配套課件-p第五節(jié)

第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)【知識(shí)梳理】1.直線與平面垂直(1)定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言一條直線與a,

b

a

I b

Ol

a

?l⊥αl

b

一個(gè)平面內(nèi)判定的_兩條相交定理

直線

都垂直,則該直線與此平面垂直性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_平行a

?a∥bb

2.直線和平面所成的角[0,

](2)范圍：

2

.(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.3.平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念：①二面角：從一條直線出發(fā)的_兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.③二面角的范圍：

[0,

]

.(2)平面和平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言一個(gè)平面過另l

?α⊥βl

判定一個(gè)平面的垂_定理

線

,則這兩個(gè)平面垂直兩個(gè)平面垂直,

l

I

a

?l⊥αl

a

性質(zhì)定理則一個(gè)平面內(nèi)垂直于_交線

的直線與另一個(gè)平面垂直【考點(diǎn)自測】1.(思考)給出下列命題：①直線l不可能和兩個(gè)相交平面都垂直；②當(dāng)α⊥β時(shí)，直線l過α內(nèi)一點(diǎn)且與交線垂直，則l⊥β；④二面角是指兩個(gè)相交平面構(gòu)成的圖形；⑤若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.2③異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為(0

，

]其中正確的是()A.①②⑤B.②③⑤C.①③④D.①【解析】選D.①正確.否則兩個(gè)平面應(yīng)平行.②錯(cuò)誤.當(dāng)該點(diǎn)是交線上的點(diǎn)時(shí)，l與β不一定垂直.④錯(cuò)誤.二面角是從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.⑤錯(cuò)誤.若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線l與β可平行，可相交，也可在平面β內(nèi).2③錯(cuò)誤.異面直線所成角的范圍是

(0

而]二,

面角的范圍是[0，π].，2.下列條件中，能判定直線l⊥平面α的是()l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直C.l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直D.l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直【解析】選D.由直線與平面垂直的定義，可知D正確.3.(2015·廈門模擬)已知如圖，六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是(

)A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD【解析】選D.A中，因?yàn)镃D∥AF，AF?平面PAF，CD?平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；B中，因?yàn)锳BCDEF為正六邊形，所以DF⊥AF.又因?yàn)镻A⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因?yàn)镻A∩AF=A，所以

DF⊥平面PAF成立；C中，因?yàn)镃F∥AB，AB?平面PAB，CF?平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF與AD不垂直，故選D.4.(2015·寧德模擬)在空間中，l，m，n，a，b表示直線，α表示平面，則下列命題正確的是(

)A.若l∥α，m⊥l，則m⊥α B.若l⊥m，m⊥n，則m∥nC.若a⊥α，a⊥b，則b∥α D.若l⊥α，l∥a，則a⊥α【解析】選D.對于A，m與α位置關(guān)系不確定，故A錯(cuò)，對于B，當(dāng)l與m，m與n為異面垂直時(shí)，m與n可能異面或相交，故B錯(cuò)，對于C，也可能

b?α，故C錯(cuò)，對于D，由線面垂直的定義可知正確.5.將正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=

.【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，BD，則DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB為二面角的平面角，從而∠DOB=90°.設(shè)正方形邊長為1，則DO=BO=∠DAB=60°.答案：60°B為等邊三角形，所以22考點(diǎn)1

有關(guān)垂直關(guān)系的判斷【典例1】(1)(2014·遼寧高考)已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，下列說法正確的是(

)A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥α D.若m∥α，m⊥n，則n⊥α(2)(2014·

