金融市場學(xué)之債券價值分析課件

第十章債券價值分析第一節(jié)收入資本化在債券價值分析中的運用第二節(jié)債券屬性與價值分析第三節(jié)債券定價原理第四節(jié)久期、凸度與免疫第十章債券價值分析第一節(jié)收入資本化在債券價值分析1第一節(jié)收入資本化在債券價值分析中的運用

收入法或收入資本化法，又稱現(xiàn)金流貼現(xiàn)法（DiscountedCashFlowMethod,簡稱DCF），包括股息（或利息）貼現(xiàn)法和自由現(xiàn)金流貼現(xiàn)法。

收入資本化法認為任何資產(chǎn)的內(nèi)在價值（intrinsicvalue）取決于該資產(chǎn)預(yù)期的未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值。

第一節(jié)收入資本化在債券價值分析中的運用

收入法或收入資本2一.貼現(xiàn)債券內(nèi)在價值的決定貼現(xiàn)債券，又稱零息票債券（zero-couponbond），是一種以低于面值的貼現(xiàn)方式發(fā)行，不支付利息，到期按債券面值償還的債券，其內(nèi)在價值由以下公式?jīng)Q定：

一.貼現(xiàn)債券內(nèi)在價值的決定貼現(xiàn)債券，又稱零息票債券（zero3二.直接債券內(nèi)在價值的決定直接債券，又稱定息債券，或固定利息債券，按照票面金額計算利息，票面上可附有作為定期支付利息憑證的息票，也可不附息票。投資者不僅可以在債券期滿時收回本金（面值），而且還可定期獲得固定的利息收入，其內(nèi)在價值公式如下：

二.直接債券內(nèi)在價值的決定直接債券，又稱定息債券，或固定利息4三.統(tǒng)一公債內(nèi)在價值的決定統(tǒng)一公債是一種沒有到期日的特殊的定息債券。統(tǒng)一公債的內(nèi)在價值的計算公式如下

：

三.統(tǒng)一公債內(nèi)在價值的決定統(tǒng)一公債是一種沒有到期日的特殊的定5四.判斷債券價格屬于低估還是高估的方法第一種，比較兩類到期收益率的差異。

如果y(預(yù)期收益率)>k(到期收益率)，則該債券的價格被高估；如果y<k，表現(xiàn)為該債券的價格被低估

四.判斷債券價格屬于低估還是高估的方法第一種，比較兩類到期收6第二種方法，比較債券的內(nèi)在價值與債券價格的差異。我們把債券的內(nèi)在價值（V）與債券價格（P）兩者的差額，定義為債券投資者的凈現(xiàn)值（NPV）。當凈現(xiàn)值大于零時，意味著內(nèi)在價值大于債券價格，即市場利率低于債券承諾的到期收益率，該債券被低估；反之，當凈現(xiàn)值小于零時，該債券被高估。

第二種方法，比較債券的內(nèi)在價值與債券價格的差異。7

第二節(jié)債券屬性與價值分析

一.到期時間對債券價值的影響當債券的預(yù)期收益率y和債券的到期收益率k上升時，債券的內(nèi)在價值和市場價格都將下降。當其他條件完全一致時，債券的到期時間越長，債券價格的波動幅度越大。但是當?shù)狡跁r間變化時，債券的邊際價格變動率遞減。

第二節(jié)債券屬性與價值分析一.到期時間對債券價值的8動態(tài)的債券價格

當債券價格由預(yù)期收益率確定的現(xiàn)值決定時，折價債券將會升值，預(yù)期的資本收益能夠補足息票率與預(yù)期收益率的差異；相反，溢價債券的價格將會下跌，資本損失抵消了較高的利息收入，投資者仍然獲得相當于預(yù)期收益率的收益率。因此，雖然利息收入和資本收益的比重有所不同，不同息票率的債券提供給投資者的收益率是相同的。動態(tài)的債券價格當債券價格由預(yù)期收益率確定的現(xiàn)值決定時，折價9零息票債券的價格變動

零息票債券的價格變動有其特殊性。在到期日，債券價格等于面值，到期日之前，由于資金的時間價值，債券價格低于面值，并且隨著到期日的臨近而趨近于面值。如果利率恒定，則價格以等于利率值的速度上升。

