彈性力學(xué)熱應(yīng)力課件

十一章熱應(yīng)力

當(dāng)彈性體的溫度變化時，其體積將會有改變的趨勢，但是彈性體受外在約束及其本身各部分之間的相互約束，這種體積改變的趨勢不能自由地發(fā)生，從而產(chǎn)生應(yīng)力，稱為溫度應(yīng)力。為了決定彈性體內(nèi)的溫度應(yīng)力,首先要按照熱傳導(dǎo)理論,計(jì)算彈性體內(nèi)各點(diǎn)在各瞬時的溫度,得到前后溫度場的變溫,然后根據(jù)熱彈性力學(xué),根據(jù)彈性體內(nèi)的變溫來求出各點(diǎn)的溫度應(yīng)力。1ppt課件十一章熱應(yīng)力當(dāng)彈性體的溫度變化時，第一節(jié)溫度場與熱傳導(dǎo)的基本概念第二節(jié)熱傳導(dǎo)方程第三節(jié)溫度場的邊值條件第四節(jié)按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題第五節(jié)微分方程的求解第六節(jié)軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題第七節(jié)穩(wěn)定溫度場的差分解第八節(jié)應(yīng)力函數(shù)差分解2ppt課件第一節(jié)溫度場與熱傳導(dǎo)的基本概念2ppt課件第一節(jié)溫度場與熱傳導(dǎo)的基本概念

當(dāng)彈性體的溫度變化時，其體積將會有改變的趨勢，但是彈性體受外在約束及其本身各部分之間的相互約束，這種體積改變的趨勢不能自由地發(fā)生，從而產(chǎn)生應(yīng)力，稱為溫度應(yīng)力。

一基本概念

1.溫度場在同一時間，物體內(nèi)各點(diǎn)處溫度值的總體。一般說來，溫度場是位移和時間的函數(shù)。即T=T（x,y,z,t）若T=T（x,y,z），即溫度場不隨時間的變化而變化，稱為穩(wěn)定溫度場。3ppt課件第一節(jié)溫度場與熱傳導(dǎo)的基本概念當(dāng)彈性體的溫度變2.等溫面任一瞬間，同一溫度場內(nèi)溫度相同的各點(diǎn)之間的連線，構(gòu)成等溫面，沿等溫面移動，溫度不變；沿等溫面的法線方向移動，溫度的變化率最快。

3.溫度梯度沿著等溫面的法線方向，指向溫度增大的方向，其大小等于，取沿等溫面法線方向的單位矢量為n0。則

n0為沿等溫面法線方向的單位矢量。

若T=T（x,y,t），即溫度隨時間和平面內(nèi)的兩位置坐標(biāo)變化而變化，稱為平面溫度場。(1)4ppt課件2.等溫面任一瞬間，同一溫度場內(nèi)溫度相溫度梯度在各坐標(biāo)軸的分量為:

4.熱流密度單位時間內(nèi)通過等溫面面積的熱量，稱為熱流速度，用dQ

表示，通過單位等溫面面積的熱流速度稱為熱流密度，即q

熱流密度S

等溫面面積

(2)5ppt課件溫度梯度在各坐標(biāo)軸的分量為:4.熱流密度熱流密度的矢量表示為

5.熱傳導(dǎo)基本定率熱流密度與溫度梯度成正比且方向相反。λ為導(dǎo)熱系數(shù)

.由上述公式(1)、(3)、(4)得(3)(4)q(5)6ppt課件熱流密度的矢量表示為5.熱傳導(dǎo)基本定率

式（5）表明，導(dǎo)熱系數(shù)等于單位溫度梯度下通過等溫面單位面積的熱流速度。由式（1）和（4）知熱流密度在坐標(biāo)軸上的投影(6)7ppt課件式（5）表明，導(dǎo)熱系數(shù)等于單位溫度梯度下通過式（6）與式（2）比較得式（7）表明，熱流密度在任一方向上的分量，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘以溫度在該方向的遞減率。

