉生活力試驗(yàn)的多重比較判斷標(biāo)準(zhǔn)119處理平均數(shù)與對照的差數(shù)LSD0.05LSD0.01反轉(zhuǎn)換為(%)對照68.0-9.0912.4086.0(2)61.26.876.8(1)58.99.173.3(3)52.016.062.1列出處理的差數(shù)比較表(5)結(jié)論與解釋不同花粉儲(chǔ)藏保鮮方法中，只有處理(2)與對照不存在顯著差異（其活力僅降低9.2%），而其他兩種儲(chǔ)藏花粉的方法與對照存在顯著差異（分別降低12.7%和23.9%）花粉盛于燒杯，置于干燥器中，藏于冰箱內(nèi)是有效的花粉儲(chǔ)藏方法120處理平均數(shù)與對照LSD0.05LSD0.01反轉(zhuǎn)換為對照68作業(yè)：Page121習(xí)題6.1-6.7121作業(yè)：Page121121個(gè)人觀點(diǎn)供參考，歡迎討論！個(gè)人觀點(diǎn)供參考，歡迎討論！第六章方差分析123第六章方差分析1第一節(jié)方差分析的基本原理124第一節(jié)方差分析的基本原理2一、方差分析的意義

u檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)法適用于樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)及兩樣本平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，但在生產(chǎn)和科學(xué)研究中經(jīng)常會(huì)遇到比較多個(gè)處理優(yōu)劣的問題，即需進(jìn)行多個(gè)平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)。這時(shí)，若仍采用t檢驗(yàn)法就不適宜了。這是因?yàn)椋?25一、方差分析的意義u檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)法適用于樣本1、u或t檢驗(yàn)過程煩瑣

例如，一試驗(yàn)包含5個(gè)處理，采用t檢驗(yàn)法要進(jìn)行=10次兩兩平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)；若有k個(gè)處理，則要作=k(k-1)/2

次類似的檢驗(yàn)。1261、u或t檢驗(yàn)過程煩瑣例如，一試驗(yàn)包含5個(gè)處理2、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的準(zhǔn)確性和檢驗(yàn)的靈敏性低(1)t檢驗(yàn)要進(jìn)行兩兩比較，每次僅用2個(gè)樣本信息估計(jì)總體方差，誤差估計(jì)的準(zhǔn)確性低(2)

k個(gè)處理平均值的自由度為k(n-1)，而t檢驗(yàn)查tα值的自由度為2(n-1)，從而降低了檢驗(yàn)的靈敏性兩兩比較合并均方：k個(gè)樣本合并均方：1272、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的準(zhǔn)確性和檢驗(yàn)的靈敏性低(1)3、t檢驗(yàn)增大犯α錯(cuò)誤的概率t檢驗(yàn)時(shí)對具有不同秩次的平均數(shù)采用同一個(gè)tα

，會(huì)增大犯α錯(cuò)誤的概率，降低推斷的可靠性。

2個(gè)平均數(shù)比較：α

=0.055個(gè)平均數(shù)比較：α’

=1-(1-0.05)10=0.401310個(gè)平均數(shù)比較：α”

