數(shù)列不等式解析幾何課件

數(shù)列綜合問題

長沙縣維漢實驗中學(xué)趙攀峰數(shù)列綜合問題長沙縣維漢實驗中學(xué)趙攀峰1一、教材分析:

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中占有重要的地位.考綱要求:“理解數(shù)列的概念,了解通項公式的意義,了解遞推公式,掌握等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式,并能解決簡單的問題.”教材中數(shù)列編排在函數(shù)內(nèi)容之后,因為數(shù)列是以正整數(shù)為自變量的一種特殊函數(shù),這樣安排既有利于認識數(shù)列的本質(zhì),也有利于加深和鞏固對函數(shù)概念的理解.數(shù)列綜合以數(shù)列為引線和依托,結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識,題型新穎,解法靈活,能有效地考查學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識和實踐能力.Ⅰ、地位與作用一、教材分析:數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)2Ⅱ、重點、難點與關(guān)鍵根據(jù)高考《考試說明》的要求,結(jié)合對歷屆高考試題的分析,本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點是:利用數(shù)列的通項公式與前項和等有關(guān)知識為主要工具求解數(shù)列綜合問題.而與數(shù)列交匯的、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題,特別是與不等式的綜合是教學(xué)的難點.從教學(xué)實踐來看,學(xué)生對數(shù)列綜合題存在畏難情緒,總覺得難以掌握,因此教學(xué)的關(guān)鍵是運用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的問題來求解,同時注意培養(yǎng)學(xué)生的良好的個性品質(zhì),特別是排除萬難的精神.Ⅱ、重點、難點與關(guān)鍵根據(jù)高考《考試說明》的要求,結(jié)合3二、高考回顧

“在知識的交匯點設(shè)置能力型問題”是指導(dǎo)高考命題的思想之一.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的一個重要的交匯點.數(shù)列綜合題在每年高考中都會重點考查.下面列表對近兩年高考試題作分類統(tǒng)計,統(tǒng)計如下表:

從上表可以看出,2004年的15份理科試題中,每套試題均有一道解答題.其中處在壓卷題位置的有8道;2005年的16份理科試題中,除廣東卷外每套試題均有一道解答題,其中處在壓卷題位置的有5道.由此不難得知,數(shù)列解答題是高考命題必考的難度大的內(nèi)容,其命題熱點是與不等式交匯的、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題,其中,以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的點列為命題載體,有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列解答題是未來高考命題的一個新的亮點.

二、高考回顧“在知識的交匯點設(shè)置能力型問題”是42004年2005年全國1分奇、偶項的遞推數(shù)列的通項等比數(shù)列的公比與前n項和

全國2通項與前n項和、等比數(shù)列的判定等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國3數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國4導(dǎo)數(shù)、數(shù)列求和與數(shù)列極限

———————————北京抽象函數(shù)、數(shù)列通項與極限等比數(shù)列的判定、數(shù)列極限上海點列、等差數(shù)列、探索性問題涉及兩個數(shù)列的應(yīng)用性問題天津函數(shù)迭代、數(shù)列的通項與極限數(shù)列的求和、數(shù)列的極限重慶數(shù)列不等式、數(shù)列項大小比較數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列不等式遼寧函數(shù)迭代中的數(shù)列不等式函數(shù)迭代、數(shù)列不等式證明山東同全國卷1導(dǎo)數(shù)、等比數(shù)列的判定江蘇數(shù)列前項的和、探索性問題數(shù)列不等式的證明浙江點列問題、等比數(shù)列的判定點列問題、等差數(shù)列的判定福建涉及兩個數(shù)列的應(yīng)用性問題遞推公式、數(shù)列不等式湖北遞推數(shù)列的極限、數(shù)列不等式數(shù)列不等式的證明、數(shù)列極限湖南解析幾何、遞推數(shù)列的綜合應(yīng)用探索性問題、數(shù)列不等式廣東三角函數(shù)中的等比數(shù)列問題無江西同全國卷1數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明

2004年20055三、數(shù)列綜合問題類型及求解策略

由于數(shù)列綜合問題形式多變、思考性強、區(qū)分度高,因此大多數(shù)同學(xué)解此類問題時思維常常受阻,甚至無從下手,下面我結(jié)合近幾年的高考題,就數(shù)列綜合問題類型及解題策略作一點探討.三、數(shù)列綜合問題類型及求解策略由于數(shù)列綜合問6

1、數(shù)列各部分知識的綜合

[求解策略]解純數(shù)列綜合題,要充分利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.本題的關(guān)鍵是注意到akn的雙重身份——既是等比數(shù)列的第n項,又是等差數(shù)列的第kn項,先求出通項kn,再求出其前n項的和.

