數(shù)學(xué)必修ⅳ北師大版25平面向量的數(shù)量積課件

1平面向量的數(shù)量積1平面向量的數(shù)量積2三年24考高考指數(shù):★★★★1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；5.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題.2三年24考高考指數(shù):★★★★31.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是高考考查的重點(diǎn)，主要考查應(yīng)用數(shù)量積求平面向量的夾角、模及判斷向量的垂直,是重點(diǎn)也是難點(diǎn)；2.題型以選擇題和填空題為主，與三角函數(shù)、解析幾何等知識點(diǎn)交匯則以解答題為主.31.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是高考考查的重點(diǎn)，主要考查應(yīng)用數(shù)量41.兩個向量的夾角(1)夾角的定義

定義范圍已知兩個_______向量作∠AOB=θ叫作向量的夾角（如圖）.向量夾角θ的范圍是______________,當(dāng)θ=__________時，兩向量共線；當(dāng)θ=____時，兩向量垂直，記作（規(guī)定零向量可與任一向量垂直）.0°或180°90°0°≤θ≤180°非零AOB41.兩個向量的夾角定義范圍已知兩個_____5(2)射影的定義設(shè)θ是a與b的夾角，則_________叫作b在a方向上的射影._________叫作a在b方向上的射影.射影是一個實(shí)數(shù)，不是線段的長度，也不是向量.當(dāng)____________時，它是正值;當(dāng)______________時，它是負(fù)值;當(dāng)________時，它是0.|b|cosθ|a|cosθ0°≤θ<90°90°<θ≤180°θ=90°5(2)射影的定義|b|cosθ|a|cosθ0°≤θ<906【即時應(yīng)用】(1)思考：在△ABC中，向量與的夾角為∠ABC，是否正確？提示：不正確.求兩向量的夾角時，兩向量起點(diǎn)應(yīng)相同.向量與的夾角為π-∠ABC.(2)若|a|=5，向量a與b的夾角θ=60°，則向量a在b方向上的射影為______.【解析】a在b方向上的射影為|a|cosθ=5cos60°=答案：6【即時應(yīng)用】72.平面向量的數(shù)量積(1)平面向量數(shù)量積的定義已知兩個向量a和b,它們的夾角為θ,把____________叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作_______.(2)數(shù)量積的幾何意義a與b的數(shù)量積等于____________________________________的乘積，或____________________________________的乘積.|a||b|cosθa·ba的長度|a|與b在a方向上射影|b|cosθb的長度|b|與a在b方向上射影|a|cosθ72.平面向量的數(shù)量積|a||b|cosθa·ba的長度|a8【即時應(yīng)用】(1)已知正三角形ABC的邊長為1，則(2)已知|a|=1，|b|=2，a·b=1，則向量a，b的夾角θ=______.【解析】又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案：8【即時應(yīng)用】93.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ為向量a,b的夾角.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角x1x2+y1y2=093.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模10【即時應(yīng)用】(1)思考：若a·b<0，是否說明向量a和b的夾角一定為鈍角？提示：不一定，也可能是平角.(2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判斷下列命題的真假.(請?jiān)诶ㄌ杻?nèi)填“真”或“假”)①|(zhì)a|+|b|=()②若θ為向量a、b的夾角，則cosθ=()③若a⊥(a+λb),則λ=1()④(a+b)·(4a+b)=18()10【即時應(yīng)用】11【解析】故①真.②真.③∵a+λb=(1,-1)+λ(2,4)=(2λ+1,4λ-1)，∴a·(a+λb)=(2λ+1)-(4λ-1)=-2λ+2=0，∴λ=1,③真.④a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)，∴(a+b)·(4a+b)=3×6+3×0=18,④真.答案：①真②真③真④真11【解析】124.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b=b·a;(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b=_________=_________;(3)分配律：a·(b+c)=__________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c124.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律λ(a·b)a·(λb)a·b13【即時應(yīng)用】(1)思考：(a·b)c與a(b·c)相等嗎？提示：不一定相等，∵a·b,b·c均為實(shí)數(shù)，∴(a·b)c∥c，a(b·c)∥a,所以(a·b)c與a(b·c)不一定相等.13【即時應(yīng)用】14(2)若非零向量a，b滿足|a|=|b|，(2a+b)·b=0，則a與b的夾角為__________.【解析】設(shè)a,b的夾角為θ，∵(2a+b)·b=0，∴2a·b+b2=0，∴2|a||b|cosθ+|b|2=0,又∵|a|=|b|≠0，0°≤θ≤180°，∴cosθ=∴θ=120°.答案：120°