高考)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定【解題視點(diǎn)】(1)利用直線與平面平行和垂直的判定定理直接判斷或利用正方體判斷.(2)在長方體模型中進(jìn)行推理論證，利用排除法求解.【規(guī)范解答】(1)選B.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AA1，AB1分別與平面CC1D1D平行，但是直線AA1，AB1相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)線面垂直的定義，一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的任一條直線，可見選項(xiàng)B正確；直線AA1⊥平面ABCD，AA1⊥BC，但直線BC?平面ABCD，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；直線AA1∥平面CC1D1D，AA1⊥CD，但直線CD?平面CC1D1D，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.(2)選D.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，記l1=DD1，l2=DC，l3=DA，若l4=AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時(shí)l1∥l4，可以排除選項(xiàng)A和C.若l4=DC1，也滿足條件，可以排除選項(xiàng)B.【規(guī)律方法】空間垂直關(guān)系的判斷方法借助幾何圖形來說明線面關(guān)系要做到作圖快、準(zhǔn)、甚至無需作圖在頭腦中形成印象來判斷.尋找反例，只要存在反例，那么結(jié)論就不正確.反復(fù)驗(yàn)證所有可能的情況，必要時(shí)要運(yùn)用判定或性質(zhì)定理進(jìn)行簡單說明.【變式訓(xùn)練】(2015·龍巖模擬)設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面()A.若l∥α，l∥β，則α∥βB.若l∥α，l⊥β，則α⊥βC.若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD.若α⊥β，l∥α，則l⊥β【解析】選B.對于A，若l∥α，l∥β，則α，β可能相交；對于B，若l∥α，則平面α內(nèi)必存在一直線m與l平行，則m⊥β，又m?α，故

α⊥β.選項(xiàng)C，l可能平行于β或l在平面β內(nèi)；選項(xiàng)D，l還可能平行于β或在平面β內(nèi).【加固訓(xùn)練】1.如果直線l，m與平面α，β，γ滿足：β∩γ=l，l∥α，m?α且m⊥γ，那么必有(

)A.α⊥γ且l⊥m B.α∥β且α⊥γC.α⊥γ且m∥β D.m∥β且l∥m【解析】選A.m?α且m⊥γ，則α⊥γ；m⊥γ且l?γ，則l⊥m.2.設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則a⊥b的一個(gè)充分條件是(

)A.a⊥c，b⊥c

B.α⊥β，a?α，b?βC.a⊥α，b∥α

D.a⊥α，b⊥α【解析】選C.對于選項(xiàng)C，在平面α內(nèi)存在c∥b，因?yàn)閍⊥α，所以

a⊥c，故a⊥b；A，B選項(xiàng)中，直線a，b可能是平行直線，相交直線，也可能是異面直線；D選項(xiàng)中一定推出a∥b.考點(diǎn)2

線面垂直的判定和性質(zhì)【考情】線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用是高考幾何題熱點(diǎn).試題以解答題形式出現(xiàn)，主要考查利用判定定理及性質(zhì)定理證明線線垂直、線面垂直等問題，常與線面平行、線線平行問題、體積問題交匯出現(xiàn)，試題難度不大，易得分.高頻考點(diǎn)通關(guān)【典例2】(1)已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，下列判斷中正確的是(

)A.AB⊥PC B.AC⊥平面PBDC.BC⊥平面PAB D.平面PBC⊥平面PDC(2)(2014·

高考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點(diǎn).求證：①直線BC1∥平面EFPQ.②直線AC1⊥平面PQMN.【解題視點(diǎn)】(1)畫出圖形，結(jié)合圖形判斷選項(xiàng)的正誤.(2)借助三角形中位線的性質(zhì)、線面平行的判定及線面垂直的判定和性質(zhì)證明.【規(guī)范解答】(1)選C.由題意畫出幾何體的圖形，如圖，顯然AB⊥PC不正確；AC不垂直PO，所以AC⊥平面PBD不正確；BC⊥AB，PA⊥平面ABCD，PA⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，正確.(2)①連接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知AD1∥BC1，因?yàn)镕，P分別是AD，DD1的中點(diǎn)，所以FP∥AD1.從而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.②連接AC，BD，則AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1?平面ACC1，所以BD⊥AC1.因?yàn)镸，N分別是A1B1，A1D1的中點(diǎn)所以MN∥BD，從而MN⊥AC1.同理可證PN⊥AC1.又PN∩MN=N，所以直線AC1⊥平面PQMN.【通關(guān)錦囊】高考指數(shù)重點(diǎn)題型策略◆◆◆證明線面垂直(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”.(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理高考指數(shù)重點(diǎn)題型策略線線垂直的證明，可以有許多途徑，可利用某一平面上平面幾何的關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)等，具體方法有：◆◆◆證明線線垂直①計(jì)算兩直線所成的角為90°(包括平面角與異面直線所成的角).②線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b).③a·b=0?a⊥b◆◆◆求體積問題先確定幾何體的底面積，利用線面垂直確定幾何體的高【關(guān)注題型】◆◆

