教學(xué)第五講：全微分方程課件

第五講全微分方程與積分因子三、積分因子法一、全微分方程與原函數(shù)二、全微分方程判定定理與不定積分法四、小結(jié)1第五講全微分方程與積分因子三、積分因子法一、全微分方程與原

定義:即若例如全微分方程或恰當(dāng)方程是全微分方程，一、全微分方程與原函數(shù)的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，則稱（1）為全微分方程或恰當(dāng)方程，稱為（1）的一個(gè)原函數(shù)。是方程的一個(gè)原函數(shù)。2定義:即若例如全微分方程是全微分方程，一、全微分方程與原函容易證明，如果是微分方程（1）的一個(gè)原函數(shù)，則（1）的通積分為其中C為任意常數(shù)。于是，求解全微分方程的關(guān)鍵在于求出它的一個(gè)原函數(shù)。例如3容易證明，如果我們通過觀察尋找方程的一個(gè)原函數(shù)。對(duì)于一個(gè)一般的方程，怎樣判斷它是否是全微分方程呢？若是，又怎樣求原函數(shù)？4我們通過觀察尋找方程的一個(gè)原函數(shù)。對(duì)于一個(gè)二、全微分方程判定定理與不定積分法定理：設(shè)函數(shù)M(x,y)、N(x,y)在xoy平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)可微，那么方程(1)是全微分方程的充要條件是在D內(nèi)恒成立演示證明。5二、全微分方程判定定理與不定積分法定理：設(shè)函數(shù)66一般地，若為全微分方程，則它的通積分為從而求得一個(gè)原函數(shù)7一般地，若解是全微分方程,原方程的通解為例28解是全微分方程,原方程的通解為例28解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例39解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例39定義:問題:如何求方程的積分因子?3、積分因子法

前面我們討論了全微分方程的求解問題，而對(duì)于給定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其中有些則可利用積分因子化為全微分方程。10定義:問題:如何求方程的積分因子?3、積分因子法我們用反推的辦法來求積分因子為了求出積分因子，必須求解上式，不容易。但對(duì)于某些特殊情況，上式可求解。（2）為全微分方程11我們用反推的辦法來求積分因子為了求出積分因子1212以上求積分因子的方法稱為公式法。13以上求積分因子的方法稱為公式法。13思考與練習(xí)：試求一階線性方程和Bernoulli方程的積分因子例1:求解微分方程：例2:求解微分方程：14思考與練習(xí)：試求一階線性方程和Bernoulli方程的積分因例3解則原方程化為可積組合法15例3解則原方程化為可積組合法15原方程的通解為(公式法)觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達(dá)式16原方程的通解為(公式法)觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分受上述結(jié)論的啟發(fā)通常我們經(jīng)?？梢赃x用的積分因子有：這種方法給我們又提供了一種求解微分方程的方法---可積（微）組合法，請(qǐng)看下面的例子：17受上述結(jié)論的啟發(fā)通常我們經(jīng)?？梢赃x用的積分因子有：解將方程左端重新組合,有例4求微分方程原方程的通解為18解將方程左端重新組合,有例4求微分方程原方程的通解為18解將方程左端重新組合,有原方程的通解為可積組合法例5求微分方程19解將方程左端重新組合,有原方程的通解為可積組合法例5求微解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:例6一題多解：20解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:例6一題多解：20解2整理得A用公式:B湊微分法:21解2整理得A用公式:B湊微分法:21C不定積分法:原方程的通解為22C不定積分法:原方程的通解為22作業(yè)：P38T1（1）（3）（5）,

T2,T5拓展思維訓(xùn)練題：23作業(yè)：P38T1（1）（3）（5）,T2,T5拓

若能從(1)解出y的一階導(dǎo)數(shù)，那么會(huì)得到一個(gè)或幾個(gè)顯式方程，用前面的辦法求解。前面討論的方程都是可解出一階導(dǎo)數(shù)的微分方程，即顯式方程（）一階隱式微分方程是指第六講一階隱式方程的解法例1:試求解微分方程：24若能從(1)解出y的一階導(dǎo)數(shù)，那么會(huì)得到本節(jié)主要介紹三種類型隱式微分方程的求解方法。（1）不含y（或x）的方程（2）可解出x的方程（3）可解出y的方程若不能從(1)解出y的一階導(dǎo)數(shù)，或者即使能解出，但很難求解，則需要借助于其它辦法進(jìn)行討論。25本節(jié)主要介紹三種類型隱式微分方程的求解方法。1、若方程（1）不含y，即261、若方程（1）不含y，即26例127例1272828例2：若方程（1）不含x，即則完全類似求解。例3：例4：29例2：若方程（1）不含x，即2、若可從方程（1）解出x，即

解法：

這個(gè)方程可化為顯式形式，用前面類似的方法能求出（1）的解。302、若可從方程（1）解出x，即解法：例531例53132323、若可從方程（1）解出y，即

解法：

333、若可從方程（1）解出y，即解法：34343535例636例6363737例738例73839394040小結(jié)（1）可解出y的方程（2）可解出x的方程（3）不含x（或y）的方程**