=1-(1-0.05)45=0.90061283、t檢驗(yàn)增大犯α錯(cuò)誤的概率t檢驗(yàn)時(shí)對具有不同秩次因此，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t(或u)檢驗(yàn)，須采用方差分析法。方差分析(analysisofvariance)由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的?！獙⒍鄠€(gè)樣本(處理)的觀測值作為一個(gè)總體，用方差來表示變異，把引起事件總的變異分解為各種因素的變異，并對每個(gè)因素引起的變異作數(shù)量估計(jì)，從而說明各因素的變異幅度及其在總變異中的重要程度；并用剩余變異無偏估計(jì)隨機(jī)誤差，進(jìn)而比較處理均值間的差異。129因此，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t(或u)檢驗(yàn)，須采有關(guān)術(shù)語：1、試驗(yàn)指標(biāo)(experimentalindex)為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測定的性狀或觀測的項(xiàng)目稱為試驗(yàn)指標(biāo)。由于試驗(yàn)?zāi)康牟煌?，選擇的試驗(yàn)指標(biāo)也不相同。在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中常用的試驗(yàn)指標(biāo)有：日增重、產(chǎn)仔數(shù)、產(chǎn)奶量、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(biāo)(如血糖含量、體高、體重)等。2、試驗(yàn)因素(experimentalfactor)試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。如研究如何提高豬的日增重時(shí)，飼料的配方、豬的品種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對日增重有影響，均可作為試驗(yàn)因素來考慮。當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱為單因素試驗(yàn)；若同時(shí)研究兩個(gè)或兩個(gè)以上的因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱為兩因素或多因素試驗(yàn)。試驗(yàn)因素常用大寫字母A、B、C、…等表示。130有關(guān)術(shù)語：1、試驗(yàn)指標(biāo)(experimentalinde3、因素水平(leveloffactor)試驗(yàn)因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。研究某種飼料中4種不同能量水平對肥育牛瘦肉率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗(yàn)因素的4個(gè)水平。因素水平用代表該因素的字母加添足標(biāo)1，2，…，來表示。如A1、A2、…，B1、B2、…，等。4、試驗(yàn)處理(treatment)事先設(shè)計(jì)好的實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目叫試驗(yàn)處理，簡稱處理。在單因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是試驗(yàn)因素的某一水平。例如進(jìn)行飼料的比較試驗(yàn)時(shí)，實(shí)施在試驗(yàn)單位(某種畜禽)上的具體項(xiàng)目就是喂飼某一種飼料。所以進(jìn)行單因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平就是一個(gè)處理。在多因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目是各因素的某一水平組合。例如進(jìn)行3種飼料和3個(gè)品種對豬日增重影響的兩因素試驗(yàn)，整個(gè)試驗(yàn)共有3×3=9個(gè)水平組合，在多因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合就是一個(gè)處理。1313、因素水平(leveloffactor)試驗(yàn)因素所5、試驗(yàn)單位(experimentalunit)在試驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體叫試驗(yàn)單位。在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中，一只家禽、一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚，即一個(gè)動(dòng)物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚，即一組動(dòng)物都可作為試驗(yàn)單位。試驗(yàn)單位往往也是觀測數(shù)據(jù)的單位。6、重復(fù)(repetition)在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個(gè)處理(飼料)有4次重復(fù)。1325、試驗(yàn)單位(experimentalunit)在試驗(yàn)二、方差分析的基本原理1、線性模型與基本假定假設(shè)某單因素試驗(yàn)有k個(gè)處理，每個(gè)處理有n次重復(fù)，共有nk個(gè)觀測值。這類試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表7.1所示。133二、方差分析的基本原理1、線性模型與基本假定假設(shè)某單因素試驗(yàn)表7.1k個(gè)處理每處理有n個(gè)觀測值的數(shù)據(jù)模式處理觀察值(xij,i=1~k;j=1~n)總和平均1x11x12…

x1j…

x1nT1.2x21x22…

x2j…

x2nT2.┇

┇

┇

…

┇…

┇┇┇ixi1xi2…

xij…

xinTi.┇

┇┇…

┇…

┇┇┇kxk1xk2…

xkj…

xknTk.

Tx1.x2.xi.xk.x注：xij指第i個(gè)處理第j個(gè)觀察值（i=1~k;j=1~n）134表7.1k個(gè)處理每處理有n個(gè)觀測值的數(shù)據(jù)模式處理觀察值(xij可以分解為:其中:μ表示全試驗(yàn)觀測值總體的平均數(shù)；

i是第i個(gè)處理的效應(yīng)（treatmenteffects）表示處理i對試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響。顯然有εij是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N（0，σ2）。（7-1）式叫做單因素試驗(yàn)的線性模型，亦稱數(shù)學(xué)模型。在這個(gè)模型中xij表示為總平均數(shù)μ、處理效應(yīng)

i、試驗(yàn)誤差εij之和。(7-1)(7-2)135xij可以分解為:其中:μ表示全試驗(yàn)觀測值總體的平均數(shù)；ε由εij

相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布N（0，σ2），可知各處理i(i=1，2，…，k)所屬總體亦應(yīng)具正態(tài)性，即服從正態(tài)分布N(μi,σ2)。盡管各總體的均數(shù)μi

