數(shù)值分析例題

緒論:例已知x廣3.142,工廣3.141作為兀=3,141592…的近似值，試分別求出它們有效數(shù)字的位數(shù)及相對誤差限解：(1)|氣—兀|<3?142—3?14159=0?00041<0?5X10-33?142=0?3142X10i,1~n=~3,^n=4A3.142有4位有效數(shù)字80：22絲Mg%3.142(2)X2—兀|V0.000593V0.5X10-21-n=-2:.n=3???3.141有3位有效數(shù)字=0.019%..?當3.141作為兀的近似數(shù)時有3位有80.000593—=|xj3.141效數(shù)字，不具有4位有效數(shù)字，3.14有效，千分位1不是有效數(shù)字。=0.019%..?當3.141作為兀的近似數(shù)時有3位有練習已知x/2.71，x2=2.72,x3=2.7181作為e=2.71828…的近似值，求這3個近似數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)。（n=2，3，4）推論1對于給出的一個有效數(shù)，其絕對誤差限不大于其末位數(shù)字的半個單位。推論2若近似值x=±0#通2??0廣10?>（其中％尹0）具有n位有效數(shù)字，則其相對誤圭『10-（〃-1）差。：W2a1。證明：?.?x=±0.a「"an*10m/.|x|^a1*10m-11*10m—n_L*10m—n_2a*10m—1又x具有n位有效數(shù)字，則|x-x*|W2*10-(n-1)…An越大，|e*rl就越小，一般應用中取8廣寂*10-（n-1）1_L*10m—n_2a*10m—1例1：求、6的近似值，使其相對誤差不超過1*10-3。解：\6=2.4494……取a廣2，設x*=、6有n位有效數(shù)字，由推論2，8=上*10-（n—1）W4*10-3，.??n=4，取x*=2.449r2a21練習：要使、矗的近似值相對誤差不超過0.1%，則至少要求幾位有效數(shù)字?

解：設x*=t斯，其近似數(shù)x具有n位有效數(shù)字，其相對誤差限滿足..?n=4￡=二*10-（n-I）W0.1%nnN3.097r2..?n=4例1求有效數(shù)3.150950,15.426463,568.3758,7684.388之和。解￡=……=8271.341213而這和的絕對誤差限為2*0.5*10-6+0.5*10-4+0.5*10-3^0.5*10-3.??E應舍入成8271.341最末3位的計算沒有意義，合理的做法是將小數(shù)位較多的各位數(shù)按小數(shù)位最少的位數(shù)多取1位作舍入處理，再相加3.1510+15.4265+568.3758+7684.388=8271.34133*0.5*10-4+0.5*10-3=0.00065<0.5*10-2和8271.3413舍入至小數(shù)后2位得8271.34例2：例2：求x2+（以+P）x+109=0的根，求根公式x=—b±\b2-4ac2ab=a+P=一0.1*1010-0.0000000001*101。=-0.1*101。（設為八位機運算）TOC\o"1-5"\h\z109±1091109nb2-4ac=1018-4*1*109=0.1*1019=1018nx==〈122|0_bx+x=-—12a換一種算法｛cIx1x2=a-b-sgn（b）tb2-4ac小X==1092ax=￡=四=1ax1091_bx+x=-—12a換一種算法｛cIx1x2=a注意：(1)大量運算時，￡七可能很大。(舉例，如高考估分)兩個相差很大的數(shù)進行加減時，要防止大數(shù)“吃”小數(shù)現(xiàn)象，在多個數(shù)求和時，如果被加數(shù)的絕對值之間差異較大，且包含許多絕對值較小的數(shù)，則應按絕對值從小到大的次序相加。要避免兩個相近數(shù)相減例：cos20=0.9994，但1_cos2o=0.0006卻只有一位有效數(shù)字，遺失有效位。為避免a這種情況，改變計算公式1-cosa=2灑2<x—氣x—1=-x-1x=1（當x很大）￡￡sin（x+￡）-sinx=2cos（x+s）sin—x_lnx1-lnx2=lni（當x與x2接近時）2

4.2y=a*x(a為常數(shù))易知Ie*|=|a*e*IWIal*￡，若a增大，則Ie*|也增大yxxy避免小數(shù)作除數(shù)和大數(shù)作乘數(shù)盡量簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。例如，如果直接計算X255的值須進行254次乘法運算若采用公式X255=X*X2*X4*X8*X16*X32*X64*X128,只需做14次乘法運算注意運算次序0.0005*0.0143*0.0012例計算D=0.0003*0.0125*0.0135解算法一：A=0.0005*0.0143*0.0012=…牝0.000000009（有舍入）B=0.0003*0.0125*0.0135=…牝0.000000051（有舍入）D1=A/B=0.17647D的真值為0.16948148...，只精確到小數(shù)后一位算法二：a=0.0005/0.0003^1.666667b=0.0143/0.0125=1.14400c=0.0012/0.0135^0.088889D2=abc=…=0.169482,則D1精確到小數(shù)后五位例計算"TJ0x"（n=0,1,2,3…），解用分部積分公式得遞推式:解用分部積分公式得遞推式:I—1—e-1用四位有效數(shù)字計算：I0=0.6321,I1—1I1—1—10—0.367913—1—312—0.207415—1—514—0.148012—1—211—0.264214—1—413—0.170416—1—615—0.112017—1—716—0.2160I—1—81——0.728087估算In〉e-1mine〉e-1minexf1xndx=0<x<1e—1n+1<e-1maxexf1xndx=0<x<1e—1故0<——<In+1n0,0460<17<0.12500.0409<18<0.1111于是I7,I8與精確值已經面目全非，一位有效數(shù)字也沒有。這是由于如果I0有誤差

