可以降低梁的最大彎矩值課件

模塊二材料力學(xué)項(xiàng)目五

梁的強(qiáng)度和剛度任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算

教學(xué)重點(diǎn)梁彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力、剪應(yīng)力的計(jì)算

教學(xué)難點(diǎn)正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算；剪應(yīng)力強(qiáng)度的計(jì)算

模塊二材料力學(xué)項(xiàng)目五梁的強(qiáng)度和剛度任務(wù)教學(xué)內(nèi)容1、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算3、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑4、梁的剪應(yīng)力和剪應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算

教學(xué)內(nèi)容1、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力任務(wù)十六

圖1(a)所示的簡(jiǎn)支梁，荷載與支座反力都作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，其剪力圖和彎矩圖如圖1(b)、(c)所示。由圖可知，在梁的AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這種彎曲稱為剪切彎曲(或橫力彎曲)。在梁的CD段內(nèi)，各橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力，這種彎曲稱為純彎曲。

一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力圖1

任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖1(a)所示的簡(jiǎn)支梁，荷載與支座反力都作用在梁的縱向?qū)θ∫痪匦谓孛娴戎绷?，先在其表面畫兩條與軸線垂直的橫線Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ，以及兩條與軸線平行的縱線ab和cd(圖2(a))。然后在梁的兩端各施加一個(gè)力偶矩為M的外力偶，使梁發(fā)生純彎曲變形(圖2(b))?？梢杂^察到如下現(xiàn)象：

（1）梁變形后，橫線Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ仍為直線，并與變形后梁的軸線垂直，但傾斜了一個(gè)角度。

（2）縱向線變成了曲線，靠近頂面的ab縮短了，靠近底面的cd伸長(zhǎng)了。圖2

一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算取一矩形截面等直梁，先在其表面畫兩條與軸線垂直的橫線Ⅰ-根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出如下的兩點(diǎn)假設(shè)：(1)

平面假設(shè)假設(shè)梁的橫截面變形后仍保持為平面，只是繞橫截面內(nèi)某軸轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，偏轉(zhuǎn)后仍垂直于變形后的梁的軸線。(2)

單向受力假設(shè)將梁看成是由無(wú)數(shù)縱向纖維組成，假設(shè)所有縱向纖維只受到軸向拉伸或壓縮，互相之間無(wú)擠壓。一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

1、橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出

1、橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式根據(jù)變形的幾何關(guān)系，物理關(guān)系，靜力關(guān)系可得橫截面正應(yīng)力計(jì)算公式圖3

圖4

任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算1、橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式2、橫截面上的最大正應(yīng)力圖3

圖4

一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算2、橫截面上的最大正應(yīng)力圖3圖4一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正【例1】一懸臂梁的截面為矩形，自由端受集中力P作用(圖5(a)。已知P=4kN，h=60mm，b=40mm，l=250mm。求固定端截面上a點(diǎn)的正應(yīng)力及固定端截面上的最大正應(yīng)力?！窘狻?1)

計(jì)算固定端截面上的彎矩M

M=Pl=4×250kN·mm=1000kN·mm(2)

計(jì)算固定端截面上a點(diǎn)的正應(yīng)力

Iz=bh3/12=40×603/12mm4=72×104mm4

σa=M/Izya=13.9MPa一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算【例1】一懸臂梁的截面為矩形，自由端受集中力P作用(圖5(a(3)

計(jì)算固定端截面上的最大正應(yīng)力固定端截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在該截面的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以看出，上邊緣產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，下邊緣產(chǎn)生最大壓應(yīng)力，其應(yīng)力分布如圖5(b)所示。最大正應(yīng)力值為

σmax=M/Iz·ymax=41.7MPa圖5

一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(3)計(jì)算固定端截面上的最大正應(yīng)力圖5一、梁彎曲時(shí)橫截【例2】簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用，如圖6(a)所示。已知q=3.5kN/m，梁的跨度l=1m，該梁由10號(hào)槽鋼平置制成。試計(jì)算梁的最大拉應(yīng)力σlmax和最大壓應(yīng)力σymax以及它們發(fā)生的位置?！窘狻?1)

