單位載荷法-莫爾積分課件

一、推導(dǎo)：§13-7單位載荷法--莫爾積分一、推導(dǎo)：§13-7單位載荷法--莫爾積分方式一：先加再加方式二：同時加同理：方式一：先加再加方式二：同時加同理：二、莫爾積分的應(yīng)用：1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：2、計算小曲率曲梁發(fā)生彎曲變形的位移：3、計算圓軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的位移：4、計算桿發(fā)生軸向拉壓變形的位移：5、計算桁架節(jié)點位移：6、計算結(jié)構(gòu)組合變形的位移：三、莫爾積分的應(yīng)用范圍：線彈性結(jié)構(gòu)四、的符號的含義：1、+：所求位移的實際方向與所加的單位載荷方向相同2、-：所求位移的實際方向與所加的單位載荷方向相反二、莫爾積分的應(yīng)用：1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：2、計算小用莫爾積分計算的步驟：1、寫出結(jié)構(gòu)在原載荷作用下引起的各段的各種內(nèi)力方程2、將結(jié)構(gòu)單獨取出，在結(jié)構(gòu)上施加一與所求位移對應(yīng)的單位載荷即：求位移時施加單位力；求相對位移時施加一對相反單位力。求轉(zhuǎn)角時施加單位力偶；求相對轉(zhuǎn)角時施加一對相反單位力偶。3、寫出結(jié)構(gòu)在單位載荷單獨作用下引起的各段的各種內(nèi)力方程4、將同一段的同一種內(nèi)力方程相乘積分注意：在列原載荷和單位載荷引起的內(nèi)力方程時，必須保證內(nèi)力方程分段相同，并且每段自變量的基準(zhǔn)點相同ABD求C點鉛垂位移C思考:在分別寫原載荷和單位載荷引起的彎矩方程時,應(yīng)分幾段?ABDC組合變形時的莫爾積分：用莫爾積分計算的步驟：1、寫出結(jié)構(gòu)在原載荷作用下引起的各段的所以：其中:為原載荷引起的彎矩，為單位載荷引起的彎矩，注意單位載荷一定要與所求位移：在種類和位置上對應(yīng)。六、莫爾積分的例題1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：求:C點鉛垂方向的位移和B點轉(zhuǎn)角莫爾積分的應(yīng)用范圍：

線彈性結(jié)構(gòu)例1:已知所以：其中:為原載荷引起的彎矩，為單位載荷引起的彎矩，注意單2)列原載荷引起的內(nèi)力方程:3)施加單位載荷:4)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:5)同一段的同一種內(nèi)力相乘積分解:求1)求約束反力:為此取AB為研究對象2)列原載荷引起的內(nèi)力方程:3)施加單位載荷:4)列單位載荷的正、負(fù)號的含義：1、+：所求位移的實際方向與所加的單位載荷方向相同2、—：所求位移的實際方向與所加的單位載荷方向相反求的正、負(fù)號的含義：1、+：所求位移的實際方向與所例2：試求P力作用下，A點的豎直位移分析：因為力與軸線位于同一平面所以在P力作用下，只考慮彎曲變形，即只考慮彎矩解：2、計算小曲率曲梁發(fā)生彎曲變形的位移：R1RPAB1)列原載荷引起的內(nèi)力方程:2)施加單位載荷,列單位載荷引起的內(nèi)力方程:3)由莫爾積分求:例2：試求P力作用下，A點的豎直位移分析：因為力與軸線位于同3、計算桁架節(jié)點位移：PPABCD解：11ABCD12345123451)列原載荷引起的內(nèi)力方程:PAB例3：圖示簡單桁架，各桿長度均為，且EA相同，試求B、D兩節(jié)點的相對位移。2)施加單位載荷:3、計算桁架節(jié)點位移：PPABCD解：11ABCD123453)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:B1A11ABCD12345桿號3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:B1A11ABCD12345桿4)由莫爾積分求:桿號PPABCD4)由莫爾積分求:桿號PPABCD4、計算結(jié)構(gòu)組合變形的位移：PABC1ABC例4：圖示剛架，各段剛度已標(biāo)出，試A點的鉛垂位移與B點的轉(zhuǎn)角解：1)列原載荷引起的內(nèi)力方程:2)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:4、計算結(jié)構(gòu)組合變形的位移：PABC1ABC例4：圖示剛架，設(shè)3)同一段的同一種內(nèi