探索性問題解決探索性問題一般有兩種思路：一是由特殊情形正面探索，但準(zhǔn)確率不高；二是逆推，可由結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，步步逆推.具體題目采用哪 法，應(yīng)視題目中給出條件而定【特別提醒】在證明線面垂直時(shí)，一定要嚴(yán)格按照定理要求，不要忽視“平面中的兩條相交直線”這個(gè)條件.【通關(guān)題組】1.(2014·福建高考)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.求證：CD⊥平面ABD.若AB=BD=CD=1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A-MBC的體積.【解析】方法一：(1)因?yàn)锳B⊥平面BCD，CD?平面BCD，所以AB⊥CD.又因?yàn)镃D⊥BD，AB∩BD=B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，.由(1)知，CD⊥平面ABD，所以三棱錐C-ABM的高h(yuǎn)=CD=1，=

S因?yàn)锳B=BD=1，所以S

1

=

.△AB2D所以S△ABM=1

S△ABD=12

4因此三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=V

1C3-ABM1

·h=

.△AB1M2方法二：(1)同方法一.(2)由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD=BD，如圖，過點(diǎn)M作MN⊥BD交BD于點(diǎn)N，則MN⊥平面BCD，且MN1=

AB1=

，2

2又CD⊥BD，BD=CD=1，所以S△BCD=1

.2所以三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD3

3=

1AB·S△BCD-1

MN·S

1=

.△BC1D2段2.(2014·

高考)如圖1，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2.作如圖2折疊，折痕EF∥DC，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊 段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF⊥CF.證明：CF⊥平面MDF.求三棱錐M-CDE的體積.【解析】(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥MD.在矩形ABCD中MD⊥CD，又PD∩CD=D.所以MD⊥平面CDEF，所以MD⊥CF.又因?yàn)镸F⊥CF，所以CF與相交直線MD和MF都垂直，故CF⊥平面MDF.CF⊥平面MDF，(2)在△CDP中，CD=AB=1，PC=2，則PD=

3

，∠PCD=60°；3

.2

2則CF⊥DF，CF

1，DF

3

，PE

3 3

ME4

4

DP

CP因?yàn)镋F∥DC，所以DE

CF，DE

2S△CDE=1

CD·DE=3

.8由勾股定理可得MD

ME2－DE2

62所以V

1=

MD·S2=.M-CDE3

△CD1E6【加固訓(xùn)練】證明：CB1⊥BA1.已知AB=2，BC=C1-ABA1的體積.1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=.25

，求三棱錐【解析】(1)

，連接AB1.因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱，∠CAB

=

，2所以AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1.又因?yàn)锳B=AA1，所以四邊形ABB1A1是正方形，所以BA1⊥AB1.又CA∩AB1=A，所以BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.所以AC=A1C1=1.由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，所以

V(2)因?yàn)锳B=AA1=2，BC5=

，C1

ABA13

3

3

1

S A

C

1

21

2

.△ABA1

1

12.如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖(2).求證：DE∥平面A1CB.求證：A1F⊥BE.線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由.【解析】(1)因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又因?yàn)镈E?平面A1CB，BC?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD=D，所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因?yàn)锳1F⊥CD，且DE∩CD=D，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，則PQ∥BC.又因?yàn)镈E∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1C⊥DP.又DE∩DP=D，所以A1C⊥平面DEP.從而A1C⊥平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C⊥平面DEQ.考點(diǎn)3

面面垂直的判定和性質(zhì)【典例3】(2013·山東高考)如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn).求證：CE∥平面PAD.求證：平面EFG⊥平面EMN.【解題視點(diǎn)】(1)本題考查線面平行的證法，可利用線線平行，也可利用面面平行來證明線面平行.(2)本題考查了面面垂直的判定，在平面EMN中找一條直線MN，確定MN⊥平面EFG即可.【規(guī)范解答】(1)方法一：取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EH∥AB，EH1

