國考-電路課件

第8章

相量法重點：正弦量的表示、相位差；正弦量的相量表示電路定理的相量形式；8.1

正弦量的基本概念1.正弦量瞬時值表達式：i(t)=Imcos(

t+)波形：tiO/T周期T

(period)和頻率f

(frequency):頻率f

：每秒重復變化的次數。周期T

：重復變化一次所需的時間。單位：Hz，赫(茲)單位：s，秒Tf

1正弦量為周期函數f(t)=f

(

t+)正弦電流電路激勵和響應均為正弦量的電路（正弦穩(wěn)態(tài)電路）稱為正弦電路或交流電路。（1）正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術領域占有十分重要的地位。研究正弦電路的意義：優(yōu)點：正弦函數是周期函數，其加、減、求導、積分運算后仍是同頻率的正弦函數正弦信號容易產生、傳送和使用。（2）正弦信號是一種基本信號，任何變化規(guī)律復雜的信號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。nf

(t

)

Ak

cos(kt

k

)k

1對正弦電路的分析研究具有重要的理論價值和實際意義。2.正弦量的三要素iOT(3)初相位(initial

phase

angle)Im2t

2

f

2

T單位：rad/s

，弧度/秒幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im反映正弦量變化幅度的大小。角頻率(angular

frequency)ω相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。反映正弦量的計時起點，常用角度表示。i(t)=Imcos(

t+)同一個正弦量，計時起點不同，初相位不同。ti0一般規(guī)定：|

|

。

=0

=/2

=－/2例已知正弦電流波形如圖，＝103rad/s，寫出i(t)表達式；求最大值發(fā)生的時間t1ti0

100

50t1解i(t)

100cos(103

t

)t

0

50

3由于最大值發(fā)生在計時起點右側3

)33i(t

)

100cos(10

t

3

有最大值13當

10

t

103

＝1.047mst1＝

33.同頻率正弦量的相位差(phase

difference)。設

u(t)=Umcos(

t+

u),

i(t)=Imcos(

t+

i)則

相位差：

=

(

t+

u)-

(

t+

i)=

u-

iu

角(u

比i先到達最大值)；

<0，i

超前u

角，或u

滯后i

角,i

比u

先到達最大值。

t

>0，u超前i

角，或iu,

iuiOui等于初相位之差規(guī)定：

|

|

(180°)。

=

(180o

)，反相：特殊相位關系：

＝

0，同相：u,

iui

t0u,

iui

t0=

：u

領先

i

,

不說

u i

3/2；i u

,

不說

i

領先

u

3/2。

tu,

iui0同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。例計算下列兩正弦量的相位差。01t

30

)i2

(t

)

10sin(100

t

15

)0(2)

i

(t

)

10cos(100(1)

i1

(t

)

10cos(100

t

3

4)i2

(t

)

10cos(100

t

2)0201u

(t

)

10cos(200(3)

u

(t

)

10cos(100

t

45

)

t

30

)01(4)

i

(t

)

5cos(100i2

(t

)

3cos(100

t

30

)0

t

30

)解

3

4

(

2)

5

4

0

2

5

4

3

4

300

(1500

)

120002i

(t)

10cos(100t

105

)

300

(1050

)

13501

2不能比較相位差02i

(t)

3cos(100t

150

)兩個正弦量進行相位比較時應滿足同頻率、同函數、同符號，且在主值范圍比較。4.周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為了衡量其平均效果工程上采用有效值來表示。周期電流、電壓有效值(effective

value)定義R直流IR交流iTRi

(t)dt20W

W

RI

2T電流有效值定義為TI

02defi

(t

)dt1T有效值也稱均方根值(root-meen-square)物理意義同樣，可定義電壓有效值：TU

02defu

(t

)dt1T正弦電流、電壓的有效值設

i(t)=Imcos(

t+

)ITT1022mI

cos (

t

Ψ)

dtTT2

22T0002

1

Tdt

t1

cos

2(t

Ψ

)

dt

t

Ψ

)