求支座反力由對(duì)稱性有

RA=RB=ql/2=5.25kN

(2)

作出彎矩圖，如圖6(b)所示。最大彎矩發(fā)生在跨中截面，其值為

Mmax=ql2/8=0.44kN·m2、橫截面上的最大正應(yīng)力一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算【例2】簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用，如圖6(a)所示。已知q=3(3)

由型鋼表查得10號(hào)槽鋼截面

Iz=25.6cm4=25.6×104mm4

y1=1.52cm=15.2mm

y2=3.28cm=32.8mm(4)

計(jì)算正應(yīng)力最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處

σlmax=Mmax/Iz·yz=56.05MPa最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的上邊緣處

σymax=Mmax/Iz·y1=25.98MPa一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(3)由型鋼表查得10號(hào)槽鋼截面一、梁彎曲時(shí)橫截面上的圖6

一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖6一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力任在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須算出梁的最大正應(yīng)力值。對(duì)于等直梁，彎曲時(shí)的最大正應(yīng)力一定在彎矩最大的截面的上、下邊緣。該截面稱為危險(xiǎn)截面，其上、下邊緣的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。(1)

對(duì)于中性軸是截面對(duì)稱軸的梁

最大正應(yīng)力的值為

σmax=Mmax/Wz式中Wz稱為抗彎截面系數(shù)

2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須算出梁的最大正應(yīng)力值。對(duì)于等直(2)

對(duì)于中性軸不是截面對(duì)稱軸的梁例如圖10.10所示的T形截面梁，在正彎矩M作用下，梁下邊緣處產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，上邊緣處產(chǎn)生最大壓應(yīng)力，其值分別為

σlmax=M/Iz·y1

σymax=M/Iz·y2令Wl=Iz/y1，Wy=Iz/y2則σlmax=M/Wl，σymax=M/Wy圖7

2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(2)對(duì)于中性軸不是截面對(duì)稱軸的梁圖72、橫截面上的最(1)

當(dāng)材料的抗拉和抗壓能力相同時(shí)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為

①?gòu)?qiáng)度校核在已知梁的材料和橫截面的形狀、尺寸，以及所受荷載的情況下，可以檢查梁是否滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。3、正應(yīng)力強(qiáng)度條件任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(1)當(dāng)材料的抗拉和抗壓能力相同時(shí)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為①②截面設(shè)計(jì)當(dāng)已知荷載和梁的材料時(shí)，可根據(jù)強(qiáng)度條件，計(jì)算所需的抗彎截面系數(shù)③確定許可荷載如已知梁的材料和截面尺寸，先根據(jù)強(qiáng)度條件，計(jì)算出梁所能承受的最大彎矩

Mmax≤Wz［σ］3、正應(yīng)力強(qiáng)度條件任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算③確定許可荷載Mmax≤Wz［σ］3、正應(yīng)力強(qiáng)度條件任一般情況下，梁的設(shè)計(jì)是以正應(yīng)力強(qiáng)度條件為依據(jù)。由等直梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

σmax=Mmax/Wz≤［σ］可以看出，梁橫截面上最大正應(yīng)力與最大彎矩成正比，與抗彎截面系數(shù)成反比。所以提高梁的彎曲強(qiáng)度主要從降低最大彎矩值和增大抗彎截面系數(shù)這兩方面進(jìn)行。

(1)

合理布置梁的支座以簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用為例(圖(a)，跨中最大彎矩Mmax=1/8ql2，若將兩端的支座各向中間移動(dòng)0.2l(圖8(b))，最大彎矩將減小為Mmax=ql2/40，僅為前者的1/5。因而在同樣荷載作用下，梁的截面可減小，這樣就大大節(jié)省材料，并減輕自重。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算一般情況下，梁的設(shè)計(jì)是以正應(yīng)力強(qiáng)度條件為依據(jù)。由等直梁的圖8