借助于一些變量代換，可將隱式形式的方程化為顯式方程。**

借助于一些變量代換，將隱式形式的方程化為參數(shù)形式方程。41小結(jié)（1）可解出y的方程（3）不含作業(yè)：P46（2）（4）（6）(8)(10)42作業(yè)：P46（2）（4）（6）(8)(10)第五講全微分方程與積分因子三、積分因子法一、全微分方程與原函數(shù)二、全微分方程判定定理與不定積分法四、小結(jié)43第五講全微分方程與積分因子三、積分因子法一、全微分方程與原

定義:即若例如全微分方程或恰當(dāng)方程是全微分方程，一、全微分方程與原函數(shù)的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，則稱（1）為全微分方程或恰當(dāng)方程，稱為（1）的一個(gè)原函數(shù)。是方程的一個(gè)原函數(shù)。44定義:即若例如全微分方程是全微分方程，一、全微分方程與原函容易證明，如果是微分方程（1）的一個(gè)原函數(shù)，則（1）的通積分為其中C為任意常數(shù)。于是，求解全微分方程的關(guān)鍵在于求出它的一個(gè)原函數(shù)。例如45容易證明，如果我們通過觀察尋找方程的一個(gè)原函數(shù)。對(duì)于一個(gè)一般的方程，怎樣判斷它是否是全微分方程呢？若是，又怎樣求原函數(shù)？46我們通過觀察尋找方程的一個(gè)原函數(shù)。對(duì)于一個(gè)二、全微分方程判定定理與不定積分法定理：設(shè)函數(shù)M(x,y)、N(x,y)在xoy平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)可微，那么方程(1)是全微分方程的充要條件是在D內(nèi)恒成立演示證明。47二、全微分方程判定定理與不定積分法定理：設(shè)函數(shù)486一般地，若為全微分方程，則它的通積分為從而求得一個(gè)原函數(shù)49一般地，若解是全微分方程,原方程的通解為例250解是全微分方程,原方程的通解為例28解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例351解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例39定義:問題:如何求方程的積分因子?3、積分因子法

前面我們討論了全微分方程的求解問題，而對(duì)于給定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其中有些則可利用積分因子化為全微分方程。52定義:問題:如何求方程的積分因子?3、積分因子法我們用反推的辦法來求積分因子為了求出積分因子，必須求解上式，不容易。但對(duì)于某些特殊情況，上式可求解。（2）為全微分方程53我們用反推的辦法來求積分因子為了求出積分因子5412以上求積分因子的方法稱為公式法。55以上求積分因子的方法稱為公式法。13思考與練習(xí)：試求一階線性方程和Bernoulli方程的積分因子例1:求解微分方程：例2:求解微分方程：56思考與練習(xí)：試求一階線性方程和Bernoulli方程的積分因例3解則原方程化為可積組合法57例3解則原方程化為可積組合法15原方程的通解為(公式法)觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達(dá)式58原方程的通解為(公式法)觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分受上述結(jié)論的啟發(fā)通常我們經(jīng)?？梢赃x用的積分因子有：這種方法給我們又提供了一種求解微分方程的方法---可積（微）組合法，請(qǐng)看下面的例子：59受上述結(jié)論的啟發(fā)通常我們經(jīng)常可以選用的積分因子有：解將方程左端重新組合,有例4求微分方程原方程的通解為60解將方程左端重新組合,有例4求微分方程原方程的通解為18解將方程左端重新組合,有原方程的通解為可積組合法例5求微分方程61解將方程左端重新組合,有原方程的通解為可積組合法例5求微解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:例6一題多解：62解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:例6一題多解：20解2整理得A用公式:B湊微分法:63解2整理得A用公式:B湊微分法:21C不定積分法:原方程的通解為64C不定積分法:原方程的通解為22作業(yè)：P38T1（1）（3）（5）,

T2,T5拓展思維訓(xùn)練題：65作業(yè)：P38T1（1）（3）（5）,T2,T5拓

若能從(1)解出y的一階導(dǎo)數(shù)，那么會(huì)得到一個(gè)或幾個(gè)顯式方程，用前面的辦法求解。前面討論的方程都是可解出一階導(dǎo)數(shù)的微分方程，即顯式方程（）一階隱式微分方程是指第六講一階隱式方程的解法例1:試求解微分方程：66若能從(1)解出y的一階導(dǎo)數(shù)，那么會(huì)得到本節(jié)主要介紹三種類型隱式微分方程的求解方法。（1）不含y（或x）的方程（2）可解出x的方程（3）可解出y的方程若不能從(1)解出y的一階導(dǎo)數(shù)，或者即使能解出，但很難求解，則需要借助于其它辦法進(jìn)行討論。67本節(jié)主要介紹三種類型隱式微分方程的求解方法。1、若方程（1）不含y，即681、若方程（1）不含y，即26例169例1277028例2：若方程（1）不含x，即則完全類似求解。例3：例4：71例2：若方程（1）不含x，即2、若可從方程（1）解出x，即

解法：

這個(gè)方程可化為顯式形式，用前面類似的方法能求出（1）的解。722、若可從方程（1）解出x，即解法：例573例53174323、若可從方程（1）解出y，即

解法：

753、若可從方程（1）解出y，即解法：76347735例678例636793