例1.已知{an}為等差數(shù)列(公差d≠０),{an}中的部分項組成的數(shù)列ak1,ak2,…，akn,…為等比數(shù)列，其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn的值.1、數(shù)列各部分知識的綜合[求解策略]解純數(shù)7例2.已知函數(shù)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的,都滿足若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.2、數(shù)列與函數(shù)的綜合

分析一:由于已知條件只有函數(shù)關(guān)系式和的表達式,要求證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是求出,可以嘗試數(shù)學(xué)歸納法.證法一:由已知可得:猜想:,用數(shù)學(xué)歸納法證明(略).例2.已知函數(shù)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),8分析三:設(shè)法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列.證法三:所以,即是公差為首項為的等差數(shù)列.

分析二:將所給函數(shù)關(guān)系式適當變形,根據(jù)其形式特點構(gòu)造另一個函數(shù),設(shè)法用此函數(shù)求出.證法二:當時,由可得:令則分析三:設(shè)法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列.9

[求解策略]

解數(shù)列與函數(shù)的綜合題,一般要利用函數(shù)、數(shù)列的性質(zhì)以及它們之間的相互聯(lián)系.本題是一道已知抽象函數(shù)關(guān)系,利用函數(shù)迭代求證數(shù)列是等比數(shù)列的問題.所提供的三種證法中,證法一思路自然,但較為繁瑣;證法二技巧性強;證法三思維跨度大,但三種證法都體現(xiàn)了一個不變的事實:充分應(yīng)用已知條件變形轉(zhuǎn)化,根據(jù)其形式特點構(gòu)造新的數(shù)列,然后利用數(shù)列的性質(zhì)求解.[求解策略]解數(shù)列與函數(shù)的綜合題,一般要利用函數(shù)103、數(shù)列與不等式的綜合

法一:(數(shù)學(xué)歸納法)①當n=1時,不等式成立.②假設(shè)n=k時,成立.當n=k+1時,即n=k+1時,成立.綜上,可知對一切正整數(shù)n成立.例3.(2004年重慶卷)設(shè)數(shù)列滿足對一切正整數(shù)成立；

3、數(shù)列與不等式的綜合法一:(數(shù)學(xué)歸納法11法二:(數(shù)學(xué)歸納法)①當n=1時,不等式成立.②假設(shè)n=k時,成立.當n=k+1時,由函數(shù)的單調(diào)性和歸納假設(shè)有.只需證:,即證只需,顯然成立.即n=k+1時,結(jié)論成立.因此,對一切正整數(shù)n成立.法三:由遞推公式得,,,將上述各式相加并化簡得(n)又n=1時,顯然成立.所以對一切正整數(shù)n成立.法二:(數(shù)學(xué)歸納法)①當n=1時,不等式成立.法三:由122)解法一:

解法二:∴又∴

2)解法一:解法二:13

[求解策略]

證明數(shù)列不等式問題,一般可采用數(shù)學(xué)歸納法、分析法、綜合、比較法、放縮法等方法來證明.有時要綜合使用幾種方法.其中(1)中證法一、證法二都利用了數(shù)學(xué)歸納法,證法一、證法三都將目標鎖定為證明去掉了根式,利用放縮法得證;證法二,看到遞推關(guān)系與函數(shù)的關(guān)系,利用函數(shù)單調(diào)性和分析法得證.證法三利用迭加,變更了遞推關(guān)系,這是對遞推公式常用的變形方式之一.(2)中利用比較法,方法一是作商法,方法二并不是直接作差,而是利用平方差,消除了根式,簡化了運算,在不等式的證明中,觀察式子的結(jié)構(gòu)特征再合理地進行放縮,是成功的關(guān)鍵.