可以不等或相等，σ2則必須是相等的。所以，單因素試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型可歸納為：效應(yīng)的可加性(additivity)、分布的正態(tài)性(normality)、方差的同質(zhì)性(homogeneity)。這也是進(jìn)行其它類型方差分析的前提或基本假定。136由εij相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布N（0，σ2若將表7.1中的觀測值xij（i=1,2,…,k;j=1,2,…,n）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（模型）用樣本符號來表示，則(7-3)137若將表7.1中的觀測值xij（i=1,2,…,k;j=1

（7-1）、（7-3）兩式告訴我們：每個(gè)觀測值都包含處理效應(yīng)(i或)，與誤差(εij或)，故kn個(gè)觀測值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。138（7-1）、（7-3）兩式告訴我們：16藥劑A(x1)B(x2)C(x3)D(x4)19212022232418252127192713201522總和Ti.76927296平均19231824觀察值【例7.1】-22-33139藥劑A(x1)B(x2)C(x3)D(x4)1921202藥劑A(x1)B(x2)C(x3)D(x4)19212022232418252127192713201522總和Ti.76927296平均19231824觀察值140藥劑A(x1)B(x2)C(x3)D(x4)192120222、自由度與平方和的剖分

在方差分析中是用樣本方差即均方（MS）來度量資料的變異程度的。表7.1中全部觀測值的總變異可以用總均方來度量。將總變異分解為處理間變異和處理內(nèi)變異，就是要將總均方分解為處理間均方和處理內(nèi)均方。但這種分解是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和，剖分成處理間平方和與處理內(nèi)平方和兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，剖分成處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來實(shí)現(xiàn)的。1412、自由度與平方和的剖分在方差分析中是用樣本方差(1)平方和的剖分

在表7.1中，反映全部觀測值總變異的總平方和是各觀測值xij與總平均數(shù)的離均差平方和，記為SST。即（7-4）142(1)平方和的剖分在表7.1中，反映全部觀測值總變異的總因?yàn)?43因?yàn)?1其中所以（7-5）（7-5）式中，為各處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離均差平方和與重復(fù)數(shù)n的乘積，反映了重復(fù)n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSt，即:（7-6）144其中所以（7-5）（7-5）式中，(7-5)式中，為各處理內(nèi)離均差平方和之和，反映了各處理內(nèi)的變異即誤差，稱為處理內(nèi)平方和或誤差平方和，記為SSe，即:（7-7）145(7-5)式中，為各于是有SST

=SSt+SSe

（7-8）這個(gè)關(guān)系式中三種平方和的簡便計(jì)算公式如下：其中，C=T2

/(kn)稱為矯正數(shù)。（7-9）CTnSSikit-=S=2.11CxSSijnjkiT-=SS==211146于是有這個(gè)關(guān)系式中三種平方和的簡便計(jì)算公式如下：其中，C=(2)自由度的剖分

在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀測值要受這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個(gè)數(shù)減1，即kn-1。總自由度記為dfT，即:

dfT=kn–1（7-10）147(2)自由度的剖分在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各在計(jì)算處理間平方和時(shí)，各處理均數(shù)要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減1，即k-1。處理間自由度記為dft，即：

dft=k-1（7-11）在計(jì)算處理內(nèi)平方和時(shí)，要受k個(gè)條件的約束，即,(i=1~k)。故處理內(nèi)自由度為資料中觀測值的總個(gè)數(shù)減k，即kn-k。處理內(nèi)自由度記為dfe，即：dfe=kn–k=k(n-1)（7-12）148在計(jì)算處理間平方和時(shí)，各處理均數(shù)要受這一條件的約束，故處理間因?yàn)樗?/p>

綜合以上各式得：(7-13)(7-14)149因?yàn)樗约矗嚎偩揭话悴坏扔谔幚黹g均方加處理內(nèi)均方。各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或）。（7-15）(3)均方的計(jì)算

