三角形全等證明綜合題

..三角形全等證明總結(jié)一證明題目時常用的三種方法在探索三角形全等的過程中,經(jīng)常要遇到條件不足或結(jié)論不易尋找等問題,如何分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系,常用的分析方法有以下三種：〔1綜合法就是從題目的已知條件入手,根據(jù)已學過的定義、定理、性質(zhì)、公理等,逐步推出要判斷的結(jié)論,有時也叫"由因?qū)Ч?．例如：如圖13-2-10,在△ABC中,D是BC的中點,DE∥AB,DF∥AC,分別交AC、AB于點E、F．求證：BF＝DE．分析：從已知條件到推出結(jié)論,其探索過程如下△BFD≌△DEC〔ASABF＝DE〔目標．以上這種由因?qū)Ч姆椒ň褪蔷C合法．〔2分析法就是從要判斷的結(jié)論出發(fā),根據(jù)已學的定義、定理、公理、性質(zhì)等,倒過來尋找能使結(jié)論成立的條件,這樣一步步地遞求,一直追溯到結(jié)論成立的條件與已知條件相吻合為止,有時也叫"執(zhí)果索因法"．如上題,用分析法的探索過程如下：BF＝DE△BFD≌△DEC〔3分析—綜合法在實際的思考過程中,往往需要使用這兩種方法,先從結(jié)論出發(fā),想一想需要什么條件,層層逆推,當思維遇到障礙時,再從條件出發(fā),順推幾步,看可以得出什么結(jié)論,從而兩邊湊,直至溝通"已知"和"結(jié)論"的兩個方面．即：例如：如圖13-2-11,在△ABC中,AB＝AC,D是BC的中點,E是AD上任一點,連接EB、EC,求證：EB＝EC．分析：本題比較復雜,可用上述的三個方法均可,現(xiàn)在以分析一綜合法為例,說明分析過程．先用綜合：由因?qū)Ч鰽BD≌△ACD再用分析：執(zhí)果索因．EB＝EC△ABE≌△ACE△ABD≌△ACD．證明：∵D是BC的中心,∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD〔SSS．∴∠BAD＝∠CAD．在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE〔SAS．∴BE＝CE〔全等三角形的對應(yīng)邊相等．[說明]①本題證明過程中,后一次三角形全等,也可選△BDE≌△CDE,方法同上．②本題兩次用到全等三角形,在分析中應(yīng)找準三角形,理清思路．二如何選擇三角形判定全等在學過本節(jié)內(nèi)容之后,經(jīng)常會遇到判定兩條線段相等,兩個角相等的問題,而要判斷它們相等,就要考慮選擇三角形全等．如何選擇三角形呢？可考慮以下四個方面：〔1可以從判斷的結(jié)論〔線段或角出發(fā),尋找這些結(jié)論在哪兩個可能的全等三角形中,就試著判定兩個三角形全等．〔2可以從題目的已知條件出發(fā),看已知條件能確定哪兩個三角形全等就判定它們?nèi)龋?由條件和結(jié)論一起出發(fā),看它們一同確定哪兩個三角形全等,然后判定它們?nèi)龋?如果以上方法都行不通,可考慮添加輔助線的辦法,構(gòu)造三角形全等．三、二次全等問題1.已知：如圖,線段AC、BD交于O,∠AOB為鈍角,AB＝CD,BF⊥AC于F,DE⊥AC于E,AE＝CF．求證：BO＝DO．2．已知：如圖,AC與BD交于O點,AB∥DC,AB＝DC．若過O點作直線l,分別交AB、DC于E、F兩點,求證：OE＝OF.3．如圖,E在AB上,∠1＝∠2,∠3＝∠4,那么AC等于AD嗎？為什么？4．已知：如圖,DE⊥AC,BF⊥AC,AD＝BC,DE＝BF.求證：AB∥DC.四難題選講〔旋轉(zhuǎn)類型1、如圖所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求證：〔1EC=BF；〔2EC⊥BFAAEBMCF2.如圖1、圖2、圖3,△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB＝∠COD＝90o,〔1在圖1中,AC與BD相等嗎,有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由。〔2若△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后,到達圖2的位置,請問AC與BD還相等嗎,還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么？〔3若△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后,到達圖3的位置,請問AC與BD還相等嗎？還具有上問中的位置關(guān)系嗎？為什么？3.復習"全等三角形"的知識時,老師布置了一道作業(yè)題："如圖①,已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC內(nèi)部任意一點,將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ,使∠QAP=∠BAC,連接BQ、CP,則BQ=CP．"小亮是個愛動腦筋的同學,他通過對圖①的分析,證明了△ABQ≌△ACP,從而證得BQ=CP之后,將點P移到等腰三角形ABC之外,原題中的條件不變,發(fā)現(xiàn)"BQ=CP"仍然成立,請你就圖②給出證明．4、已知：在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的左側(cè)作等腰直角△ADE,解答下列各題：如果AB=AC,∠BAC=90°．<1>當點D在線段BC上時〔與點B不重合,如圖甲,線段BD,CE之間的位置關(guān)系怎樣？說明理由?！?當點D在線段BC的延長線上時,如圖乙,<1>中的結(jié)論是否還成立？為什么？〔線段和差問題1.如圖,已知等邊△ABC,P在AC延長線上一點,以PA為邊作等邊△APE,EC延長線交BP于M,連接AM,求證：〔1BP=CE；〔2試證明：EM-PM=AM.2.已知：如圖,四邊形ABCD中,AC平分BAD,CEAB于E,且B+D=180,求證：AE=AD+BE〔垂直類型 1.已知BE,CF是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系2.如圖：在△ABC中,BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延長線上截取CG=AB,連結(jié)AD、AG。求證：〔1AD=AG,〔2AD與AG的位置關(guān)系如何。3.已知：BD,CE是△ABC的高,點F在BD上,BF=AC,點G在CE的延長線上,CG=AB.求證:AG⊥AFBBCDAGEF4、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,B,C,E在同一條直線上,連結(jié)DC．〔1請找出圖2中的全等三角形,并給予證明〔說明：結(jié)論中不得含有未標識的字母；〔2證明：DC⊥BE．圖1圖1圖2DCEAB5.已知：如圖,是等邊三角形,過邊上的點作,交于點,在的延長線上取點,使,連接．〔1求證：；〔2過點作,交于點,請你連接,并判斷是怎樣的三角形,試證明你的結(jié)論．6、已知：如圖,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥A