高數(shù)-上d-映射與函數(shù)

1第一章

函數(shù)與極限一、集合二、三、函數(shù)第一節(jié)與函數(shù)無限區(qū)間：(,);(,b];(,b);[a,);注：以后在不需要指明所說區(qū)間是否包含端點(diǎn)，以及是有限區(qū)間還是無限區(qū)間的場合，

就簡單的稱它為“區(qū)間”，且常用

I

表示.

2一、集合1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.A

{a1

,a2

,

,an

}

有限集M

{P

P所具有的特征}

無限集2.區(qū)間：是特殊的實(shí)數(shù)集.有限區(qū)間：(a,

[a,(a,[a,

b).(a與b是兩3.鄰域:(1)定設(shè)a與

是兩且

0,

則數(shù)集{

xx

a

δ}稱為點(diǎn)a的δ鄰域.

點(diǎn)a叫做這個(gè)鄰域的中心，δ叫做該鄰域的半徑.記為：U(a,

)或Uδ

(a)或U(a).即U(a,

)

{x

x

a

δ}

{xa

δ

x

a

δ}

(a

δ,

a

δ).(2)幾何意義:xaa

δa

δδ(3)點(diǎn)a的去心o

0δ記作：U

(a,

)或U

0

(a)或U

(a).0U(a,

)

{

x

0

x

a

δ}

(a

δ,a)(a,a

δ)a的左

鄰域(a

,a)

；

a的右

鄰域(a,a

)3o練習(xí)：U

(2,δ),U(2,δ)4.常量與變量:在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.注意:

常量與變量是相對(duì)“過程”而言的.常量與變量的表示方法：通常用字母a,

b,

c等表示常量,用字母x,

y,t等表示變量.5.絕對(duì)值:

aa

aa

0a

0

(

a

0)x

a

(a

0)x

a

(a

0)絕對(duì)值不等式:

a

x

a;x

a

或

x

a;

a

b

a

b

a

b

.4定義域1.函數(shù)的定義:

設(shè)數(shù)集D

則稱D

上的函數(shù),記為y

f

(

x為定義在C

{(

x

,

y)

y

f

(

x)

,x

D}x(

D

[

a

,

b

]

)bxyO

a即Rf

f

(D)

{

y

y

f

(

x),

x

D}2.函數(shù)圖形:5二、函數(shù)的概念當(dāng)x

因D變時(shí)量,稱f

(x)為函數(shù)自在變點(diǎn)量x處的函數(shù)值.記作：y函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域.記作:Rf

，f

(D)y3.說明：(1)函數(shù)的兩要素:

定義域與對(duì)應(yīng)法則.當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則均相同時(shí)，則這兩個(gè)函數(shù)相同，否則就是不同的.與變量用什么字母無關(guān).即

y

f

(x),

u

f

(v),

s

f

(t)等均表示同一函數(shù).x2

x

2如：f

(x)與g(x)

x

1是否相同？x

2x2

與g(x)

x是否相同？不同6f

(

x)

f

(x)

x2

sin2

x

cos2

x與g(t)

t

2

+1是否相同？相同不同(2)

記號(hào)

f

與f

表示自變量x與因變f

(x)表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.為了方便,表示函數(shù)的記號(hào)除常用的f外，還可用其它的英文字母或希臘字母.如:G,F

,

,x,y為區(qū)別不同的函數(shù)，需用不同的記號(hào)來表示它們.(3)單值與多值：如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè),這種函數(shù)叫做單值函數(shù),否則叫做多值函數(shù).例如，x2

y2

a2一般把多值函數(shù)附加條件后化為單值函數(shù)進(jìn)行研究.78(4)定義域及其求法：有實(shí)際背景的函數(shù)要考慮實(shí)際意義；對(duì)于抽象地用算式表達(dá)的函數(shù)通常約定這種函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍.(自然定義域)在這個(gè)約定下,表示函數(shù)時(shí),不必寫出D，只用y

f

(

x)表示函數(shù)，如y

1

x2(5)表示法：列表法(便于查找但不完整)圖像法(直觀但 確)解析法(顯,隱,參數(shù)方程,分段函數(shù))(便于理論分析和推到,準(zhǔn)確但不直觀)定義：自變量在不同的范圍內(nèi)用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).三、幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1.常數(shù)函數(shù)y

2D

R,W

Rf

{2}圖形是平行于x軸的一條直線.y

x2.

絕對(duì)值函數(shù)D

R,

Rf

[0,

)xy2oy

=

2yxoy

x9圖形如圖.

x即y

當(dāng)x

0

x

當(dāng)x

0

1y

sgn

x

0當(dāng)x

0當(dāng)x

01

當(dāng)x

0

1由于對(duì)于一切x,關(guān)系式x

sgn

x

x

成立.為符號(hào)函數(shù).它的定義域

D

(,),

值域W

{1,0,1},圖形如上.3.