[求解策略]證明數(shù)列不等式問題,一般可采用數(shù)14

[求解策略]

數(shù)列與解析幾何的綜合題以坐標為載體,以數(shù)列為主體內(nèi)容將解析幾何、平面幾何與數(shù)列的相關(guān)知識聯(lián)系在一起.該類問題往往以曲線上的點的無限運動為背景,解決問題的關(guān)鍵是尋求點的坐標間的相互聯(lián)系,得到遞推關(guān)系,再運用數(shù)列知識進行求解.例4.（2004浙江)△OBC的三個頂點坐標分別為(0,0)、(1,0)、(0,2),設(shè)P1為線段BC的中點,為線段CO的中點,為線段的中點,對于每一個正整數(shù)n,為線段的中點,令的坐標為,.(1)求(2)證明(3)若記證明是等比數(shù)列.4、數(shù)列與解析幾何的綜合[求解策略]數(shù)列與解析幾何的綜合題以坐標為載體,以例4155、數(shù)列應(yīng)用問題

例5.(2001年全國卷)從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā),某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少,本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元,由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用,預(yù)計今后的旅游業(yè)每年會比上年增加(1)設(shè)年n內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元,旅游總收入為

萬元,寫出的通項公式;(2)至少經(jīng)過幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?

[求解策略]

解數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題(等差、等比數(shù)列、遞推關(guān)系模型),然后利用相關(guān)知識求解.解題時首先要讀懂題目,理解題意,對陌生的背景、文字敘述比較長的題目,要充滿信心,從問題中盡可能多地獲取信息,大膽聯(lián)想,合理轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題.5、數(shù)列應(yīng)用問題例5.(2001年全國卷)從社會效益16

總之,數(shù)列綜合題常常是數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何等知識點的交匯,因此要加強數(shù)學(xué)知識的綜合運用,要有意識的運用函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想來探求解題思路.同時要鼓勵合理的猜想、要重視數(shù)學(xué)歸納法的運用.

總之,數(shù)列綜合題常常是數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何等知識17四、教法分析

新的課程標準指出,教學(xué)過程也是學(xué)生的認識過程,學(xué)生在教學(xué)活動中始終處于主體地位,教師則應(yīng)成為學(xué)習(xí)活動的促進者,而非單純的知識傳授者,其基本任務(wù)也就在于促進和增強學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點和學(xué)生的認知規(guī)律,我采用:問題探究式、啟發(fā)發(fā)現(xiàn)式等方法進行教學(xué),同時采用討論式組織課堂教學(xué).在教學(xué)中我都是先提出問題,讓學(xué)生觀察分析、自主探索、歸納總結(jié),從而真正使學(xué)生養(yǎng)成獨立思考,仔細觀察,認真分析,嚴謹推理的學(xué)習(xí)習(xí)慣,并提高他們的自學(xué)能力與探索意識.同時鼓勵學(xué)生相互交流，從而促使學(xué)生真正成為自覺投入且積極建構(gòu)的學(xué)習(xí)活動中的主體.四、教法分析新的課程標準指出,教學(xué)過程也是學(xué)生的認識18五、評價分析

本節(jié)內(nèi)容的設(shè)計從教學(xué)內(nèi)容的引入、展開、揭示等方面出發(fā),教給學(xué)生探求知識的方法,教會學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力.本節(jié)教學(xué)設(shè)計以發(fā)展學(xué)生的思維能力為中心,以轉(zhuǎn)化為主線,注重展示學(xué)生的思維過程,注重讓學(xué)生參與知識的形成過程,由特殊到一般,由易到難,一環(huán)扣一環(huán),從而增強他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.同時以問題為載體,讓學(xué)生經(jīng)歷主動參與,積極探求的過程,讓學(xué)生觀察、歸納、總結(jié)、反思,因而有效的實現(xiàn)了教學(xué)目標,發(fā)展了學(xué)生的能力.

