偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算課件

第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)第八章第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例:研究弦在點(diǎn)x0處的振動(dòng)速度與加速度,就是中的x固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).x0處,關(guān)于

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的機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束將振幅一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例:研究弦在點(diǎn)x0處的振動(dòng)速2定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極3同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù),記為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束或y偏導(dǎo)數(shù)存在,同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y4例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)5二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)y軸的二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x6函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).上節(jié)例目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù)7例1.

求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).8例2.

設(shè)證:例3.求的偏導(dǎo)數(shù).(P14例4)解:求證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.設(shè)證:例3.求的偏導(dǎo)數(shù).(P14例4)解9偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說(shuō)明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整體記號(hào),偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說(shuō)10二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù):二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在11類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y的一階機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)為類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)12例5.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的二階偏導(dǎo)數(shù)及例5.求函數(shù)解:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.機(jī)動(dòng)13例如,二者不等機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,二者不等機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回14例6.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程機(jī)動(dòng)15則證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理.例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說(shuō)明:本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證明略)則證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定16證:令則則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理.令證:令則則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回17同樣在點(diǎn)連續(xù),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束同樣在點(diǎn)連續(xù),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回18內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論定義;記號(hào);幾何意19思考與練習(xí)解答提示:P73題5P73題5,6即x＝y(tǒng)＝0時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)解答提示:P73題5P73題5,620P73題6(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P73題6(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)21作業(yè)P181（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P181（4）,（6）,（8）；3；5；第三22備用題

設(shè)方程確定u是x,y的函數(shù),連續(xù),且求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題設(shè)方程確定u是x,y的函數(shù),連續(xù),且23第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)第八章第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束24一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例:研究弦在點(diǎn)x0處的振動(dòng)速度與加速度,就是中的x固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).x0處,關(guān)于

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的機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束將振幅一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例:研究弦在點(diǎn)x0處的振動(dòng)速25定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極26同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù),記為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束或y偏導(dǎo)數(shù)存在,同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y27例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)28二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)y軸的二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x29函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).上節(jié)例目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù)30例1.

求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).31例2.

設(shè)證:例3.求的偏導(dǎo)數(shù).(P14例4)解:求證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.設(shè)證:例3.求的偏導(dǎo)數(shù).(P14例4)解32偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說(shuō)明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整體記號(hào),偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說(shuō)33二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù):二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在34類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y的一階機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)為類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)35例5.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的二階偏導(dǎo)數(shù)及例5.求函數(shù)解:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.機(jī)動(dòng)36例如,二者不等機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,二者不等機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回37例6.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程機(jī)動(dòng)38則證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理.例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說(shuō)明:本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證明略)則證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定39證:令則則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理.令證:令則則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回40同樣在點(diǎn)連續(xù),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束同樣在點(diǎn)連續(xù),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回41內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論定義;記號(hào);幾何意42思考與練習(xí)解答提示:P73題5P73題5,6即x＝y(tǒng)＝0時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)解答提示:P73題5P73題5,643P73題6