符號(hào)函數(shù)xyo110注意：分段函數(shù)指的是一個(gè)函數(shù),而非幾個(gè)函數(shù).分段函數(shù)的定義域是將x的值并起來,值域也并起來.則稱y4.

取整函數(shù)

函數(shù)[x]表示不超過x

的最大整數(shù)0[1.22]

1;

[π]

3;[0.95]

1;

[1]

[3.5]

4;

1,73如：[

]

一般地：y

n

,D

R,

Rf

Z圖形稱為階梯曲線，而且在x的整數(shù)值處,圖形發(fā)生跳躍,跳度為1.-4

–3

-2xy4321-1o

-1

1

2

3

4-2-3-4y

110y

D(

x)

1當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)當(dāng)x是無理數(shù)時(shí)無理數(shù)點(diǎn)

有理數(shù)點(diǎn)?y1xo5.雷函數(shù)德國數(shù)學(xué)家

函數(shù)作了廣義的論述：兩個(gè)變量之間,只要有數(shù)值上的確定法則對(duì)應(yīng)關(guān)系

,不管是否可用一個(gè)數(shù)學(xué)公式來表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，也不管是否能作出圖像，均可認(rèn)為是函數(shù)關(guān)系.12例1.

已知函數(shù)0

x

1x

1y

f

(

x)

2

x

,

1

x

,解:

f(x)

的定義域D

[0

,

),

值域

f

(D)

[0

,

)2f

(

).1

及

1t寫出

f

(x)

的定義域及值域,

并求

f

(2),f

(

)1tf

( )

tt1

1

,

1

1t21

,

0

1

1txyOy

2

x1y

11t即

f

( )

t1

1

,

0

t

1t

12

,t則f

(2)

1

2

3221

213f

(

1

)

2四、函數(shù)的四種特性1.函數(shù)的有界性:

設(shè)函數(shù)y

f

(

x),

x

D,區(qū)間I

D.f

(x)在I上有界M

0使x

I,都有f

(x)

M

.f

(

x)在I

M

0,x0

I

,使得

f

(

x0

)

M

.x如：f

(x)

1在[1,2]上有界嗎？1

1

1

2嗎？x

x1

1說明：(1)界不唯一,不要求找最小的界.(2)還可定義有上界、有下界和

.容易數(shù)證K

明,使：有x界的I，充都分有必f要(x條)件K是既稱有f

(上x)界在又I上有有下上界界數(shù)K(23,)使函數(shù)x的有I，界都性有是K局2

部

概f

(念x).稱一f般(x的)在I上x

有下界

M

0,使f

(x)

M

,稱f

(x)為有界函數(shù).:存在;

:對(duì)于任意的.14M-Myxoy=f(x)I有界M-MyxoIx0(4)有界函數(shù)的圖像特征:有界函數(shù)圖像在兩平行線之間.(5)曾學(xué)過的有界函數(shù)：y

sin

x,y

cos

x,y

arcsin

x,y

arctan

x等.152.

單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y

f

(x),

x定義：

x1

,

x2

I

,

當(dāng)x1

x2時(shí)若

f

(

x1

)

f

(

x2

),

稱

f

(

x)為

I

上的單調(diào)增函數(shù)

;若

f

(

x1

)

f

(

x2

),

稱

f

(為I

上的單調(diào)減函數(shù);說明：(1)單調(diào)性與定義區(qū)間I

有關(guān)，也是局部概念.(2)

單調(diào)函數(shù)圖像特點(diǎn)：(3)

判斷方法:定義法;圖像法;導(dǎo)數(shù)法.(4)這里是嚴(yán)格單調(diào).2y

x

在(0,)內(nèi)是單調(diào)增加的，增在：(上升,0；)內(nèi)減是：下降.xyx1

x2I163.函數(shù)的奇偶性:定義：有1)f

(

x有2)f

(

x則稱f(x)為偶函數(shù).則稱f(x)為奇函數(shù).說明：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，奇偶性是整體概念；如：y

x2在(0,)內(nèi)是偶函數(shù)嗎？不是17y

f

(x),x

D

,設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.y

tan

x在x

k

時(shí)是奇函數(shù)嗎？是2奇偶函數(shù)的定義域不一定是R.若

f

(

x

在

x

=

0

有定義

,

則當(dāng)f

(

x)為奇函數(shù)時(shí),必有f

(0)

0.(4)偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱,奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;偶函數(shù)

f

(

x)

f

(

x)yxf

(

x)y

f

(

x)ox-xf

(

x)f

(

x)yxf

(

x)ox-xy

f

(

x)函數(shù)按奇偶可分為四類:奇函數(shù);偶函數(shù);非奇非偶函數(shù);既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).判斷奇偶性的方法有：定義法;圖像法;性質(zhì)法.18奇函數(shù)f

(

x)

f

(x)

F

(

x).(2)G(例2.