五、評價分析本節(jié)內(nèi)容的設(shè)計從教學(xué)內(nèi)容的引入、展開、揭示19六、教學(xué)過程設(shè)計

本節(jié)內(nèi)容共分兩個課時,數(shù)列各部分知識、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合為第一課時,數(shù)列和解析幾何的綜合與數(shù)列的應(yīng)用題為第二課時.第一課時共分五個環(huán)節(jié),具體安排如下：[復(fù)習(xí)回顧]

教師開門見山點出主題,并引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).[課前熱身]

教師給出三個小題,讓學(xué)生先練習(xí),教師進行行間巡視,個別輔導(dǎo),然后請學(xué)生回答,教師再作補充.六、教學(xué)過程設(shè)計本節(jié)內(nèi)容共分兩個課時,數(shù)列各部分知識、數(shù)20

[范例分析]

將復(fù)習(xí)目標題型化,通過三個典型例題,讓學(xué)生在具體問題中理解知識,掌握方法,這樣能使學(xué)生理解更加具體、深刻.該環(huán)節(jié)先讓學(xué)生獨立思考、自主練習(xí),然后教師采用“焦點訪談”式的教學(xué),在焦點(難點、疑點、迷點、易錯點)啟發(fā)學(xué)生尋找突破口,通過訪談(請同學(xué)回答),集中學(xué)生的智慧,讓學(xué)生的思維在關(guān)鍵處閃光,能力在要害處增長,缺點在細微處暴露,意志在艱難處磨礪.通過訪談,實現(xiàn)師生之間、學(xué)生之間智慧和能力互補,并促進心靈和感情的溝通.

[歸納總結(jié)]

提煉本節(jié)課的要點,歸納主要涉及的數(shù)學(xué)思想方法、技巧、規(guī)律.這一環(huán)節(jié)先讓學(xué)生回答,然后教師適當補充、完善.[鞏固練習(xí)]

本節(jié)課共布置練習(xí)六個,其中最后兩題為選作題(為第二節(jié)課作鋪墊).[范例分析]將復(fù)習(xí)目標題型化,通過三個典型例題,讓學(xué)21謝謝，再見！謝謝，再見！22數(shù)列綜合問題

長沙縣維漢實驗中學(xué)趙攀峰數(shù)列綜合問題長沙縣維漢實驗中學(xué)趙攀峰23一、教材分析:

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中占有重要的地位.考綱要求:“理解數(shù)列的概念,了解通項公式的意義,了解遞推公式,掌握等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式,并能解決簡單的問題.”教材中數(shù)列編排在函數(shù)內(nèi)容之后,因為數(shù)列是以正整數(shù)為自變量的一種特殊函數(shù),這樣安排既有利于認識數(shù)列的本質(zhì),也有利于加深和鞏固對函數(shù)概念的理解.數(shù)列綜合以數(shù)列為引線和依托,結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識,題型新穎,解法靈活,能有效地考查學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識和實踐能力.Ⅰ、地位與作用一、教材分析:數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)24Ⅱ、重點、難點與關(guān)鍵根據(jù)高考《考試說明》的要求,結(jié)合對歷屆高考試題的分析,本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點是:利用數(shù)列的通項公式與前項和等有關(guān)知識為主要工具求解數(shù)列綜合問題.而與數(shù)列交匯的、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題,特別是與不等式的綜合是教學(xué)的難點.從教學(xué)實踐來看,學(xué)生對數(shù)列綜合題存在畏難情緒,總覺得難以掌握,因此教學(xué)的關(guān)鍵是運用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的問題來求解,同時注意培養(yǎng)學(xué)生的良好的個性品質(zhì),特別是排除萬難的精神.Ⅱ、重點、難點與關(guān)鍵根據(jù)高考《考試說明》的要求,結(jié)合25二、高考回顧

“在知識的交匯點設(shè)置能力型問題”是指導(dǎo)高考命題的思想之一.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的一個重要的交匯點.數(shù)列綜合題在每年高考中都會重點考查.下面列表對近兩年高考試題作分類統(tǒng)計,統(tǒng)計如下表:

從上表可以看出,2004年的15份理科試題中,每套試題均有一道解答題.其中處在壓卷題位置的有8道;2005年的16份理科試題中,除廣東卷外每套試題均有一道解答題,其中處在壓卷題位置的有5道.由此不難得知,數(shù)列解答題是高考命題必考的難度大的內(nèi)容,其命題熱點是與不等式交匯的、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題,其中,以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的點列為命題載體,有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列解答題是未來高考命題的一個新的亮點.