14(2)若非零向量a，b滿足|a|=|b|，(2a+b)·15平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】1.平面向量的數(shù)量積問題類型及求法(1)已知向量a、b的模及夾角θ，利用公式a·b=|a||b|cosθ求解；(2)已知向量a、b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解.15平面向量數(shù)量積的運(yùn)算162.利用數(shù)量積求解長度問題的方法162.利用數(shù)量積求解長度問題的方法17【例1】(1)(2011·大綱版全國卷)設(shè)向量a，b滿足|a|=|b|=1,a·b=則|a+2b|=()(2)(2011·湖南高考)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)則(3)(2011·遼寧高考改編)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a⊥(2a-b),則(a+b)·(a-b)=______.17【例1】(1)(2011·大綱版全國卷)設(shè)向量a，b滿足18【解題指南】(1)借助|a+2b|2=(a+2b)·(a+2b)求解；(2)用基向量表示向量(3)借助a·(2a-b)=0求k，進(jìn)而求(a+b)·(a-b).18【解題指南】(1)借助|a+2b|2=(a+2b)·(a19【規(guī)范解答】(1)選B.∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12+4×()+4×12=3，∴|a+2b|=(2)由題意畫出圖形如圖所示，取基底結(jié)合圖形可得答案：19【規(guī)范解答】(1)選B.∵|a+2b|2=a2+4a·b20(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)，由a⊥(2a-b)得a·(2a-b)=10+(2-k)=0,∴k=12,∴b=(-1,12),∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=(22+12)-［(-1)2+122］=-140.答案：-14020(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k21【互動探究】若本例(2)題條件改為“若D、E分別為邊BC、AC的中點(diǎn)”，又該如何求【解析】∵D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，21【互動探究】若本例(2)題條件改為“若D、E分別為邊BC22【反思·感悟】平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)長度和夾角；二是利用坐標(biāo)來計(jì)算.對于第一種形式，要注意確定這兩個向量的夾角，如夾角不易求或者不可求，可通過選擇易求夾角和模的基底進(jìn)行轉(zhuǎn)化.22【反思·感悟】平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)23【變式備選】在□ABCD中，AC為一條對角線，若則=______.【解析】答案：823【變式備選】在□ABCD中，AC為一條對角線，若24平面向量的垂直問題【方法點(diǎn)睛】兩向量垂直的判斷方法及應(yīng)用(1)若a,b為非零向量，則a⊥b?a·b=0；若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0.(2)一對向量垂直與向量所在的直線垂直是一致的，向量的線性運(yùn)算與向量的坐標(biāo)運(yùn)算是求解向量問題的兩大途徑.【提醒】向量垂直問題體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化，可用來解決幾何中的線線垂直問題.24平面向量的垂直問題25【例2】已知若△AOB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求向量b.【解題指南】設(shè)出向量b=(x,y)，利用列出方程組，求出b.25【例2】已知若△AOB是以26【規(guī)范解答】方法一：設(shè)向量b=(x,y),則=a-b由題意可知,從而有：26【規(guī)范解答】方法一：設(shè)向量b=(x,y),則=a27方法二：設(shè)向量b=(x,y)，依題意，則(a-b)·(a+b)=0，|a-b|=|a+b|，所以|a|=|b|=1,a·b=0.所以向量b是與向量a相互垂直的單位向量，27方法二：設(shè)向量b=(x,y)，依題意，28【反思·感悟】坐標(biāo)表示下的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿足的等式，從而應(yīng)用方程思想解決問題.化形為數(shù)，從而使向量問題數(shù)字化.28【反思·感悟】坐標(biāo)表示下的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿足29【變式訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足求t的值.29【變式訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1,－30【解析】(1)由題設(shè)知=(3,5),=(-1,1),則+=(2,6),-=(4,4)，所以故所求的兩條對角線的長分別為30【解析】(1)由題設(shè)知=(3,5),31(2)由題設(shè)知：=(－2,－1)，