=

AB.2又AB∥CD，CD1=

AB，所以EH∥CD，EH=CD.2因此四邊形DCEH是平行四邊形.所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD，因此CE∥平面PAD.方法二：連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF=1

AB.又CD=1

AB，所以AF=CD.2

2又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF∥AD.又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，AP?平面PAD，所以EF∥平面PAD.因?yàn)镃F∩EF=F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又AB⊥PA.所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG.又EF∩FG=F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，因此AB⊥平面EFG，又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG，又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.【易錯(cuò)警示】關(guān)注面面垂直的條件本例中(2)證明平面EFG⊥平面EMN，要關(guān)注平面與平面垂直判定定理的兩個(gè)條件，即MN⊥平面EFG，又MN?平面EMN，避免步驟不全導(dǎo)致失誤.【互動(dòng)探究】若本例條件不變，證明：平面EMN⊥平面PAC.【證明】因?yàn)镋，F(xiàn)為PB，AB的中點(diǎn)，則EF∥PA，又因?yàn)镚為BC的中點(diǎn)，則GF∥AC，而GF∩EF=F，PA∩CA=A，所以平面EFG∥平面PAC.因?yàn)槠矫鍱FG⊥平面EMN.所以平面EMN⊥平面PAC.【規(guī)律方法】面面垂直的證明方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.

(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決.提醒：兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面.這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù).運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”.【變式訓(xùn)練】在

的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F(xiàn)分別為MB，PB，PC的中點(diǎn)，且AD=PD=2MA.(1)求證：平面EFG⊥平面PDC.(2)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.【解析】(1)由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，得PD⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC.在△PBC中，因?yàn)镚，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以GF∥BC，因此GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.(2)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA=1，則PD=AD=2，=

.MA，距離，所以VP由于D所以DVP-MAB所以VP-MAB∶VP-ABCD=1∶4.【加固訓(xùn)練】1. ，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn).求證：(1)直線EF∥平面PCD.(2)平面BEF⊥平面PAD.【證明】(1)在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因?yàn)镋F?平面PCD，PD?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD.(2)連接BD.因?yàn)锳B=AD，∠BAD=60°，所以△ABD為正三角形.因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD.又因?yàn)锽F?平面BEF.所以平面BEF⊥平面PAD.求證：平面DEG⊥平面CFG.求多面體CDEFG的體積.2.

，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點(diǎn)，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=

4 2

.現(xiàn)將△ADE，△CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G，得到多面體CDEFG.【解析】(1)因?yàn)镈E⊥EF，CF⊥EF，EF∥DC，所以四邊形CDEF為矩形.由GD=5，DE=4，得

GE=GD2

D=E32

.由GC=4

2

，CF=4，得FG=GC2

C=F42

，所以EF=5.在△EFG中，有EF2=GE2+FG2，所以EG⊥GF.又因?yàn)镃F⊥EF，CF⊥FG，EF∩FG=F，所以CF⊥平面EFG.所以CF⊥EG，又CF∩GF=F，所以EG⊥平面CFG.又EG?平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.(2)如圖，在平面EGF中，過點(diǎn)G作GH⊥EF于點(diǎn)H，所以V多面體CDEFG=1S矩形CDEF·GH=16.則GH=EG

GF

12

.EF

5因?yàn)槠矫鍯DEF⊥平面EFG，所以GH⊥平面CDEF，33.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn).若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD.點(diǎn)M

段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB.【解析】(1)如圖，連接BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，∠BAD=60°，所以△ABD為正三角形.又因?yàn)镼為AD的中點(diǎn)，所以AD⊥BQ.因?yàn)镻A

=PD，Q為AD的中點(diǎn)，所以AD⊥PQ又BQ∩P ，所以AD⊥平面PQB.又AD?平面PAD，所以平面PQB⊥平面PAD.(2)當(dāng)t=1時(shí)，PA∥平面MQB.3連接AC交BQ于點(diǎn)N，連接MN.由AQ∥BC可得，△ANQ∽△CNB，所以AQ

