構(gòu)件的剛度、壓桿穩(wěn)定和動載荷問題課件

第四章構(gòu)件的剛度、壓桿穩(wěn)定和動載荷問題1.構(gòu)件的變形與剛度2.壓桿的穩(wěn)定性3.動載荷與動應(yīng)力4.應(yīng)力集中現(xiàn)象和裂紋問題5.交變應(yīng)力和疲勞強(qiáng)度第四章構(gòu)件的剛度、壓桿穩(wěn)定和動載荷問題1.構(gòu)件的變形與剛度1第一節(jié)構(gòu)件的變形與剛度

一、軸向拉壓桿的變形計(jì)算

對軸向拉壓變形的參量規(guī)定伸長變形量Δl為正，縮短變形量Δl為負(fù)。若橫截面面積A和軸力N都是常量，則Δl＝Nl/EA。若A和N是沿桿件軸線的變量：

（4-1）圖4-1例4-1圖例4-1木柱直徑d＝150mm，已知P1＝20kN，P2＝30kN，

l＝2m，木材彈性模量E＝10GPa，求木柱的總變形量Δl。解木柱上、下段軸力不同，應(yīng)分段計(jì)算后求和⑴求軸力上段（AB）N1＝－P1＝－20kN＝－20×103N（壓縮）下段（BC）N2＝－P1－P2＝－50kN＝－50×103N（壓縮）第一節(jié)構(gòu)件的變形與剛度一、軸向拉壓桿的變形計(jì)算對軸向2⑵求變形量Δl

木柱橫截面積上段木柱變形量下段木柱變形量木柱總變形量Δl＝Δl1＋Δl2＝－0.8mm。

[一點(diǎn)評論]

本題引用的基本數(shù)據(jù)（順紋木材的彈性模量E＝10GPa）

是符合實(shí)際的。本題計(jì)算結(jié)果是：一根4m長的木柱，受幾噸重壓著，縮短量還不到1毫米。相對壓縮量僅為原長的1/5000左右?？梢?，通常軸向拉壓引起的伸長、縮短量是很微小的。金屬材料的彈性模量比木材大得多，例如鋼材的彈性模量約為木材的20倍，因此金屬構(gòu)件在軸向拉壓下發(fā)生的伸縮變形量更加微小。因此，軸向拉壓變形問題在產(chǎn)品設(shè)計(jì)中通常不很突出。

⑵求變形量Δl木柱橫截面積上段木柱變形量下段木柱變形量3圖3-6例3-2圖

例4-2例3-2的結(jié)構(gòu)中，設(shè)AB、DC均為長度l＝1.5m的尼龍桿，E＝1.6GPa，計(jì)算B、C兩點(diǎn)的高度差δ。解例3-2已求出兩桿的軸力和橫截面積：

AB

N1＝8.5×103N，A1＝707×10－6m2；

DC

N2＝4.5×103N，A2＝100×10－6m2。

AB桿的伸長量Δl1和DC桿的伸長量Δl2為

B、C兩點(diǎn)的高度差δ＝Δl2－Δl1＝（42.2－11.3）mm＝30.9mm。[一點(diǎn)評論]計(jì)算結(jié)果高度差為30.9mm，約為女生兩個手指并攏的寬

度，頗為可觀。這是因?yàn)槟猃埖膹椥阅Ａ亢苄　Ｗ冃瘟颗c彈性模量成反比

例關(guān)系。若兩桿采用同樣粗細(xì)的鋼桿，其彈性模量E＝210GPa，由于鋼的

彈性模量約為尼龍的（210/1.6≈）130倍，則引起的高度差也要降低到原

來的約1/130，即只有0.24mm左右，這就是個很小的數(shù)字了。圖3-6例3-2圖例4-2例3-2的結(jié)4二、圓軸扭轉(zhuǎn)的變形問題1.圓軸扭轉(zhuǎn)變形的計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)變形的參量，是圓軸橫截面間的相對轉(zhuǎn)動角，稱為扭轉(zhuǎn)角，用“

”表示。扭轉(zhuǎn)角

與扭矩T及軸長L成正比，與材料的剪切彈性模量G及橫截面的極慣性矩Iρ成反比，即（4-2）GIρ稱為圓軸的抗扭剛度,綜合反映材料性能、橫截面尺寸、形狀對圓軸扭

轉(zhuǎn)變形的抵抗能力。式（4-2）適用的條件：長度L的圓軸，Iρ是常量，軸段內(nèi)扭矩T也是常量。用式（4-2）計(jì)算所得扭轉(zhuǎn)角的單位是弧度（rad）。2.圓軸扭轉(zhuǎn)變形的影響機(jī)器傳動軸的過大扭轉(zhuǎn)變形，會影響傳動精度；啟動、停車、反轉(zhuǎn)中的

