選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?求數(shù)列的通項公式

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求數(shù)列的通項公式問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，此類問題的難度一般不大，但題型多變，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).求數(shù)列通項公式的方法好多，筆者對其進行了總結(jié)，下面結(jié)合實例詳細介紹.

一、歸納猜想法

有時由數(shù)列的遞推式很難求得通項公式，我們可運用歸納猜想法，從特別的一組有序自然數(shù)入手，即通過對遞推公式進行賦值，獲得數(shù)列的前幾項，再通過觀測分析項與項數(shù)之間的關(guān)系，以探究出數(shù)列的變化規(guī)律，猜想出數(shù)列的通項公式，再運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.

例1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n.求數(shù)列{an}的通項公式.

（1）由a1=3，an+1=3an-4n可得a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7，

可猜想出數(shù)列an是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，即an=2n+1，

證明過程如下：

當(dāng)n=1時，a1=3成立;

假設(shè)當(dāng)n=k時，ak=2k+1成立.

那么當(dāng)n=k+1時，ak+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2k+3=2（k+1）+1也成立.

則對任意的n∈N*，都有an=2n+1成立;

通過對特例的分析，從而猜想出數(shù)列的通項公式，便能快速明確所求的目標(biāo)，再運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，就能證明所求的通項公式滿足題意.

二、公式法

對于常見的等差數(shù)列和等比數(shù)列，可以直接運用公式法求解.先判定數(shù)列的類型，求得數(shù)列的首項、公差、公比，就可根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式：Sn=na1+

d和等比數(shù)列的前n項和公式：求得數(shù)列的通項公式.

例2.已知數(shù)列{xn}的各項是一個等差數(shù)列{an}與一個等比數(shù)列{bn}對應(yīng)項的和，若x1=3，x2=6，x3=11，x4=20，求數(shù)列{xn}的通項公式.

解：由于{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，故設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，數(shù)列{bn}的首項為b1，公比為q，則xn=[a1+（n-1）d]+b1?qn-1，

a1+b1=3，

由題意得

解得a1=d=1，b1=q=2，

故xn=n+2n，

即數(shù)列{xn}的通項公式為xn=n+2n.

在運用等比數(shù)列的前n項和公式解題時，要注意對數(shù)列的公比q分q≠1、q=1兩種狀況進行探討.

三、利用Sn和an之間的關(guān)系

若數(shù)列an的前n項的和為Sn=a1+a2+…+an，則和之間的關(guān)系為，當(dāng)遇到數(shù)列的前n項和Sn與an有關(guān)的問題時，可利用Sn和an之間的關(guān)系來解題，將已知關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含an、an-1的關(guān)系式，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式，利用累加、累乘法來求得數(shù)列的通項公式.

例3.若正項數(shù)列an的前n項和為Sn，2=an+1（n∈N*），求該數(shù)列的通項公式.

解：由2=an+1得，4Sn=a+2an+1，當(dāng)n≥2時，4Sn-1=a-1+2an-1+1，

將上述兩式相減，得4an=a-a-1+2（an-an-1），即a-a-1-2（an+an-1）=0，

由于an0，在上式兩邊同除以an+an-1得，an-an-1=2，

所以an是2為公差的等差數(shù)列，

當(dāng)n=1時，由4S1=4a1=a+2a1+1，得a1=1，故an=2n-1.

利用Sn和an之間的關(guān)系解題，要注意對當(dāng)n=1時的情形進行單獨探討，然后驗證所得結(jié)果是否滿足當(dāng)n=2時的通項公式，若不滿足，需分段表示通項公式，若滿足，可合寫成一個表達式.

四、構(gòu)造輔助數(shù)列法

構(gòu)造輔助數(shù)列法是求數(shù)列通項公式的常用方法，是指將遞推式進行合理變形，構(gòu)造出輔助數(shù)列，如等差、等比數(shù)列等，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式求得問題的答案.

例4.設(shè)數(shù)列an前n項和為Sn，數(shù)列Sn的前n項和為Tn，滿足Tn=2Sn-n2，n∈N*.求數(shù)列an的通項公式.

解：當(dāng)a1=1.當(dāng)n≥2時，

Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-（n-1）2]=2Sn-2Sn-1-2n+1，

所以Sn=2Sn-1+2n-1①，

即Sn+1=2Sn+2n+1②，

由②-①得an+1=2an+2，

設(shè)an+1+t=2（an+t），即an+1=2an+t，得t=2，an+1+2

又a1+2=3，a2+2=6，則a1+2=2，

所以an+2是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，即an+2=3?2n-1，故an=3?2n-1-2，n∈N*.

解答此題，要首先利用Sn和an之間的關(guān)系消去Sn，得到an與an+1的關(guān)系式，然后運用待定系數(shù)法構(gòu)造出一個等比數(shù)列，最終根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求解.當(dāng)遇到形如an+1=pan+q的遞推式，可以將遞推式設(shè)為an+1+t=p（an+t），將其變形整理后，與原遞推式對比，得出t，便可構(gòu)造出新等比數(shù)列an-t.

例5.已知{an+1-2an}是以2為公比的等比數(shù)列，且a1=1，a2=4，求數(shù)列an的通項公式.

解：由于a1=1，a2=4，所以a2-2a1=2，所以{an+1-2an}是以公比為2，

首項為2的等比數(shù)列，

于是an+1-2an=2n

，

在上式的兩邊同除以2n+1，得-=，則數(shù)列是以為公差，

=為首項的等差數(shù)列，

可得=+（n-1）=，故an=n?2n-1.

對于形如an+1=Aan+p的遞推式n，可在遞推式的左右同時除以pn，得到pn+1-pn=A，這樣便可構(gòu)造an

例6.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項公式為______.

解：由于an+1=，a1=1，

所以an≠0，所以=+，即-=.

所以是以1為首項，為公差的等差數(shù)列.所以=+（n-1）×=+，所以an=.

由形如an+1=（A，B，C為常數(shù)）的遞推式求數(shù)列的通項公式，需將遞推式變形為①若A=C，則是等差數(shù)列，且公差為，②若A≠C，則采用待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求解.

這里主要介紹了四種求數(shù)列通項公式的常用方法.求數(shù)列的通項公式還有大量方法