e=0.5x10-4,(e-ia1+(-1)+(；)2++(**,當k=7時，e-1a0.3679其截斷誤差R=e-i-0.3679<1<1x10-4<0.5x10-4R='(7+1)(提(x-x)7+178!4,7(7+1)!0不計中間再產生的舍入誤差，該誤差隨著計算過程分別乘以2,3.?.7,8，到I8時已經變成了8!e=40320e，誤差擴大了4萬倍。因而該算法不是穩(wěn)定的。如果換一種算法，將遞推式改為In-1=|(1-In)，e-1v/V1,1e-1、八…取n=9，I'10910???19a2(仍+-^)=0.0684由I9,逐步計算I8,I7…直到I0=0.6321,。計算結果有四位有效數(shù)字，如果I9有誤差e，其傳播到I0所引起的誤差僅為1e。故該算法是穩(wěn)定的。練習序列也｝滿足遞推關系yn=10yn-1—1(n=1,2,…)，若y0=寸2a1.41(3位有效數(shù)字)，計算到y(tǒng)10時誤差有多大？這種算法是穩(wěn)定的嗎？解y*=1.41￡(y*)=0.5x10-2=￡y*-y1y*0=10y*-yy*-y1y*0=10y*-y<10￡一y10=10匕一^9=???=1010y*一y<1010￡ln2ln2ln2ln2故只要取n=14即可。練習證明方程er+10r—2=0在區(qū)間［0，1］內有一個根，如果使用二分法求該區(qū)間內的根，且誤差不超過10-6，試問需要二分區(qū)間［0，1］多少次？證明令fx)=ex+10x—2，?/f(0)=-1<0,f(1)=e+8>0由此遞推關系每計算一次，其結果誤差比上一次增長10倍，故算法是不穩(wěn)定的。例證明方程1—x—sinx=0在區(qū)間［0，1］內有唯一實根，如果使用二分法求該區(qū)間內的根，且誤差不超過0.5X10-4，試問需要二分區(qū)間［0，1］多少次？證明令fx)=1—x—sinx，?/f(0)=1>0,f(1)=—sin1<0?.f(x)=1—x—sinx=0在［0，1］有根。又f(x)=—1—cosx<0(xe［0，1］)，故f(x)=0在區(qū)間［0，1］內有唯一實根。給定誤差限￡=0.5X10-4，有l(wèi)n("-a)-lns-ln0.5+4ln10.k>1=1=13.2877

