2009年高考試題-數(shù)學(xué)理（安徽卷）解析版

絕密★啟用前2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù)學(xué)（理科）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1至第2頁。第II卷第3至第4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。考生注意事項：1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認(rèn)真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致。務(wù)必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號后兩位。2.答第I卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮檫干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號。3.答第II卷時，必須使用用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在標(biāo)號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效。4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交。參考公式：如果事件A、B互斥，那么S表示底面積，h表示底面上的高棱柱體積如果事件相互獨立，那么棱錐體積第I卷(選擇題共50分)一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是（A）－15（B）－3（C）3（D）15[解析]，∴，選B。（2）若集合則A∩B是（A）(B)（C）(D)[解析]集合，∴選D（3）下列曲線中離心率為的是（A）（B）（C）（D）[解析]由得，選B(4)下列選項中，p是q的必要不充分條件的是（A）p:＞b+d,q:＞b且c＞d（B）p:a＞1,b>1q:的圖像不過第二象限（C）p:x=1,q:（D）p:a＞1,q:在上為增函數(shù)[解析]：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d＞b且c＞d，可舉反例。選A（5）已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項和，則使得達到最大值的是（A）21（B）20（C）19（D）18[解析]：由++=105得即，由=99得即，∴，，由得，選B（6）設(shè)＜b,函數(shù)的圖像可能是[解析]：，由得，∴當(dāng)時，取極大值0，當(dāng)時取極小值且極小值為負(fù)。故選C?；虍?dāng)時，當(dāng)時，選C（7）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是B（A）（B）（C）（D）BAxDyAxDyCOy=kx+由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）∴△ABC=，設(shè)與的交點為D，則由知，∴∴選A。（8）已知函數(shù)，的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（A）（B）（C）（D）[解析]：，由題設(shè)的周期為，∴，由得，，故選C（9）已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是（A）（B）（C）（D）[解析]：由得，即，∴∴，∴切線方程為，即選A（10）考察正方體6個面的中心，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于（A）（B）（C）（D）ABCDABCDEF6個點中任意選兩個點連成直線，共有種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有共12對，所以所求概率為，選D2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù)學(xué)（理科）第Ⅱ卷(非選擇題共100分)考生注意事項：請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。（11）若隨機變量，則=________.[解析]開始輸出結(jié)束是否（12）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位。已知直線的極坐標(biāo)方程為，它與曲線（為參數(shù)）相交于兩點A和B，則|AB|=_______.開始輸出結(jié)束是否[解析]直線的普通方程為，曲線的普通方程∴(13)程序框圖（即算法流程圖）如圖所示，其輸出結(jié)果是_______.[解析]由程序框圖知，循環(huán)體被執(zhí)行后的值依次為3、7、15、31、63、127，故輸出的結(jié)果是127。（14）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值是________.[解析]設(shè)，即∴（15）對于四面體ABCD，下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號）。eq\o\ac(○,1)相對棱AB與CD所在的直線異面；eq\o\ac(○,2)由頂點A作四面體的高，其垂足是BCD的三條高線的交點；eq\o\ac(○,3)若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在直線異面；eq\o\ac(○,4)分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點;eq\o\ac(○,5)最長棱必有某個端點，由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱。[解析]①④⑤三．解答題;本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答寫在答題卡上的答題區(qū)域內(nèi).（16）（本小題滿分12分）在ABC中，,sinB=.（I）求sinA的值；(II)設(shè)AC=，求ABC的面積.本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關(guān)知識，考查運算求解能力。本小題滿分12分解：（Ⅰ）由，且，∴，∴，ABC∴，又，∴ABC（Ⅱ）如圖，由正弦定理得∴，又∴（17）（本小題滿分12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū).B肯定是受A感染的.對于C，因為難以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量.寫出X的分布列(不要求寫出計算過程),并求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）.本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值。本小題滿分12分。解：隨機變量X的分布列是X123PX的均值為附：X的分布列的一種求法共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是：①②③④⑤⑥A—B—C—DA—B—C└DA—B—C└DA—B—D└CA—C—D└B在情形①和②之下，A直接感染了一個人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了兩個人；在情形⑥之下，A直接感染了三個人。（18）（本小題滿分13分）如圖，四棱錐F－ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角B－AF－D的大?。唬↖I）求四棱錐E－ABCD與四棱錐F－ABCD公共部分的體積.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、相交平面所成二面角以及空間幾何體的體積計算等知識，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。本小題滿分13分。解：（I）（綜合法）連接AC、BD交于菱形的中心O，過O作OGAF，G為垂足。連接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD為二面角B－AF－D的平面角。由，，得，由，得（向量法）以A為坐標(biāo)原點，、、方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）設(shè)平面ABF的法向量，則由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。由知，平面ABF與平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）連EB、EC、ED，設(shè)直線AF與直線CE相交于點H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD。過H作HP⊥平面ABCD，P為垂足。因為EA⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，從而由得。又因為故四棱錐H-ABCD的體積（19）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)等知識研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運算求解的能力。本小題滿分12分。解：的定義域是(0,+),設(shè),二次方程的判別式.當(dāng)，即時，對一切都有,此時在上是增函數(shù)。當(dāng),即時，僅對有,對其余的都有,此時在上也是增函數(shù)。當(dāng)，即時，方程有兩個不同的實根,,.+0_0+單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增此時在上單調(diào)遞增,在是上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.（20）（本小題滿分13分）點在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.（I）證明:點是橢圓與直線的唯一交點；（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列.解：本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識?？疾榫C合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。解：（I）（方法一）由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點P.(方法二)顯然P是橢圓與的交點，若Q是橢圓與的交點，代入的方程，得即故P與Q重合。（方法三）在第一象限內(nèi)，由可得橢圓在點P處的切線斜率切線方程為即。因此，就是橢圓在點P處的切線。根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點。（II）的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。（21）（本小題滿分13分）首項為正數(shù)的數(shù)列滿足（I）證明：若為奇數(shù)，則對一切都是奇數(shù)；（II）若對一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識，考查