1cos

(

mm2m21

T

IT

2

0.707I

I

I

2I

cos(

t

Ψ)i(t

)

Im

cos(

t

Ψ

)

Im

2I同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關系：21

UmU

或

U

m

2U若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為Um311V；U=380V

Um537V。（1）有效值，如設備銘牌額平、耐壓值指平時應按最大的是最大值考慮。測量 流測量儀表指示的電壓、電流讀數一般為有效值。區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號。i

,

I ,

Im注8.2正弦量的相量表示1.問題的提出：電路方程是微分方程：RLC+

iu_dt

dtd

2u

duCLC

C

RC

C

u

u(t

)兩個正弦量的相加：如KCL、KVL方程運算。i1

2

I1

cos(

t

1

)i2

2

I2

cos(

t

2

)因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只要確定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，

tu,

ii1i20i3正弦量復數實際是變換的思想復數A的表示形式AReImb0

aA=a+jbARe(j

1

為虛數單位)Imba0|A|2.復數及運算A

a

jbA

|

A

|

e

j

|

A

|

(cos

j

sin

)

a

jbA

|

A

|

e

j

|

A

|

A

|

A

|

e

j兩種表示法的關系：A=a+jbA=|A|ej

=|A|

直角坐標表示極坐標表示

a

bθ

arctg

|

A

|

a2

b2或

b

|

A

|

sinθ

a

|

A

|

cosθ復數運算(1)加減運算——采用代數形式若

A1=a1+jb1，

A2=a2+jb2則

A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)A1A2ReIm0AReImba0|A|圖解法(2)乘除運算——采用極坐標形式若

A1=|A1|

1

，A2=|A2|

2222

221

2|

A

||

A

|

ejθ

2

|

A

||

A

|

ejθ

1

|

A

|θ

1

θ

2

|

A1

|A

|

A

|θA

|

A

|θ

1

1

1

1

1

ej(θ

θ

)除法：模相除，角相減。例1.乘法：模相乘，角相加。則:2返回上頁下頁1

221

A1

A2

1

2

A1

A2

eA1

A2

A1

e

A

ej

(

)jj2547

10

25

?547

10

25

(3.41

j3.657)

(9.063

j4.226)

12.47

j0.569

12.48

2.61解例2.20

j5

(17

j9)

(4

j6)

?220

35A?

ej相當于A逆時針旋轉一個角度

，而模不變。故把ej

稱為旋轉因子。解20.6214.0419.2427.9

7.21156.3原式

180.2

j126.2

180.2

j126.2

6.72870.16

180.2

j126.2

2.238

j6.329

182.5

j132.5

225.536(3)旋轉因子：復數

ej

=cos

+jsin

=1∠AReIm0A?

ej返回上頁下頁j2

j

sin

j2e

cos,2

2

j

)

j

sin(

)

j2

2,

e

cos(22

,

e

j

cos()

j

sin()

1故+j,–j,

-1

都可以看成旋轉因子。幾種不同值時的旋轉因子ReIm0I

jI

jI

I返回上頁下頁造一個復函數2Iej(t

)A(t

)

對A(t)取實部：Re[A(t

)]2Icos(

t

Ψ

)

i(t)對于任意一個正弦時間函數都有唯一與其對應的復數函數A(t)

i

2Icos(

t

Ψ)

A(t)包含了三要素：I、

、

，復常數包含了

,

。A(t)還可以寫成j(

tΨ)2Ie2Ie

jtA(t)

j2Ie

ejt

復常數

2Icos(t

)

j 2Isin(t

Ψ

)無物理意義是一個正弦量返回上頁下頁有物理意義3.正弦量的相量表示i(t

)

2I

cos(

t

Ψ)

I

IΨu(t

)

2U

cos(

t

θ

)