-t=(3+2t,5+t).由(-t)⊥得(-t)·=0，即(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,從而5t=-11,所以31(2)由題設(shè)知：=(－2,－1)，32利用數(shù)量積解決夾角問題【方法點(diǎn)睛】利用數(shù)量積求向量夾角的方法(1)利用向量數(shù)量積的定義其中兩向量夾角的范圍為0°≤θ≤180°，求解時應(yīng)求出三個量：a·b,|a|,|b|或者找出這三個量之間的關(guān)系.(2)利用坐標(biāo)公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則32利用數(shù)量積解決夾角問題33【提醒】a·b>0?0°≤θ<90°(a·b<0?90°<θ≤180°)，即a·b>0(<0)是θ為銳角(鈍角)的必要而不充分條件.33【提醒】a·b>0?0°≤θ<90°(a·b<0?90°34【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),則2a+b與a-b的夾角等于()(2)(2011·浙江高考)若平面向量滿足||=1,||≤1，且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為則與的夾角θ的取值范圍是______.34【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2)35【解題指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐標(biāo)，再用夾角的坐標(biāo)公式求夾角.(2)利用平行四邊形的面積可得出sinθ的范圍，進(jìn)而求出夾角θ的范圍.35【解題指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐標(biāo)，再用夾角36【規(guī)范解答】(1)選C.∵2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)，∴(2a+b)·(a-b)=3×0+3×3=9,|2a+b|=|a-b|=3,設(shè)夾角為θ,(2)由S=||·||sinθ=||sinθ=可得，答案：36【規(guī)范解答】(1)選C.∵2a+b=2(1,2)+(1,37【互動探究】若將本例(1)題干中向量a改為(1，k)，k≠-1，且2a+b與a-b的夾角為銳角，則如何求實(shí)數(shù)k的取值范圍？【解析】2a+b=(3,2k-1),a-b=(0,k+1)，∵k≠-1,∴2a+b、a-b均不是零向量，且夾角為銳角，∴(2a+b)·(a-b)>0，即(2k-1)(k+1)>0,∴k<-1或當(dāng)2a+b與a-b共線時，3(k+1)-(2k-1)×0=0,∴k=-1,又k≠-1,∴2a+b與a-b不共線，故k的取值范圍為：k<-1或37【互動探究】若將本例(1)題干中向量a改為(1，k)，k38【反思·感悟】求兩個向量的夾角時，需求出兩向量的數(shù)量積，兩向量的模之積或者它們之間的倍數(shù)關(guān)系，再求cosθ,進(jìn)而求θ，要注意θ∈［0,π］.38【反思·感悟】求兩個向量的夾角時，需求出兩向量的數(shù)量積，39【變式備選】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosθ，sinθ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，(1)求sin2θ的值.(2)若且θ∈(-π,0),求與的夾角.39【變式備選】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosθ40【解析】(1)=(cosθ,sinθ)-(2，0)=(cosθ-2,sinθ),=(cosθ，sinθ)-(0，2)=(cosθ，sinθ-2)，