(7)8ppt課件式（6）與式（2）比較得式（7）表明，熱流密度在任一方向上的第二節(jié)熱傳導(dǎo)微分方程的推導(dǎo)1.熱平衡原理在任意一段時間內(nèi)，物體的任一微小部分所積蓄的熱量等于傳入該微小部分的熱量加上內(nèi)部熱源所供給的熱量。2.熱傳導(dǎo)微分方程的推導(dǎo)

如圖取微小六面體dxdydz,假定該六面體的它所積蓄熱量是溫度在dt時間內(nèi)升高了，ρcdxdydzdt,其中ρ是物體密度，c是比熱容。9ppt課件第二節(jié)熱傳導(dǎo)微分方程的推導(dǎo)1.熱平衡原理

在時間dt內(nèi)，由六面體ABA’B’

面?zhèn)魅氲臒崃繛閝xdxdydzdt,由CDC’D’面?zhèn)魅氲臒崃繛橛墒?/p>

傳入的靜熱量為：10ppt課件在時間dt內(nèi)，由六面體ABA’B’面?zhèn)魅氲耐瑯涌傻茫?/p>

由ADD’A’

和BCC’B’兩面?zhèn)魅氲撵o熱量為：

由ABCD

和A’B’C’D’兩面?zhèn)魅氲撵o熱量為：

因此，傳入微小六面體的總靜熱量為：

11ppt課件同樣可得：由ADD’A’和BCC’B’兩

假定物體內(nèi)部有正熱源供熱，在單位時間單位面積供熱為W,則物體在時間dt內(nèi)產(chǎn)生的熱量為Wdxdydzdt根據(jù)熱量平衡原理得：化簡得：

記

稱為溫度系數(shù),上式可簡寫為：

這就是熱傳導(dǎo)微分方程。

12ppt課件假定物體內(nèi)部有正熱源供熱，在單位時間單位面積供第三節(jié)溫度場的邊值條件

為了能夠求解熱傳導(dǎo)微分方程，從而求得溫度場，必須已知物體在初始瞬間的溫度分布，即所謂初始條件，同時還要知道初始瞬間以后物體表面與周圍介質(zhì)之間熱交換的規(guī)律,即所謂邊界條件。二者合成邊值條件。

初始條件一般表示如下：

(T)t=0=f(x,y,z)13ppt課件第三節(jié)溫度場的邊值條件為了能夠求解熱傳導(dǎo)微分

邊界條件有四種形式：第一類邊界條件已知物體表面上任一點(diǎn)在所有瞬間的溫度，即：

Ts=f(t)其中Ts表示物體表面的溫度。

第二類邊界條件已知物體表面上任一點(diǎn)點(diǎn)處的法向熱流密度，即：

(qn)s=f(t)14ppt課件邊界條件有四種形式：第二類邊界

第三類邊界條件已知物體邊界上任一點(diǎn)在所有瞬間的對流放熱情況，按照熱量的運(yùn)流規(guī)律，在單位時間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度和兩者的溫差成正比。即：

(qn)s=β(Ts-Te)其中：β

放熱系數(shù)

Ts

物體表面溫度Te

周圍介質(zhì)溫度

或15ppt課件第三類邊界條件已知物體邊界上任一點(diǎn)在所有

第四類邊界條件以知兩物體完全接觸，并以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換。即：

Ts=Te16ppt課件第四類邊界條件以知兩物體完全接觸，并以熱

設(shè)彈性體內(nèi)各點(diǎn)的變溫為T,從而引起彈性體內(nèi)各點(diǎn)的微小長度發(fā)生應(yīng)變αT，α為線熱脹系數(shù),彈性體內(nèi)各點(diǎn)的形變分量為：第四節(jié)按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=017ppt課件設(shè)彈性體內(nèi)各點(diǎn)的變溫為T,從而引起彈性體內(nèi)各點(diǎn)

