經(jīng)典的傅里葉變換(上)課件

傅里葉變換（上）孔孔出品12021傅里葉變換（上）孔孔出品12021一、什么是頻域從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。先舉一個公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過的例子：在你的理解中，一段音樂是什么呢？22021一、什么是頻域從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的一、什么是頻域32021這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信將以上兩圖簡化：時域：

頻域：在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恒的音符。42021將以上兩圖簡化：42021二、傅里葉級數(shù)(FourierSeries)的頻譜如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶90度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：52021二、傅里葉級數(shù)(FourierSeries)的頻譜如果我說詳解第一幅圖是一個郁悶的正弦波cos（x）第二幅圖是2個賣萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)第三幅圖是4個發(fā)春的正弦波的疊加第四幅圖是10個便秘的正弦波的疊加隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理？只要努力，彎的都能掰直！62021詳解第一幅圖是一個郁悶的正弦波cos（x）62021隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？）72021隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲8202182021在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。9202192021時域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個角頻率為的正弦波cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是。

有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。102021時域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個角頻率為的正弦波什么是正弦波？正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓。112021什么是正弦波？正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線上的投影。所以122021122021介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：132021介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻142021142021老實(shí)說，在我學(xué)傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個什么畫面呢？我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實(shí)話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當(dāng)時想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級數(shù)……152021老實(shí)說，在我學(xué)傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就未完待續(xù)162021162021傅里葉變換（上）孔孔出品172021傅里葉變換（上）孔孔出品12021一、什么是頻域從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。先舉一個公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過的例子：在你的理解中，一段音樂是什么呢？182021一、什么是頻域從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的一、什么是頻域192021這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信將以上兩圖簡化：時域：

頻域：在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恒的音符。202021將以上兩圖簡化：42021二、傅里葉級數(shù)(FourierSeries)的頻譜如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶90度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：212021二、傅里葉級數(shù)(FourierSeries)的頻譜如果我說詳解第一幅圖是一個郁悶的正弦波cos（x）第二幅圖是2個賣萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)第三幅圖是4個發(fā)春的正弦波的疊加第四幅圖是10個便秘的正弦波的疊加隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理？只要努力，彎的都能掰直！222021詳解第一幅圖是一個郁悶的正弦波cos（x）62021隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？）232021隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲24202182021在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。25202192021時域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個角頻率為的正弦波cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是。

有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。262021時域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個角頻率為的正弦波什么是正弦波？正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓。272021什么是正弦波？正弦波就是一個圓周運(yùn)動在一條直線上的投影。所以282021122021介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：292021介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻302021142021老實(shí)說，在我學(xué)傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個什么畫面呢？我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