大二-概率論第1概率公式和

§1-5—公返回 §1-5§1-5條件概率是概率論中一個重要而實用的概念。它所考慮的是事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗中的兩個事件

PA則稱事件B在“事件A已發(fā)生”這一附加條概率為在事件已發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率，簡稱為在之下的條件概率，記為PBA返回 例 盒中有4個外形相同的球，它們的標(biāo)號分為1、2、3、，每次從盒中取出一球，有放回地取兩次．則該試驗的所有可能的結(jié)果其中(i,j)表示第一次取i號球，第二次取j 返回 §1-5§1-5設(shè)A={第一次取出球的標(biāo)號2B={取出的兩球標(biāo)號之和§1-5則事件B所含的樣本點(1,3)(2,2)因此事件B的概率為

PB16下面我們考慮:已知第一次取出球的標(biāo)號為2,求取出的兩球標(biāo)號之和4的概率。即在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率PBA由于已知事件已經(jīng)發(fā)生，則該試驗的所有可能結(jié)果為

返回 (2,1)(2,2)(2,3)

§1-5 件B是在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下的率，因此這時所求的概率PB

A4注：由例1可以看出，事件在“條件已發(fā)生這附加條件的概率與不附加這個條件的概率是不同的．且由

PA

416

PAB16PBA

PABPA

返回條件概率的定設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗中的兩個事件，P(A)則P(稱為在事件已發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率，簡稱為在之下的條件概率。P(BA)P(AB)返回 §1-5§1-5條件概率的性§1-5B

A可列可加性：如果隨

，B兩互不相容 APBA

n

1P(B5.

P(B1B2返回 條件概率的計算公式一、公式P(BA)P(P((P(A)二、縮小樣本空間 適用于古典概設(shè)事件A所含樣本點數(shù)為nA點數(shù)為nAB,則P(BA)nA,事件AB所含樣返回 §1-5第一章概率論的基本概 §1-5條件概率 例2已知某家庭有3個小孩，且至少有一 解：設(shè)A={3個小孩至少有一 B={3個小孩至少 S={男男男,男男女,男女男,男女女,女男男女男女,女女男,女女女方法一公式法

A

PABPAPA1

PA11

返回 §1-5§1-5PAB1

P(

1

P(AB1

P(A)

P(B

111 6所

A

PABPA

8 8方法二縮小樣本空間P(B

A)

nA S={男男男,男男女,男女男,男女女,女男男女男女,女女男,女女女

返回 二二乘法公兩個事件的乘法公由條件概率的計算公PBAPAB我們PAPABPAPB(P(A)這就是兩個事件的乘法公式返回 §1-5多個事件的乘法公A1A2An為n個隨機(jī)事件PAA n1PAAA n PAAAnn1這就是n個事件的乘法公式返回 §1-5§1-5§1-5例4袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個白球，直至取出黑球為止．求取了n次都未取出黑球的概率．

B取了n次都未取出黑i i2 BA1A221PA1 1

A1 44

3

返回PB A 由乘法公式，我們12n PAAAAn123 nn1n返回 §1-5§1-5§1-55設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率9/10。求透解：以Ai(i=1,2,3)表示事件“透鏡i次落下打破B表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有：P(B

P(A1A

A3)P(

1)P(

2|

1)P(

3|A

A2)

9

7

1)2

返回 §1-5三、全概率公式 §1-5S為試E的樣本空間1B2E的一組事件。若滿

=

i

i,

1,2,,n

B1

B2

BnS

A=

AB2

樣本空S的一個劃分返回 設(shè)隨機(jī)事滿足以及Bn或nnABn則有PAPBPAnn返回 §1-5全概率公式的證由條件AA=ABAB12n得AABn而且由B1S兩兩互不相容AB1 也兩兩互不相容返回 §1-5§1-5全概率公式的證明§1-5所以由概率的可列可加性，PA

PABnn再由條件PBn0nn

PABn

PAB代入公式（1）， nnPAPABnPBPABnn

返回 全概率公式的使

（已知原因，求結(jié)果）§1-5nnPAPABnPBPABnn 我們把事件A看作某一過程的結(jié)果把B1

根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知n即PB已知n而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知nPABn則我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率即求PA

返回 §1-5§1-5例6某小組有20名射手，其中一、二、三、四級射手分別為、、、名．又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85、0.6、0.45、0.3，今隨機(jī)選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標(biāo)的概率．AiB選i級射手參加比i1，2， iP(B)1

2120 10

P(AB1)

返回 §1-5§1-5一、二、三、四級射手分別為、、、名,若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.8、0.6、0.4、0.32由全概率公式，PAPBPABPBPA 2 12

2P3

A 3

PB

A 4420.854

60.64

90.45

3

返回 思考今隨機(jī)選一人參加比賽射中了目標(biāo)求該選手是一級選手的概率即求P(B1A)P(BA)P(B11P(P(AB1)P(B14P(AB)P(Biii返回 §1-5§1-5Bayes（逆概§1-5設(shè)隨機(jī)事

以

Bn

A

Bn則

n

P(

P(A| )P(B P(B n

A)

nP(

,

nj

P(A

Bj)P(Bj

返回 Bayes公式的使

（已知結(jié)果，求原因§1-5條件概我們把事件A看作某一過程的結(jié)果把B1

根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已n 即n

已知

驗前概而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知nPABnn如果已知事件已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第n個原因引起的概率，則用Bay公式n即求

PB

A

驗后概返回 §1-5例 用某種方法普查肝癌§1-5A={用此方法判斷被檢查者患有肝癌}，（結(jié)果D={被檢查者確實患有肝癌已

（原因PAD PAD而且已知：PD

求用此方法判斷某被檢查者患有肝癌的概率已知現(xiàn)有一人用此法檢驗患有肝癌，求此人P(A)

P(D

返回 7（續(xù)PAD PAD解由已知，PAD由全概率公式，P(A)P(D)P(AD)P(D)P(AD)返回 §1-57（續(xù)由Bayes公式，PDAPDPADPDPADPDPAD0.00040.00040.950.9996返回 §1-5例8某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家件廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)3S§1-5元件制造次品提供晶體管的份12A

§§1-5設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志。設(shè)A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的返回

§§1-5P(A

Bi

P(Bi元件制造 次品 提供晶體管的份 × × ×

P(

|A)

P(BiP(P(A)

P(

B1)P(B1)P(

B2)P(B2)

P(A|Bn)P(Bn).P(A)

返回 元件制造1P(A|BiP(Bi ×P(B|A)P(A|B)P(B11P(10.020.0125返回 A§1-52×3×P(B|A)1324%P(B|A)2864%P(B|A)1.512%3返回 §1-5§1-5例9( 24§1-5有兩箱同種類的零件。第一箱裝5010只一等品；第二箱裝30只，其中18只一等品今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率 P(A) ）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率

P(

解：設(shè) 表示“第i次取到一等品Bii=1,2)表示“取到的是i箱中的產(chǎn)品返回

§1-5由全概率公§1-5

P(B1)P(

P(B2)P(

B2)1(10

18

25P

PAA

PB1112PAA

PPP( 10(P22P250

P 18PP2P30

1(9) )

51P(

|A)

1(

51)

1 P(A1

返回 §1-5§1-5例10袋中有10個黑球，5個白球．現(xiàn)擲一枚均勻的，擲出幾點就從袋中取出幾個球．若解B={取出的球全是白Ai擲出i點i126則由Bayes公式PAB

PBA636

PBA

3i返回 3i返回 §1-5§§1-5例1 對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器