由于彈性體所受的外在約束及彈性體內(nèi)各部分之間相互約束，上述形變不能自由發(fā)生，產(chǎn)生溫度應(yīng)力。因而總的形變分量為：(8)18ppt課件由于彈性體所受的外在約束及彈性體內(nèi)各部分之間相

如圖所示等厚薄板及坐標(biāo)系中，沒有體力和面力作用，只有變溫T的作用且變溫T是x和y的函數(shù)。因而有并由式（8）得出用應(yīng)力分量與變溫T所表示的形變分量的物理方程，即熱彈力學(xué)物理方程：(9)19ppt課件如圖所示等厚薄板及坐標(biāo)系中，沒有體力和面力作用

由上式求解應(yīng)力分量，得出用形變分量與變溫T所表示的應(yīng)力分量物理方程：其中

(11)(10)20ppt課件由上式求解應(yīng)力分量，得出用形變分量與變溫T所將式（11）代入式（10）得：

為用位移分量和變溫T表示的應(yīng)力分量公式。又平面平衡微分方程為：

在此體力為零，

(12)(13)21ppt課件將式（11）代入式（10）得：為用位移分量和變溫T表示的應(yīng)將式（13）代入（12）并化簡得：

又據(jù)平面問題的應(yīng)力邊界條件得：

(14)(15)22ppt課件將式（13）代入（12）并化簡得：又據(jù)平面問題的應(yīng)力邊界條

把式（14）（15）與通常平面問題相比較可知：在溫度應(yīng)力的平面應(yīng)力問題中，溫度應(yīng)力等于假想體力

和假想面力

所引起的應(yīng)力。23ppt課件把式（14）（15）與通常平面問題相比較可知：

平面應(yīng)變時假定τyz=τzx=εz=0，由式（8）可得物理方程：

因此和平面應(yīng)力的熱物理方程比較，將上述各方程中的則得到在平面應(yīng)變條件下的相應(yīng)方程。ν換成α(1+α)

E換成α換成24ppt課件平面應(yīng)變時假定τyz=τzx=εz=0，由式

在求解微分方程（14）時，應(yīng)分兩步進(jìn)行。

1.求出微分方程的任一組特解。

2.不計(jì)變溫T,求出微分方程的一組補(bǔ)充解，并使它和特解疊加以后滿足邊界條件。

為了求得微分方程的一組特解，引用一個函數(shù)φ（x,y），使第五節(jié)微分方程的求解u.’v’為微分方程的特解。25ppt課件在求解微分方程（14）時，應(yīng)分兩步進(jìn)行。即為

又u.v都是常量，所以?。?/p>

代入微分方程（14）并化簡得：

時，φ（x,y）滿足(14)式，因此可以作為微分方程(14)的一組特解。(16)26ppt課件即為又u.v都是常量，所以?。捍胛⒎址匠蹋?4）并化簡將

及式（16）代入式（12）得相應(yīng)與位移特解的應(yīng)力分量：位移的補(bǔ)充解u’’.v’’滿足式（14）的齊次方程

27ppt課件將及式（16）代入式（12）得相應(yīng)與位移特解的應(yīng)力分量：位相應(yīng)與位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量，可由式（13）令T=0得出

從而得總的位移分量：

u=u’+u’’

v=v’+v’’并滿足位移邊界條件。28ppt課件相應(yīng)與位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量，可由式（13）令T=0得出從而滿足應(yīng)力邊界條件。在平面應(yīng)變條件下，將上述各方程中的換成α(1+)。

總的應(yīng)力分量：E換成α換成29ppt課件滿足應(yīng)力邊界條件。在平面應(yīng)變條件下，將上述各方程中的換成α

下面分析軸對稱溫度場引起的平面熱應(yīng)力問題，對于該類問題，由于只存在位移分量，故可直接按位移法求解。設(shè)圓筒的內(nèi)外徑分別為a,b，不考慮體積力平面應(yīng)力問題平衡微分方程中的第二式自然滿足，而第一式成為：

