電磁場(chǎng)的動(dòng)量和能量

電磁場(chǎng)的動(dòng)量和能量鳳陽(yáng)二中張葉摘要：通過(guò)分析勻強(qiáng)磁場(chǎng)中平行板電容器內(nèi)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)，把電磁場(chǎng)的動(dòng)量和能量這兩個(gè)較為抽象的概念具體化。運(yùn)用這一簡(jiǎn)單的模型分析并論證了電磁場(chǎng)確具有動(dòng)量和能量，且可與機(jī)械動(dòng)量和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)換，在轉(zhuǎn)換過(guò)程中遵循守恒定律。關(guān)鍵詞：電磁場(chǎng)；動(dòng)量；能量；平行板電容器引言電磁場(chǎng)作為物質(zhì)存在的一種特殊形式，與實(shí)物一樣，也具有能量、動(dòng)量和角動(dòng)量等基本屬性，同樣遵循能量守恒，動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒等定律，它們既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能由一種形式轉(zhuǎn)變成另一種形式。與實(shí)物不同的是，場(chǎng)作為彌漫在空間的一種特殊物質(zhì)，不能被直接看到。在教學(xué)過(guò)程中，由于場(chǎng)的概念較為抽象，而且電磁場(chǎng)的能量、動(dòng)量和角動(dòng)量又較難直接觀測(cè)，給人一種看不見(jiàn)，摸不著的感覺(jué)，所以教師覺(jué)得不好教，學(xué)生覺(jué)得難以理解。本文研究了一導(dǎo)體棒在處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的平行板電容器內(nèi)的運(yùn)動(dòng)這一較為簡(jiǎn)單的物理模型。通過(guò)定性分析和定量計(jì)算，論證了電磁場(chǎng)的確具有動(dòng)量和能量，它們不僅可以與機(jī)械動(dòng)量和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)換，而且在轉(zhuǎn)換過(guò)程中滿足動(dòng)量守恒和能量守恒定律。這一模型讓初學(xué)者對(duì)電磁場(chǎng)的動(dòng)量和能量有一個(gè)簡(jiǎn)單、直觀的感受，從而能更好地理解電磁場(chǎng)及它的這兩個(gè)重要物質(zhì)屬性。

勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的平行板電容器XXXXXBXXXXXXXm,REXXXXXXXXXXXXL圖1勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的平行板電容器+Q-Q一個(gè)電容量為C,兩導(dǎo)體板相距為L(zhǎng)的平行板電容器，處在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。磁場(chǎng)的方向與導(dǎo)體板平行，大小為B。將平行板電容器充電，使兩極板所帶的電量為土Q0。然后將一質(zhì)量為m，電阻為R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒垂直放在電容器的兩板之間。開(kāi)始的瞬間，導(dǎo)體棒中有電流Q0Q0CR受到安培力F0F0=BLI0blqoCR的作用開(kāi)始加速運(yùn)動(dòng)，初始加速度為a=BLQ。0mCR但導(dǎo)體棒上的電流導(dǎo)致電容器兩極板上的電量減少，使得板間電場(chǎng)減小；另外，根據(jù)楞次定律，導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電動(dòng)勢(shì)方向也與板間電場(chǎng)相反。所以，導(dǎo)體棒上的電流會(huì)逐漸變小，安培力和加速度也隨之減小。然而在加速度減小為零之前，導(dǎo)體棒的速度還在變大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)繼續(xù)變大，電流繼續(xù)變小，直到電容器極板上的剩余電量Q產(chǎn)生的電壓與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相等，彼此平衡。