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖8二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(2)

改善荷載的布置情況若結(jié)構(gòu)上允許把集中荷載分散布置，可以降低梁的最大彎矩值。例如簡(jiǎn)支梁在跨中受一集中力P作用(圖9(a))，其Mmax=1/4Pl。若在AB梁上安置一根短梁CD(圖9(b))，最大彎矩將減小為Mmax=1/8Pl，僅為前者的1/2。又如將集中力P分散為均布荷載q=P/l(圖9(c)，其最大彎矩減小為Mmax=1/8ql2=1/8Pl，只有原來(lái)的1/2。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(2)改善荷載的布置情況二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六圖9

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖9二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(3)

合理布置荷載作用位置將荷載布置在靠近支座處比布置在跨中時(shí)，最大彎矩值要小得多。例如承受集中力P作用的簡(jiǎn)支梁，荷載作用在梁中點(diǎn)時(shí)(圖10(a)，最大彎矩Mmax=1/4Pl，若荷載靠近支座作用(圖10(b)，則最大彎矩Mmax=5/36Pl，減小近一半，且隨著荷載離支座距離的縮小而繼續(xù)減小。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(3)合理布置荷載作用位置二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十圖10

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖10二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)(4)

適當(dāng)增加梁的支座由于梁的最大彎矩與梁的跨度有關(guān)，增加支座可以減小梁的跨度，從而降低最大彎矩值。例如均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁，在梁中間增加一個(gè)支座(圖11)，則｜Mmax｜=1/32ql2，只是原梁的1/4。

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(4)適當(dāng)增加梁的支座二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六圖11

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖11二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)(1)

選擇抗彎截面系數(shù)Wz與截面面積A比值高的截面梁所能承受的彎矩與抗彎截面系數(shù)Wz成正比，Wz不僅與截面的尺寸有關(guān)，還與截面的形狀有關(guān)。梁的橫截面面積愈大，Wz也愈大，但消耗的材料也多。所以梁的合理截面應(yīng)該是用最小的面積得到最大的抗彎截面系數(shù)。

表10.1列出幾種常用截面形狀Wz/A的比值。從表中可看出，圓形截面的比值最小，矩形截面次之，工字鋼及槽鋼較好。

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(1)選擇抗彎截面系數(shù)Wz與截面面積A比值高的截面二、提高(2)

根據(jù)材料的特性選擇截面由正應(yīng)力強(qiáng)度條件

σlmax=Mmax/Wl=Mmax/I·y1≤［σl］

σymax=Mmax/Wy=Mmax/I·2≤［σy］可知，當(dāng)截面的最大拉應(yīng)力與壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到其許用值時(shí)，材料才能得到充分利用，故同時(shí)滿足以上兩式的截面形狀才是合理的。由以上兩式取等號(hào)相比得

［σl］/［σy］=y1/y2二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(2)根據(jù)材料的特性選擇截面二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)

對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料，由于［σl］=［σy］，則要求y1=y2，應(yīng)采用對(duì)稱于中性軸的截面，如矩形、圓形、工字形等截面。

對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的脆性材料，由于［σl］≠［σy］，則要求y1≠y2，應(yīng)采用不對(duì)稱于中性軸的截面，如T形、槽形等截面。還應(yīng)注意脆性材料的［σy］往往比［σl］大得多，因此受壓邊緣離中性軸的距離y2應(yīng)較大。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料，由于［σl］=［σy］

