《高等幾何》復(fù)習(xí)大綱及樣題

PAGEPAGE11（0464《高等幾何》復(fù)習(xí)大綱仿射坐標(biāo)與仿射變換一、要求1.掌握透視仿射對應(yīng)概念和性質(zhì)，以及仿射坐標(biāo)的2二、考試內(nèi)容1.單比的定義和求法。2.仿射變換的代數(shù)表3變直線的求法。射影平面一、要求1.掌握中心射影與無窮遠(yuǎn)元素的基本概念，理解無窮遠(yuǎn)元素的引入。2.熟練掌握笛薩格（Desargues）定理及其逆定理的應(yīng)用。3.5.掌握對偶命題、對偶原則的理論。二、考核內(nèi)容1.中心投影與無窮遠(yuǎn)元素：中心投影，無窮遠(yuǎn)元素，圖形的射影性質(zhì)。笛薩格定理：應(yīng)用笛薩格定理證明有關(guān)結(jié)論。4算及其應(yīng)用。5射影變換與射影坐標(biāo)一、要求應(yīng)用。掌握完全四點形與完全四線形的調(diào)和性及其應(yīng)用。掌握一維射影變換的概念、性質(zhì)，代數(shù)表示式和參數(shù)表示式。掌握二維射影變換的概念、性質(zhì)以及代數(shù)表示式。關(guān)系。二、考試內(nèi)容念及其性質(zhì)。和性。二維射影變換 二維射影對（變換與非奇線性對應(yīng)的系。6.射影坐標(biāo)：一維射影坐標(biāo)、二維射影坐標(biāo)。變換群與幾何學(xué)一、要求 1.了解變換群的概念。 2.理解幾何學(xué)的群觀點。3象。二、考試內(nèi)容 變換群與幾何學(xué)的關(guān)系。2仿射幾何、射影幾何學(xué)相應(yīng)的變換群、研究對象基本不變量和基本不變性。二次曲線的射影理論一、要求（級）2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。3.掌握極點，極線的概念和計算方法，熟練掌握配極原則。4二階曲線的射影分類。二、考試內(nèi)容1.二階（級）線的主程和切線方程。題，解決相在的作圖問題。二階曲線的射影分類。二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)一、要求和考試內(nèi)容1.掌握二次曲線的中心、直徑、共軛直徑、漸近線等概念和性質(zhì)。（0464《高等幾何》樣題及答案一、填空題（210）1、平行四邊形的仿射對應(yīng)圖形為： ；2、線坐標(biāo)（1，2，1）的直線的齊次方程為： ；3、直線3x1

2x2

0上的無窮遠(yuǎn)點坐標(biāo)為： ；4、設(shè)(AB,CD)=2，則點偶 調(diào)和分割點偶 ；5、兩個射影點列成透視的充要條件是 二、作圖題（每題6分，共6分）1、敘述下列圖形中的點線結(jié)合關(guān)系及其對偶命題，并畫出對偶圖形。三、計算題（1030）1、 求仿射變換式使直線x＋2y－1＝0上的每個點都不變且使點（1，-1）變?yōu)椋?1，2）xx2、 求射影變換1 1的固定元素。xx 2 2xx3 33、敘述二次曲線的中心、直徑，共軛直徑漸近線等概念，并舉例說明。四、證明題（1224）1、敘述并證明布利安桑定理。2、設(shè)（AB、CD）=-1，OCD〃OB（線段）參考答案一、填空題1、平行四邊形、x1

2x2

x 0 3（2，-3，0）4、AC,BD、3保持公共元素不變二、作圖題1、每三點不共線的五個點，兩兩連線。對偶：沒三線不共點的五條線，兩兩相交。 對偶圖形就是自己三、計算題1解 設(shè)所求仿射變換為x

x

yc

在已知直線x+2y-1=01y2

1xb2

1yc2上任取兩點，例如取、（3，-1），在仿射變換下，此二點不變。而點變?yōu)槭降胏 1

bc 3 1

bc 1 由1 1 1 1 1 1 c2 2

0 b c2 2

1 b c 22 2 2以上方程聯(lián)立解得：

＝2 ，b1

=2 ,c1

=-1,=-32 2

,b=-2 ,c=32 2 2

x2x2y1 y

2y3 2 2解 由題設(shè)的射影變換式，得 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 把它們11 12 13 21 22 23 31 32 33代入射影變換的固定方程組6.5公式(2), 即(11

)x1

x12

x 013 3 x

)x

x 0

1 22

2 23 3x311

x )x 032 2 33 3得(1)x 0 10 0得

1)x

01

=0, 即x)x3

0 001(1+u)(1-u)2=0解得u=1（二重根）,u=—1u=—1u=1x1=0AA上的每一點都是固定點。 的值代入射影變換的固定直線方程23 ij(組。5公式，即