零息票債券的價格變動

零息票債券的價格變動有其特殊性。在到期10二.息票率對債券價值的影響

在其他屬性不變的條件下，債券的息票率越低，債券價格隨預(yù)期收益率波動的幅度越大。

二.息票率對債券價值的影響在其他屬性不變的條件下，債券的息11三.可贖回條款對債券價值的影響

可贖回條款是有利于發(fā)行人的條款?？哨H回條款的存在，降低了該類債券的內(nèi)在價值，并且降低了投資者的實際收益率。作為對投資者的補償，一般這種債券的息票率較高。

三.可贖回條款對債券價值的影響可贖回條款是有利于發(fā)行人的條12四.稅收待遇對債券價值的影響

享受免稅待遇的債券的內(nèi)在價值一般略高于沒有免稅待遇的債券，但收益率一般低于沒有免稅待遇的債券。

例如，某30年期的零息票債券，面值為1000美元，預(yù)期收益率10%，則發(fā)行價為1000/（1+10%）=57.31（美元）。一年后，預(yù)期收益率不變時，債券價格為1000/（1+10%）=63.04（美元）。價差63.04-57.31=5.73（美元）作為利息收入來納稅。如果預(yù)期收益率下降為9.9%，債券價格變?yōu)?000/（1+9.9%）=64.72（美元）。若債券被賣掉，價差64.72-63.04=1.68（美元）作為資本收益以相應(yīng)稅率納稅；若債券沒有賣掉，則1.68美元的價差作為未實現(xiàn)的資本收益不需納稅。

四.稅收待遇對債券價值的影響享受免稅待遇的債券的內(nèi)在價值一13五.流動性對債券價值的影響

債券的流動性與債券的內(nèi)在價值呈正比例關(guān)系，但與債券的收益率呈反比例關(guān)系，即流動性高的債券收益率較低，流動性低的債券收益率較高。通常買賣價差小的債券流動性較高，反之，流動性較低。五.流動性對債券價值的影響債券的流動性與債券的內(nèi)在價值呈正14六.違約風(fēng)險對債券價值的影響

違約風(fēng)險越高，投資收益率越高，反之，投資收益率越低。債券評級是反映債券違約風(fēng)險的重要指標。債券評級依據(jù)的主要財務(wù)比率有：固定成本倍數(shù)、杠桿比率、流動性比率、盈利性比率、現(xiàn)金比率等。六.違約風(fēng)險對債券價值的影響違約風(fēng)險越高，投資收益率越高，15七.可轉(zhuǎn)換性對債券價值的影響

可轉(zhuǎn)換債券息票率和承諾的到期收益率通常較低。因為可轉(zhuǎn)換債券對投資者有利，投資者會選擇對自己有利的時候?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)換。七.可轉(zhuǎn)換性對債券價值的影響可轉(zhuǎn)換債券息票率和承諾的到期收16八.可延期性對債券價值的影響

可延期債券的息票率和承諾的到期收益率較低.因為可延期債券對投資者有利，它給予了投資者一種終止或繼續(xù)擁有該債券的權(quán)利。如果市場利率低于息票率，投資者將繼續(xù)擁有該債券，反之則放棄。八.可延期性對債券價值的影響可延期債券的息票率和承諾的到期17

第三節(jié)債券定價原理

債券定價原理（馬爾基爾1962）定理一：債券的價格與債券的收益率成反比例關(guān)系。

定理二：當債券的收益率不變，即債券的息票率與收益率之間的差額固定不變時，債券的到期時間與債券價格的波動幅度之間成正比關(guān)系。

定理三：隨著債券到期時間的臨近，債券價格的波動幅度減少，并且是以遞增的速度減少；反之，到期時間越長，債券價格波動幅度增加，并且是以遞減的速度增加。

第三節(jié)債券定價原理債券定價原理（馬爾基爾19618定理四：對于期限既定的債券，由收益率下降導(dǎo)致的債券價格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升導(dǎo)致的債券價格下降的幅度。

定理五：對于給定的收益率變動幅度，債券的息票率與債券價格的波動幅度之間成反比關(guān)系。

定理四：對于期限既定的債券，由收益率下降導(dǎo)致的債券價格上升的19

第四節(jié)久期、凸度與免疫第四節(jié)久期、凸度與免疫20一、久期

馬考勒久期：由馬考勒(F.R.Macaulay,1938)提出，使用加權(quán)平均數(shù)的形式計算債券的平均到期時間。計算公式：

其中，D是馬考勒久期，是債券當前的市場價格，ct是債券未來第t次支付的現(xiàn)金流(利息或本金)，T是債券在存續(xù)期內(nèi)支付現(xiàn)金流的次數(shù)，t是第t次現(xiàn)金流支付的時間，y是債券的到期收益率，PV(ct)代表債券第t期現(xiàn)金流用債券到期收益率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。決定久期的大小三個因素：各期現(xiàn)金流、到期收益率及其到期時間