此時(shí)，導(dǎo)體棒上的電流為零，電容器極板上的電量為Qmin，不再改變，板間電場(chǎng)也不再變化，導(dǎo)體棒所受的安培力和導(dǎo)體棒的加速度均為零，導(dǎo)體棒的速度達(dá)到最大，并以此速度vmax作勻速運(yùn)動(dòng)。即:BLV=^min。max(J(1)由導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)方程mdV=BLI=-BLdQdtdt(2)可知：速度的變化率直接止比于電荷的變化率，因此mv=BL(Q0-Q.)。(3)聯(lián)立式(1)和式(3)可求出V=BLQ0maxm+B2L2C(4)和Q=B2g。minm+B2L2C開(kāi)始時(shí)，導(dǎo)體棒是靜止的，沒(méi)有動(dòng)量，也沒(méi)有動(dòng)能；最后，電容器的電量變?yōu)镼min，導(dǎo)體棒獲得的速度為v.，導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量是mv，動(dòng)能是.2mv2。電磁場(chǎng)的動(dòng)量和能量導(dǎo)體棒的動(dòng)量和動(dòng)能是哪里來(lái)的？當(dāng)我們把導(dǎo)體棒作為研究對(duì)象時(shí)，我們會(huì)說(shuō)，是磁場(chǎng)作用于導(dǎo)體棒的安培力的沖量改變了導(dǎo)體棒的動(dòng)量，安培力作的功改變了導(dǎo)體棒的動(dòng)能。但當(dāng)我們把導(dǎo)體棒和電容器以及磁場(chǎng)看作一個(gè)整體系統(tǒng)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，并沒(méi)有任何外力作用于這個(gè)系統(tǒng)，而導(dǎo)體棒卻獲得了動(dòng)量和動(dòng)能。唯一可能的解釋就是，在系統(tǒng)內(nèi)一定有另一個(gè)對(duì)象，它失去了相等數(shù)量的動(dòng)量和能量。電容器的極板始終未動(dòng)，所以，失去動(dòng)量和能量的就只能是電磁場(chǎng)。由(4)式得，導(dǎo)體棒最后獲得的動(dòng)量是p=mv=mBLQom+B2L2C(6)電容器極板的電量減少了，板間的電場(chǎng)也發(fā)生了變化△E=0^-Q=B2LCQ0—Q=_Q0m~~CCLCL~CL(m+B2L2C)CL~CL(m+B2L2C)(7)利用平行板電容器公式：C?L，對(duì)比⑸式和⑹式，不難發(fā)現(xiàn)p=AE-BCL=-A(sEBSL)0(8)式中SL=V是電場(chǎng)所在區(qū)域的體積。等式的左邊是導(dǎo)體棒獲得的動(dòng)量，等式右邊自然應(yīng)該是電磁場(chǎng)動(dòng)量的減少。由此不難得出，在電場(chǎng)強(qiáng)度為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的電磁場(chǎng)中單位體積電磁場(chǎng)的動(dòng)量為e°eb，由圖1所示各物理量的方向可以確定電磁場(chǎng)動(dòng)量的方向，即8°EXB。再來(lái)看電磁場(chǎng)的能量，由(4)式得，導(dǎo)體棒最后獲得的動(dòng)能是口，1mB2L2Q2W=—mv2=0——k22(m+B2L2C)2(9)另外，由于導(dǎo)體棒在加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中一直流有電流，從而不斷產(chǎn)生焦耳熱?；芈分械碾娏髯駨臍W姆定律IR=--BLvC(10)兩邊取微分，得RdI=dQ-BLdv(11)將(2)式代入上式，可得RdI=m+B2L2CdQmC(12)由1=-dQdt，得RdI+1(m+B2逾)dt=omC(13)分離變量得TOC\o"1-5"\h\zI=Ie-ES)tmCR=Qe-MS)tmCR(")maxCR積分得整個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱』812Rdt=您』8e-2(m+B2L2C)tmCRdt=Q0m0RC2o2C(m+B2L2C)(15)將(9)式和(15)式相加，并對(duì)照(7)式，不難得出Q0(m2+2mB2M)=_A(LE2SL)2C(m+B2L2C)22o(16)等式左邊是導(dǎo)體棒獲得的動(dòng)能與整個(gè)過(guò)程的焦耳熱之和，右邊是電磁場(chǎng)能量的減少。