)1 21

31

0 (102得 1 則特2

) 0121 22

2 32

0 ) 0131 23 2 33 3 3100征方程為01 0001

=0 即（1+v）(1-v)2=0,解得v=-1v=1(二重根)。將v=-1（。v=1u=01四、證明題 、見課本2、證明 這里所用的都是有向線段，利O為CD中點這一假設(shè)，便有OD=-OC來論證的，由（AB，CD）=-1，得ACBD=-1ADBC即 〃BD+AD〃BC=0 （1）把所有線段都以O(shè)點做原點來表達(dá)，由（1）得（OC-OA）（OD-OB）+（2） 由去括號，移項，分解因子得2（OA〃OB+OC〃OD）=（OA+OB）（OC+OD） 2（OA〃OB-=（OA+OB）〃0 ∴OA〃OB-OC2=0即OC2=OA〃OB高等幾何試題一、填空題（327）1、兩個三角形面積之比是（。2、相交于影消線的二直線必射影成（。3、如果兩個三點形的對應(yīng)頂點連線共點，則這個點叫做（ 。4x

x,x,x) 一直線u,u,u

上的充要條件是1 2 3 1 2 3（ 。5p1

p,p2

p3,則p4

p,p3

p)（ (p1

,p24

) 。6p,

,p,

滿足(pp,p

pp

和p,p1 2 3 4

1 2 3

3 4 1 2（ 。7（ 。8、不在二階曲線上的兩個點 P(p

p)，Q(qq

)關(guān)于二階曲線1 2 3 123S axxiji j

0成共軛點的充要條件是（ 。9、仿射變換成為相似變換的充要條件是（ 二、計算題（每題8分，共56分）1、計算橢圓的面積（x2a2 b

1 a,b0）2、求共點四線l1

:yk1

x，l2

:yk2

x，l3

:yk3

x，l4

:yk4

x的交比。1xx13、求射影變換

1的不變元素。x x 2 2xx34、求二階曲線6x2x

3224x

211x

0經(jīng)過點P(1,2,1)的切線方程。1 2 3 235、求雙曲線x22xy3y22x4y0的漸近線方程。6、求拋物線2x24xy2y24x10的主軸和頂點。、求使三點O(0,)E(1,1P(11)順次變到點O(2,3)E(2,5)P(3,7)的仿射變換。A(1,2,3)B(5,1,2)C(11,0,7)D(6,1,5)，驗證它們共線并求ABCD（8）（9）答案一、1、仿射不變量 2、平行直線 3、透視中心 4、uxux11 2

ux0335、32 、調(diào)和分離、任何四個對應(yīng)點的交比相等 、S 0pq9、這個變換使圓點保持不變二、1x2a2

y21b2xx經(jīng)過仿射變換 ay y b其對應(yīng)圖形為圓。 x2y2a2在仿射變換①之下，A，BBO，所以AOB對應(yīng)，AA3.62，有橢圓面積圓面積SAOB

SAOB所以 橢圓面積a2

因此所給橢圓的面積為ab。1 12ab 2a22、解：化為齊次方程：l:x1 2

kx1

0 l:x2 2

kx021l:x3

kx31

0 l:x4 2

kx041取ax2

0,b:x1

0為基線，則有l(wèi)(akb),l1 1

(a

b),l2

(a

b),l3

(akb)41.11

(l

,l

(k32412 332412 34 (k k)(kk23143、解：由方程10 001 0 000 1

)(k

k) 得 (1)(1)(1)0所以 1， 1（重根）1 2將1代入（3.4.3）得(11)y0y

0y 0010 y(11)y

2 30y 001 2 3 y0y (11)y 01 2 3y1

0（即y軸y1

0這條直線上的點都是不變點，因此這條直線是不變直線。4、解：將P點的坐標(biāo)代入二階曲線方程中得S 0pq所以P點在二階曲線上，故切線方程為S 0p06 0 x0 即 (1,2,1)0 1 11

102 x 20 11

24x 2 3亦即 12x1

7x2

26x3

0 為所求切線方程。5、解：設(shè)漸近線的方程為a x111

a x12

a x133

k(a x121

a x22

a x32

)0根據(jù)（2.9）有 3k22k10解之，得k1

1,k2

1，所以漸近線方程為3xy1(x3y2)0和xy11(x3y2)03化簡，得所求為2x2y10和2x6y50。6A31

2 22 0

4,A32

2 22 0

4代入4.1，得主軸為 4(2x2y2)4(2x2y)0即 2x2y10解方程 2x24xy2y24x103

2x2y10。(,887、解：設(shè)所求仿射變換為 x

x

ya于是有 2a133a23

11 12ya xay21

13ya232a a a11 12 135a a a21 22 233a117a21

a a12 13a a22 23解此方程組得 a

2，a

3，a

1，a

1

4，a 613 23

11 2

2 21 22故所求的仿射變換為

x1x 2

y2123123三、解：因為51205120110123123三、解：因為512051201107615

所以A,B,C,D共線。設(shè) CAB,DAB1 2由 11125,022(1),7322得 2 同理可得1

1 所以