一、久期

馬考勒久期：21債券組合的馬考勒久期

計算公式：其中，Dp表示債券組合的馬考勒久期，Wi表示債券i的市場價值占該債券組合市場價值的比重，Di表示債券i的馬考勒久期，k表示債券組合中債券的個數(shù)。債券組合的馬考勒久期計算公式：22馬考勒久期定理

定理一：只有貼現(xiàn)債券的馬考勒久期等于它們的到期時間。定理二：直接債券的馬考勒久期小于或等于它們的到期時間。只有僅剩最后一期就要期滿的直接債券的馬考勒久期等于它們的到期時間，并等于1。定理三：統(tǒng)一公債的馬考勒久期等于，其中y是計算現(xiàn)值采用的貼現(xiàn)率。定理四：在到期時間相同的條件下，息票率越高，久期越短。定理五：在息票率不變的條件下，到期時間越長，久期一般也越長。定理六：在其他條件不變的情況下，債券的到期收益率越低，久期越長。馬考勒久期定理定理一：只有貼現(xiàn)債券的馬考勒久期等于它們的到23馬考勒久期與債券價格的關(guān)系假設(shè)現(xiàn)在是0時刻，假設(shè)連續(xù)復(fù)利，債券持有者在ti時刻收到的支付為ci(1≤i≤n)，則債券價格P和連續(xù)復(fù)利到期收益率的關(guān)系為：

債券價格的變動比例等于馬考勒久期乘上到期收益率微小變動量的相反數(shù)

馬考勒久期與債券價格的關(guān)系假設(shè)現(xiàn)在是0時刻，假設(shè)連續(xù)復(fù)利，債24修正久期當收益率采用一年計一次復(fù)利的形式時，人們常用修正的久期(ModifiedDuration，用D*表示)來代替馬考勒久期。修正久期的定義：修正的久期公式：修正久期當收益率采用一年計一次復(fù)利的形式時，人們常用修正的久25二、凸度(Convexity)

定義：凸度(Convexity)是指債券價格變動率與收益率變動關(guān)系曲線的曲度。如果說馬考勒久期等于債券價格對收益率一階導(dǎo)數(shù)的絕對值除以債券價格，我們可以把債券的凸度(C)類似地定義為債券價格對收益率二階導(dǎo)數(shù)除以價格。即：二、凸度(Convexity)定義：凸度(Convex26久期的缺陷現(xiàn)實生活中，債券價格變動率和收益率變動之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，而是非線性關(guān)系。如果只用久期來估計收益率變動與價格變動率之間的關(guān)系，那么從公式(5-18)可以看出，收益率上升或下跌一個固定的幅度時，價格下跌或上升的幅度是一樣的。顯然這與事實不符.(見圖5-5)久期的缺陷現(xiàn)實生活中，債券價格變動率和收益率變動之間的關(guān)系并27圖5-5.價格敏感度與凸度的關(guān)系

用久期近似計算的收益率變動與價格變動率的關(guān)系

不同凸度的收益率變動幅度與價格變動率之間的真實關(guān)系

圖5-5.價格敏感度與凸度的關(guān)系用久期近似計算的收益率變28圖5-5說明的問題：當收益率下降時，價格的實際上升率高于用久期計算出來的近似值，而且凸度越大，實際上升率越高；當收益率上升時，價格的實際下跌比率卻小于用久期計算出來的近似值，且凸度越大，價格的實際下跌比率越小。這說明：(1)當收益率變動幅度較大時，用久期近似計算的價格變動率就不準確，需要考慮凸度調(diào)整；(2)在其他條件相同時，人們應(yīng)該偏好凸度大的債券。圖5-5說明的問題：當收益率下降時，價格的實際上升率高于用久29考慮凸度的收益率變動幅度與價格變動率之間的關(guān)系

考慮了凸度的收益率變動和價格變動關(guān)系：當收益率變動幅度不太大時，收益率變動幅度與價格變動率之間的關(guān)系就可以近似表示為：考慮凸度的收益率變動幅度與價格變動率之間的關(guān)系考慮了凸度的30三、免疫