第六節(jié)軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題30ppt課件下面分析軸對稱溫度場引起的平面熱應(yīng)力問題，對于幾何方程：

中的第三式自然滿足，第一，二式成為：

物理方程：

31ppt課件幾何方程：中的第三式自然滿足，第一，二式成為：物理方程：中的第三式自然滿足，而第一，二式成為：得按位移求解軸對稱熱應(yīng)力的基本方程：

再代入代入可表示為32ppt課件中的第三式自然滿足，而第一，二式成為：得按位移求解軸對稱熱應(yīng)上式改寫：

積分兩次可得到軸對稱問題位移分量：

式中c1,c2

為任意常數(shù)，積分下限可取圓筒內(nèi)徑a。33ppt課件上式改寫：積分兩次可得到軸對稱問題位移分量：式中c1,由上式可得應(yīng)力分量：在無面力條件下，由邊界條件

可求出積分常數(shù)：

(17)34ppt課件由上式可得應(yīng)力分量：在無面力條件下，由邊界條件可求出積分將它們代入(17)得:

對于圓筒，作為平面應(yīng)變問題，上式變?yōu)椋?5ppt課件將它們代入(17)得:對于圓筒，作為平面應(yīng)變問題，上式變?yōu)榘吹臈l件，應(yīng)力分量代入上式得：

(上式所示應(yīng)力在無限長圓筒中或在兩端受縱向完全約束的有限長圓筒中才可能發(fā)生。)

36ppt課件按的條件，應(yīng)力分量代入上式得：(上

例：設(shè)圓筒從某一均勻溫度加熱，內(nèi)表面增溫Ta

，外表面增溫Tb

，試求筒內(nèi)無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱應(yīng)力。解：首先求溫度場，由熱傳導(dǎo)微分方程TaTbab無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱熱傳導(dǎo)微分方程為37ppt課件例：設(shè)圓筒從某一均勻溫度加熱，內(nèi)表面增溫Ta或

積分兩次得:

由邊界條件

TaTbab對于軸對稱溫度場有38ppt課件或積分兩次得:由邊界條件TaTbab對于軸對稱溫度場有將上式代入式(17)積分后得：TaTbab求出任意常數(shù)A和B后，再代入上式，得溫度場：39ppt課件將上式代入式(17)積分后得：TaTbab求出任意常數(shù)A和第七節(jié)穩(wěn)定溫度場的差分解1.穩(wěn)定溫度場的差分解在無熱源的平面穩(wěn)定溫度場中，有

熱傳導(dǎo)微分方程

簡化為

40ppt課件第七節(jié)穩(wěn)定溫度場的差分解1.穩(wěn)定溫度場的差分解熱傳導(dǎo)微

為了用差分法求解，在溫度場中織成網(wǎng)格，如圖所示，在結(jié)點(diǎn)0處有將上式代入

得差分方程T0－T1－T3－T5－T7=0(18)41ppt課件為了用差分法求解，在溫度場中織成網(wǎng)格，如圖所

若溫度場的全部邊界都具有第一類邊界條件，即每一個邊界結(jié)點(diǎn)的T值都已知，只要對每一個結(jié)點(diǎn)分別建立形如式（18）的差分方程,即可求得彈性體內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)的T值。

具有第二類邊界條件的結(jié)點(diǎn)0，如圖，假定結(jié)點(diǎn)0的邊界垂直與x軸，其外法線的方向沿x軸正向的，則邊界條件（qx）0是結(jié)點(diǎn)0沿x方向的熱流密度。42ppt課件若溫度場的全部邊界都具有第一類邊界條件，即每解出T1后代入式（18）得修正差分方程如邊界是絕熱邊界或?qū)ΨQ軸，(qx)0=0,前二式可化簡為：4T0－T7－2T5－T3=0(19)