U

Uθ稱為正弦量i(t)對應的相量。I

IΨ相量的模表示正弦量的有效值

相量的幅角表示正弦量的初相位同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：已知例1i

141.4cos(314t

30o

)Au

311.1cos(314t

60o

)V試用相量表示i,u

.解oU

220

60o

VI

10030

A返

回 上

頁 下

頁在復平面上用向量表示相量的圖i(t

)

u(t

)

2Icos(ω

t

)

I

I2Ucos(

t

θ

)

U

Uθ例2解已知I

5015

A,

f

50Hz

.試寫出電流的瞬時值表達式。i

50

2cos(314t

15

)

A相量圖UI返回上頁下頁4.相量法的應用(1)同頻率正弦量的加減故同頻正弦量相加減運算變成對應相量的相加減運算。i1

i2

=

i3I

I

I1

2

32

2

22

U

2

e2

U

1

ej

t

)j

t

)u

(t

)

2

U

cos(

t

Ψ

)

Re(u1

(t

)

2

U1

cos(

t

Ψ

1)

Re(212

U

2

e

)Re( 2

U

1

ejtjtjtjtjt

2(U

1

U

2

)e

)

2

U

2

e

)

Re(

Re( 2

U

1

e)

Re(u(t

)

u

(t

)

u

(t

)

UU

U1

U

2返回上頁下頁可得其相量關系為：例21u

(t

)

4u

(t

)

62cos(314t

30

)

V2cos(314t

60o

)

V也可借助相量圖計算21

630o

V

460o

VUU1

2U

U

UIm30U141.9ReIm41.9ReU160

302UU

630

460

5.19

j3

2

j3.46

7.19

j6.46

9.6441.9o

V

u(t

)

u

(t

)

u

(t

)

9.64

2cos(314t

41.9o

)

V1

260UU

2首尾相接返回上頁下頁2.正弦量的微分，積分運算i

2

I

cos(

t

i

)

I

I

idt

dtj

t

Re

2I

j

edi

d

Re

2

Ie

j

t

j

t

Re

2

j

eI

idt

Re

2Ie

j

t

dt微分運算:積分運算:2idtdi

j

I

I

2ij

idt

I

I

返回上頁下頁例2

I

cos(

t

i

)i(t)

idtC

dtu(t

)

Ri

L

di

1Ru(t)Li(t)+-C用相量運算：I

jC返回上頁下頁U

RI

jLI

相量法的優(yōu)點：把時域問題變?yōu)閺蛿祮栴}；把微積分方程的運算變?yōu)閺蛿捣匠踢\算；可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路；注①

正弦量時域相量頻域②相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路。③相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。N線性N線性12非線性不適用正弦波形圖相量圖返回上頁下頁8.3

電路定理的相量形式1.電阻元件VCR的相量形式時域形式：相量形式：iR

RIΨUI

IΨi相量模型2I

cos(t

Ψi

)已知

i(t)

R2RI

cos(t

Ψ

)則

u

(t)

Ri(t)

ui(t)R+R(t)-有效值關系相位關系R+-U

RIURiu相量關系：RU

R

IUR=RIu=i返回上頁下頁瞬時功率：RR波形圖及相量圖：i

tOuRpRRUIu=iURI瞬時功率以2交變。始終大于零，表明電阻始終吸收功率R

i2U

2I

cos2

(ω t

Ψ

)p

u i

URI[1

cos

2(ω

t

Ψ

i

)]同相位返回上頁下頁時域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：2I

cos(

t

ψi

)已知

i(t)

2iiLdt

2

L

I

cos(

t

Ψ

π

)2L

I

sin(

t

Ψ

)則

u

(t

)

L

di(t

)

相量模型j

L+-U

LI相量關系：LLU

jL

I

jX

I有效值關系：U=

L

I相位關系：u=i

+90°2.電感元件VCR的相量形式Li

LI

Ψi

2UI

IΨ返回上頁下頁感抗的物理意義：(1)