:,f(x)=ex+10r—2=0在［0,1］有根。又f(x)=ex+10>0(xe［0,1］),故f(x)=0在區(qū)間［0,1］內有唯一實根。給定誤差限10飛，有k〉ln(b-a)-ln￡^_6ln10^—1^2—_ln2—只要取k=19次.第一章例求過這三個點(0,1),(1,2),(2,3)的拉格朗日插值多項式。解：P(x)_(x-1)(x-2)x1+(x-0)(x-2)x2+(X-0)(X-1)x3_x+12(0-1)(0-2)(1-0)(1-2)(2-0)(2-1)此為一條直線，其原因在于(0,1),(1,2),(2,3)三點共線注意2：京I(x)_1ii_0例1已知函數(shù)7=fx)的觀察數(shù)據為下表，試構造拉格朗日多項式Ln(x),并計算L(—1)。.x—2045y^_51—31解：先構造基函數(shù)l)_x(x-4)(x-5)_x(x-4)(x-5)TOC\o"1-5"\h\z0°)—(-2-0)(-2-4)(-2-5)—-84x(x+2)(x-4)(x-5)_(x+2)(x-4)(x-5)1x_(0-(-2))(0-4)(0-5)40)_(x+2)x(x-5)_x(x+2)(x-5)(x)—(4+2)(4-0)(4-5)—-2435l_(x+2)(x-0)(x-4)_x(x+2)(x-4)3(x_(5+2)(5-0)(5-4)所求三次多項式為L3(x)x(x35所求三次多項式為L3(x)x(x-4)(x-5)(x+2)(x-4)(x-5)x(x+2)(x-5)x(x+2)(x-4)_-5x+—(-3)x+84-51551=—x3x2x+1421421L(—1)=-A-1+兆+1_2434214217402435例2已給sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用線性插值及拋物插值計算sin0.3367的值并估計截斷誤差。解：由題意取x0=0.32,y0=0.314567,x1=0.34,y1=0.333487,x2=0.36,y2=0.352274。用線性插值及拋物插值計算，取x0=0.32及x1=0.34,又由公式得sin0.3367?L(0.3367)=y+七-**(0.3367-x)10x1-x0=0.314567+=0.314567+*0.0167=0.330365.其截斷誤差得|氏1其截斷誤差得|氏1(尤)<M-T2(x-%)(x-%)|其中M=maxf//(x)，因f(x)=sinx，f//(x)=-sinx，2x0<x<X1可取M=max\Sin(x)=Sin(x)<0.3335，于是X0<x<xiIR1(0.3367)|=|sin0.3367-L1(0.3367)|<1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)<0.92x10-5，若取x1=0.34,x2=0.36為節(jié)點，則線性插值為—)*-*一sin0.3367總L](0.3367)=*+于xi(0.3367-x)12=0.333487+°.018787(-0.0033)=0.3303870.02其截斷誤差為g(x)<(x-x)(x-x)其截斷誤差為g(x)<(x-x)(x-x)，其中M=maxf〃(x)<0.35232x1<x<x2~~R](0.3367)=sin0.3367-1^(0.3367)于是<1(0.3523)(0.0023)(0.0233)<1.36x10-52用拋物插值計算sin0.3367時，可得sin0.3367，V另—J二+*"t。"9+用拋物插值計算sin0.3367時，可得sin0.3367，V另—J二+*"t。"9+*-f/30(x—x)(x—x)1(x—x)(x—x)2(x—x)(x—x)010210122021=L(0.3367)0.7689x10-43.89x10-4-0.5511x10-4=0.314567x+0.333487x+0.352274x0.00080.00040.0008=0.330374這個結果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說明查表時用二次插值精度已相當高了。其截斷誤差得|R(x)</r|(x—x)(x—x)(x—x)|16012其中M其中M=max3氣金金2f///(x)=cosx<0.828于是1\R(0.3367)|=|sin0.3367-L(0.3367)<1(0.828)(0.0167)(0.033)(0.0233)<0.178x10-6練習：已知函數(shù)y=lnx的函數(shù)表如下:x1011121314y=lnx2.30262.39792.48492.56492.6391分別用Lagrange線性插值和拋物線插值求ln11.5的近似值，并估計誤差。解線性插值。取兩個節(jié)點x0=11，xi=12，插值基函數(shù)為l(x)=——=—(x—12)l(x)=——^0=x—110x—x1x—x0110由式(1-4)得L1(x)=—2.3979(x—12)+2.4849(x—11)將x=11.5代入，即得ln11.5rL(11.5)=2.3979x0.5+2.4849x0.5=2.44141按式(1-12)得(lnx)；R1(x)=2!&(x—11)(12—x)因為(lnx)〃=—￡&在11與12之間，故|(lnx)；|=—<—=0.0082645&2因為(lnx)〃=—￡&在11與12之間，故|(lnx)；|=—<—=0.0082645&2112拋物線插值。取x0=11，x1=12，x2=13，插值多項式為+2.4849L2(x)=2.3979(x-12)(x-13)

(11—12)(11—+2.4849(x-11)(x-13)

(12-11)(12-13)2.5649(x-11)(x-12)

(13-11)(13-12)=1.19895(x-12)(x-13)-2.4849(x-11)(x-13)+1.28245(x-11)(x-12)所以ln11.5牝L2(11.5)=1.19895x(-0.5)x(-1.5)-2.4849x0.5x(-1.5)+1.28245x0.5x(-0.5)=2.442275因為(lnx)"'=—，于是x32max|(lnx)w|<=0.1503x10-211<x<13113因此用拋物線插值計算的誤差為心11.5)|=”了』|(11.5-11)(11.5-12)(11.5-13)|<1x0.1503x10-2x0.5x0.5x1.56=9.3938x10-5查表可得ln11.5=2.442347。例給定函數(shù)^=f3）的函數(shù)表x廠/\-2012f(x)171217的差商表。解差商表如下:xf(x,)1階差商2階差商3階差商-21701-812132171571

練習：試列出fx）=x3在節(jié)點x=0,2,3,5,6上的各階差商值。X,X,X0123f[x,X]=-8f[x,x0123f[x,X]=-8f[x,x,x]=301,012Xf(X.)1階差商2階差商3階差商-21701-812132171571的二次插值多項式和節(jié)點為的三次插值多項式。解差商表如下:由上例知f(X0)=17:f[X,X,X,X]=1干旱有0124，于是有N(x)=f(x)+f[x,x](x-x)N(x)=17一8(x+2)=-1一8xTOC\o"1-5"\h\z00101N(X)=f(X)+f[X,X](X一X)+f[X,X,X](X一X)(X一X)001001201N(x)=-1-8x+3(x+2)x=3x2-2x-1N(X)=f(x)+f[X,X](X一X)+f[X,X,X](X一X)(X一X)+001001201f[X,X,X,X](X一X)(X一X)(X一X)0123012N(x)=N(X)+(X+2)x(X-1)=3x2—2x一1+(x+2)x(x一1)=x3+4x2—4x一1練習已知函數(shù)表（見下表），試用牛頓插值公式求N2（X），并計算f（1，5）的近似值。X132f(x)12-1解：列出差商表:Xi0階差商1階差商2階差商11320.52-132.5「.N(X)=f(X)+(X一X)f[X,X]+(X一X)(X一X)f[X,X,X]2000101012=1+(X-1)X0.5+(X-1)(X一3)X2.5=2.5x2—9.5x+8f(1.5)幻N2(1.5)==-0.625