扭轉(zhuǎn)變形會影響產(chǎn)品正常工作，例如攪拌機(jī)的工作等。

但在生活日用品中，突出的扭轉(zhuǎn)變形問題不太多見。二、圓軸扭轉(zhuǎn)的變形問題1.圓軸扭轉(zhuǎn)變形的計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)變形5三、梁的彎曲變形計(jì)算1.梁的彎曲變形實(shí)例圖4-2彎曲變形有時很顯著

與拉壓和扭轉(zhuǎn)變形量通常較小不同，產(chǎn)品包括日用品中，?？赡墚a(chǎn)生較大的彎曲變形。彎曲變形可能較大，對產(chǎn)品的不良影響也明顯。齒輪軸

橋式起重機(jī)大梁

搖臂鉆床框架長鋁制窗簾桿

……

圖4-3彎曲變形的實(shí)例

三、梁的彎曲變形計(jì)算1.梁的彎曲變形實(shí)例圖4-2彎曲變6有弊必有利。彎曲變形又頗多可利用之處。彈性力矩扳手

車輛的鋼板彈簧

簧片電磁繼電器撐桿跳桿…

圖4-4利用彎曲變形的例子

2.度量彎曲變形的參量——撓度和轉(zhuǎn)角

圖4-5撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角

撓曲線（彈性曲線）

受力變形后的梁軸線⑴撓度橫截面形心C在垂直x軸方向的線位移yC。

位移與y軸正方向一致，撓度為正；反之為負(fù)。⑵轉(zhuǎn)角橫截面C繞中性軸轉(zhuǎn)過的角位移θC。

角位移與右手坐標(biāo)系中從x軸逆時針轉(zhuǎn)到撓曲線的切線形成的轉(zhuǎn)角為正的；反之，為負(fù)的。

有弊必有利。彎曲變形又頗多可利用之處。彈性力矩扳手車輛的7撓曲線方程

以梁端點(diǎn)為原點(diǎn)，變形前軸線為x軸，表示撓度y的方程。⑴查表法

（4-3）3.彎曲變形計(jì)算的查表法和疊加法

基本形式梁受典型載荷的單獨(dú)作用，變形計(jì)算式已列表載于手冊中，把具體問題的參數(shù)代入即可得出結(jié)果。表4-1梁在簡單載荷作用下的變形表4-1中有三個欄目，簡單說明如下：①撓曲線方程由該欄可以算出任一截面所產(chǎn)生的撓度值。②端截面轉(zhuǎn)角端截面轉(zhuǎn)角通常是梁變形中的最大轉(zhuǎn)角。③最大撓度

梁的彎曲變形分析所關(guān)注的數(shù)據(jù)。撓曲線方程以梁端點(diǎn)為原點(diǎn)，變形前軸線為x軸，表示撓度y8梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度表4-1梁在簡單載荷作用下的變形梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度表4-1梁在簡單載荷作用下的9梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度10梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度11梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度12表4-1中有三個欄目，簡單說明如下：①撓曲線方程由該欄可以算出任一截面所產(chǎn)生的撓度值。②端截面轉(zhuǎn)角端截面轉(zhuǎn)角通常是梁變形中的最大轉(zhuǎn)角。③最大撓度

梁的彎曲變形分析所關(guān)注的數(shù)據(jù)。⑵疊加法

實(shí)際問題中，梁可能受所謂“復(fù)雜載荷”、即幾種簡單載荷的共同作用。若梁內(nèi)的最大應(yīng)力不超過材料比例極限，仍可用查表法分別求得各簡單載荷所引起的變形，然后簡單疊加，其代數(shù)和就是復(fù)雜載荷作用下的彎曲變形值。表4-1中有三個欄目，簡單說明如下：①撓曲線方程由該13例4-3簡支梁在跨中C點(diǎn)受集中力P作用，求兩端點(diǎn)A、B處的轉(zhuǎn)角θA、θB和C、D兩截面的撓度yC、yD。（本例題及例4-4的目的是練習(xí)查表法及疊加法，梁的參量如l、EI等數(shù)據(jù)未列出，以省略純粹的數(shù)字運(yùn)算。）圖4-6例4-3圖

解：用查表法解這個例題。⑴A、B兩截面的轉(zhuǎn)角可從表4-1的序號⑦一欄查出：⑵跨中C截面的撓度正是此梁的最大撓度，也可直接查得:⑶將D點(diǎn)的坐標(biāo)x＝l/4代入該欄的撓曲線方程，可得到D點(diǎn)的撓度yD：例4-3簡支梁在跨中C點(diǎn)受集中力P作用，求兩端14例4-4簡支梁受力情況如圖，求A截面的轉(zhuǎn)角θA和跨中C截面的撓度yC。