判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)F

(

x)

f

(

x)

f

(

x);其中f

(x)定義在(a，a)上.解：(1)F

(

x)

f

(

x)

f

(x)

f

(x)所以，F(xiàn)(x)是偶函數(shù).f

(

x)

f

(

x)

[

f

(

x)

f

(

x)]

G(

x).所以，G(x)是奇函數(shù).說明:給定f

(x),x

(a,a)則

f

(

x)

f

(

x)

f

(

x)

f

(

x)

f

(

x)2偶函數(shù)192奇函數(shù)204.

周期性定義:

x

D,

T

0,且x

T

D,

若f

(

x

T

)

f

(

x)為周期函數(shù)

,稱T為周期.則稱f

(說明：周期函數(shù)的定義域是無限的點(diǎn)集.周期性是整體概念,是對(duì)整個(gè)定義域而言的.若有周期,則周期不唯一,以后說周期函數(shù)的周期指最小正周期.并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期.例如,

常量函數(shù)

f

(

x)

C任何一個(gè)實(shí)數(shù)都是它的周期，但沒有最小正周期.設(shè)函數(shù)y

f

(x)x

Q,0x

Qc又如,

狄

雷函數(shù)D(

x)

1常見的周期函數(shù)：三角函數(shù).判斷周期函數(shù)的方法：定義法,性質(zhì)法.結(jié)論：若f

(x)以T為

則f

(

x)以

T

為最小正周期，

0.2

TT22

3T23Tx是周期函數(shù)(無最小正周期)T

有理數(shù)(3)圖像特點(diǎn)：周期性地重復(fù)出現(xiàn).yo211.定義：由y

f

(x)

x

(

y),則稱x

(

y)為y

f

(x)五、反函數(shù)的反函數(shù)

記作:x

f

1

(

y).

y

f

(x)叫直接函數(shù).上：y

f

(

x)

x

f

1

(

y)

y

f

1

(

x)

,

x

f

(D)說明：結(jié)論:若f

,f

1均是單值的,則x

f

(D)時(shí)f

[f

1

(x)]

x；x

D

時(shí)f

1[f

(x)]

x.單值函數(shù)的反函數(shù)不一定單值.定理：y=f

(x)單調(diào)遞增(減)其反函數(shù)且也單值單調(diào)遞增(減).22(3)

y

f

(

x)與

x

f

1(

y)圖像相同，但它們是不同的函數(shù),函數(shù)

與其反函數(shù)y的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.xyoyQ(b,a)直接函數(shù)y

fP(a,

b)反函數(shù)y

f(4)求反函數(shù)的步驟：分離x

f

1

(

y)交換x,y

y

f

1

(x),

x

f

(D)23y

f

(

x),

x

D,

1

x

0

x2例3.求y

ln

x

,解:當(dāng)

1

x

0時(shí)y

則x

y

,

y

(

0,

1]當(dāng)0

x

1時(shí)y

l則

x

ey

,

y故所求反函數(shù)為：y

ex

,

x

(

,

0]

x

,

x

(

0

,

1]定義域?yàn)?(

,1]111

(

0

,

1]

,

(

,

0

]

,0

x

1

的反函數(shù)及其定義域.yOx24六、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)有函數(shù)鏈y

f

(u),

u

D1且g(D)

D1①②則

y

f

[g(x)]

,

x

D

稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù).x:自變量；u:中間變量；y:因變量.注意:1)

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件g(D)

D1不可少.所以不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)

一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;如：y

arcsin

u,u

2

x2

;

就構(gòu)不成復(fù)合函數(shù).y

2u

,u

3x

1

y

23

x1

.就是復(fù)合函數(shù).252)

復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.2cos

x

.2如：由y

u,

u

cos

v,

v

x

復(fù)

的函數(shù)為y

分解復(fù)合函數(shù)時(shí)，必須分解為簡單函數(shù)才算完成.如：y

arcsin(

3

x

1)

y

arcsin

u,

u

3x

1.y

ln

tan(3

x)y

ln

u,

u

tan

v,

v

3x.分解方法:從外到里.復(fù)合函數(shù)的定義域如何求？例如,

y

arc

y

arcsin

2

1

x222 1

x2

1且1

x

0

322] [

3

,

1

]

x

[1

,

26例4.

設(shè)函數(shù)

f

(

x)

3

x

1

,

x

1,

求f

[

f

(

x)]

.

x

,

x

1f

[

f

(

x)]

3

f

(

x)

1

,

f

(

x)

,f

(

x)

1x

09x

4

,

3(3x

1)

1

x

,3x

1

,

0

x

1解:x

換為f

(x)1

x

Qx

Qc

,求D(D(x)).練習(xí)：設(shè)D(x)

0答：D(D(x

)

1ox127y41y

f七、初等函數(shù)(1)

基本初等函數(shù)x2

,故為初等函數(shù).可表為y

例如

,

y

x

,

x

,均為初等函數(shù).y

xy

ax冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)

初等函數(shù)由常數(shù)及y基本s初in等x,函y數(shù)y經(jīng)coa過s