2021-2022學年湖北省武漢市東湖高新區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷

2021-2022學年湖北省武漢市東湖高新區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑。1．（3分）下列汽車標志中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）將一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（）A．3，1 B．3，6 C．﹣3，6 D．3，﹣63．（3分）二次函數(shù)y＝（x+2）2﹣3的頂點坐標是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）4．（3分）下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是（）A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝05．（3分）在平面直角坐標系中，點A（﹣4，3）關于原點的對稱點的坐標為（）A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，4）6．（3分）將拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線是（）A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1 B．y＝﹣2（x+2）2+1 C．y＝﹣2（x+2）2+5 D．y＝﹣2（x﹣4）2+57．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．將△ABC繞點B逆時針旋轉得到△A′BC′，使點C的對應點C′恰好落在邊AB上，則∠CAA′的度數(shù)是（）A．50° B．70° C．110° D．120°8．（3分）某種防疫物資原價為50元/件，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為28元/件，每次降價的百分率均為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A．50（1﹣x）2＝50﹣28 B．50（1﹣x）2＝28 C．50（1﹣2x）＝28 D．50（1﹣x2）＝289．（3分）如圖，點A、B、C、D、P都在⊙O上，OC⊥AB．若∠ADC＝α（0＜α＜90°），則∠APB＝（）A．90°+α B．180°﹣α C．180°﹣2α D．2α10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（3，0）兩點，關于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有兩個不同的實數(shù)根，其中一個根是x＝m（m＜﹣1）．如果關于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有兩個不同的整數(shù)根，則這兩個整數(shù)根是（）A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣3，x2＝5二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）關于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，則a的值為．12．（3分）二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+1的對稱軸是直線．13．（3分）如圖，一根排水管道的橫截面是半徑為13cm的圓．排水管內(nèi)有水，若水面寬度AB＝24cm，則水管中的水最大深度為cm．14．（3分）如果a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則多項式3b2+ab+3a的值為．15．（3分）如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．對稱軸為直線x＝1，直線y＝﹣x+c與拋物線交于C，D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3，現(xiàn)有下列結論：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）＜a+b；④a＜﹣1．其中正確的結論是（只填寫序號）．16．（3分）如圖，點D是等邊△ABC內(nèi)部的一點，∠ADC＝120°，AB2＝19，ADCD=23，則線段BD的長度是三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．18．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝7，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B'C的位置，∠B′CA′＝70°，且B′C∥A′A．（1）A′C＝．（2）求旋轉角的大?。?9．（8分）現(xiàn)有一塊長20cm，寬10cm的長方形鐵皮，在它的四個角分別剪去一個大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一個底面積為96cm2的無蓋長方體盒子，求剪去的小正方形的邊長是多少．20．（8分）如圖，平面直角坐標系中點D坐標為（1，1），每個小正方形網(wǎng)格的頂點叫做格點，平行四邊形ABCD的頂點均在格點上．僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中按要求作圖，作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示．（1）將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，畫出對應線段AE，并直接寫出點E的坐標；（2）過（1）中點E畫一條直線把平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分；（3）找一個格點F，使得CF⊥AD，并直接寫出點F的坐標．21．（8分）AB是⊙O的直徑，弦CE平分∠ACB交⊙O于點E．交AB于點D．連接AE、BE，∠BEC＝60°，AC＝2．（1）求四邊形ACBE的面積；（2）求CE的長．22．（10分）某“精準扶貧“助農(nóng)平臺為安康村農(nóng)戶銷售蘋果，平臺的蘋果銷售運營成本為每千克3元，除去運營成本余下的收入都歸農(nóng)戶所有，在銷售過程中要求農(nóng)戶的保底收入為3元/千克，且售價不超過15元/千克．市場調查發(fā)現(xiàn)，每周的蘋果銷售量y（千克）與售價x（元/千克）（x為正整數(shù)）之間滿足某種函數(shù)關系，如表記錄的是某三周的銷售數(shù)據(jù)：x（元/千克）6789y（千克）9000850080007500（1）請直接寫出y與x之間符合哪種函數(shù)關系：，請在橫線上寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并在括號中注明x的取值范圍：，（）．（2）若某一周蘋果的銷售量不少于6000千克，求本周安康村農(nóng)戶獲得的最大收入和蘋果售價分別為多少元？