表示限制電流的能力； (2)

感抗和頻率成正比；XL相量表達式:XL=

L=2fL，稱為感抗，單位為

(歐姆)BL=1/

L

=1/2fL，

感納，單位為

S感抗和感納:

0(直流),

XL

0,

短路;

,

XL

,開路;U

jX

L

I

jLI

,L返回上頁下頁UjLL1I

jB

U

j

1

U

功率：pL

uLi

ULm

Im

cos(t

Ψi

)sin(

t

Ψi

)

UL

I

sin

2(

t

Ψi

)i

tOuLpL2瞬時功率以2交變，有正有負，一周期內剛好互相抵消U

LIi波形圖及相量圖：返回上頁下頁電壓超前電流900時域形式：相量形式：2U

cos(tΨu

)已知

u(t)

2uuCdt

2CU

cos(

t

Ψ

π

)2CU

sin(

t

Ψ

)則

i

(t

)

C

du(t

)

相量模型iC(t)C+u(t)-UIC+-

jωC有效值關系：IC=

CU相位關系：i=u+90°相量關系：CII

jXU

j1C3.電容元件VCR的相量形式I

C

CU

Ψu

2U

UΨu返回上頁下頁XC=1/

C，

C

=

C，稱為容抗，單位為

(歐姆)稱為容納，單位為S頻率和容抗成反比,0，|XC|

直流開路(隔直)

，|XC|

高頻短路(旁路作用)|XC|容抗與容納：相量表達式:C返回上頁下頁CI

jBCU

jCUU

jX

I

j

1

I功率：pC

uiC

2UIC

cos(ω

t

Ψu

)sin(ω

t

Ψu

)

UIC

sin

2(ω

t

Ψu

)

tiCOpCu2瞬時功率以2交變，有正有負，一周期內剛好互相抵消UICu波形圖及相量圖：返回上頁下頁電流超前電壓900i(t

)

04.

定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式來進行計算。因此，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用相應的相量形式表示：上式表明：流入某一節(jié)點的所有正弦電流用相量表示時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時仍滿足KVL。1

2i(t)

Re

2I

I

e

j

t

0u(t

)

0

I

0U

0返回上頁下頁(5)UCCI例1試判斷下列表達式的正、誤：(2)

i

5cos

t

500m(3)

IL(4)

X(6)

U

L

j

LILdtU(1)

j

L

Im

j

C

UmI

I

U

Um

1

jC(7)

u

L

di返回上頁下頁例2A1A2A0Z1Z2U已知電流表讀數：A1

＝8AA2

＝6AC若（1）

Z1

R,

Z2

jXA0＝?（2）

Z1

R,

Z2為何參數A0＝I0max=?Z2為何參數

Z2為何參數Z1

jX

L

,Z1

jX

L

,解82

62

10A（1）

I0

1U

,

I2II0（2）

Z2為電阻，I0max

8

6

14AA0A0＝I0min=?＝

A1

A2返回上頁下頁＝?（3）

Z2

jXC

,

I0min

8

6

2A（4）

Z2

jXC

,

I0

I1

8A,

I2

16

A例3_154H0.02F已知

u(t)

120

2

cos(5t

),求:

i(t

)

+

iu解U

12000jX

L

j4

5

j205

0.021

j10

jX

jC相量模型Uj20-j1512I_I153I+

ICLCLRR

jX

jXUU

I

U

I

I

I0

8

j6

j12

8

j6

1036.9

A

1

1

1

120

15

j20

j10i(t)

10

2

cos(5t

36.90

)A返回上頁下頁例4已知i(t)

5 2

cos(150.2F+

iuS_解I

51501106

0.2

1

jX

jCC

5U

5

1相量模型5+U

S_I-j52

4I,U

RUCU

SU

C返回上頁下頁例5已知

U

AB

50V

,

U

ACj40jXLCBA

30I