zw-高一數(shù)學(xué)課件兩角和與差正弦、余弦正切公式三

xxx大學(xué)XXX

老師高中數(shù)學(xué)·同步課堂智維私教

985/211重點(diǎn)高校大學(xué)生實(shí)時(shí)一對(duì)一第一兩角和與差的正弦、余弦、正切公式兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)學(xué)案·新知自解理解兩角和與差的正、余弦公式的結(jié)構(gòu)特征，體會(huì)誘導(dǎo)公式在推導(dǎo)S(α－β)中的作用．掌握并能運(yùn)用兩角和與差的正、余弦公式化簡(jiǎn)或求值．兩角和的余弦公式cos(α＋β)＝

cos

αcos

β－sin

αsin

β

，簡(jiǎn)記為C(α＋β)，使用的條件為.α，β為任意角兩角和與差的正弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin

αcos

β＋cos

αsin

βα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin

αcos

β－cos

αsin

βα，β∈R1．兩角和的(1)因?yàn)楣紺(α－β)中的角＝cos[α－(－β)]＝cos

αcos(－β)＋sin

αsin中使用了兩角差的余弦公式、誘導(dǎo)公式及換元思想．

(2)兩角和與差的余弦公式不能按分配律展開(kāi)，如：

cos(α＋β)≠cos

α＋cos

β.(3)對(duì)公式不但要會(huì)正用，還要學(xué)會(huì)逆用，如：cos

50°cos

20°＋sin50°sin20°＝cos30°＝23，cos

50°cos

20°－sin50°sin20°＝cos70°.2．應(yīng)用兩角和與差的正弦公式應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

(1)和差角的正弦公式不能按分配律展開(kāi)，即

sin(α＋β)≠sin

α＋sin

β，π

ππ

π如

sin3＋6≠sin

3＋sin

6.(2)牢記公式并能熟練地將左、右兩邊互化．例如化簡(jiǎn)sin

20°cos

50°－sin

70°cos

40°，能迅速觀察出此式等于1sin(20°－50°)＝sin(－30°)＝－sin

30°＝－2.2π(3)α，β

中有一個(gè)角為的整數(shù)倍時(shí)，利用誘導(dǎo)公式較為簡(jiǎn)便.

π31．設(shè)α∈0，2，若sin

α＝5，則

π2cosα＋4＝(

)A.7

B.15

5C．－7

D．－15

54解析：

易得

cosα＝5，

πππ

1則

2cosα＋4＝

2cos

αcos

4－sin

αsin

4＝5.答案：

B2．sin

59°·cos

89°－cos

59°·sin

89°的值為()A．－1

B.12

2C．－

3

D．－

32解析：

原式＝sin(59°－89°)＝sin(－30°)＝－sin

30°＝－12.答案：

A解析：

sin

75°＝sin(45°＋30°)＝sin

45°cos30°＋cos45°sin30°＝

2

3

2

12

·2

＋

2

·2＝

6＋

24.3．sin

75°＝

．答案：

6＋

24教案·課堂探究正余弦的兩角和與差的簡(jiǎn)單應(yīng)用自主練透型化簡(jiǎn)求值：(1)cos

11°sin

49°＋sin

11°cos

49°；(2)sin

63°sin

123°＋cos

117°sin

33°；(3)sin(α－30°)＋sin(α＋30°)；(4)sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sin

α.解析：

(1)原式＝sin(11°＋49°)＝sin

60°＝

32

.原式＝sin63°sin(90°＋33°)＋cos(180°－63°)sin33°＝sin

63°cos

33°－cos

63°sin

33°＝sin(63°－33°)＝sin

30°＝12.原式＝sin

αcos

30°－cos

αsin

30°＋sin

αcos

30°＋cos

αsin

30°＝2sin

αcos30°＝

3sin

α.原式＝sin(α＋β－α)＝sin

β.[歸納升華]解決給角求值問(wèn)題的策略(1)注意分析式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，合理選擇正余弦的和差公式．

(2)注意公式逆用過(guò)程中誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．(3)注意非特殊角與特殊角間的聯(lián)系及將特殊值轉(zhuǎn)化為特殊角.1．求值：(1)sin(－15°)；sin