久期免疫：免疫技術(shù)：由雷丁頓(Readington,1952)首先提出，投資者或金融機構(gòu)用來保護他們的全部金融資產(chǎn)免受利率波動影響的策略。兩種作用相互抵消的利率風(fēng)險：價格風(fēng)險和再投資風(fēng)險，久期免疫：如果資產(chǎn)組合的久期選擇得當，這一資產(chǎn)組合的久期恰好與投資者的持有期相等時，價格風(fēng)險與再投資風(fēng)險將完全抵消，到期時投資組合的累積價值將不受利率波動的影響。免疫資產(chǎn)的構(gòu)造：先計算實現(xiàn)承諾的現(xiàn)金流出的久期，然后投資于一組具有相同久期的債券資產(chǎn)組合。三、免疫

久期免疫：31久期免疫的進化

久期免疫的缺陷：

久期是對債券價格變化的一階近似，因此，一般來說，久期會低估利率變動帶來的預(yù)期收益或損失。

改進方法：

由于凸度是二階估計，考慮凸度可以提高利用久期得到的結(jié)果，尤其是在利率變化很大時，凸度可以修正通過久期得到關(guān)于債券價格變化的估計

久期免疫的進化

久期免疫的缺陷：32本章思考題：重要名詞：馬考勒久期；債券的凸度；久期免疫技術(shù)思考題：1、如何判斷債券價格屬于低估還是高估？2、簡述影響債券內(nèi)在價值與收益率的諸因素3、為什么要計算債券的久期？債券的久期有何缺陷?如何改進?本章思考題：重要名詞：馬考勒久期；債券的凸度；久期免疫技術(shù)33第十章債券價值分析第一節(jié)收入資本化在債券價值分析中的運用第二節(jié)債券屬性與價值分析第三節(jié)債券定價原理第四節(jié)久期、凸度與免疫第十章債券價值分析第一節(jié)收入資本化在債券價值分析34第一節(jié)收入資本化在債券價值分析中的運用

收入法或收入資本化法，又稱現(xiàn)金流貼現(xiàn)法（DiscountedCashFlowMethod,簡稱DCF），包括股息（或利息）貼現(xiàn)法和自由現(xiàn)金流貼現(xiàn)法。

收入資本化法認為任何資產(chǎn)的內(nèi)在價值（intrinsicvalue）取決于該資產(chǎn)預(yù)期的未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值。

第一節(jié)收入資本化在債券價值分析中的運用

收入法或收入資本35一.貼現(xiàn)債券內(nèi)在價值的決定貼現(xiàn)債券，又稱零息票債券（zero-couponbond），是一種以低于面值的貼現(xiàn)方式發(fā)行，不支付利息，到期按債券面值償還的債券，其內(nèi)在價值由以下公式?jīng)Q定：

一.貼現(xiàn)債券內(nèi)在價值的決定貼現(xiàn)債券，又稱零息票債券（zero36二.直接債券內(nèi)在價值的決定直接債券，又稱定息債券，或固定利息債券，按照票面金額計算利息，票面上可附有作為定期支付利息憑證的息票，也可不附息票。投資者不僅可以在債券期滿時收回本金（面值），而且還可定期獲得固定的利息收入，其內(nèi)在價值公式如下：

二.直接債券內(nèi)在價值的決定直接債券，又稱定息債券，或固定利息37三.統(tǒng)一公債內(nèi)在價值的決定統(tǒng)一公債是一種沒有到期日的特殊的定息債券。統(tǒng)一公債的內(nèi)在價值的計算公式如下

：

三.統(tǒng)一公債內(nèi)在價值的決定統(tǒng)一公債是一種沒有到期日的特殊的定38四.判斷債券價格屬于低估還是高估的方法第一種，比較兩類到期收益率的差異。

如果y(預(yù)期收益率)>k(到期收益率)，則該債券的價格被高估；如果y<k，表現(xiàn)為該債券的價格被低估

四.判斷債券價格屬于低估還是高估的方法第一種，比較兩類到期收39第二種方法，比較債券的內(nèi)在價值與債券價格的差異。我們把債券的內(nèi)在價值（V）與債券價格（P）兩者的差額，定義為債券投資者的凈現(xiàn)值（NPV）。當凈現(xiàn)值大于零時，意味著內(nèi)在價值大于債券價格，即市場利率低于債券承諾的到期收益率，該債券被低估；反之，當凈現(xiàn)值小于零時，該債券被高估。