具有第三類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)0，如圖，已知介質(zhì)的溫度為Te,則邊界條件為：對上式用差分公式得對上式用差分公式得43ppt課件解出T1后代入式（18）得修正差分方程如邊界是絕熱邊界或?qū)ΨQ

具有第四類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)，在完全接觸的情況下，兩個接觸體的溫度場是連續(xù)的，只要兩個接觸體具有相同的熱性常數(shù)，這個邊界接點(diǎn)就和內(nèi)接點(diǎn)完全一樣。

解出T1后代入式（18）得修正差分方程44ppt課件具有第四類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)，在完全接觸的情況第八節(jié)溫度應(yīng)力問題的應(yīng)力函數(shù)差分解溫度應(yīng)力的平面問題的物理方程為

其中T是變溫，代入形變相容方程得

令體力為零,由平衡微分方程得45ppt課件第八節(jié)溫度應(yīng)力問題的應(yīng)力函數(shù)差分解溫度應(yīng)力的平面問上述二式分別對x,y求偏導(dǎo)相加得

代入式（26）化簡得因在溫度應(yīng)力問題中，沒有體力作用，令

代入式（19）得(19)(20)46ppt課件上述二式分別對x,y求偏導(dǎo)相加得代入式（26）化簡得因在溫

溫度應(yīng)力問題中，面力分量為零，故邊界上所有各點(diǎn)都有成立。用差分法求解溫度應(yīng)力將式（20）化成差分方程,其中（圖）：47ppt課件溫度應(yīng)力問題中，面力分量為零，故邊界上所有利用上兩式得到所需的差分方程：根據(jù)邊界條件，可得到邊界條件的差分形式

這樣，求解溫度應(yīng)力問題就是在上述邊界條件下求解差分方程，這些方程中只包含內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力函數(shù)值，然后求得各結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力分量。48ppt課件利用上兩式得到所需的差分方程：根據(jù)邊界條件，可得到邊界條件的

十一章熱應(yīng)力

當(dāng)彈性體的溫度變化時，其體積將會有改變的趨勢，但是彈性體受外在約束及其本身各部分之間的相互約束，這種體積改變的趨勢不能自由地發(fā)生，從而產(chǎn)生應(yīng)力，稱為溫度應(yīng)力。為了決定彈性體內(nèi)的溫度應(yīng)力,首先要按照熱傳導(dǎo)理論,計(jì)算彈性體內(nèi)各點(diǎn)在各瞬時的溫度,得到前后溫度場的變溫,然后根據(jù)熱彈性力學(xué),根據(jù)彈性體內(nèi)的變溫來求出各點(diǎn)的溫度應(yīng)力。49ppt課件十一章熱應(yīng)力當(dāng)彈性體的溫度變化時，第一節(jié)溫度場與熱傳導(dǎo)的基本概念第二節(jié)熱傳導(dǎo)方程第三節(jié)溫度場的邊值條件第四節(jié)按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題第五節(jié)微分方程的求解第六節(jié)軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題第七節(jié)穩(wěn)定溫度場的差分解第八節(jié)應(yīng)力函數(shù)差分解50ppt課件第一節(jié)溫度場與熱傳導(dǎo)的基本概念2ppt課件第一節(jié)溫度場與熱傳導(dǎo)的基本概念

當(dāng)彈性體的溫度變化時，其體積將會有改變的趨勢，但是彈性體受外在約束及其本身各部分之間的相互約束，這種體積改變的趨勢不能自由地發(fā)生，從而產(chǎn)生應(yīng)力，稱為溫度應(yīng)力。

一基本概念

1.溫度場在同一時間，物體內(nèi)各點(diǎn)處溫度值的總體。一般說來，溫度場是位移和時間的函數(shù)。即T=T（x,y,z,t）若T=T（x,y,z），即溫度場不隨時間的變化而變化，稱為穩(wěn)定溫度場。51ppt課件第一節(jié)溫度場與熱傳導(dǎo)的基本概念當(dāng)彈性體的溫度變2.等溫面任一瞬間，同一溫度場內(nèi)溫度相同的各點(diǎn)之間的連線，構(gòu)成等溫面，沿等溫面移動，溫度不變；沿等溫面的法線方向移動，溫度的變化率最快。