·=cosθ(cosθ-2)+sinθ(sinθ-2)=cos2θ-2cosθ+sin2θ-2sinθ=1-2(sinθ+cosθ)=40【解析】(1)=(cosθ,sinθ)-(2，0)41(2)∵=(2,0),=(cosθ,sinθ)，∴+=(2+cosθ,sinθ)，∴|+|=即4+4cosθ+cos2θ+sin2θ=7,∴4cosθ=2即∵-π<θ<0,又設(shè)α為與的夾角，41(2)∵=(2,0),=(cosθ,sin42【滿分指導(dǎo)】平面向量主觀題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011·陜西高考)敘述并證明余弦定理.【解題指南】利用向量數(shù)量積證明，由把展開利用代入，即可證明.42【滿分指導(dǎo)】平面向量主觀題的規(guī)范解答43【規(guī)范解答】余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍.或：在△ABC中，a,b,c分別為角A，B，C的對邊，有a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.……………4分證明：如圖，43【規(guī)范解答】余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊44

……………8分=b2-2bccosA+c2，即a2=b2+c2-2bccosA，………10分同理可證b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.……………12分4445【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示在解答本題時有兩點(diǎn)容易造成失分：(1)余弦定理用文字語言敘述不完整、不規(guī)范，用符號語言表述時三個只寫一個.(2)用證明時計(jì)算失誤.

45【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得46備考建議解決平面向量數(shù)量積問題時，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分,在備考時要高度關(guān)注：(1)公式記錯;(2)對向量的夾角理解錯誤;(3)混淆向量平行與垂直的充要條件.另外熟練掌握數(shù)量積問題的常見求法，才能快速正確解決平面向量的數(shù)量積問題.46備解決平面向量數(shù)量積問題時，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分,在471.(2011·重慶高考)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b與a共線，那么a·b的值為()(A)1

(B)2

(C)3

(D)4【解析】選D.a+b=(3,2+k),因?yàn)閍+b與a共線，所以2+k-3k=0,解得k=1,所以a·b=1×2+1×2=4.471.(2011·重慶高考)已知向量a=(1,k),b=(482.(2011·遼寧高考)若a,b,c均為單位向量，且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為()482.(2011·遼寧高考)若a,b,c均為單位向量，且a49【解析】選B.由(a-c)·(b-c)≤0,得a·b-a·c-b·c+c2≤0,又a·b=0且a,b,c均為單位向量，得-a·c-b·c≤-1,|a+b-c|2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2(a·b-a·c-b·c)=3+2(-a·c-b·c)≤3-2=1,故|a+b-c|的最大值為1.49【解析】選B.由(a-c)·(b-c)≤0,503.(2011·安徽高考)已知向量a、b滿足(a+2b)·(a-b)=-6，且|a|=1，|b|=2，則a與b的夾角為______.【解析】設(shè)a與b的夾角為θ,(a+2b)·(a-b)＝-6，即12+a·b-2×22=-6，則a·b=1，所以所以θ=60°.答案：60°503.(2011·安徽高考)已知向量a、b滿足(a+2b)514.(2011·上海高考)在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn).若AB=3,BD=1，則【解析】514.(2011·上海高考)在正三角形ABC中，D是BC上52答案：52答案：535.(2012·杭州模擬)已知向量|a|=3,b=(1,2)且a⊥b，則a的坐標(biāo)是______.535.(2012·杭州模擬)已知向量|a|=3,b=(1,54【解析】設(shè)向量a=(x,y)，∴a的坐標(biāo)是或答案：或54【解析】設(shè)向量a=(x,y)，5555565657平面向量的數(shù)量積1平面向量的數(shù)量積58三年24考高考指數(shù):★★★★1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；5.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題.2三年24考高考指數(shù):★★★★591.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是高考考查的重點(diǎn)，主要考查應(yīng)用數(shù)量積求平面向量的夾角、模及判斷向量的垂直,是重點(diǎn)也是難點(diǎn)；2.題型以選擇題和填空題為主，與三角函數(shù)、解析幾何等知識點(diǎn)交匯則以解答題為主.31.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是高考考查的重點(diǎn)，主要考查應(yīng)用數(shù)量601.兩個向量的夾角(1)夾角的定義