150即：總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。各部分平方和除以計(jì)算均方后，通過比較處理間均方相對誤差均方的大小即可判斷處理效應(yīng)所引起的變異所占比重，從而可以判斷試驗(yàn)是否存在明顯處理效應(yīng)。151計(jì)算均方后，通過比較處理間均方相對誤差均方的大小即可判斷處理三、方差分析中的F測驗(yàn)方差分析的F檢驗(yàn)用于測驗(yàn)?zāi)稠?xiàng)變異因素的效應(yīng)是否真實(shí)存在將要測驗(yàn)的那一項(xiàng)變異因素的均方作分子，另一項(xiàng)變異因素（例如誤差項(xiàng)）的均方作分母（具體情況與所用試驗(yàn)設(shè)計(jì)和模型有關(guān)）如果F<1，則不必查F表，即可確定P>0.05，應(yīng)該接受H0152三、方差分析中的F測驗(yàn)方差分析的F檢驗(yàn)用于測驗(yàn)?zāi)稠?xiàng)變異因F測驗(yàn)需具備的條件：（1）被抽樣總體的變數(shù)x服從正態(tài)分布，即x～N(μ,σ2

)（2）和彼此相互獨(dú)立。注：當(dāng)試驗(yàn)資料不符合這些條件時(shí)，需要作適當(dāng)轉(zhuǎn)換。153F測驗(yàn)需具備的條件：（1）被抽樣總體的變數(shù)x服從正態(tài)分布，即第二節(jié)方差分析的一般步驟一、平方和與自由度的分解二、列出方差分析表，作F測驗(yàn)三、若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較四、結(jié)果的解釋/說明154第二節(jié)方差分析的一般步驟一、平方和與自由度的分【例】以A（CK）、B、C、D共4種藥劑處理水稻種子，測得苗高結(jié)果如下表：藥劑苗高觀測值總和平均A182120137218B202426229223C101517145614D2827293211629T..=33621155【例】以A（CK）、B、C、D共4種藥劑處理水稻種子，測得苗一、平方和與自由度的分解1、平方和的計(jì)算方法一：方法二：，C=T2

/(kn)CTnSSikit-=S=2.11CxSSijnjkiT-=SS==211156一、平方和與自由度的分解1、平方和的計(jì)算方法一：方法二：，C方法二：C=T2/(k·n)=3362/(4×4)=7056CxSSijnjkiT-=SS==211CTnSSikit-=S=2.11=(182+212+…+322)－C=602=(722+922+562+1162)/4－C=504SSe=SST－SSt=602－504=98157方法二：C=T2/(k·n)=3362/(4×4)=70562、自由度的分解tTedfdfdf-=-=tkdf1Tkndf-=1=4×4－1=15=4－1=3=15－3=121582、自由度的分解tTedfdfdf-=-=tkdf1Tknd二、列出方差分析表，作F測驗(yàn)表7.5藥劑處理后水稻苗高的方差分析表變異來源dfSS藥劑處理間3504隨機(jī)誤差1298總15602MS168.008.17F20.56顯著F值F0.05=3.49F0.01=5.95**159二、列出方差分析表，作F測驗(yàn)表7.5藥劑處理后水三、若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較1、最小顯著差數(shù)法（LSD法）到底哪些處理間存在真實(shí)差異？如何判斷？——多重比較160三、若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較1、最小顯著差數(shù)法（LSD將這一判斷標(biāo)準(zhǔn)記作：161將這一判斷標(biāo)準(zhǔn)記作：39LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm)LSD0.01=3.055×2.02=6.17(cm)處理平均數(shù)與對照的差數(shù)A（CK）18-LSD0.05=4.40D2911**LSD0.01=6.17B235*C14-4162LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm2、最小顯著極差法（LSR法）

——LeastSignificantRanges根據(jù)極差抽樣分布原理，將一組k個(gè)平均數(shù)由大到小排列后，依所比較的兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個(gè)平均數(shù)間的極差分別確定最小顯著極差LSRα值的多重比較方法。用于比較任意兩個(gè)處理間的平均數(shù)的差異顯著性，兩平均數(shù)的差數(shù)的絕對值大于或等于LSRα則差異顯著與LSD法相比，不同處理間的差數(shù)進(jìn)行比較時(shí)需要根據(jù)差數(shù)所包含的平均數(shù)個(gè)數(shù)(m)不同確定不同的比較標(biāo)準(zhǔn)1632、最小顯著極差法（LSR法）

——LeastSignifLSR法根據(jù)其比較標(biāo)準(zhǔn)此方法包括兩種：復(fù)極差法（q法）新復(fù)極差法（SSR法，shortestsignificantranges)*