（3）該平臺制定新政策：每銷售一千克蘋果便向村福利院捐款a元．實施新政策后發(fā)現(xiàn)，農(nóng)戶每周的收入依然隨售價的增大而增大．請直接寫出a的最小值是元．23．（10分）（1）如圖1，正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點，EF＝BE+DF，請你直接寫出∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關系：．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，點E、F分別是邊BC、CD上的點，EF＝BE+FD，請問：（1）中結論是否成立？若成立，請證明結論．（3）若（2）中的點E、點F分別在邊CB、CD的延長線上（如圖3所示），其他條件不變，則下列兩個關于∠EAF與∠BAD的關系式，哪個是正確的？請證明結論．①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．24．（12分）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．點A的坐標為（﹣1，0），拋物線頂點P的坐標為（1，4）．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖1，點D是直線BC上一點，過點D作DE∥y軸，交拋物線于點E（點E在點D的上方），再過點E作EF∥x軸，交直線BC于點F．求△DEF的最大面積是多少？（3）如圖2，點D是直線BC上任意一點，若DP=2DO，求出點D

2021-2022學年湖北省武漢市東湖高新區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑。1．（3分）下列汽車標志中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．2．（3分）將一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（）A．3，1 B．3，6 C．﹣3，6 D．3，﹣6【解答】解：∵3x2+1＝6x，∴3x2﹣6x+1＝0，∴二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是3和﹣6，故選：D．3．（3分）二次函數(shù)y＝（x+2）2﹣3的頂點坐標是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）【解答】解：二次函數(shù)y＝（x+2）2﹣3的圖象的頂點坐標是（﹣2，﹣3）．故選：B．4．（3分）下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是（）A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0【解答】解：A．此方程的Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根，此選項符合題意；B．此方程的Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，此選項不符合題意；C．此方程的Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8，方程沒有實數(shù)根，此選項不符合題意；D．此方程的Δ＝02﹣4×1×（﹣9）＝36＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，此選項不符合題意；故選：A．5．（3分）在平面直角坐標系中，點A（﹣4，3）關于原點的對稱點的坐標為（）A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，4）【解答】解：點A（﹣4，3）關于原點的對稱點的坐標為（4，﹣3），故選：B．6．（3分）將拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線是（）A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1 B．y＝﹣2（x+2）2+1 C．y＝﹣2（x+2）2+5 D．y＝﹣2（x﹣4）2+5【解答】解：將將拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線是y＝﹣2（x﹣1+3）2+3+2，即y＝﹣2（x+2）2+5．故選：C．7．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．將△ABC繞點B逆時針旋轉得到△A′BC′，使點C的對應點C′恰好落在邊AB上，則∠CAA′的度數(shù)是（）A．50° B．70° C．110° D．120°【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵將△ABC繞點B逆時針旋轉得到△A′BC′，使點C的對應點C′恰好落在邊AB上，∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，∴∠BAA′＝∠BA′A=12×（180°﹣40∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．故選：D．8．（3分）某種防疫物資原價為50元/件，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為28元/件，每次降價的百分率均為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A．50（1﹣x）2＝50﹣28 B．50（1﹣x）2＝28 C．50（1﹣2x）＝28 D．50（1﹣x2）＝28【解答】解：設平均每次降價的百分率為x，則第一次降價后的價格為50（1﹣x）元，兩次連續(xù)降價后售價在第一次降價后的價格的基礎上降低x，為50（1﹣x）×（1﹣x）元，則列出的方程是50（1﹣x）2＝28，故選：B．9．（3分）如圖，點A、B、C、D、P都在⊙O上，OC⊥AB．若∠ADC＝α（0＜α＜90°），則∠APB＝（）A．90°+α B．180°﹣α C．180°﹣2α D．2α【解答】解：如圖，連接BD．∵OC⊥AB，∴AC=∴∠ADC＝∠CDB＝α，∴∠ADB＝2α，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠APB＝180°﹣2α，故選：C．10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（3，0）兩點，關于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有兩個不同的實數(shù)根，其中一個根是x＝m（m＜﹣1）．