定義范圍已知兩個_______向量作∠AOB=θ叫作向量的夾角（如圖）.向量夾角θ的范圍是______________,當(dāng)θ=__________時，兩向量共線；當(dāng)θ=____時，兩向量垂直，記作（規(guī)定零向量可與任一向量垂直）.0°或180°90°0°≤θ≤180°非零AOB41.兩個向量的夾角定義范圍已知兩個_____61(2)射影的定義設(shè)θ是a與b的夾角，則_________叫作b在a方向上的射影._________叫作a在b方向上的射影.射影是一個實(shí)數(shù)，不是線段的長度，也不是向量.當(dāng)____________時，它是正值;當(dāng)______________時，它是負(fù)值;當(dāng)________時，它是0.|b|cosθ|a|cosθ0°≤θ<90°90°<θ≤180°θ=90°5(2)射影的定義|b|cosθ|a|cosθ0°≤θ<9062【即時應(yīng)用】(1)思考：在△ABC中，向量與的夾角為∠ABC，是否正確？提示：不正確.求兩向量的夾角時，兩向量起點(diǎn)應(yīng)相同.向量與的夾角為π-∠ABC.(2)若|a|=5，向量a與b的夾角θ=60°，則向量a在b方向上的射影為______.【解析】a在b方向上的射影為|a|cosθ=5cos60°=答案：6【即時應(yīng)用】632.平面向量的數(shù)量積(1)平面向量數(shù)量積的定義已知兩個向量a和b,它們的夾角為θ,把____________叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作_______.(2)數(shù)量積的幾何意義a與b的數(shù)量積等于____________________________________的乘積，或____________________________________的乘積.|a||b|cosθa·ba的長度|a|與b在a方向上射影|b|cosθb的長度|b|與a在b方向上射影|a|cosθ72.平面向量的數(shù)量積|a||b|cosθa·ba的長度|a64【即時應(yīng)用】(1)已知正三角形ABC的邊長為1，則(2)已知|a|=1，|b|=2，a·b=1，則向量a，b的夾角θ=______.【解析】又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案：8【即時應(yīng)用】653.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ為向量a,b的夾角.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角x1x2+y1y2=093.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模66【即時應(yīng)用】(1)思考：若a·b<0，是否說明向量a和b的夾角一定為鈍角？提示：不一定，也可能是平角.(2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判斷下列命題的真假.(請?jiān)诶ㄌ杻?nèi)填“真”或“假”)①|(zhì)a|+|b|=()②若θ為向量a、b的夾角，則cosθ=()③若a⊥(a+λb),則λ=1()④(a+b)·(4a+b)=18()10【即時應(yīng)用】67【解析】故①真.②真.③∵a+λb=(1,-1)+λ(2,4)=(2λ+1,4λ-1)，∴a·(a+λb)=(2λ+1)-(4λ-1)=-2λ+2=0，∴λ=1,③真.④a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)，∴(a+b)·(4a+b)=3×6+3×0=18,④真.答案：①真②真③真④真11【解析】684.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b=b·a;(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b=_________=_________;(3)分配律：a·(b+c)=__________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c124.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律λ(a·b)a·(λb)a·b69【即時應(yīng)用】(1)思考：(a·b)c與a(b·c)相等嗎？提示：不一定相等，∵a·b,b·c均為實(shí)數(shù)，∴(a·b)c∥c，a(b·c)∥a,所以(a·b)c與a(b·c)不一定相等.13【即時應(yīng)用】70(2)若非零向量a，b滿足|a|=|b|，(2a+b)·b=0，則a與b的夾角為__________.【解析】設(shè)a,b的夾角為θ，∵(2a+b)·b=0，∴2a·b+b2=0，∴2|a||b|cosθ+|b|2=0,又∵|a|=|b|≠0，0°≤θ≤180°，∴cosθ=∴θ=120°.答案：120°