)力相乘積分PABC1ABC設(shè)3)同一段的同一種內(nèi)力相乘積分PABC1ABC若橫截面是邊長為b的正方形，時，上述比值為：PABCABC1若橫截面是邊長為b的正方形，時，上例5:軸線為半圓形平面曲桿如圖(a)所示,作用于A點的集中力P垂直于軸線所在平面,求P力作用點的垂直位移.1)列原載荷引起的內(nèi)力方程:2)施加單位載荷:4)積分計算位移3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:P1例5:軸線為半圓形平面曲桿如圖(a)所示,作用于A點的集中2)列原載荷引起的內(nèi)力方程:3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:解:1)求約束反力例:變截面梁如圖所示,已知：P，a，EI1，EI2。求：D點的垂直位移.2)列原載荷引起的內(nèi)力方程:3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:解3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:4)同一段的同一種內(nèi)力相乘積分3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:4)同一段的同一種內(nèi)力相乘積解:1)由于對稱，只計算一半例:平面剛架如圖所示,已知：P，a，EI。求：AF兩點的相對位移.2)原載荷引起的內(nèi)力方程:3)單位載荷引起的內(nèi)力方程:解:1)由于對稱，只計算一半例:平面剛架如圖所示,已知：2)原載荷引起的內(nèi)力方程:3)單位載荷引起的內(nèi)力方程:2)原載荷引起的內(nèi)力方程:3)單位載荷引起的內(nèi)力方程:2)原載荷引起的內(nèi)力方程:3)單位載荷引起的內(nèi)力方程:2)原載荷引起的內(nèi)力方程:3)單位載荷引起的內(nèi)力方程:分析：研究角度θ對應(yīng)的截面的彎矩。先考慮內(nèi)部弧段φ的合彎矩計算均布外壓小曲率曲梁彎曲變形的A點豎直位移yA：2)A點施加向下的單位力,引起的內(nèi)力方程:3)由莫爾積分求yARqABdp=qds=qRdφRqAB1分析：研究角度θ對應(yīng)的截面的彎矩。先考慮內(nèi)部弧段φ的合彎矩計一、推導(dǎo)：，若EI為常量，則公式可變形為：CABABxy§13-8計算莫爾積分的圖乘法一、推導(dǎo)：，若EI為常量，則公式可變形為：CABABxy§1CC頂點頂點(1)二次拋物線：(2)二次拋物線：為了計算方便，列出了比較常見圖形的面積和形心坐標(biāo)CC頂點頂點(1)二次拋物線：(2)二次拋物線：為了計算方便三、應(yīng)用圖乘法的注意事項：1、有正負(fù)號：原載荷與單位載荷引起的內(nèi)力圖在軸的同側(cè)，為正原載荷與單位載荷引起的內(nèi)力圖在軸的異側(cè)，為負(fù)2、當(dāng)為一條光滑的的曲線，為一條折線時，必須以折點為界,分段圖乘可將4、當(dāng)圖很復(fù)雜時，分成若干個簡單圖形,分部分圖乘3、若梁的抗彎剛度EI在整個梁上呈階梯變化，則圖乘時也要分段5、圖乘時，只有對同一段梁上的同一種內(nèi)力才能互乘，注：綜合來講，決定圖乘分段的因素有三個：的折點；圖是否需要劃分為若干簡單圖形；(2)EI是否階梯變化；即:三、應(yīng)用圖乘法的注意事項：1、有正負(fù)號：原載荷與單位載荷引起B(yǎng)CDA2aaaP例5：求解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖BCDA3PaPa2、求施加單位力偶BCDA3、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖BCDA1114、圖乘方法（1）5、圖乘方法（2）M圖圖注：當(dāng)原載荷和單位載荷引起的內(nèi)力圖都是直線時，是單位載荷引起內(nèi)力圖的面積是單位載荷引起內(nèi)力圖的形心對應(yīng)到原載荷引起的內(nèi)力圖的縱坐標(biāo)BCDA2aaaP例5：求解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖BCD二、圖乘法的應(yīng)用：1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：2、計算圓軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的位移：3、計算桿發(fā)生軸向拉壓變形的位移：4、計算結(jié)構(gòu)組合變形的位移：二、圖乘法的應(yīng)用：1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：2、計算圓軸例1:已知求:C點鉛垂方向的位移和B點轉(zhuǎn)角解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖：2、求施加單位載荷3、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖4、圖乘：例1:已知求:C點鉛垂方向的位移和B點轉(zhuǎn)角解：111例2：用圖乘法求解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖：2、求施加單位載荷13、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖4、圖乘：（圖1）（圖2）aaABC例2：用圖乘法求解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖：2、求施加單位5、求施加單位載荷：6、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖（圖3）7、圖乘：（圖1）1aaABC5、求施加單位載荷：6、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖（圖3）7、圖例4：平面結(jié)構(gòu)空間受力，AB和BC兩桿具有相同的剛度，求：1.A端的鉛垂位移；2.A端繞BC軸線（X軸）的轉(zhuǎn)角。X3、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖2、求A端的鉛垂位移施加單位載荷解求：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖4、圖乘：例4：平面結(jié)構(gòu)空間受力，AB和BC兩桿具有相同的剛度，求：12、求A點繞BC軸轉(zhuǎn)角施加單位載荷3、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖4、圖乘：1解求：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖2、求A點繞BC軸轉(zhuǎn)角3、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖4、圖乘：1例3:軸線為半圓形平面曲桿如圖所示,作用于A點的集中力P垂直于軸線所在平面,求P力作用點的垂直位移.1)列原載荷引起的內(nèi)力方程:2)施加單位載荷:4)積分計算位移3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:例3:軸線為半圓形平面曲桿如圖所示,作用于A點的集中力P垂例4：試求P力作用下，A點的豎直位移分析：因為力與軸線位于同一平面所以在P力作用下，只有彎曲變形，即只考慮彎矩例4：試求P力作用下，A點的豎直位移分析：因為力與軸線位于同解:1)求約束反力畫載荷引起的內(nèi)力圖例:變截面梁如圖所示,已知：P，a，EI1，EI2。求：用圖乘法求D點的垂直位移.2）求施加單位載荷3）畫單位載荷引起的內(nèi)力圖4）圖乘方法（1）ACDB2/3PaPa/3M圖ACDB1/3a2/3aM0圖4/9a1/2a2/9a1/3a+1/3*1/3a=4/9a解:1)求約束反力畫載荷引起的內(nèi)力圖例:變截面梁如圖所示,作業(yè)13-14（圖乘）13-15（圖乘）13-17（積分）13-25（積分）13-30（積分）作業(yè)13-14（圖乘）本章結(jié)束本章結(jié)束一、推導(dǎo)：§13-7單位載荷法--莫爾積分一、推導(dǎo)：§13-7單位載荷法--莫爾積分方式一：先加再加方式二：同時加同理：方式一：先加再加方式二：同時加同理：二、莫爾積分的應(yīng)用：1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：2、計算小曲率曲梁發(fā)生彎曲變形的位移：3、計算圓軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的位移：4、計算桿發(fā)生軸向拉壓變形的位移：5、計算桁架節(jié)點位移：6、計算結(jié)構(gòu)組合變形的位移：三、莫爾積分的應(yīng)用范圍：線彈性結(jié)構(gòu)四、的符號的含義：1、+：所求位移的實際方向與所加的單位載荷方向相同2、-：所求位移的實際方向與所加的單位載荷方向相反二、莫爾積分的應(yīng)用：1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：2、計算小用莫爾積分計算的步驟：1、寫出結(jié)構(gòu)在原載荷作用下引起的各段的各種內(nèi)力方程2、將結(jié)構(gòu)單獨取出，在結(jié)構(gòu)上施加一與所求位移對應(yīng)的單位載荷即：求位移時施加單位力；求相對位移時施加一對相反單位力。