等截面梁的截面尺寸是由最大彎矩Mmax確定的，其他截面由于彎矩小，最大應(yīng)力都未達(dá)到許用應(yīng)力值，材料未得到充分利用。為了充分發(fā)揮材料的潛力，在彎矩較大處采用較大截面，而在彎矩較小處采用較小截面。這種橫截面沿梁軸線變化的梁稱為變截面梁。若變截面梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都恰好等于材料的許用應(yīng)力，稱為等強(qiáng)度梁。等強(qiáng)度梁的Wz(x)沿梁軸線變化的規(guī)律為

Wz(x)=M(x)/［σ］二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算等截面梁的截面尺寸是由最大彎矩Mmax確定的，其他截面由

從強(qiáng)度觀點(diǎn)看，等強(qiáng)度梁是最理想的，但因截面變化，這種梁的施工較困難。因此在工程上常采用形狀簡(jiǎn)單的變截面梁，來(lái)代替理論上的等強(qiáng)度梁。

例如，在房屋建筑中的陽(yáng)臺(tái)及雨篷挑梁，如圖10.18所示，梁的截面高度是變化的，自由端較小，固定端較大。圖12

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算從強(qiáng)度觀點(diǎn)看，等強(qiáng)度梁是最理想的，但因截面變化，這種梁的(1)

矩形截面梁的剪應(yīng)力矩形截面梁橫截面上各點(diǎn)處的剪應(yīng)力方向都與剪力Q的方向一致，距中性軸z距離為y的任意一點(diǎn)處的剪應(yīng)力

τ=QSz/(Izb)剪應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布，沿截面高度方向按拋物線規(guī)律分布，如圖13(b)、(c)所示。在中性軸處剪應(yīng)力最大，其值為

τmax=3Q/2A三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(1)矩形截面梁的剪應(yīng)力三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截圖13

三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖13三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式任務(wù)(2)

工字形截面梁的剪應(yīng)力工字形截面由腹板和翼緣組成。腹板是一個(gè)狹長(zhǎng)的矩形，其剪應(yīng)力可按矩形截面的剪應(yīng)力公式計(jì)算，距中性軸距離為y處的剪應(yīng)力

τmax=QSz/（Izd）剪應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律分布，最大剪應(yīng)力產(chǎn)生在中性軸處，如圖14(b)所示，其值為三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(2)工字形截面梁的剪應(yīng)力三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁圖14

三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖14三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式任務(wù)(3)

圓形截面梁的最大剪應(yīng)力圓形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力分布較復(fù)雜，但最大剪應(yīng)力仍產(chǎn)生在中性軸處，其方向與剪力Q的方向相同，如圖15(a)所示，其值為

τmax=4Q/3A薄壁圓環(huán)形截面梁，最大剪應(yīng)力也產(chǎn)生在中性軸上，如圖15(b)所示，其值為

τmax=2Q/A三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(3)圓形截面梁的最大剪應(yīng)力三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁圖15

三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖15三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式任務(wù)梁的最大剪應(yīng)力產(chǎn)生在剪力最大的橫截面的中性軸上，所以梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件為

τmax=QmaxSzmax/Izb≤［τ］在以下幾種特殊情況下，需作剪應(yīng)力強(qiáng)度校核：

(1)

梁的跨度較短；

(2)

在支座附近有較大荷載；

(3)

工字形截面的梁其腹板厚度很??；

(4)

對(duì)于木梁中順紋的［τ］較［σ］小很多。2、梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算三、梁橫截面上的剪應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算梁的最大剪應(yīng)力產(chǎn)生在剪力最大的橫截面的中性軸上，所以梁的模塊二材料力學(xué)項(xiàng)目五

梁的強(qiáng)度和剛度任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算

教學(xué)重點(diǎn)梁彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力、剪應(yīng)力的計(jì)算

教學(xué)難點(diǎn)正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算；剪應(yīng)力強(qiáng)度的計(jì)算

模塊二材料力學(xué)項(xiàng)目五梁的強(qiáng)度和剛度任務(wù)教學(xué)內(nèi)容1、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算3、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑4、梁的剪應(yīng)力和剪應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算