14(2)若非零向量a，b滿足|a|=|b|，(2a+b)·71平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】1.平面向量的數(shù)量積問題類型及求法(1)已知向量a、b的模及夾角θ，利用公式a·b=|a||b|cosθ求解；(2)已知向量a、b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解.15平面向量數(shù)量積的運(yùn)算722.利用數(shù)量積求解長度問題的方法162.利用數(shù)量積求解長度問題的方法73【例1】(1)(2011·大綱版全國卷)設(shè)向量a，b滿足|a|=|b|=1,a·b=則|a+2b|=()(2)(2011·湖南高考)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)則(3)(2011·遼寧高考改編)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a⊥(2a-b),則(a+b)·(a-b)=______.17【例1】(1)(2011·大綱版全國卷)設(shè)向量a，b滿足74【解題指南】(1)借助|a+2b|2=(a+2b)·(a+2b)求解；(2)用基向量表示向量(3)借助a·(2a-b)=0求k，進(jìn)而求(a+b)·(a-b).18【解題指南】(1)借助|a+2b|2=(a+2b)·(a75【規(guī)范解答】(1)選B.∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12+4×()+4×12=3，∴|a+2b|=(2)由題意畫出圖形如圖所示，取基底結(jié)合圖形可得答案：19【規(guī)范解答】(1)選B.∵|a+2b|2=a2+4a·b76(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)，由a⊥(2a-b)得a·(2a-b)=10+(2-k)=0,∴k=12,∴b=(-1,12),∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=(22+12)-［(-1)2+122］=-140.答案：-14020(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k77【互動探究】若本例(2)題條件改為“若D、E分別為邊BC、AC的中點(diǎn)”，又該如何求【解析】∵D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，21【互動探究】若本例(2)題條件改為“若D、E分別為邊BC78【反思·感悟】平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)長度和夾角；二是利用坐標(biāo)來計(jì)算.對于第一種形式，要注意確定這兩個向量的夾角，如夾角不易求或者不可求，可通過選擇易求夾角和模的基底進(jìn)行轉(zhuǎn)化.22【反思·感悟】平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)79【變式備選】在□ABCD中，AC為一條對角線，若則=______.【解析】答案：823【變式備選】在□ABCD中，AC為一條對角線，若80平面向量的垂直問題【方法點(diǎn)睛】兩向量垂直的判斷方法及應(yīng)用(1)若a,b為非零向量，則a⊥b?a·b=0；若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0.(2)一對向量垂直與向量所在的直線垂直是一致的，向量的線性運(yùn)算與向量的坐標(biāo)運(yùn)算是求解向量問題的兩大途徑.【提醒】向量垂直問題體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化，可用來解決幾何中的線線垂直問題.24平面向量的垂直問題81【例2】已知若△AOB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求向量b.【解題指南】設(shè)出向量b=(x,y)，利用列出方程組，求出b.25【例2】已知若△AOB是以82【規(guī)范解答】方法一：設(shè)向量b=(x,y),則=a-b由題意可知,從而有：26【規(guī)范解答】方法一：設(shè)向量b=(x,y),則=a83方法二：設(shè)向量b=(x,y)，依題意，則(a-b)·(a+b)=0，|a-b|=|a+b|，所以|a|=|b|=1,a·b=0.所以向量b是與向量a相互垂直的單位向量，27方法二：設(shè)向量b=(x,y)，依題意，84【反思·感悟】坐標(biāo)表示下的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿足的等式，從而應(yīng)用方程思想解決問題.化形為數(shù)，從而使向量問題數(shù)字化.28【反思·感悟】坐標(biāo)表示下的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿足85【變式訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足求t的值.29【變式訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1,－86【解析】(1)由題設(shè)知=(3,5),=(-1,1),則+=(2,6),-=(4,4)，所以故所求的兩條對角線的長分別為30【解析】(1)由題設(shè)知=(3,5),87(2)由題設(shè)知：=(－2,－1)，