由于在整個(gè)過(guò)程中，磁場(chǎng)未發(fā)生變化，所以只有電場(chǎng)的能量減少了。考慮到等式右邊SL=V是電場(chǎng)所在區(qū)域的體積，所以單位體積電場(chǎng)的能量為1e￡2，這是我們很熟悉的結(jié)果。2o對(duì)電磁場(chǎng)的動(dòng)量和能量的思考從以上分析可以看出電磁場(chǎng)確實(shí)具有動(dòng)量和動(dòng)能，而且可以轉(zhuǎn)化為機(jī)械動(dòng)量和動(dòng)能。我們還可以進(jìn)一步分析，電磁場(chǎng)的動(dòng)量和動(dòng)能又是哪里來(lái)的呢？是不是可以在電磁場(chǎng)的建立過(guò)程中由其他形式的動(dòng)量和動(dòng)能轉(zhuǎn)化而來(lái)呢？可以設(shè)想這樣一個(gè)過(guò)程：開(kāi)始時(shí)，在磁場(chǎng)中的平行板電容器的兩塊極板是重合在一起的，正負(fù)電荷抵消，因而沒(méi)有電場(chǎng)，也就沒(méi)有動(dòng)量和動(dòng)能。然后以垂直于極板方向的外力，緩慢地將一個(gè)極板拉開(kāi)到L的距離，同時(shí)保持另一個(gè)極板不動(dòng)。在此過(guò)程中，極板受到洛淪茲力的作用fL=甲'B(17)式中Q0為極板所帶的電量，v為極板的運(yùn)動(dòng)速度，洛淪茲力的方向垂直于v，為了不讓極板側(cè)向移動(dòng)，在拉開(kāi)極板過(guò)程中必須施加一個(gè)與洛淪茲力方向相反的外力。拉開(kāi)極板過(guò)程中，這一外力作用于電容器系統(tǒng)的沖量為I=jfdt=j—QBvdt=—QBjdl=—QBL=Ap(18)負(fù)號(hào)表示沖量方向與洛淪茲力相反。外力沖量的作用并沒(méi)有使得系統(tǒng)內(nèi)任何物體獲得機(jī)械動(dòng)量，而是將動(dòng)量?jī)?chǔ)存在電磁場(chǎng)中了。電磁場(chǎng)的動(dòng)量Ap=QBL=QlBCL=(80EB)SL(19)在拉開(kāi)極板的過(guò)程中，拉力做的功為W=jFdx=jEQdx=1EQL=1E2CL2=(18E2)SL2200200200(20)由此可見(jiàn)，在建立電磁場(chǎng)的過(guò)程中，夕卜力作用于電容器的沖量轉(zhuǎn)化為電磁場(chǎng)的動(dòng)量；外力做的功轉(zhuǎn)化為電場(chǎng)的能量。而放入導(dǎo)體棒使之運(yùn)動(dòng)后這些動(dòng)量和能量的一部分又轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的機(jī)械動(dòng)量和動(dòng)能及焦耳熱。這又一次說(shuō)明電磁場(chǎng)確實(shí)具有動(dòng)量和能量。結(jié)論通過(guò)分析處于勻強(qiáng)電磁場(chǎng)中的平行板電容器中導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)，從一個(gè)側(cè)面論證了電磁場(chǎng)的確具有動(dòng)量和能量，并且可以與其他形式的動(dòng)量和能量相互轉(zhuǎn)換，在轉(zhuǎn)換過(guò)程中遵循動(dòng)量守恒和能量守恒定律。這一簡(jiǎn)單的模型使得原本抽象的概念變得具體化，有利于初學(xué)者對(duì)電磁場(chǎng)的這一重要屬性的理解。進(jìn)一步分析這個(gè)模型發(fā)現(xiàn)，電磁場(chǎng)的能量不可能全部轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動(dòng)能，一部分要轉(zhuǎn)化為焦耳熱，一部分仍留在電磁場(chǎng)中。電磁場(chǎng)的能量轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動(dòng)能的部分所占的比例為Wm+B2L2C1門(mén)=―K=.<—WBL^mC4（21）當(dāng)m=B2L2C時(shí)，n=4。4可見(jiàn)導(dǎo)體棒獲得的動(dòng)能最多為電場(chǎng)能量的四分之一，此時(shí)2min=鳥(niǎo)，即電容器極板剩余電量為原來(lái)的一半，而剩余的電場(chǎng)能量為原來(lái)的四分之一，其余的二分之一