3.溫度梯度沿著等溫面的法線方向，指向溫度增大的方向，其大小等于，取沿等溫面法線方向的單位矢量為n0。則

n0為沿等溫面法線方向的單位矢量。

若T=T（x,y,t），即溫度隨時間和平面內(nèi)的兩位置坐標(biāo)變化而變化，稱為平面溫度場。(1)52ppt課件2.等溫面任一瞬間，同一溫度場內(nèi)溫度相溫度梯度在各坐標(biāo)軸的分量為:

4.熱流密度單位時間內(nèi)通過等溫面面積的熱量，稱為熱流速度，用dQ

表示，通過單位等溫面面積的熱流速度稱為熱流密度，即q

熱流密度S

等溫面面積

(2)53ppt課件溫度梯度在各坐標(biāo)軸的分量為:4.熱流密度熱流密度的矢量表示為

5.熱傳導(dǎo)基本定率熱流密度與溫度梯度成正比且方向相反。λ為導(dǎo)熱系數(shù)

.由上述公式(1)、(3)、(4)得(3)(4)q(5)54ppt課件熱流密度的矢量表示為5.熱傳導(dǎo)基本定率

式（5）表明，導(dǎo)熱系數(shù)等于單位溫度梯度下通過等溫面單位面積的熱流速度。由式（1）和（4）知熱流密度在坐標(biāo)軸上的投影(6)55ppt課件式（5）表明，導(dǎo)熱系數(shù)等于單位溫度梯度下通過式（6）與式（2）比較得式（7）表明，熱流密度在任一方向上的分量，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘以溫度在該方向的遞減率。

(7)56ppt課件式（6）與式（2）比較得式（7）表明，熱流密度在任一方向上的第二節(jié)熱傳導(dǎo)微分方程的推導(dǎo)1.熱平衡原理在任意一段時間內(nèi)，物體的任一微小部分所積蓄的熱量等于傳入該微小部分的熱量加上內(nèi)部熱源所供給的熱量。2.熱傳導(dǎo)微分方程的推導(dǎo)

如圖取微小六面體dxdydz,假定該六面體的它所積蓄熱量是溫度在dt時間內(nèi)升高了，ρcdxdydzdt,其中ρ是物體密度，c是比熱容。57ppt課件第二節(jié)熱傳導(dǎo)微分方程的推導(dǎo)1.熱平衡原理

在時間dt內(nèi)，由六面體ABA’B’

面?zhèn)魅氲臒崃繛閝xdxdydzdt,由CDC’D’面?zhèn)魅氲臒崃繛橛墒?/p>

傳入的靜熱量為：58ppt課件在時間dt內(nèi)，由六面體ABA’B’面?zhèn)魅氲耐瑯涌傻茫?/p>

由ADD’A’

和BCC’B’兩面?zhèn)魅氲撵o熱量為：

由ABCD

和A’B’C’D’兩面?zhèn)魅氲撵o熱量為：

因此，傳入微小六面體的總靜熱量為：

59ppt課件同樣可得：由ADD’A’和BCC’B’兩

假定物體內(nèi)部有正熱源供熱，在單位時間單位面積供熱為W,則物體在時間dt內(nèi)產(chǎn)生的熱量為Wdxdydzdt根據(jù)熱量平衡原理得：化簡得：

記

稱為溫度系數(shù),上式可簡寫為：

這就是熱傳導(dǎo)微分方程。

60ppt課件假定物體內(nèi)部有正熱源供熱，在單位時間單位面積供第三節(jié)溫度場的邊值條件

為了能夠求解熱傳導(dǎo)微分方程，從而求得溫度場，必須已知物體在初始瞬間的溫度分布，即所謂初始條件，同時還要知道初始瞬間以后物體表面與周圍介質(zhì)之間熱交換的規(guī)律,即所謂邊界條件。二者合成邊值條件。