如果關于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有兩個不同的整數(shù)根，則這兩個整數(shù)根是（）A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣3，x2＝5【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（3，0）與（﹣1，0）兩點，∴當y＝0時，0＝ax2+bx+c的兩個根為3和﹣1，函數(shù)y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，又∵關于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有兩個不同的實數(shù)根，其中一個根是m（m＜﹣1），∴方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）的另一個根為2﹣m，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，∵關于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有兩個不同的整數(shù)根，∴這兩個整數(shù)根是0或2，故選：B．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）關于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，則a的值為1.5．【解答】解：∵方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，∴2a﹣1＝2，解得：a＝1.5，故答案為：1.5．12．（3分）二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+1的對稱軸是直線x＝1．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣4，∴-b2a∴二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+1的對稱軸是直線x＝1．故答案為：x＝1．13．（3分）如圖，一根排水管道的橫截面是半徑為13cm的圓．排水管內(nèi)有水，若水面寬度AB＝24cm，則水管中的水最大深度為8cm．【解答】解：連接OB，過點O作OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，如圖所示：∵AB＝24cm，∴BD=12AB＝12（∵OB＝OC＝13cm，在Rt△OBD中，OD=OB2-B∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），即水管中的水最大深度為8cm，故答案為：8．14．（3分）如果a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則多項式3b2+ab+3a的值為9．【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，∴a+b＝1，ab＝﹣3，b2﹣b﹣3＝0，∴b2＝b+3，則原式＝3（b+3）+ab+3a＝3b+9+ab+3a＝3（a+b）+ab+9＝3×1﹣3+9＝3﹣3+9，＝9，故答案為：9．15．（3分）如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．對稱軸為直線x＝1，直線y＝﹣x+c與拋物線交于C，D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3，現(xiàn)有下列結論：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）＜a+b；④a＜﹣1．其中正確的結論是①②④（只填寫序號）．【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x=-b∴b＝﹣2a，即b+2a＝0，∴2a+b+c＝c，∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點在y軸正半軸，∴c＞0，故①正確；∵拋物線與x軸的一個交點在點（3，0）左側，而拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴拋物線與x軸的另一個交點在點（﹣1，0）右側，∴當x＝﹣1時，函數(shù)值小于0，即a﹣b+c＜0，故②正確；∵x＝1時，二次函數(shù)有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴x（ax+b）≤a+b，故③錯誤；∵直線y＝﹣x+c與拋物線y＝ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3，∴x＝3時，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b＝﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，故④正確．故答案為：①②④．16．（3分）如圖，點D是等邊△ABC內(nèi)部的一點，∠ADC＝120°，AB2＝19，ADCD=23，則線段BD的長度是【解答】解：如圖，過點C作CH⊥AD，交AD的延長線于H，將△ACD繞點A順時針旋轉60°，得到△AGB，過點D作DN⊥BG于N，∵ADCD∴設AD＝2x，CD＝3x，∵∠ADC＝120°，∴∠CDH＝60°，∴∠DCH＝30°，∴DH=12DC=3x2，∴AH=72∵AB＝AC，∴AC2＝AB2＝19，∵AH2+CH2＝AC2，∴494x2+274x2∴x＝1，∴AD＝2，CD＝3，∵將△ACD繞點A順時針旋轉60°，得到△AGB，∴AG＝AD＝2，CD＝BG＝3，∠DAG＝60°，∴△AGD是等邊三角形，∴∠AGD＝60°，∴∠DGB＝60°，∵DN⊥BG，∴∠GDN＝30°，∴GN=12GD＝1，DN=3∴BN＝2，∴BD=DN故答案為：7．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．【解答】解：∵a＝5，b＝﹣2，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，則x=-b±∴x1=1+65，x18．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝7，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B'C的位置，∠B′CA′＝70°，且B′C∥A′A．（1）A′C＝7．（2）求旋轉角的大?。窘獯稹拷猓海?）∵將△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B'C的位置，∴AC＝A'C＝7，故答案為：7；（2）∵將△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B'C的位置，∴旋轉角為∠ACA'，∵B′C∥A′A，∴∠B'CA'＝∠CA'A＝70°，∵AC＝A'C，∴∠CA'A＝∠CAA'＝70°，∴∠ACA'＝40°，∴旋轉角為40°．19．（8分）現(xiàn)有一塊長20cm，寬10cm的長方形鐵皮，在它的四個角分別剪去一個大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一個底面積為96cm2的無蓋長方體盒子，求剪去的小正方形的邊長是多少．【解答】解：設剪去的小正方形的邊長是xcm，則做成的無蓋長方體的底面長為（20﹣2x）cm，寬為（10﹣2x）cm，依題意得：（20﹣2x）（10﹣2x）＝96，整理得：x2﹣15x+26＝0，解得：x1＝2，x2＝13．又∵10﹣2x＞0，∴x＜5，∴x＝2．答：剪去的小正方形的邊長是2cm．20．（8分）如圖，平面直角坐標系中點D坐標為（1，1），每個小正方形網(wǎng)格的頂點叫做格點，平行四邊形ABCD的頂點均在格點上．僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中按要求作圖，作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示．（1）將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，畫出對應線段AE，并直接寫出點E的坐標（6，4）；（2）過（1）中點E畫一條直線把平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分；（3）找一個格點F，使得CF⊥AD，并直接寫出點F的坐標（0，2）．【解答】解：（1）如圖，線段AE即為所求，E（6.4）．故答案為：（6，4）；（2）如圖，直線EK即為所求；（3）如圖，點F即為所求，F(xiàn)（0，2）．故答案為：（0，2）．21．（8分）AB是⊙O的直徑，弦CE平分∠ACB交⊙O于點E．交AB于點D．連接AE、BE，∠BEC＝60°，AC＝2．（1）求四邊形ACBE的面積；（2）求CE的長．【解答】解：（1）如圖，∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵∠BEC＝∠BAC＝60°，AC＝2，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC=3AC＝23∵CE平分∠ACB，∴AE=∴AE＝EB＝22，∴S四邊形ACBE＝S△ABC+S△ABE=12×2×23+12×2（2）過點E作EM⊥CA交CA的延長線于M，EN⊥CB于N．∵EC平分∠ACB，∴EM＝EN，∵∠M＝∠ENB＝90°，EA＝BE，∴Rt△EMA≌Rt△ENB（HL），∴AM＝EM，∵∠M＝∠ENC＝∠MCN＝90°，∴四邊形CMEN是矩形，∵EM＝EN，∴四邊形CMEN是正方形，∴CM＝CN，∴CA+CB＝CM﹣AM+CN+BN＝2CM＝2+23，∴CM＝1+3∴EC=2CM=22．（10分）某“精準扶貧“助農(nóng)平臺為安康村農(nóng)戶銷售蘋果，平臺的蘋果銷售運營成本為每千克3元，除去運營成本余下的收入都歸農(nóng)戶所有，在銷售過程中要求農(nóng)戶的保底收入為3元/千克，且售價不超過15元/千克．市場調查發(fā)現(xiàn)，每周的蘋果銷售量y（千克）與售價x（元/千克）（x為正整數(shù)）之間滿足某種函數(shù)關系，如表記錄的是某三周的銷售數(shù)據(jù)：x（元/千克）6789y（千克）9000850080007500（1）請直接寫出y與x之間符合哪種函數(shù)關系：一次函數(shù)關系，請在橫線上寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并在括號中注明x的取值范圍：y＝﹣500x+12000，（6≤x≤15）．（2）若某一周蘋果的銷售量不少于6000千克，求本周安康村農(nóng)戶獲得的最大收入和蘋果售價分別為多少元？（3）該平臺制定新政策：每銷售一千克蘋果便向村福利院捐款a元．實施新政策后發(fā)現(xiàn)，農(nóng)戶每周的收入依然隨售價的增大而增大．請直接寫出a的最小值是2元．【解答】解：（1）由表格可知，x值增加1，y值減小500，故y與x之間符合一次函數(shù)關系，設y和x的函數(shù)表達式為：y＝kx+b，則9000=6k+b8500=7k+b解得k=-∴y和x的函數(shù)表達式為y＝﹣500x+12000；而平臺的蘋果銷售運營成本為每千克3元，在銷售過程中要求農(nóng)戶的保底收入為3元/千克，且售價不超過15元/千克，∴6≤x≤15；故答案為：一次函數(shù)關系，y＝﹣500x+12000；6≤x≤15；（2）設這一周該商場銷售這種商品的利潤為w元，∵蘋果的銷售量不少于6000千克，∴﹣500x+12000≥6000，解得x≤12，∴6≤x≤12，而w＝y(tǒng)（x﹣3）＝（﹣500x+12000）（x﹣3）＝﹣500（x-272）2∵﹣500＜0，拋物線對稱軸為直線x=27∴6≤x≤12在對稱軸左側，w隨x的增大而增大，∴x＝12時，w有最大值為54000元，答：本周安康村農(nóng)戶獲得的最大收入為54000元，銷售單價是12元；（3）根據(jù)題意得，w＝（x﹣3﹣a）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500a）x﹣36000﹣12000a，∴對稱軸為直線x＝13.5+0.5a，∵﹣500＜0，∴當x＜13.5+0.5a時，w隨x的增大而增大，而售價不超過15元/千克，∴15≤13.5+0.5a，解得a≥3，∴a的最小值為3，故答案為：3．23．（10分）（1）如圖1，正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點，EF＝BE+DF，請你直接寫出∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關系：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，點E、F分別是邊BC、CD上的點，EF＝BE+FD，請問：（1）中結論是否成立？若成立，請證明結論．（3）若（2）中的點E、點F分別在邊CB、CD的延長線上（如圖3所示），其他條件不變，則下列兩個關于∠EAF與∠BAD的關系式，哪個是正確的？請證明結論．①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．【解答】解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：如圖1，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝180°﹣∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+DF，DG＝BE，∴EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，在△AEF和△AGF中，AE=AGEF=GF∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（2）（1）中結論∠BAE+∠FAD＝∠EAF成立，證明：如圖2，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠BCD+∠B+∠ADC＝360°，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+DF，DG＝BE，∴EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，在△AEF和△AGF中，AE=AGEF=GF∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）②2∠EAF+∠BAD＝360°是正確的．證明：如圖3，在DC的延長線上取一點G，使DG＝BE，連接AG，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠BCD+∠B+∠ADC＝360°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠ADC，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠ABE=∠ADG∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+DF＝DG