第二種方法，比較債券的內(nèi)在價值與債券價格的差異。40

第二節(jié)債券屬性與價值分析

一.到期時間對債券價值的影響當債券的預(yù)期收益率y和債券的到期收益率k上升時，債券的內(nèi)在價值和市場價格都將下降。當其他條件完全一致時，債券的到期時間越長，債券價格的波動幅度越大。但是當?shù)狡跁r間變化時，債券的邊際價格變動率遞減。

第二節(jié)債券屬性與價值分析一.到期時間對債券價值的41動態(tài)的債券價格

當債券價格由預(yù)期收益率確定的現(xiàn)值決定時，折價債券將會升值，預(yù)期的資本收益能夠補足息票率與預(yù)期收益率的差異；相反，溢價債券的價格將會下跌，資本損失抵消了較高的利息收入，投資者仍然獲得相當于預(yù)期收益率的收益率。因此，雖然利息收入和資本收益的比重有所不同，不同息票率的債券提供給投資者的收益率是相同的。動態(tài)的債券價格當債券價格由預(yù)期收益率確定的現(xiàn)值決定時，折價42零息票債券的價格變動

零息票債券的價格變動有其特殊性。在到期日，債券價格等于面值，到期日之前，由于資金的時間價值，債券價格低于面值，并且隨著到期日的臨近而趨近于面值。如果利率恒定，則價格以等于利率值的速度上升。

零息票債券的價格變動

零息票債券的價格變動有其特殊性。在到期43二.息票率對債券價值的影響

在其他屬性不變的條件下，債券的息票率越低，債券價格隨預(yù)期收益率波動的幅度越大。

二.息票率對債券價值的影響在其他屬性不變的條件下，債券的息44三.可贖回條款對債券價值的影響

可贖回條款是有利于發(fā)行人的條款?？哨H回條款的存在，降低了該類債券的內(nèi)在價值，并且降低了投資者的實際收益率。作為對投資者的補償，一般這種債券的息票率較高。

三.可贖回條款對債券價值的影響可贖回條款是有利于發(fā)行人的條45四.稅收待遇對債券價值的影響

享受免稅待遇的債券的內(nèi)在價值一般略高于沒有免稅待遇的債券，但收益率一般低于沒有免稅待遇的債券。

例如，某30年期的零息票債券，面值為1000美元，預(yù)期收益率10%，則發(fā)行價為1000/（1+10%）=57.31（美元）。一年后，預(yù)期收益率不變時，債券價格為1000/（1+10%）=63.04（美元）。價差63.04-57.31=5.73（美元）作為利息收入來納稅。如果預(yù)期收益率下降為9.9%，債券價格變?yōu)?000/（1+9.9%）=64.72（美元）。若債券被賣掉，價差64.72-63.04=1.68（美元）作為資本收益以相應(yīng)稅率納稅；若債券沒有賣掉，則1.68美元的價差作為未實現(xiàn)的資本收益不需納稅。

四.稅收待遇對債券價值的影響享受免稅待遇的債券的內(nèi)在價值一46五.流動性對債券價值的影響

債券的流動性與債券的內(nèi)在價值呈正比例關(guān)系，但與債券的收益率呈反比例關(guān)系，即流動性高的債券收益率較低，流動性低的債券收益率較高。通常買賣價差小的債券流動性較高，反之，流動性較低。五.流動性對債券價值的影響債券的流動性與債券的內(nèi)在價值呈正47六.違約風(fēng)險對債券價值的影響

違約風(fēng)險越高，投資收益率越高，反之，投資收益率越低。債券評級是反映債券違約風(fēng)險的重要指標。債券評級依據(jù)的主要財務(wù)比率有：固定成本倍數(shù)、杠桿比率、流動性比率、盈利性比率、現(xiàn)金比率等。六.違約風(fēng)險對債券價值的影響違約風(fēng)險越高，投資收益率越高，48七.可轉(zhuǎn)換性對債券價值的影響

可轉(zhuǎn)換債券息票率和承諾的到期收益率通常較低。因為可轉(zhuǎn)換債券對投資者有利，投資者會選擇對自己有利的時候?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)換。七.可轉(zhuǎn)換性對債券價值的影響可轉(zhuǎn)換債券息票率和承諾的到期收49八.可延期性對債券價值的影響

可延期債券的息票率和承諾的到期收益率較低.因為可延期債券對投資者有利，它給予了投資者一種終止或繼續(xù)擁有該債券的權(quán)利。如果市場利率低于息票率，投資者將繼續(xù)擁有該債券，反之則放棄。八.可延期性對債券價值的影響可延期債券的息票率和承諾的到期50