例.給定單調連續(xù)函數(shù)了=式0的函數(shù)值表如下x-2-1123f(x)-10-511118求方程f(x)=0的根的盡可能好的近似值解：分析如果直接運用插值公式，可以求得4次插值多項式。從而可以得到一元4次方程。然而我們沒有可靠的辦法直接解高次方程。因為函數(shù)了=fx)單調連續(xù)，所以fx)必存在反函數(shù)x=f-i(y)利用已知函數(shù)值表可知y=f(x)-10-511118x=f-1(y)-2-1123建立差商表ytf-1(yk)一階差商二階差商三階差商四階差商-10-2-5-10.2110.3333330.0121211120.1-0.014583-0.0012721830.1428570.0025210.0007440.000072得到牛頓插值N4(y)=-2+0.2(y+10)+0.012121(y+10)(y+5)-0.001272(y+10)(y+5)(y-1)+0.000072(y+10)(y+5)(y-1)(y-11)x=f-1(0)就N4(0)就0.709250特別注意：反插值只有在y=f(x)為單調函數(shù)才能使用。例.已知函數(shù)表x012y8-7.5-18求函數(shù)y=fx)在［0,2］上零點的近似值解：由于y.是嚴格單調的，可用反插值求其零點。可先求出插值多項式x=9(y)，并令y=0y.8-7.5-18x?1012(y—y)(y—y)」y—y)(y—y)」y—x)(y—y)x=9(y)=12—x+02—x+01—x(y一y)(y一y)0(y一y)(y一y)1(y一y)(y一y)2010210122021x=9(0)=(0+業(yè)+18)x0+(0一8)(0+18)x1+(0-8)(0+75x2(8+7.5)(8+18)(—7.5-8)(—7.5+18)(-18-8)(-18+7.5)=0.445練習.給定單調連續(xù)函數(shù)y=fx)的函數(shù)值表如下

x-2-1123f(x)-10-511118求方程f(x)=0的根的盡可能好的近似值解：利用函數(shù)值表f(x)-10-511118x=f-1(y)-2-1123建立差商表7kf-1W一階差商二階差商二階差商四階差商-10-2-5-10.2110.3333330.0121211120.1-0.014583-0.0012721830.1428570.0025210.0007440.000072得到牛頓插值N4(y)=-2+0.2(y+10)+0.012121(y+10)(y+5)-0.001272(y+10)(y+5)(y-1)+0.000072(y+10)(y+5)(y-1)(y-11)x=f-1(0)就N4(0)就0.709250練習2已知函數(shù)表x012y8-7.5-18求函數(shù)/=式0在［0,2］上零點的近似值解：由于為是嚴格單調的，可用反插值求其零點?？上惹蟪霾逯刀囗検絰=9(y)，并令7=0y8-7.5-18x.1012(y—y)(y—y)」y—y)(y—y)」y—x)(y—y)TOC\o"1-5"\h\zx=9(y)=12—x+02—x+01—x(y一y)(y一y)0(y一y)(y一y)1(y一y)(y一y)2010210122021\o"CurrentDocument"x=9(0)=(0+7.5)(0+18)X0+(0一8)(0+18)x1+(0-8)(0+75x2(8+7.5)(8+18)(—7.5-8)(—7.5+18)(-18-8)(-18+7.5)=0.445例.給定函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值表如下，已知該函數(shù)是一個多項式，試求其次數(shù)及x的最高冪的系數(shù)x012345f(x)-7-452665128解：構造差商表如下x一階差商二階差商二階差商四階差商