7°＋cos

15°sin8°(2)化簡(jiǎn)cos

7°－sin

15°sin8°.解析：

(1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)＝sin

30°cos

45°－cos

30°sin45°＝1

2

3

22×

2

－

2

×

2

＝

2－

64.(2)sin

7°＋cos15°sin8°cos

7°－sin

15°sin

8°sin（15°－8°）＋cos

15°sin

8°＝cos（15°－8°）－sin

15°sin8°cos15°sin15°cos8°－cos

15°sin

8°＋cos

15°sin8°＝cos

15°cos

8°＋sin

15°sin

8°－sin

15°sin

8°＝sin

15°＝sin（45°－30°）cos（45°－30°）＝sin

45°cos30°－cos

45°sin30°＝cos

45°cos

30°＋sin

45°sin30°

6－

24

6＋

24＝2－

3.給值（式）求值問(wèn)題探究型π

π

3π

π

3

3π

5已知4＜α＜4

，0＜β＜4，cos4＋α＝－5，sin

4

＋β＝13.求sin(α＋β)的值；求cos(α－β)的值．[邊聽(tīng)邊記](méi)(1)∵4＜π

α＜3π

π

π4

，2＜4＋α＜π，π

∴sin4＋α＝

2π

41－cos

4＋α＝5.π

3π

3π∵0＜β＜4，

4

＜

4

＋β＜π，∴cos

4

＋β＝－3π

23π121－sin

4

＋β＝－13，∴π

＝－sin4＋α＋

4

＋

π

3ππ

＝－

sin4＋αcos

4

＋β＋cos4＋αsin

4

＋6365.(2)由(1)可知，π

4

3π

12sin4＋α＝5，cos

4

＋β＝－13，π

3π∴sin4＋α－

4

＋βπ

3ππ

3π＝sin4＋αcos

4

＋β－cos4＋αsin

4

＋β

34

12

5

33＝5×－13－－5×13＝－65.π

π3π

33又sin4＋α－

4

＋β＝sin（α－β）－2＝－cos(α－β)，從而cos(α－β)＝65.[歸納升華]給值求值的解題策略在解決此類題目時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧，同時(shí)分析角之間的關(guān)系，利用角的代換化異角為同角，具體做法是：(1)當(dāng)條件中有兩角時(shí)，一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差．

(2)當(dāng)已知角有一個(gè)時(shí)，可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角．2．已知π

3π

12

32＜β＜α＜4

，cos(α－β)＝13，sin(α＋β)＝－5，求cos

2α

與cos

2β的值．解析：

∵π

β＜α＜3π2＜

4

，∴0＜α－β＜π

π＜α＋β＜3π4，

2

.∴sin(α－β)＝

1－cos2（α－β）＝

1－122

＝513

13，cos(α＋β)＝－

1－sin2（α＋β）

324＝－

1－－5

＝－5.

∴cos

2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)

34

12

5

33＝－5×13－－5×13＝－65，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

34

12

5

63＝－5×13＋－5×13＝－65.設(shè)α，β為鈍角，且A.3π4B.5π4C.7π4D.5π

7π4

或4解析：

因?yàn)?/p>

α，β

為鈍角，sin

α＝

55

，所以

cosα＝－

1－sin2α

522

5＝－

1－

5

＝－

5

.3

10由

cos

β＝－

10

，得sin

β＝

1－cos2β＝

1－－

103

102＝1010，所以cos(α＋β)＝cos

αcos

β－sinαsin

β＝－5

×－

102

5

3

10

5

10－

5

×

10＝22.4又因?yàn)棣校鸡粒拢?π，所以α＋β＝7π

故選C..答案：

C[歸納升華]知值求角的步驟(1)首先考慮界定角的范圍，根據(jù)條件確定角的范圍，有時(shí)需要根據(jù)已知條件把角度的范圍縮小．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值，為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三

ππ角函數(shù)，如角的范圍是[0，π]時(shí)取余弦更方便些；而角的范圍是－2，2時(shí)，取正弦更方便．(3)求角，結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角同類練]☆1．已知

α，β

均為銳角，且

sin

α＝

5，cosβ＝

10

α－β

的值．5 10

，求解析：

∵α，β

均為銳角，且

sin

α＝

5

105

，cos

β＝10

，∴cos

α＝2

53

105

，sinβ＝10

.∴sin(α－β)＝sin

αcos

β－cos

αsinβ＝5×

10

2

5

3

10

25 10

－

5

×

10

＝－

2

.又∵α，β

均為銳角，∴－π

π2＜α－β＜2，π故α－β＝－4.[變式練]☆141

13

π2．已知

cos

α＝7，cos(α－β)＝ ，且

0＜β＜α＜2，求角β

的值．解析：

由

cos

α＝1

0＜α＜π7，

2，得2sin

α＝

1－cos

α＝7121－

＝4

37.π

π由0＜β＜α＜2，得0＜α－β＜2.又∵cos(α－β)＝1314，2∴sin(α－β)＝

1－cos

（α－β）＝

1－14132

＝3

314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cos

αcos

(α－β)＋sin

αsin(α－β)＝1

13

4

3

3

3

17×14＋

7