第三節(jié)債券定價原理

債券定價原理（馬爾基爾1962）定理一：債券的價格與債券的收益率成反比例關(guān)系。

定理二：當債券的收益率不變，即債券的息票率與收益率之間的差額固定不變時，債券的到期時間與債券價格的波動幅度之間成正比關(guān)系。

定理三：隨著債券到期時間的臨近，債券價格的波動幅度減少，并且是以遞增的速度減少；反之，到期時間越長，債券價格波動幅度增加，并且是以遞減的速度增加。

第三節(jié)債券定價原理債券定價原理（馬爾基爾19651定理四：對于期限既定的債券，由收益率下降導(dǎo)致的債券價格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升導(dǎo)致的債券價格下降的幅度。

定理五：對于給定的收益率變動幅度，債券的息票率與債券價格的波動幅度之間成反比關(guān)系。

定理四：對于期限既定的債券，由收益率下降導(dǎo)致的債券價格上升的52

第四節(jié)久期、凸度與免疫第四節(jié)久期、凸度與免疫53一、久期

馬考勒久期：由馬考勒(F.R.Macaulay,1938)提出，使用加權(quán)平均數(shù)的形式計算債券的平均到期時間。計算公式：

其中，D是馬考勒久期，是債券當前的市場價格，ct是債券未來第t次支付的現(xiàn)金流(利息或本金)，T是債券在存續(xù)期內(nèi)支付現(xiàn)金流的次數(shù)，t是第t次現(xiàn)金流支付的時間，y是債券的到期收益率，PV(ct)代表債券第t期現(xiàn)金流用債券到期收益率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。決定久期的大小三個因素：各期現(xiàn)金流、到期收益率及其到期時間

一、久期

馬考勒久期：54債券組合的馬考勒久期

計算公式：其中，Dp表示債券組合的馬考勒久期，Wi表示債券i的市場價值占該債券組合市場價值的比重，Di表示債券i的馬考勒久期，k表示債券組合中債券的個數(shù)。債券組合的馬考勒久期計算公式：55馬考勒久期定理

定理一：只有貼現(xiàn)債券的馬考勒久期等于它們的到期時間。定理二：直接債券的馬考勒久期小于或等于它們的到期時間。只有僅剩最后一期就要期滿的直接債券的馬考勒久期等于它們的到期時間，并等于1。定理三：統(tǒng)一公債的馬考勒久期等于，其中y是計算現(xiàn)值采用的貼現(xiàn)率。定理四：在到期時間相同的條件下，息票率越高，久期越短。定理五：在息票率不變的條件下，到期時間越長，久期一般也越長。定理六：在其他條件不變的情況下，債券的到期收益率越低，久期越長。馬考勒久期定理定理一：只有貼現(xiàn)債券的馬考勒久期等于它們的到56馬考勒久期與債券價格的關(guān)系假設(shè)現(xiàn)在是0時刻，假設(shè)連續(xù)復(fù)利，債券持有者在ti時刻收到的支付為ci(1≤i≤n)，則債券價格P和連續(xù)復(fù)利到期收益率的關(guān)系為：

債券價格的變動比例等于馬考勒久期乘上到期收益率微小變動量的相反數(shù)

馬考勒久期與債券價格的關(guān)系假設(shè)現(xiàn)在是0時刻，假設(shè)連續(xù)復(fù)利，債57修正久期當收益率采用一年計一次復(fù)利的形式時，人們常用修正的久期(ModifiedDuration，用D*表示)來代替馬考勒久期。修正久期的定義：修正的久期公式：修正久期當收益率采用一年計一次復(fù)利的形式時，人們常用修正的久58二、凸度(Convexity)

定義：凸度(Convexity)是指債券價格變動率與收益率變動關(guān)系曲線的曲度。如果說馬考勒久期等于債券價格對收益率一階導(dǎo)數(shù)的絕對值除以債券價格，我們可以把債券的凸度(C)類似地定義為債券價格對收益率二階導(dǎo)數(shù)除以價格。即：二、凸度(Convexity)定義：凸度(Convex59久期的缺陷現(xiàn)實生活中，債券價格變動率和收益率變動之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，而是非線性關(guān)系。如果只用久期來估計收益率變動與價格變動率之間的關(guān)系，那么從公式(5-18)可以看出，收益率上升或下跌一