初始條件一般表示如下：

(T)t=0=f(x,y,z)61ppt課件第三節(jié)溫度場的邊值條件為了能夠求解熱傳導(dǎo)微分

邊界條件有四種形式：第一類邊界條件已知物體表面上任一點(diǎn)在所有瞬間的溫度，即：

Ts=f(t)其中Ts表示物體表面的溫度。

第二類邊界條件已知物體表面上任一點(diǎn)點(diǎn)處的法向熱流密度，即：

(qn)s=f(t)62ppt課件邊界條件有四種形式：第二類邊界

第三類邊界條件已知物體邊界上任一點(diǎn)在所有瞬間的對流放熱情況，按照熱量的運(yùn)流規(guī)律，在單位時間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度和兩者的溫差成正比。即：

(qn)s=β(Ts-Te)其中：β

放熱系數(shù)

Ts

物體表面溫度Te

周圍介質(zhì)溫度

或63ppt課件第三類邊界條件已知物體邊界上任一點(diǎn)在所有

第四類邊界條件以知兩物體完全接觸，并以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換。即：

Ts=Te64ppt課件第四類邊界條件以知兩物體完全接觸，并以熱

設(shè)彈性體內(nèi)各點(diǎn)的變溫為T,從而引起彈性體內(nèi)各點(diǎn)的微小長度發(fā)生應(yīng)變αT，α為線熱脹系數(shù),彈性體內(nèi)各點(diǎn)的形變分量為：第四節(jié)按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=065ppt課件設(shè)彈性體內(nèi)各點(diǎn)的變溫為T,從而引起彈性體內(nèi)各點(diǎn)

由于彈性體所受的外在約束及彈性體內(nèi)各部分之間相互約束，上述形變不能自由發(fā)生，產(chǎn)生溫度應(yīng)力。因而總的形變分量為：(8)66ppt課件由于彈性體所受的外在約束及彈性體內(nèi)各部分之間相

如圖所示等厚薄板及坐標(biāo)系中，沒有體力和面力作用，只有變溫T的作用且變溫T是x和y的函數(shù)。因而有并由式（8）得出用應(yīng)力分量與變溫T所表示的形變分量的物理方程，即熱彈力學(xué)物理方程：(9)67ppt課件如圖所示等厚薄板及坐標(biāo)系中，沒有體力和面力作用

由上式求解應(yīng)力分量，得出用形變分量與變溫T所表示的應(yīng)力分量物理方程：其中

(11)(10)68ppt課件由上式求解應(yīng)力分量，得出用形變分量與變溫T所將式（11）代入式（10）得：

為用位移分量和變溫T表示的應(yīng)力分量公式。又平面平衡微分方程為：

在此體力為零，

(12)(13)69ppt課件將式（11）代入式（10）得：為用位移分量和變溫T表示的應(yīng)將式（13）代入（12）并化簡得：

又據(jù)平面問題的應(yīng)力邊界條件得：

(14)(15)70ppt課件將式（13）代入（12）并化簡得：又據(jù)平面問題的應(yīng)力邊界條

把式（14）（15）與通常平面問題相比較可知：在溫度應(yīng)力的平面應(yīng)力問題中，溫度應(yīng)力等于假想體力

和假想面力

所引起的應(yīng)力。71ppt課件把式（14）（15）與通常平面問題相比較可知：

平面應(yīng)變時假定τyz=τzx=εz=0，由式（8）可得物理方程：

因此和平面應(yīng)力的熱物理方程比較，將上述各方程中的則得到在平面應(yīng)變條件下的相應(yīng)方程。ν換成α(1+α)