0—71—4325933262161465399105128631210由表知，函數(shù)的三階差商均為1,故多項式的最高次數(shù)為3由牛頓插值公式得f(X)=—7+3(x-0)+3(x-0)(x-1)+(x-0)(x-1)(x-2)=x3+2x-7故X3的系數(shù)為1x123f(x)2412f'W3例求一個次數(shù)不高于3的多項式P3(x)滿足下列插值條件解：設P2(x)滿足P2(1)=2,P2(2)=4,P2(3)=12,則有P2(x)=3x2-7x+6為求得P3(x),根據插值條件知，P3(x)應具有下面的形式P3(x)=P2(x)+Mx-1)(x-2)(x-3)，這樣的P3(x)自然滿足：P3(X)=/由P3’(2)=3P3’(2)=P2’(2)+航(2-2)(2-3)+(2-1)(2-3)+(2-1)(2-2)]=P2’(2)—k=3P2’(2)=5:?k=2:.P3(x)=P2(x)+2(x-1)(x-2)(x-3)=2x3-9x2+15x-6作業(yè)1.用如下數(shù)值表構造不超過3次的插值多項式x012f(x)129ff(x)3P5511題證明方程ex+10x—2=0在區(qū)間［0,1］內有一個根，如果使用二分法求該區(qū)間內的根，且誤差不超過10-6,試問需要二分區(qū)間［0,1］多少次？設xt=451.01為準確值，xa=451.023為xt的近似值，試求出xa有效數(shù)字的位數(shù)及相對誤差練習用牛頓插值法求、7的近似值第二章11例試構造求積公式jf(x)dxaAf()+A0041造出的求積公式是插值型的。解：設原式對于上1，有精確，可列方程'A+A=110311例試構造求積公式jf(x)dxaAf()+A0041造出的求積公式是插值型的。解：設原式對于上1，有精確，可列方程'A+A=110311nA—A+—A——_0使其代數(shù)精度盡可能高，并證明構〔40412這樣構造出的求積公式是jf(x)dx0“3、+—f(―)433——易知拉格朗日插值基函數(shù)分別為l(x)——-2x+-402j1l(x)dx———0121設x°——4，氣j1/(x)dx———002故所求積公式是插值型的。31

2，l1(x)——2x—2練習：用兩種方法計算試構造形如j1f(x)dxaAf(?)+Af(?)+A004122積公式所具有的代數(shù)精度。解按題設原式是插值型的，的插值型求積公式，并指明該求故有/1Yx—二1k2人(11Y4—2k42八_3)%￡I—H44Jdx——23A——11Xr1—1丫13、k24Jkdx——--3同樣，容易計算出A——A20于是有求積公式j1f(x)dxa01\1/1\2/3\―3f由于原式含有3個節(jié)點，按定理1它至少有2階精度?？紤]到其對稱性，可以猜到它可能有3階精度。事實上，對于f(X)——X3原式左右兩端相等。此外，容易驗證原式對f(X)——X4不準確，故所構造的求積公式確實有3階精度。特例：①當n=1的牛頓-柯特斯公式為：梯形公式T——(b—a也Ca)f(x)k——0——(b—a)[1f(a)+1f(b).

k22C(1)——C(1)=—.012②當n=2時牛頓-柯特斯公式為：辛普森(Simpson)公式S=(b-a)^2C(2)f(x)k=0r14a+b1=(b-a)-f(a)+-f(f)+-f(b)a+bf(a)+4f(C(2)—C(2)——；C(2)——.③當n=4時牛頓-柯特斯公式為：柯特斯公式C=b-±I?f(x)+32f(x)+12f(x)+C(2)—C(2)——；C(2)——.③當n=4時牛頓-柯特斯公式為：柯特斯公式C=b-±I?f(x)+32f(x)+12f(x)+32f(x)+7f(x)]9001234nC0(n)C1(n)C2(n)C3(n)C4(n)C5(n)C6(n)641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840解：h=(b-a)/n=1/6,xi=0+i/6=i/6I=(b一a)/c(n)f(x)i—0TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4196913419191411=+一X—+X+X+X+一X+X—\o"CurrentDocument"840357280j1105j1280j235j58402I^T^T^T\o"CurrentDocument"236=0.6933練習2分別利用梯形公式、Simpson公式和柯特斯公式計算積分j1exdx的值解：（1）梯形公式(2)Simpson公式

1,1j(2)Simpson公式

1,1j1exdx?_[e0+4e2+e1]=1.7188612j1exdx?_[e0+e1]=1.8591409(2)柯特斯公式1111j1exdx注__[7e0+32e；+12e2+32e-+7e1]=1.7182827

練習3當n=L2,3時，分別用牛頓一柯特斯公式計算積分,1sin尤7=j1dxox的值。sinx解：取f(x)=—TOC\o"1-5"\h\z當n=1時，I=j1Snxdxr-[f(0)+f(1)]=-(1+0.8414709)=0.9207354ox22當n=2時，I=j些dxr-[f(0)+4f(-)+f(1)]=0.9461359ox62當n=3時，I=j嘗dxr1[f(0)+3f(1)+3f(2)+f(1)]=0.9461109練習1試檢驗下列求積公式的代數(shù)精度。ox833,2(1)解記因為jf(x)dxr-fk4)練習1試檢驗下列求積公式的代數(shù)精度。解記因為I(f)=j1f(x)dx0I(f)=二f1-3fi<fI(f)=j11dx=10I(f)=j1xdx=102I(f)=j1x2dx=103~212I(f)=x1-x1+x1=1(f)333?I(f)?I(f)111231=x-x+x=432342111291=—x_-_x_+_x—=-16343163I(f)=j1x3dx=0?I(f)=111227_x_-_x_+_x6438364?I(f)?I(f)=當f(x)x4時左右兩端不等，故所給求積公式僅有三階精度。練習2：判別下列求積公式是否是插值型的，并指明其代數(shù)精度:』3f(x)dxQ3If⑴+f⑵]

