高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版第一章的課件

1高等數(shù)學(xué)主講人：張曉平教授2數(shù)學(xué)——研究數(shù)和空間圖形及其相互關(guān)系的科學(xué)數(shù)學(xué)不僅是一種工具,數(shù)學(xué)而且是一種思維模式;

不僅是一種知識(shí),

而且是一種素養(yǎng);

不僅是一種科學(xué),

而且是一種文化;

能否運(yùn)用數(shù)學(xué)觀念定量思維是衡量民族科學(xué)文化素質(zhì)的一個(gè)重要標(biāo)志.數(shù)學(xué)一、什么是數(shù)學(xué)?3高等數(shù)學(xué)—研究對(duì)象為變量,運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué).1.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學(xué):一元微積分(上冊(cè))(下冊(cè))3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無(wú)窮級(jí)數(shù)5.常微分方程主要內(nèi)容：多元微積分二、什么是高等數(shù)學(xué)?初等數(shù)學(xué)—研究對(duì)象為常量,以靜止觀點(diǎn)研究問(wèn)題.初等數(shù)學(xué)

——代數(shù)、幾何、三角、解析幾何4三、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)?學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)作業(yè)考勤自我學(xué)習(xí)的能力微信公眾號(hào):山東建大高等數(shù)學(xué)5新生寄語(yǔ)學(xué)而優(yōu)則用,學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)治學(xué)之道：寬,專,漫

基礎(chǔ)要寬專業(yè)要專

要使自己的專業(yè)知識(shí)漫到其他領(lǐng)域厚積薄發(fā)做好當(dāng)下6第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限7一、映射二、函數(shù)的概念第一節(jié)映射與函數(shù)

第一章三、函數(shù)的幾種特性四、反函數(shù)五、復(fù)合函數(shù)六、初等函數(shù)8一、映射映射設(shè)X,Y

是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f

,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f

下的像

,記作元素

x

稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域

;Y

的子集稱為f

的值域

.9注意:

1)映射的三要素—定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.對(duì)映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f

既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.

10例如

f

既是滿射又是單射,故f

為雙射或一一映射.

又如海倫公式(滿射)11X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說(shuō)明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用名稱.X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為X

上的泛函X(≠

)Xf稱為X

上的變換

Rf稱為定義在X

上的函數(shù)映射又稱為算子.例如,目錄12定義域二、函數(shù)的概念1.函數(shù)的概念設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為自變量因變量叫作函數(shù)在x0處的函數(shù)值.稱為函數(shù)的值域.函數(shù)圖形:13（1）單值函數(shù)多值函數(shù)沒(méi)有特別說(shuō)明，均指單值函數(shù).說(shuō)明：例如在(-r,r)內(nèi)為多值函數(shù).為單值函數(shù),在（2）函數(shù)相等例如：和是不同的函數(shù)（對(duì)應(yīng)關(guān)系不同）和是不同的函數(shù)（定義域不同）和是相同的函數(shù).14例1

已知函數(shù)解及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域15例2函數(shù)例3絕對(duì)值函數(shù)例4符號(hào)函數(shù)Sign[sain]1x顯然：定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?6例5取整函數(shù)：如3yx1123-1-2-3-2-1-32不超過(guò)x的最大整數(shù)，記做：目錄除例2外都是分段函數(shù)171.函數(shù)的有界性上界:

為一個(gè)上界.稱f(x)在

X上有上界.下界:稱f(x)在X上有下界.

為一個(gè)下界.有界:|f(x)|M.M為正數(shù)無(wú)界:在(0,1)內(nèi)有下界,但沒(méi)有上界,所以無(wú)界.例如f(x)=sinx,有界.結(jié)論f(x)在X上有界f(x)在X上既有上界又有下界.使得三、函數(shù)的幾種特性182.函數(shù)的單調(diào)性設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I

D,對(duì)于I

上任意兩點(diǎn)若恒有f(x1)<f(x2),則稱f(x)在I

內(nèi)單調(diào)增加

;則稱f(x)在I

內(nèi)單調(diào)減少

.若恒有f(x1)>f(x2),單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)

.圖象：193.

函數(shù)的奇偶性設(shè)f(x)的定義域

D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（即x

D，x

D），偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若恒有

，則稱f(x)在

D內(nèi)為偶函數(shù).若恒有，則稱f(x)在D內(nèi)為奇函數(shù)

;說(shuō)明

若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有20例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記又如,奇函數(shù)雙曲正弦記P13：21再如,奇函數(shù)雙曲正切記說(shuō)明

給定則偶函數(shù)奇函數(shù)P11例11自學(xué)：P11函數(shù)的運(yùn)算224.函數(shù)的周期性都有(xl)D，且

f(xl)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在l≠0,使得對(duì)于任意xD,l

稱為f(x)的周期.通常，周期是指最小正周期.周期為

周期為注周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x

為無(wú)理數(shù)目錄231.反函數(shù)的概念若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù)

.其反函數(shù)(減)(減).(1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增2.反函數(shù)的性質(zhì)四、反函數(shù)相對(duì)而言，y=f(x)稱為直接函數(shù).24(2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.指數(shù)函數(shù)25考慮正弦函數(shù)、余弦函數(shù):26得到反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù):反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，可選取其單值支作為主值.27考慮正切函數(shù):得到反正切函數(shù):28考慮余切函數(shù):得到反余切函數(shù):目錄29則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①②u稱為中間變量.注意

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:可定義復(fù)合函數(shù)五、復(fù)合函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).30兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):約定:為簡(jiǎn)單計(jì),書寫復(fù)合函數(shù)時(shí)不一定寫出其定義域,

默認(rèn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.目錄31六、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)2.初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如

,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù)

.可表為故為初等函數(shù).又如

,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).(自學(xué),P13–P15)如

32

設(shè)函數(shù)

x

換為f

(x)例6解33例7求的反函數(shù)及其定義域.解當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)?4內(nèi)容小結(jié)1.映射的概念定義域?qū)?yīng)規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)2.