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2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)1.設(shè),,,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B.C. D.2.已知函數(shù)的定義域是且滿足如果對(duì)于,都有不等式的解集為A. B.C. D.3.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①②將的圖象向右平移1個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱④若,則A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)4.若,則的最小值為A.-1 B.3C.-3 D.15.函數(shù)的部分圖像如圖所示,則的值為()A. B.C. D.6.已知函數(shù),且函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.7.設(shè)函數(shù),則的奇偶性A.與有關(guān),且與有關(guān) B.與有關(guān),但與無關(guān)C.與無關(guān),且與無關(guān) D.與無關(guān),但與有關(guān)8.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是()A. B.C. D.9.在中,若,則的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形10.已知關(guān)于x的不等式解集為,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.B.不等式的解集為C.D.不等式的解集為11.已知函數(shù),將的圖象上所有點(diǎn)沿x軸平移個(gè)單位長度,再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則的最小值是()A. B.C. D.12.設(shè),則A.f(x)與g(x)都是奇函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù)C.f(x)與g(x)都是偶函數(shù) D.f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù)二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫在答題卡上.)13.在三棱錐中,,,,則三棱錐的外接球的表面積為________.14.直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則直線方程為______.15.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)(TheXXIVOlympicWinterGames),即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì),計(jì)劃于2022年2月4日星期五開幕,2月20日星期日閉幕.北京冬季奧運(yùn)會(huì)設(shè)7個(gè)大項(xiàng),15個(gè)分項(xiàng),109個(gè)小項(xiàng).某大學(xué)青年志愿者協(xié)會(huì)接到組委會(huì)志愿者服務(wù)邀請(qǐng),計(jì)劃從大一至大三青年志愿者中選出24名志愿者,參與北京冬奧會(huì)高山滑雪比賽項(xiàng)目的服務(wù)工作.已知大一至大三的青年志愿者人數(shù)分別為50,40,30,則按分層抽樣的方法,在大一青年志愿者中應(yīng)選派__________人.16.扇形半徑為,圓心角為60°,則扇形的弧長是____________三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)17.如圖,已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形,PA⊥底面ABCD,ED//PA,且PA=2ED=2(1)證明:平面PAC⊥平面PCE;(2)若直線PC與平面ABCD所成的角為45°,求直線CD與平面PCE所成角的正弦值18.設(shè)函數(shù),(1)求函數(shù)的值域;(2)設(shè)函數(shù),若對(duì),,,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍19.某汽車配件廠擬引進(jìn)智能機(jī)器人來代替人工進(jìn)行某個(gè)操作,以提高運(yùn)作效率和降低人工成本,已知購買x臺(tái)機(jī)器人的總成本為(萬元)(1)若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低,問應(yīng)買多少臺(tái)?(2)現(xiàn)按(1)中求得的數(shù)量購買機(jī)器人,需要安排m人協(xié)助機(jī)器人,經(jīng)實(shí)驗(yàn)知,每臺(tái)機(jī)器人的日平均工作量(單位:次),已知傳統(tǒng)人工每人每日的平均工作量為400次,問引進(jìn)機(jī)器人后,日平均工作量達(dá)最大值時(shí),用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前工作量達(dá)此最大值時(shí)的用人數(shù)量減少百分之幾?20.已知不等式的解集為(1)求的值;(2)求的值21.已知向量,函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.(1)求的解析式;(2)若且,求的值.22.已知函數(shù),且滿足.(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并用定義證明;(2)設(shè)函數(shù),求在區(qū)間上的最大值;(3)若存在實(shí)數(shù)m,使得關(guān)于x的方程恰有4個(gè)不同的正根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