教學(xué)內(nèi)容1、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力任務(wù)十六

圖1(a)所示的簡(jiǎn)支梁，荷載與支座反力都作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，其剪力圖和彎矩圖如圖1(b)、(c)所示。由圖可知，在梁的AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這種彎曲稱為剪切彎曲(或橫力彎曲)。在梁的CD段內(nèi)，各橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力，這種彎曲稱為純彎曲。

一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力圖1

任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖1(a)所示的簡(jiǎn)支梁，荷載與支座反力都作用在梁的縱向?qū)θ∫痪匦谓孛娴戎绷?，先在其表面畫兩條與軸線垂直的橫線Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ，以及兩條與軸線平行的縱線ab和cd(圖2(a))。然后在梁的兩端各施加一個(gè)力偶矩為M的外力偶，使梁發(fā)生純彎曲變形(圖2(b))?？梢杂^察到如下現(xiàn)象：

（1）梁變形后，橫線Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ仍為直線，并與變形后梁的軸線垂直，但傾斜了一個(gè)角度。

（2）縱向線變成了曲線，靠近頂面的ab縮短了，靠近底面的cd伸長(zhǎng)了。圖2

一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算取一矩形截面等直梁，先在其表面畫兩條與軸線垂直的橫線Ⅰ-根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出如下的兩點(diǎn)假設(shè)：(1)

平面假設(shè)假設(shè)梁的橫截面變形后仍保持為平面，只是繞橫截面內(nèi)某軸轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，偏轉(zhuǎn)后仍垂直于變形后的梁的軸線。(2)

單向受力假設(shè)將梁看成是由無(wú)數(shù)縱向纖維組成，假設(shè)所有縱向纖維只受到軸向拉伸或壓縮，互相之間無(wú)擠壓。一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

1、橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出

1、橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式根據(jù)變形的幾何關(guān)系，物理關(guān)系，靜力關(guān)系可得橫截面正應(yīng)力計(jì)算公式圖3

圖4

任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算1、橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式2、橫截面上的最大正應(yīng)力圖3

圖4

一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算2、橫截面上的最大正應(yīng)力圖3圖4一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正【例1】一懸臂梁的截面為矩形，自由端受集中力P作用(圖5(a)。已知P=4kN，h=60mm，b=40mm，l=250mm。求固定端截面上a點(diǎn)的正應(yīng)力及固定端截面上的最大正應(yīng)力。【解】(1)

計(jì)算固定端截面上的彎矩M

M=Pl=4×250kN·mm=1000kN·mm(2)

計(jì)算固定端截面上a點(diǎn)的正應(yīng)力

Iz=bh3/12=40×603/12mm4=72×104mm4

σa=M/Izya=13.9MPa一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算【例1】一懸臂梁的截面為矩形，自由端受集中力P作用(圖5(a(3)

計(jì)算固定端截面上的最大正應(yīng)力固定端截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在該截面的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以看出，上邊緣產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，下邊緣產(chǎn)生最大壓應(yīng)力，其應(yīng)力分布如圖5(b)所示。最大正應(yīng)力值為

σmax=M/Iz·ymax=41.7MPa圖5

一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(3)計(jì)算固定端截面上的最大正應(yīng)力圖5一、梁彎曲時(shí)橫截【例2】簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用，如圖6(a)所示。已知q=3.5kN/m，梁的跨度l=1m，該梁由10號(hào)槽鋼平置制成。試計(jì)算梁的最大拉應(yīng)力σlmax和最大壓應(yīng)力σymax以及它們發(fā)生的位置。【解】(1)

求支座反力由對(duì)稱性有

RA=RB=ql/2=5.25kN

(2)

作出彎矩圖，如圖6(b)所示。最大彎矩發(fā)生在跨中截面，其值為

Mmax=ql2/8=0.44kN·m2、橫截面上的最大正應(yīng)力一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算【例2】簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用，如圖6(a)所示。已知q=3(3)

由型鋼表查得10號(hào)槽鋼截面

Iz=25.6cm4=25.6×104mm4

y1=1.52cm=15.2mm

y2=3.28cm=32.8mm(4)

計(jì)算正應(yīng)力最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處

σlmax=Mmax/Iz·yz=56.05MPa最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的上邊緣處

σymax=Mmax/Iz·y1=25.98MPa一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(3)由型鋼表查得10號(hào)槽鋼截面一、梁彎曲時(shí)橫截面上的圖6

一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖6一、梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力任在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須算出梁的最大正應(yīng)力值。對(duì)于等直梁，彎曲時(shí)的最大正應(yīng)力一定在彎矩最大的截面的上、下邊緣。該截面稱為危險(xiǎn)截面，其上、下邊緣的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。(1)

對(duì)于中性軸是截面對(duì)稱軸的梁

最大正應(yīng)力的值為

σmax=Mmax/Wz式中Wz稱為抗彎截面系數(shù)

2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須算出梁的最大正應(yīng)力值。對(duì)于等直(2)

對(duì)于中性軸不是截面對(duì)稱軸的梁例如圖10.10所示的T形截面梁，在正彎矩M作用下，梁下邊緣處產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，上邊緣處產(chǎn)生最大壓應(yīng)力，其值分別為

σlmax=M/Iz·y1

σymax=M/Iz·y2令Wl=Iz/y1，Wy=Iz/y2則σlmax=M/Wl，σymax=M/Wy圖7

2、橫截面上的最大正應(yīng)力任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(2)對(duì)于中性軸不是截面對(duì)稱軸的梁圖72、橫截面上的最(1)

當(dāng)材料的抗拉和抗壓能力相同時(shí)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為

①?gòu)?qiáng)度校核在已知梁的材料和橫截面的形狀、尺寸，以及所受荷載的情況下，可以檢查梁是否滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。3、正應(yīng)力強(qiáng)度條件任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(1)當(dāng)材料的抗拉和抗壓能力相同時(shí)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為①②截面設(shè)計(jì)當(dāng)已知荷載和梁的材料時(shí)，可根據(jù)強(qiáng)度條件，計(jì)算所需的抗彎截面系數(shù)③確定許可荷載如已知梁的材料和截面尺寸，先根據(jù)強(qiáng)度條件，計(jì)算出梁所能承受的最大彎矩

Mmax≤Wz［σ］3、正應(yīng)力強(qiáng)度條件任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算③確定許可荷載Mmax≤Wz［σ］3、正應(yīng)力強(qiáng)度條件任一般情況下，梁的設(shè)計(jì)是以正應(yīng)力強(qiáng)度條件為依據(jù)。由等直梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

σmax=Mmax/Wz≤［σ］可以看出，梁橫截面上最大正應(yīng)力與最大彎矩成正比，與抗彎截面系數(shù)成反比。所以提高梁的彎曲強(qiáng)度主要從降低最大彎矩值和增大抗彎截面系數(shù)這兩方面進(jìn)行。

(1)

合理布置梁的支座以簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用為例(圖(a)，跨中最大彎矩Mmax=1/8ql2，若將兩端的支座各向中間移動(dòng)0.2l(圖8(b))，最大彎矩將減小為Mmax=ql2/40，僅為前者的1/5。因而在同樣荷載作用下，梁的截面可減小，這樣就大大節(jié)省材料，并減輕自重。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算一般情況下，梁的設(shè)計(jì)是以正應(yīng)力強(qiáng)度條件為依據(jù)。由等直梁的圖8

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖8二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(2)