求轉(zhuǎn)角時施加單位力偶；求相對轉(zhuǎn)角時施加一對相反單位力偶。3、寫出結(jié)構(gòu)在單位載荷單獨作用下引起的各段的各種內(nèi)力方程4、將同一段的同一種內(nèi)力方程相乘積分注意：在列原載荷和單位載荷引起的內(nèi)力方程時，必須保證內(nèi)力方程分段相同，并且每段自變量的基準(zhǔn)點相同ABD求C點鉛垂位移C思考:在分別寫原載荷和單位載荷引起的彎矩方程時,應(yīng)分幾段?ABDC組合變形時的莫爾積分：用莫爾積分計算的步驟：1、寫出結(jié)構(gòu)在原載荷作用下引起的各段的所以：其中:為原載荷引起的彎矩，為單位載荷引起的彎矩，注意單位載荷一定要與所求位移：在種類和位置上對應(yīng)。六、莫爾積分的例題1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：求:C點鉛垂方向的位移和B點轉(zhuǎn)角莫爾積分的應(yīng)用范圍：

線彈性結(jié)構(gòu)例1:已知所以：其中:為原載荷引起的彎矩，為單位載荷引起的彎矩，注意單2)列原載荷引起的內(nèi)力方程:3)施加單位載荷:4)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:5)同一段的同一種內(nèi)力相乘積分解:求1)求約束反力:為此取AB為研究對象2)列原載荷引起的內(nèi)力方程:3)施加單位載荷:4)列單位載荷的正、負(fù)號的含義：1、+：所求位移的實際方向與所加的單位載荷方向相同2、—：所求位移的實際方向與所加的單位載荷方向相反求的正、負(fù)號的含義：1、+：所求位移的實際方向與所例2：試求P力作用下，A點的豎直位移分析：因為力與軸線位于同一平面所以在P力作用下，只考慮彎曲變形，即只考慮彎矩解：2、計算小曲率曲梁發(fā)生彎曲變形的位移：R1RPAB1)列原載荷引起的內(nèi)力方程:2)施加單位載荷,列單位載荷引起的內(nèi)力方程:3)由莫爾積分求:例2：試求P力作用下，A點的豎直位移分析：因為力與軸線位于同3、計算桁架節(jié)點位移：PPABCD解：11ABCD12345123451)列原載荷引起的內(nèi)力方程:PAB例3：圖示簡單桁架，各桿長度均為，且EA相同，試求B、D兩節(jié)點的相對位移。2)施加單位載荷:3、計算桁架節(jié)點位移：PPABCD解：11ABCD123453)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:B1A11ABCD12345桿號3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:B1A11ABCD12345桿4)由莫爾積分求:桿號PPABCD4)由莫爾積分求:桿號PPABCD4、計算結(jié)構(gòu)組合變形的位移：PABC1ABC例4：圖示剛架，各段剛度已標(biāo)出，試A點的鉛垂位移與B點的轉(zhuǎn)角解：1)列原載荷引起的內(nèi)力方程:2)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:4、計算結(jié)構(gòu)組合變形的位移：PABC1ABC例4：圖示剛架，設(shè)3)同一段的同一種內(nèi)力相乘積分PABC1ABC設(shè)3)同一段的同一種內(nèi)力相乘積分PABC1ABC若橫截面是邊長為b的正方形，時，上述比值為：PABCABC1若橫截面是邊長為b的正方形，時，上例5:軸線為半圓形平面曲桿如圖(a)所示,作用于A點的集中力P垂直于軸線所在平面,求P力作用點的垂直位移.1)列原載荷引起的內(nèi)力方程:2)施加單位載荷:4)積分計算位移3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:P1例5:軸線為半圓形平面曲桿如圖(a)所示,作用于A點的集中2)列原載荷引起的內(nèi)力方程:3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:解:1)求約束反力例:變截面梁如圖所示,已知：P，a，EI1，EI2。