參考答案一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)1、C【解析】先判斷,再判斷得到答案.【詳解】;;;,即故選:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的大小比較,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.2、D【解析】令x=,y=1,則有f()=f()+f(1),故f(1)=0;令x=,y=2,則有f(1)=f()+f(2),解得,f(2)=﹣1,令x=y=2,則有f(4)=f(2)+f(2)=﹣2;∵對(duì)于0<x<y,都有f(x)>f(y),∴函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),故f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2可化為f(﹣x(3﹣x))≥f(4),故,解得,﹣1≤x<0.∴不等式的解集為故選D點(diǎn)睛:本題重點(diǎn)考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,的原型函數(shù)為的原型函數(shù)為,.3、C【解析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出,可判斷①,由點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得,可得函數(shù)的解析式,再根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可判斷②,將代入解析式中驗(yàn)證,可判斷③;根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷④,即可得到答案【詳解】由函數(shù)圖象可知:,函數(shù)的最小正周期為,故,將代入解析式中:,得:由于,故,故①錯(cuò)誤;由以上分析可知,將的圖象向右平移1個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,故②正確;將代入得,故③錯(cuò)誤;由于函數(shù)的最小正周期為8,而,故不會(huì)出現(xiàn)一個(gè)取到最大或最小值另一個(gè)取到最小或最大的情況,故,故④正確,故選:C4、A【解析】分析:代數(shù)式可以配湊成,因,故可以利用基本不等式直接求最小值.詳解:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故選A.點(diǎn)睛:利用基本不等式求最值時(shí),要注意“一正、二定、三相等”,有時(shí)題設(shè)給定的代數(shù)式中沒有和為定值或積為定值的形式,我們需要對(duì)代數(shù)式變形,使得變形后的代數(shù)式有和為定值或者積為定值.特別要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足.5、C【解析】根據(jù)的最值得出,根據(jù)周期得出,利用特殊點(diǎn)計(jì)算,從而得出的解析式,再計(jì)算.【詳解】由函數(shù)的最小值可知:,函數(shù)的周期:,則,當(dāng)時(shí),,據(jù)此可得:,令可得:,則函數(shù)的解析式為:,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.6、A【解析】函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn),再分別畫出和的圖像,通過觀察圖像得出a的范圍.【詳解】解:方程所以函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)記,畫出函數(shù)簡圖如下畫出函數(shù)如圖中過原點(diǎn)虛線l,平移l要保證圖像有三個(gè)交點(diǎn),向上最多平移到l’位置,向下平移一直會(huì)有三個(gè)交點(diǎn),所以,即故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,解決函數(shù)零點(diǎn)問題常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問題7、D【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù),為偶函數(shù);當(dāng)時(shí),函數(shù),為奇函數(shù)所以的奇偶性與無關(guān),但與有關(guān).選D8、B【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的零點(diǎn),即時(shí)的值,解三角方程,即可求出滿足條件的的值【詳解】解:令函數(shù),則,則,當(dāng)時(shí),.故選:B9、D【解析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化簡已知條件,再結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)?,由可得:,即,所以,所以,所以或,因?yàn)?,,所以或,所以的形狀為等腰三角形或直角三角形,故選:D.10、D【解析】根據(jù)已知條件得和是方程的兩個(gè)實(shí)根,且,根據(jù)韋達(dá)定理可得,根據(jù)且,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)求解或判斷可得解.【詳解】由已知可得-2,3是方程的兩根,則由根與系數(shù)的關(guān)系可得且,解得,所以A正確;對(duì)于B,化簡為,解得,B正確;對(duì)于C,,C正確;對(duì)于D,化簡為:,解得,D錯(cuò)誤故選:D.11、B【解析】先將解析式化簡后,由三角函數(shù)圖象變換得到的解析式后求解.【詳解】若向左平移個(gè)單位長度,再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到,由題意得,的最小值為;若向右平移個(gè)單位長度,再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到,同理得的最小值為,故選:B12、B【解析】定義域?yàn)?,定義域?yàn)镽,均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱因?yàn)椋詅(x)是奇函數(shù),因?yàn)?,所以g(x)是偶函數(shù),選B.二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫在答題卡上.)13、【解析】構(gòu)造長方體,使得面上的對(duì)角線長分別為4,5,,則長方體的對(duì)角線長等于三棱錐P-ABC外接球的直徑,即可求出三棱錐P-ABC外接球的表面積【詳解】∵三棱錐P?ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=,∴構(gòu)造長方體,使得面上的對(duì)角線長分別為4,5,,則長方體的對(duì)角線長等于三棱錐P?ABC外接球的直徑.設(shè)長方體的棱長分別為x,y,z,則,∴三棱錐P?ABC外接球的直徑為,∴三棱錐P?ABC外接球的表面積為.故答案為:26π.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法,屬于難題.要求外接球的表面積和體積,關(guān)鍵是求出球的半徑,求外接球半徑的常見方法有:①若三條棱兩垂直則用(為三棱的長);②若面(),則(為外接圓半徑);③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球;④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.14、【解析】由題意可知,直線應(yīng)與直線平行,可設(shè)直線方程為,由于兩條至直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,可通過計(jì)算點(diǎn)分別到兩條直線的距離,通過距離相等,即可求解出,完成方程的求解.【詳解】解:由題意可設(shè)直線的方程為,則,解得或舍去,故直線的方程為故答案為:.15、10【解析】根據(jù)分層抽樣原理求出抽取的人數(shù)【詳解】解:根據(jù)分層抽樣原理知,,所以在大一青年志愿者中應(yīng)選派10人故答案為:1016、【解析】根據(jù)弧長公式直接計(jì)算即可.【詳解】解:扇形半徑為,圓心角為60°,所以,圓心角對(duì)應(yīng)弧度為.所以扇形的弧長為.故答案為:三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)17、(1)見解析(2)2【解析】1連接BD,交AC于點(diǎn)O,設(shè)PC中點(diǎn)為F,連接OF,EF,先證出BD∥EF,再證出EF⊥平面PAC,,結(jié)合面面垂直的判定定理即可證平面PAC⊥平面PCE;2先證明∠PCA=45°,設(shè)CD的中點(diǎn)為M,連接AM,所以點(diǎn)P到平面CDE的距離與點(diǎn)A到平面CDE的距離相等,即h2解析:(1)證明:連接BD,交AC于點(diǎn)O,設(shè)PC中點(diǎn)為F,連接OF,EF∵O,F(xiàn)分別為AC,PC的中點(diǎn),∴OF//PA,且OF=1∵DE//PA,且DE=1∴OF//DE,且OF=DE,∴四邊形OFED為平行四邊形,∴OD//EF,即BD//EF,∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD,∵ABCD是菱形,∴BD⊥AC∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∵BD//EF,∴EF⊥平面PAC,∵FE?平面PCE,∴平面PAC⊥平面PCE(2)因?yàn)橹本€PC與平面ABCD所成角為45°,所以∠PCA=45°,所以AC=PA=2,所以AC=AB,故ΔABC為等邊三角形,設(shè)CD的中點(diǎn)為M,連接AM,則AM⊥CD,設(shè)點(diǎn)D到平面PCE的距離為h1,點(diǎn)P到平面CDE的距離為h則由VD-PCE=V因?yàn)镋D⊥面ABCD,AM?面ABCD,所以ED⊥AM,又AM⊥CD,CD∩DE=D,∴AM⊥面CDE;因?yàn)镻A//DE,PA?平面CDE,DE?面CDE,所以PA//面CDE,所以點(diǎn)P到平面CDE的距離與點(diǎn)A到平面CDE的距離相等,即h2因?yàn)镻E=EC=5,PC=22,所以又SΔCDE=1,代入(*)得6?設(shè)CD與平面PCE所成角的正弦值為2418、(1);(2).【解析】(1)由題可得,利用基本不等式可求函數(shù)的值域;(2)由題可求函數(shù)在上的值域,由題可知函數(shù)在上的值域包含于函數(shù)在上的值域,由此可求正實(shí)數(shù)a的取值范圍【小問1詳解】∵,又,,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以,即函數(shù)的值域?yàn)椤拘?詳解】∵,設(shè),因?yàn)椋裕瘮?shù)在上單調(diào)遞增,∴,即,設(shè)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)锳.由題意知,∵函數(shù),函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為,當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上遞增,則,即,∴,當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在上的最大值為,中的較大者,而且,不合題意,當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上遞減,則,即,滿足條件的a不存在,綜上,19、(1)8臺(tái)(2)【解析】(1)根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)的求解,利用基本不等式即可;(2)先求出一臺(tái)機(jī)器人的最大日工作量,根據(jù)最大工作量再求出所需要的人數(shù),通過比較即可求解.【小問1詳解】由題意當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以應(yīng)購買8臺(tái),可使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低【小問2詳解】由,可得當(dāng)時(shí),,所以時(shí),每臺(tái)機(jī)器人的日平均工作量最大時(shí),安排的人工數(shù)最小為20人,而此時(shí)人工操作需要的人工數(shù)為,所以可減少20、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)根與系數(shù)的
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