二、高考回顧“在知識的交匯點設(shè)置能力型問題”是262004年2005年全國1分奇、偶項的遞推數(shù)列的通項等比數(shù)列的公比與前n項和

全國2通項與前n項和、等比數(shù)列的判定等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國3數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國4導(dǎo)數(shù)、數(shù)列求和與數(shù)列極限

———————————北京抽象函數(shù)、數(shù)列通項與極限等比數(shù)列的判定、數(shù)列極限上海點列、等差數(shù)列、探索性問題涉及兩個數(shù)列的應(yīng)用性問題天津函數(shù)迭代、數(shù)列的通項與極限數(shù)列的求和、數(shù)列的極限重慶數(shù)列不等式、數(shù)列項大小比較數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列不等式遼寧函數(shù)迭代中的數(shù)列不等式函數(shù)迭代、數(shù)列不等式證明山東同全國卷1導(dǎo)數(shù)、等比數(shù)列的判定江蘇數(shù)列前項的和、探索性問題數(shù)列不等式的證明浙江點列問題、等比數(shù)列的判定點列問題、等差數(shù)列的判定福建涉及兩個數(shù)列的應(yīng)用性問題遞推公式、數(shù)列不等式湖北遞推數(shù)列的極限、數(shù)列不等式數(shù)列不等式的證明、數(shù)列極限湖南解析幾何、遞推數(shù)列的綜合應(yīng)用探索性問題、數(shù)列不等式廣東三角函數(shù)中的等比數(shù)列問題無江西同全國卷1數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明

2004年200527三、數(shù)列綜合問題類型及求解策略

由于數(shù)列綜合問題形式多變、思考性強、區(qū)分度高,因此大多數(shù)同學(xué)解此類問題時思維常常受阻,甚至無從下手,下面我結(jié)合近幾年的高考題,就數(shù)列綜合問題類型及解題策略作一點探討.三、數(shù)列綜合問題類型及求解策略由于數(shù)列綜合問28

1、數(shù)列各部分知識的綜合

[求解策略]解純數(shù)列綜合題,要充分利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.本題的關(guān)鍵是注意到akn的雙重身份——既是等比數(shù)列的第n項,又是等差數(shù)列的第kn項,先求出通項kn,再求出其前n項的和.

例1.已知{an}為等差數(shù)列(公差d≠０),{an}中的部分項組成的數(shù)列ak1,ak2,…，akn,…為等比數(shù)列，其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn的值.1、數(shù)列各部分知識的綜合[求解策略]解純數(shù)29例2.已知函數(shù)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的,都滿足若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.2、數(shù)列與函數(shù)的綜合

分析一:由于已知條件只有函數(shù)關(guān)系式和的表達式,要求證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是求出,可以嘗試數(shù)學(xué)歸納法.證法一:由已知可得:猜想:,用數(shù)學(xué)歸納法證明(略).例2.已知函數(shù)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),30分析三:設(shè)法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列.證法三:所以,即是公差為首項為的等差數(shù)列.

分析二:將所給函數(shù)關(guān)系式適當變形,根據(jù)其形式特點構(gòu)造另一個函數(shù),設(shè)法用此函數(shù)求出.證法二:當時,由可得:令則分析三:設(shè)法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列.31

[求解策略]