E換成α換成72ppt課件平面應(yīng)變時假定τyz=τzx=εz=0，由式

在求解微分方程（14）時，應(yīng)分兩步進(jìn)行。

1.求出微分方程的任一組特解。

2.不計(jì)變溫T,求出微分方程的一組補(bǔ)充解，并使它和特解疊加以后滿足邊界條件。

為了求得微分方程的一組特解，引用一個函數(shù)φ（x,y），使第五節(jié)微分方程的求解u.’v’為微分方程的特解。73ppt課件在求解微分方程（14）時，應(yīng)分兩步進(jìn)行。即為

又u.v都是常量，所以?。?/p>

代入微分方程（14）并化簡得：

時，φ（x,y）滿足(14)式，因此可以作為微分方程(14)的一組特解。(16)74ppt課件即為又u.v都是常量，所以?。捍胛⒎址匠蹋?4）并化簡將

及式（16）代入式（12）得相應(yīng)與位移特解的應(yīng)力分量：位移的補(bǔ)充解u’’.v’’滿足式（14）的齊次方程

75ppt課件將及式（16）代入式（12）得相應(yīng)與位移特解的應(yīng)力分量：位相應(yīng)與位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量，可由式（13）令T=0得出

從而得總的位移分量：

u=u’+u’’

v=v’+v’’并滿足位移邊界條件。76ppt課件相應(yīng)與位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量，可由式（13）令T=0得出從而滿足應(yīng)力邊界條件。在平面應(yīng)變條件下，將上述各方程中的換成α(1+)。

總的應(yīng)力分量：E換成α換成77ppt課件滿足應(yīng)力邊界條件。在平面應(yīng)變條件下，將上述各方程中的換成α

下面分析軸對稱溫度場引起的平面熱應(yīng)力問題，對于該類問題，由于只存在位移分量，故可直接按位移法求解。設(shè)圓筒的內(nèi)外徑分別為a,b，不考慮體積力平面應(yīng)力問題平衡微分方程中的第二式自然滿足，而第一式成為：

第六節(jié)軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題78ppt課件下面分析軸對稱溫度場引起的平面熱應(yīng)力問題，對于幾何方程：

中的第三式自然滿足，第一，二式成為：

物理方程：

79ppt課件幾何方程：中的第三式自然滿足，第一，二式成為：物理方程：中的第三式自然滿足，而第一，二式成為：得按位移求解軸對稱熱應(yīng)力的基本方程：

再代入代入可表示為80ppt課件中的第三式自然滿足，而第一，二式成為：得按位移求解軸對稱熱應(yīng)上式改寫：

積分兩次可得到軸對稱問題位移分量：

式中c1,c2

為任意常數(shù)，積分下限可取圓筒內(nèi)徑a。81ppt課件上式改寫：積分兩次可得到軸對稱問題位移分量：式中c1,由上式可得應(yīng)力分量：在無面力條件下，由邊界條件

可求出積分常數(shù)：

(17)82ppt課件由上式可得應(yīng)力分量：在無面力條件下，由邊界條件可求出積分將它們代入(17)得:

對于圓筒，作為平面應(yīng)變問題，上式變?yōu)椋?3ppt課件將它們代入(17)得:對于圓筒，作為平面應(yīng)變問題，上式變?yōu)榘吹臈l件，應(yīng)力分量代入上式得：

(上式所示應(yīng)力在無限長圓筒中或在兩端受縱向完全約束的有限長圓筒中才可能發(fā)生。)

84ppt課件按的條件，應(yīng)力分量代入上式得：(上

例：設(shè)圓筒從某一均勻溫度加熱，內(nèi)表面增溫Ta

，外表面增溫Tb

，試求筒內(nèi)無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱應(yīng)力。解：首先求溫度場，由熱傳導(dǎo)微分方程TaTbab無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱熱傳導(dǎo)微分方程為85ppt課件例：設(shè)圓筒從某一均勻溫度加熱，內(nèi)表面增溫Ta或

積分兩次得:

由邊界條件

TaTbab對于軸對稱溫度場有86ppt課件或積分兩次得:由邊界條件TaT