-t=(3+2t,5+t).由(-t)⊥得(-t)·=0，即(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,從而5t=-11,所以31(2)由題設(shè)知：=(－2,－1)，88利用數(shù)量積解決夾角問題【方法點(diǎn)睛】利用數(shù)量積求向量夾角的方法(1)利用向量數(shù)量積的定義其中兩向量夾角的范圍為0°≤θ≤180°，求解時應(yīng)求出三個量：a·b,|a|,|b|或者找出這三個量之間的關(guān)系.(2)利用坐標(biāo)公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則32利用數(shù)量積解決夾角問題89【提醒】a·b>0?0°≤θ<90°(a·b<0?90°<θ≤180°)，即a·b>0(<0)是θ為銳角(鈍角)的必要而不充分條件.33【提醒】a·b>0?0°≤θ<90°(a·b<0?90°90【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),則2a+b與a-b的夾角等于()(2)(2011·浙江高考)若平面向量滿足||=1,||≤1，且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為則與的夾角θ的取值范圍是______.34【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2)91【解題指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐標(biāo)，再用夾角的坐標(biāo)公式求夾角.(2)利用平行四邊形的面積可得出sinθ的范圍，進(jìn)而求出夾角θ的范圍.35【解題指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐標(biāo)，再用夾角92【規(guī)范解答】(1)選C.∵2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)，∴(2a+b)·(a-b)=3×0+3×3=9,|2a+b|=|a-b|=3,設(shè)夾角為θ,(2)由S=||·||sinθ=||sinθ=可得，答案：36【規(guī)范解答】(1)選C.∵2a+b=2(1,2)+(1,93【互動探究】若將本例(1)題干中向量a改為(1，k)，k≠-1，且2a+b與a-b的夾角為銳角，則如何求實(shí)數(shù)k的取值范圍？【解析】2a+b=(3,2k-1),a-b=(0,k+1)，∵k≠-1,∴2a+b、a-b均不是零向量，且夾角為銳角，∴(2a+b)·(a-b)>0，即(2k-1)(k+1)>0,∴k<-1或當(dāng)2a+b與a-b共線時，3(k+1)-(2k-1)×0=0,∴k=-1,又k≠-1,∴2a+b與a-b不共線，故k的取值范圍為：k<-1或37【互動探究】若將本例(1)題干中向量a改為(1，k)，k94【反思·感悟】求兩個向量的夾角時，需求出兩向量的數(shù)量積，兩向量的模之積或者它們之間的倍數(shù)關(guān)系，再求cosθ,進(jìn)而求θ，要注意θ∈［0,π］.38【反思·感悟】求兩個向量的夾角時，需求出兩向量的數(shù)量積，95【變式備選】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosθ，sinθ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，(1)求sin2θ的值.(2)若且θ∈(-π,0),求與的夾角.39【變式備選】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosθ96【解析】(1)=(cosθ,sinθ)-(2，0)=(cosθ-2,sinθ),=(cosθ，sinθ)-(0，2)=(cosθ，sinθ-2)，

·=cosθ(cosθ-2)+sinθ(sinθ-2)=cos2θ-2cosθ+sin2θ-2sinθ=1-2(sinθ+cosθ)=40【解析】(1)=(cosθ,sinθ)-(2，0)97(2)∵=(2,0),=(cosθ,sinθ)，∴+=(2+cosθ,sinθ)，∴|+|=即4+4cosθ+cos2θ+sin2θ=7,∴4cosθ=2即∵-π<θ<0,又設(shè)α為與的夾角，41(2)∵=(2,0),=(cosθ,sin98【滿分指導(dǎo)】平面向量主觀題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011·陜西高考)敘述并證明余弦定理.【解題指南】利用向量數(shù)量積證明，由把展開利用代入，即可證明.42【滿分指導(dǎo)】平面向量主觀題的規(guī)范解答99【規(guī)范解答】余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