改善荷載的布置情況若結(jié)構(gòu)上允許把集中荷載分散布置，可以降低梁的最大彎矩值。例如簡(jiǎn)支梁在跨中受一集中力P作用(圖9(a))，其Mmax=1/4Pl。若在AB梁上安置一根短梁CD(圖9(b))，最大彎矩將減小為Mmax=1/8Pl，僅為前者的1/2。又如將集中力P分散為均布荷載q=P/l(圖9(c)，其最大彎矩減小為Mmax=1/8ql2=1/8Pl，只有原來(lái)的1/2。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(2)改善荷載的布置情況二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六圖9

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖9二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(3)

合理布置荷載作用位置將荷載布置在靠近支座處比布置在跨中時(shí)，最大彎矩值要小得多。例如承受集中力P作用的簡(jiǎn)支梁，荷載作用在梁中點(diǎn)時(shí)(圖10(a)，最大彎矩Mmax=1/4Pl，若荷載靠近支座作用(圖10(b)，則最大彎矩Mmax=5/36Pl，減小近一半，且隨著荷載離支座距離的縮小而繼續(xù)減小。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(3)合理布置荷載作用位置二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十圖10

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖10二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)(4)

適當(dāng)增加梁的支座由于梁的最大彎矩與梁的跨度有關(guān)，增加支座可以減小梁的跨度，從而降低最大彎矩值。例如均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁，在梁中間增加一個(gè)支座(圖11)，則｜Mmax｜=1/32ql2，只是原梁的1/4。

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(4)適當(dāng)增加梁的支座二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六圖11

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算圖11二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)(1)

選擇抗彎截面系數(shù)Wz與截面面積A比值高的截面梁所能承受的彎矩與抗彎截面系數(shù)Wz成正比，Wz不僅與截面的尺寸有關(guān)，還與截面的形狀有關(guān)。梁的橫截面面積愈大，Wz也愈大，但消耗的材料也多。所以梁的合理截面應(yīng)該是用最小的面積得到最大的抗彎截面系數(shù)。

表10.1列出幾種常用截面形狀Wz/A的比值。從表中可看出，圓形截面的比值最小，矩形截面次之，工字鋼及槽鋼較好。

二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(1)選擇抗彎截面系數(shù)Wz與截面面積A比值高的截面二、提高(2)

根據(jù)材料的特性選擇截面由正應(yīng)力強(qiáng)度條件

σlmax=Mmax/Wl=Mmax/I·y1≤［σl］

σymax=Mmax/Wy=Mmax/I·2≤［σy］可知，當(dāng)截面的最大拉應(yīng)力與壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到其許用值時(shí)，材料才能得到充分利用，故同時(shí)滿足以上兩式的截面形狀才是合理的。由以上兩式取等號(hào)相比得

［σl］/［σy］=y1/y2二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算(2)根據(jù)材料的特性選擇截面二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)

對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料，由于［σl］=［σy］，則要求y1=y2，應(yīng)采用對(duì)稱于中性軸的截面，如矩形、圓形、工字形等截面。

對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的脆性材料，由于［σl］≠［σy］，則要求y1≠y2，應(yīng)采用不對(duì)稱于中性軸的截面，如T形、槽形等截面。還應(yīng)注意脆性材料的［σy］往往比［σl］大得多，因此受壓邊緣離中性軸的距離y2應(yīng)較大。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料，由于［σl］=［σy］

等截面梁的截面尺寸是由最大彎矩Mmax確定的，其他截面由于彎矩小，最大應(yīng)力都未達(dá)到許用應(yīng)力值，材料未得到充分利用。為了充分發(fā)揮材料的潛力，在彎矩較大處采用較大截面，而在彎矩較小處采用較小截面。這種橫截面沿梁軸線變化的梁稱為變截面梁。若變截面梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都恰好等于材料的許用應(yīng)力，稱為等強(qiáng)度梁。等強(qiáng)度梁的Wz(x)沿梁軸線變化的規(guī)律為

Wz(x)=M(x)/［σ］二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑任務(wù)十六梁的強(qiáng)度計(jì)算等截面梁的截面尺寸是由最大彎矩