AN

1

.BC

NC

2因?yàn)镻A∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，所以PA∥MN.所以

PM

AN即P1M=

PC，1

所以t=

.PC

AC

3

313考點(diǎn)4

線面角與二面角的求法【典例4】

，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是

3

，D是AC的中點(diǎn).(1)求證：B1C∥平面A1BD.(2)求二面角A1-BD-A的大小.(3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值.【解題視點(diǎn)】(1)三棱柱的側(cè)面是矩形，對角線A1B，AB1的交點(diǎn)與點(diǎn)D的連線平行于B1C.(2)由于三棱柱的底面是正三角形，D為AC的中點(diǎn)，由側(cè)面與底面垂直，可以得到BD⊥平面ACC1A1，BD⊥A1D，∠A1DA就是二面角的平面角.(3)根據(jù)(2)得平面A1BD⊥平面A1AD，只要過點(diǎn)A作A1D的垂線即可得到點(diǎn)A在平面A1BD內(nèi)的射影，即得到了線面角.【規(guī)范解答】(1)設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為AB1的中點(diǎn)，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以PD∥B1C.又因?yàn)镻D?平面A1BD，B1C?平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.(2)由題知，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，又因?yàn)锽D⊥AC，則BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥A1D，所以∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角.即二面角A1-BD-A的大小是

.312AD則tan∠A1DA=因?yàn)锳A1=

，AA1AD=3AC=1，33，所以

∠A1DA=

，(3)作AM⊥A1D于M.由(2)，易知BD⊥平面ACC1A1，因?yàn)锳M?平面ACC1A1，所以BD⊥AM.的正弦值為因?yàn)锳1D∩BD=D，所以AM⊥平面A1BD.連接MP，易知∠APM就是直線AB1與平面A1BD所成的角.因?yàn)锳A1=3

，AD=1，所以在Rt△AA1D中，∠A1DA=

，322所以AM=1×sin60°=

3

，AP=1

AB

=71

23AP

77所以sin∠APM=AM

2

所2以1

直線AB1與平面A1BD所成的角22.17【規(guī)律方法】1.求空間角的三個(gè)步驟(1)找：根據(jù)圖形找出相關(guān)的線面角或二面角.

(2)證：證明找出的角即為所求的角.(3)算：根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，通過解三角形求出所求角.2.空間角的求法線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，作出垂線，確定垂足.二面角的求法：①直接法：根據(jù)概念直接作，如二面角的棱是兩個(gè)等腰三角形的公共底邊，就可以取棱的中點(diǎn)，②垂面法：如圖1，過二面角棱上一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所成的角就是二面角的平面角或其補(bǔ)角.③垂

：如圖2，過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)A作另一個(gè)半平面的垂線，再從垂足B向二面角的棱作垂線，垂足為C，這樣二面角的棱就垂直于這兩個(gè)垂線所確定的平面ABC，連接AC，則AC也與二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其補(bǔ)角.【變式訓(xùn)練】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，(1)求證：平面PED⊥平面PAC.(2)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為A-PC-D的平面角的余弦值.5

，求二面角5，取AD的中點(diǎn)F，連接BF，則【解析】(1)FD

BE，所以四邊形FBED是平行四邊形，所以FB∥ED.因?yàn)锳F

BARt△CBA，易知BF⊥AC，所以ED⊥AC.又因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA，所以PA⊥平面ABCD，ED?平面ABCD，所以PA⊥ED，因?yàn)镻A∩AC=A，所以ED⊥平面PAC，因?yàn)镋D?平面PED，所以平Rt△BAF和Rt△CBA中，BA

C=B2，所以Rt△BAF∽(2)設(shè)ED交AC于G，連接PG，則∠EPG是直線PE與平面PAC所成的角.設(shè)BE=1，作GH⊥PC于H，連接HD，由PC⊥DE，PC⊥平面HDG，所以PC⊥HD，所以∠GHD是二面角A-PC-D的平面角.GE

EC

3由△AGD∽△CGE，知DG

AD，因2為AB=AD=2，所以5EG

3

DE

5

.3 5

，DG

25

5因?yàn)閟in∠EPG=EG

所5

以PE=3，PE

5AE

5，PA

PE2

AE2

2GH

GC因?yàn)椤鱌CA∽△GCH，所以PA

P，C而GC

CE2

EG2

6

55PC

PA2

AC2

PA2

AB2

BC2