02解這里關于拉格朗日插值基函數(shù)I°(x)」i(x)直接求積知j31(x)dx幻j31(x)dx=°0°12因此所給求積公式是插值型的。f(x)=x2，原式按定理1,含有2個節(jié)點的求積公式至少有1階精度。再考察3八左端，而右端—2(+)，左右兩端不相等。因此所給求積公式僅有1階精度。，原式例取9個等距節(jié)點(包括區(qū)間端點)分別用復化梯形公式和復化辛甫生公式求積分j°】蓋的近似值(取6位小數(shù))解：易知h=1=0-125列表如下8xkfk復化梯形公式組合系數(shù)復化辛甫生公式組合系數(shù)04110.1253.938426240.253.764706220.3753.506849240.53.200000220.6252.876405240.752.560000220.8752.265487241.0211對復化梯形公式I=f+2(f+f+f)+f=50.223818101278j1刖土rhI=3.13898901+x221對復化辛甫生公式

Z2=f0+4fi+2f2+4f3+2f4+4f5+2f6+4f7+f8=75.3892244dx2hj1里竺總竺E=3.141593o1+x262dx練習利用n=5的復化辛甫生公式計算積分I=j1菖二的近似值.分析：n=5，需要2X5+1=11個點的函數(shù)值，h=(1-0)/5=1/5,然后計算。解：區(qū)間長度為b-a=1,n=5,h=1/5=0.2所需節(jié)點xk=0+kh(k=0,1,???,5在每個小區(qū)間[xk1,xk]中還要計算1,x=x+_h(k=1,2,5)k~1+2TOC\o"1-5"\h\zSn4[f(a)+f(b)Af(氣)+4Zf(xk+1)]k=1k=02o111^1111、.?S=—x—x[+2x(+++)+5651+01+0.21+0.41+0.61+0.84x(^^+^^+^^+^^+^^)+上]=0.693151+0.11+0.31+0.51+0.71+0.91+1例.依次利用n=8的復化梯形公式和n=4時的復化辛甫生公式計算定積分1=j1竺％，已知函數(shù)f(x)=業(yè)的數(shù)據如下表0xxkxkf(x)kkxkf(x)k001.000000055/80.936155611/80.997397863/40.908851621/40.989615877/80.877192533/80.9767267810.841470941/20.9588510解：工)dxwT=h[f(a)+f(b)+2云f(x)]Jkk=1.??T=1[f(0)+f⑴+2尸f(x)]"16=0.9456909k=1jbf(x)dx^Sn=6[f(a)+f(b)+4Zf(x一)+2Za6k+—k=02f(x)]kk=1...S=X[f(0)+f⑴+4尤f(X)+2尤f(X)]TOC\o"1-5"\h\z24k+1kk=02k=1={[f(0)+f⑴+42Lf(X)+江f(X)]424k+1kk=02k=011357=[f(0)+f⑴+4[f(_)+f(—)+f(_)+f(_)]+248888\o"CurrentDocument"123+2[f(—)+f(—)+f(—)]]444=0.9460832小結：判斷一種算法的優(yōu)劣，計算量是一個重要的因素。由于在求f(x)的函數(shù)值時,通常要做許多加減乘除四則運算，因此在統(tǒng)計求積公式￡Akf(x「的計算時只要統(tǒng)計求函k數(shù)值f(X)的次數(shù)用復化求積法。取n=8用梯形公式(18)求得T8=0,9456909再取n=4用復化公式辛甫生公式(19),又得S4=0.9460832比較上面兩個結果，它們都要提供9個點的函數(shù)值，工作量基本相同，然而精度卻差別很大，同積分的準確值0.9460831比較，復化梯形方法的結果T8有兩位有效數(shù)字，而復化辛甫生公式的結果S4卻有六位有效數(shù)字。復化辛甫生公式是一種常用的數(shù)值求積方法。為了便于編寫程序，可將求積公式(19)事先改寫成下列形式Sn=h\f(b)-f(a)+笑1Sn=h\f(b)-f(a)+笑1〔k=0,1kk+2-JJ例.用變步長梯形公式計算定積分I二^竺/故.解：我們先對整個區(qū)間［0,1］使用梯形公式.對于函數(shù)f(X)=蠟，有f(0)=1,而X[f(0)+f(1)]=0.9207355f⑴=0.8414709，據梯形公式計算得：T1=然后再計算中點的函數(shù)值f(1)=0.9588510，從而據T=；T+告”f(x-有T=1T+[f(0)+f(1)]=0.92073552n2n2k0k+12212211131—T=-T+-[f(-)+f(-)]=0.9445135…422444