求：D點的垂直位移.2)列原載荷引起的內(nèi)力方程:3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:解3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:4)同一段的同一種內(nèi)力相乘積分3)列單位載荷引起的內(nèi)力方程:4)同一段的同一種內(nèi)力相乘積解:1)由于對稱，只計算一半例:平面剛架如圖所示,已知：P，a，EI。求：AF兩點的相對位移.2)原載荷引起的內(nèi)力方程:3)單位載荷引起的內(nèi)力方程:解:1)由于對稱，只計算一半例:平面剛架如圖所示,已知：2)原載荷引起的內(nèi)力方程:3)單位載荷引起的內(nèi)力方程:2)原載荷引起的內(nèi)力方程:3)單位載荷引起的內(nèi)力方程:2)原載荷引起的內(nèi)力方程:3)單位載荷引起的內(nèi)力方程:2)原載荷引起的內(nèi)力方程:3)單位載荷引起的內(nèi)力方程:分析：研究角度θ對應(yīng)的截面的彎矩。先考慮內(nèi)部弧段φ的合彎矩計算均布外壓小曲率曲梁彎曲變形的A點豎直位移yA：2)A點施加向下的單位力,引起的內(nèi)力方程:3)由莫爾積分求yARqABdp=qds=qRdφRqAB1分析：研究角度θ對應(yīng)的截面的彎矩。先考慮內(nèi)部弧段φ的合彎矩計一、推導(dǎo)：，若EI為常量，則公式可變形為：CABABxy§13-8計算莫爾積分的圖乘法一、推導(dǎo)：，若EI為常量，則公式可變形為：CABABxy§1CC頂點頂點(1)二次拋物線：(2)二次拋物線：為了計算方便，列出了比較常見圖形的面積和形心坐標(biāo)CC頂點頂點(1)二次拋物線：(2)二次拋物線：為了計算方便三、應(yīng)用圖乘法的注意事項：1、有正負(fù)號：原載荷與單位載荷引起的內(nèi)力圖在軸的同側(cè)，為正原載荷與單位載荷引起的內(nèi)力圖在軸的異側(cè)，為負(fù)2、當(dāng)為一條光滑的的曲線，為一條折線時，必須以折點為界,分段圖乘可將4、當(dāng)圖很復(fù)雜時，分成若干個簡單圖形,分部分圖乘3、若梁的抗彎剛度EI在整個梁上呈階梯變化，則圖乘時也要分段5、圖乘時，只有對同一段梁上的同一種內(nèi)力才能互乘，注：綜合來講，決定圖乘分段的因素有三個：的折點；圖是否需要劃分為若干簡單圖形；(2)EI是否階梯變化；即:三、應(yīng)用圖乘法的注意事項：1、有正負(fù)號：原載荷與單位載荷引起B(yǎng)CDA2aaaP例5：求解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖BCDA3PaPa2、求施加單位力偶BCDA3、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖BCDA1114、圖乘方法（1）5、圖乘方法（2）M圖圖注：當(dāng)原載荷和單位載荷引起的內(nèi)力圖都是直線時，是單位載荷引起內(nèi)力圖的面積是單位載荷引起內(nèi)力圖的形心對應(yīng)到原載荷引起的內(nèi)力圖的縱坐標(biāo)BCDA2aaaP例5：求解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖BCD二、圖乘法的應(yīng)用：1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：2、計算圓軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的位移：3、計算桿發(fā)生軸向拉壓變形的位移：4、計算結(jié)構(gòu)組合變形的位移：二、圖乘法的應(yīng)用：1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：2、計算圓軸例1:已知求:C點鉛垂方向的位移和B點轉(zhuǎn)角解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖：2、求施加單位載荷3、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖4、圖乘：例1:已知求:C點鉛垂方向的位移和B點轉(zhuǎn)角解：111例2：用圖乘法求解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖：2、求施加單位載荷13、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖4、圖乘：（圖1）（圖2）aaABC例2：用圖乘法求解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖：2、求施加單位5、求施加單位載荷：6