解數(shù)列與函數(shù)的綜合題,一般要利用函數(shù)、數(shù)列的性質(zhì)以及它們之間的相互聯(lián)系.本題是一道已知抽象函數(shù)關(guān)系,利用函數(shù)迭代求證數(shù)列是等比數(shù)列的問題.所提供的三種證法中,證法一思路自然,但較為繁瑣;證法二技巧性強;證法三思維跨度大,但三種證法都體現(xiàn)了一個不變的事實:充分應(yīng)用已知條件變形轉(zhuǎn)化,根據(jù)其形式特點構(gòu)造新的數(shù)列,然后利用數(shù)列的性質(zhì)求解.[求解策略]解數(shù)列與函數(shù)的綜合題,一般要利用函數(shù)323、數(shù)列與不等式的綜合

法一:(數(shù)學(xué)歸納法)①當n=1時,不等式成立.②假設(shè)n=k時,成立.當n=k+1時,即n=k+1時,成立.綜上,可知對一切正整數(shù)n成立.例3.(2004年重慶卷)設(shè)數(shù)列滿足對一切正整數(shù)成立；

3、數(shù)列與不等式的綜合法一:(數(shù)學(xué)歸納法33法二:(數(shù)學(xué)歸納法)①當n=1時,不等式成立.②假設(shè)n=k時,成立.當n=k+1時,由函數(shù)的單調(diào)性和歸納假設(shè)有.只需證:,即證只需,顯然成立.即n=k+1時,結(jié)論成立.因此,對一切正整數(shù)n成立.法三:由遞推公式得,,,將上述各式相加并化簡得(n)又n=1時,顯然成立.所以對一切正整數(shù)n成立.法二:(數(shù)學(xué)歸納法)①當n=1時,不等式成立.法三:由342)解法一:

解法二:∴又∴

2)解法一:解法二:35

[求解策略]

證明數(shù)列不等式問題,一般可采用數(shù)學(xué)歸納法、分析法、綜合、比較法、放縮法等方法來證明.有時要綜合使用幾種方法.其中(1)中證法一、證法二都利用了數(shù)學(xué)歸納法,證法一、證法三都將目標鎖定為證明去掉了根式,利用放縮法得證;證法二,看到遞推關(guān)系與函數(shù)的關(guān)系,利用函數(shù)單調(diào)性和分析法得證.證法三利用迭加,變更了遞推關(guān)系,這是對遞推公式常用的變形方式之一.(2)中利用比較法,方法一是作商法,方法二并不是直接作差,而是利用平方差,消除了根式,簡化了運算,在不等式的證明中,觀察式子的結(jié)構(gòu)特征再合理地進行放縮,是成功的關(guān)鍵.

[求解策略]證明數(shù)列不等式問題,一般可采用數(shù)36

[求解策略]

數(shù)列與解析幾何的綜合題以坐標為載體,以數(shù)列為主體內(nèi)容將解析幾何、平面幾何與數(shù)列的相關(guān)知識聯(lián)系在一起.該類問題往往以曲線上的點的無限運動為背景,解決問題的關(guān)鍵是尋求點的坐標間的相互聯(lián)系,得到遞推關(guān)系,再運用數(shù)列知識進行求解.例4.（2004浙江)△OBC的三個頂點坐標分別為(0,0)、(1,0)、(0,2),設(shè)P1為線段BC的中點,為線段CO的中點,為線段的中點,對于每一個正整數(shù)n,為線段的中點,令的坐標為,.(1)求(2)證明(3)若記證明是等比數(shù)列.4、數(shù)列與解析幾何的綜合[求解策略]數(shù)列與解析幾何的綜合題以坐標為載體,以例4375、數(shù)列應(yīng)用問題

例5.(2001年全國卷)從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā),某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少,本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元,由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用,預(yù)計今后的旅游業(yè)每年會比上年增加(1)設(shè)年n內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元,旅游總收入為

萬元,寫出的通項公式;(2)至少經(jīng)過幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?

[求解策略]

解數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題(等差、等比數(shù)列、遞推關(guān)系模型),然后利用相關(guān)知識求解.解題時首先要讀懂題目,理解題意,對陌生的背景、文字敘述比較長的題目,要充滿信心,從問題中盡可能多地獲取信息,大膽聯(lián)想,合理轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題.5、數(shù)列應(yīng)用問題例5.(2001年全國卷)從社會效益38

總之,數(shù)列綜合題常常是數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何等知識點的交匯,因此要加