這樣不斷二分下去，二分10次可以得到比較精確的值0.9460381.2dx練習：用變步長梯形公式計算積分I=』——，要求T—T<0.5x10-201+X2k+1k'2解：設f(x)=『，應用變步圓形公式有T=1—0[f(0)+f(1)]=上(-^+-^)=1.5221+021+127T=1T+1f(0.5)=上(1.5+一2一)=1.5521221+0.52T=1T+L[f(0.25)+f(0.75)]=寫1.55+上(一2一+一2一)強1.56564224221+0.2521+0.7523

+f()+3

+f()+82+8=24+812222=—[1.5656+_(+++)]41+0.12521+0.37521+0.62521+0.8752a1.5695|孔—T4\=0.0039<0.5x10-2Ia1.5695,■取例6.1用中心差商數(shù)值微分公式計算函數(shù)f(X)=%’偵在x=2處的一階導數(shù)f(x+h)—f(x—h)h0.0010.0050.010.050.10.51f'(x)0.35000.35000.35000.35300.35350.35640.36602h2h解：f(x)a羅，當x=2時，有2+h-、；2-hf(2)=第三章h0.0010.0050.010.050.10.51f'(x)0.35000.35000.35000.35300.35350.35640.36602h2h,2xy=y—y〔y(0)=1取步長h=0,1，計算結果見下表。yn+1="hy-n"y)n

xnyny(x}xnyny(xn)0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321例2用歐拉方法計算初值問題0.3時的近似值。(取步長h=0.1,小數(shù)點后至少保留4位)解：歐拉格式為：y=y+h(x2+100y2)=y+0.1x(x2+100y2)ny1=0.0000y=0.1x0.12=0.0010y3=y2+0.1x(0.22+100x0.00102)=0.0050n+1nnnnnn由y(0)=0y(0.1)蝕y(0.2)ry(0.3)rJlXox0y[y'=8-3y,(1<x<2)<練習：用梯形格式求解初值問題[y(1)=2，取步長h=0.2，小數(shù)點后至少保留五位解：梯形格式為h、、y=y+耳[f(x,y)ny1=0.0000y=0.1x0.12=0.0010y3=y2+0.1x(0.22+100x0.00102)=0.0050n+10.2八一八一yn+1=yn+項［8-3y+8-3y］,n716yn+1=13yn+汀由y(1)=y0=n+1y(1.2)*y=2.30769y(1.4)*y=2.47337y(1.6)*y=2.56258y(1.8)*y=2.61062y(2.0)*y5=2.63649思考題對初值問題y，+y=0,y(0)=1試證明用梯形格式所求得的近似解為:（其中h為步長）證明:梯形格式為h、、yn+1=yn+云f(x,y)+f(",y)］，于是hyn+1=yn+2(-y-y-)1-hy試證明用梯形格式所求得的近似解為:（其中h為步長）證明:梯形格式為h、、yn+1=yn+云f(x,y)+f(",y)］，于是hyn+1=yn+2(-y-y-)1-hy=2-yn+1?h1+2n+1n+1nn+12-h?yn2+hnn+1?而y0=y(0)=L故得

y=(2^)nn"2+hyf+y+y2sinx=0例用歐拉預-校格式求初值問題ly（1）=1要求取步長h=0.2試計算y(1.2)及y(1.4)的近似值(小數(shù)點后至少保留五位)=y+hf(x“,y“)h、…―=y+萬［f(x,y)+f(x,y)］2nnn+1n+1yn+1y1n+1nny=y-0.1(y+y2sinx+y+y2sin工)由y(1)=y0=1計算得y=0.63171y(1.2)牝y1=0.715488F=0.47696y(1.4)總y2=0.52611y'=1--2^,0<t<2練習用歐拉預-校格式求初值問題/1+12，要求取步長h=0.5,計算y(0)=0結果保留6位小數(shù)。c,、-2ty將件。.5,f(t,y)=1-片代入“[y=y+hf(t，y)角*.n+1nnny=y+h[f(t,y)+f(t,y)]n=O，1，2,n+1c,、-2ty將件。.5,f(t,y)=1-片代入+(0.5——y)1+12nnyn+1=y.+0.5x(1t―n—y1+12nnn+1—y)1+12n+1n+1由y0=0計算得y=0.500000,y(0.5)=七=0.400000族=0.740000,y(1.0)注七=0.635000y3=0.817500,y(1.5)ay3=0.787596練習試寫出歐拉預報-校正格式。y4=0.924090,y(2.0)牝y4=0.921025練習試寫出歐拉預報-校正格式。'預報y=y+hf(x,y)n+1nnnh校正y=y+方[f(x,y)+f(x,y)]

n+1n2nnn+1n+1練習試寫出歐拉預報-校正格式?！A報yn+1=yn+hf(xn,yn)<h校正yn+1=yn+Ff(xn,yn)+f(xn+1,yn+1)]

第四章xex-1=0例用方程的迭代解法求方程的一正根，要求根的近似值X*穩(wěn)定至小數(shù)點后5位。解：設f(x)=xex-1.../(°)=-1,/⑴=e-1>0f(x)=°f(x)=ex+xex>0xe［0,+8J...f(x)=°在區(qū)間［o,i］上有根f(x)=0?.?在區(qū)間［0,1］上有唯一實根=x16=0.56714取x0=0.5,將xex-1=0改寫成x=e-x,建立迭代公式《1=5也二0，1，2，…)進行迭代：x0=0.5,氣=0.60653，…,x15=0.56715,%?.?根的近似值為x*20.56714練習用方程的迭代解法求方程'^*)xx在x0=1.5附x*=x16=0.56714近的一根x如建立'k+13Xk的迭代公式，其迭代過程是收斂的。x7=x8=1.32472如建立Xk+1xk(x0=1,5)的迭代公式，則有x1=2?375x2=12*39…*k會越來越大，不可能趨于某個極限。這種不收斂的迭代過程稱作是發(fā)散的，縱使進行了千百次迭代，其結果也是毫無價值。x2-3=0x*—3例.用不同的迭代公式求方程的正根(x=氣'3)解設f(x)=x2-3，可以將f(x)=0改寫成不同的等價式x—中(x)，由此可構成不同的迭代式。(1)中(x)=x2+x-3,xk+1=x+T3?..平，(x*)二甲，(\/3)=2/3+1〉1X=—

k+1xk中X=—

k+1xk中'(x)=-:",(x*)25=-1TOC\o"1-5"\h\z/、1，(3)中⑴-x—(x2—3),x4(P'(x)=1-2x*'(x*)=9'(必)=1-球Q0.134V1\o"CurrentDocument"⑷中(x)=—3+7(2x=x+—),七+12(*k\o"CurrentDocument"2xx2xk3中'(x)=(1-一)中(x*)=中(t'3)=0\o"CurrentDocument"x2很明顯，迭代法(1)、(2)不滿足1中'(x)^q<1的條件，其迭代法發(fā)散；迭代法(3)、(4)滿足1中，(x)1-qV1的條件，均局部收斂，且(4)比(3)收斂得快。練習設9(x)=x+a(x2-5)，要使迭代過程xn+1=9(xn)局部收斂到x=J5,求a取值范圍。9'(x)=1+2a*x解x*=5由在根：鄰域具有局部收斂時，收斂條件19'(x*)1=11+2a.j5k1=_尋VaV05￡例用牛頓迭代法求方程xx=10的一個實根，精度要求=10-6解：原方程同解變形為xlgr—1=0，令f(x)=xlgx—1,:f(2)=2lg2—1<0，f(3)=3lg3—1>0,.?.f⑵*f(3)<0:?f(x)=xlgx—1=0的根區(qū)間為(2，3)。f(x)=lg(x)+Ige?>0x《(2，3)注意(logax)’=1/(xlna)f(x)=^xe〉0，并且f⑶與f(x)同號..?牛頓迭代法收斂..??取為=3,計算、尸「2了(七)，得x1=2?526710,x2=.??取為=3,計算、尸「2了(七)，得x1=2?526710,x2=2.506228,x3=x4=2?506184最后取實根x*=2.506184練習討論用牛頓迭代法求解瘧一x一1=0在x—L5附近的收斂性，若收斂,用牛頓迭代法求其解。要求”屈―x」＜105答案?取x*幻1.324717957^答^案?.取。例.用單點弦截法解方程f(x)—%心—1—0，要求&+1—x解：f(0.5)<0,f(0.6)>0易知根區(qū)間為[0.5,0.6]f(x)—c(1+x)。0f(x)—c(2+x)>0f(0.5)f(0.5)<0f(0.6)f(0.6)>0所以取(0.6,f。6))為不動點，即取x°=0.6,x1=0.5，代入下式xk+1xf(x)—xf(x)_0kk0_f(x)—f(x)

k0<0.5X10-5得x2=0.56532,x3=0.56709經5次迭代后得到x4=x5=0.56714，滿足條件xk+1x^—Xl°5..取xa0.56714例.用雙點弦截法求方程X3—X2—1=0，在x=1.5附近的根.計算中保留5位小數(shù)點.解fx)=x3—x2—1,f(1)=—1，f(2)=3，有根區(qū)間取[1,2].取x0=1,x1=2,x)-3x2-2X*0(xe[1,2])迭代公式為xn+1Xnf(x)—f(x)(x〃Xn-1)nn—1(n=1,2，…)"—xi2—1(x—x)-2-°XE.25x3—x2—x3+x21°41.253—1.252—11.376623—1.376622-1X3=1.25—1.253—1.252—23+22乂(1.25—2)“L37662氣=1.37662—]37662—^37662""125""125~'('37662—1.25)總1488811.488813—1.4888121.376623—1.376622-1x5T48881—1.488813-1.488812-1.376623+1.376622'睥8881—L37662)乂1463481.463483—1.463482—1七—,—1.463483—1.463482—1.488813+1.488812*'一’?取x*q1.46553,犬1?465534一0?000145練習.用單點弦截法解方程f練習.用單點弦截法解方程f(X)=的—1=0要求xk1—xj<0.5X10-