圖4-7例4-4圖

解：用疊加法解這個例題。圖4-7b、c兩種情況的變形量可從表4-1中的第⑦欄和第⑨欄查出：

疊加后得到本題解答（在梁內(nèi)最大應(yīng)力不超過材料比例極限的條件下）例4-4簡支梁受力情況如圖，求A截面的轉(zhuǎn)角θA和跨中C15例4-5“軟著陸游戲”平臺跳板可視為懸臂梁，尼龍材質(zhì)彈性模量E＝1.6GPa，懸跨長度2500mm，跳板寬度600mm。要求游戲者的蹬跳力F＝1600N時跳板前端下?lián)?00mm。確定跳板厚度h。圖4-8

例4-5圖

解⑴懸臂梁端受集中力的撓度問題，用表4-1第②欄；參數(shù)對照關(guān)系為：集中力F＝1600N，懸跨長度l＝2.5m，材料彈性模量E＝1.6GPa，

梁端撓度yB＝－400mm，跳板矩形截面寬b＝0.6m，待求高度h，梁的慣性矩為I＝bh3/12。⑵由表4-1的公式可得于是有可見此尼龍?zhí)迦『穸萮＝64mm可滿足設(shè)計(jì)要求。例4-5“軟著陸游戲”平臺跳板可視16第二節(jié)壓桿的穩(wěn)定性一、壓桿穩(wěn)定的實(shí)例和概念“立柱頂千斤”的合理解釋，及限制條件：立柱不能太細(xì)長。例如：橫截面積20mm×5mm，高30mm的小木塊，能“抗住”約400kgf的壓力。高度增加到500mm，壓力加到約30N（僅及原來的1/13～1/14），木條子會突然在扁窄方向被壓彎，進(jìn)而折斷。圖4-9細(xì)長桿受壓“失穩(wěn)”

壓桿失去穩(wěn)定性，簡稱壓桿失穩(wěn)：細(xì)長桿受壓突然彎曲、繼而破壞的現(xiàn)象。仰望恒山懸空寺

設(shè)計(jì)鋼橋結(jié)構(gòu)時，用較為細(xì)長的受壓弦桿，按軸向拉壓強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算校核。未諳壓桿竟失穩(wěn)橋塌命喪嘆百年！

或問：支撐千年懸空寺的，不是又細(xì)又高的立柱嗎？答曰：上當(dāng)啦！那是不起作用的“擺設(shè)”，讓人看著放心。

是橫插在山崖石壁里的一根根“懸臂梁”，緊貼在

懸空寺底部，才把懸空寺支托了千年。第二節(jié)壓桿的穩(wěn)定性一、壓桿穩(wěn)定的實(shí)例和概念“立柱頂千斤”17結(jié)構(gòu)產(chǎn)品中的壓桿穩(wěn)定問題實(shí)例工作平臺下的細(xì)高立柱

設(shè)備托架的細(xì)長支撐桿

細(xì)長活塞桿、螺旋千斤頂、……

薄殼、薄板、薄拱等類構(gòu)件也會發(fā)生失穩(wěn)問題。a）薄壁圓環(huán)；b）過于窄而高的梁；c）薄拱。圖4-11薄壁構(gòu)件的失穩(wěn)現(xiàn)象圖4-10承載的和不承載的細(xì)長桿結(jié)構(gòu)產(chǎn)品中的壓桿穩(wěn)定問題實(shí)例工作平臺下的細(xì)高立柱設(shè)備托架18二、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的方法有幾種，其中折減系數(shù)法使用簡便、也易于理解。1.長度系數(shù)μ、慣性半徑i和柔度λ⑴長度系數(shù)（又稱端支系數(shù)或支承系數(shù)）

μ與相當(dāng)長度μl

細(xì)長度相同的壓桿，支座不同，則發(fā)生失穩(wěn)傾向的程度亦不同。長度系數(shù)μ：

反映支承情況對壓桿穩(wěn)定性影響的參量。

相當(dāng)長度：長度系數(shù)μ與壓桿自然長度l的乘積μl。

表4-2常見壓桿的長度系數(shù)（略）表列4種情況中，兩端固定時μ＝0.5，最不易發(fā)生壓桿失穩(wěn)；

一端固定、一端自由時，μ＝2，最容易發(fā)生壓桿失穩(wěn)。

二、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的方法19二、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法⑵橫截面的慣性半徑i

壓桿失穩(wěn)當(dāng)然與橫截面的尺寸形狀有關(guān)，據(jù)此定義：（4-4）橫截面的慣性半徑

式中A為壓桿橫截面的面積，I為壓桿橫截面的慣性矩。除圓、圓管截面外，其他形狀的截面，在不同方向上的慣性半徑是不同的。對中性軸x、y的慣性半徑分別記為ix和iy。

工字鋼、槽鋼、角鋼、槽鋁、角鋁等型材的慣性半徑，在手冊中可以查到。表4-3幾種常用截面的慣性半徑（略）

局部桿長中截面的削弱（如開槽、缺口、螺紋等）對壓桿穩(wěn)定的影響不大。二、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法⑵橫截面的慣性半徑i壓桿失穩(wěn)20⑶壓桿的柔度λ（又稱細(xì)長比）

（4-5）柔度λ綜合反映長度、端支情況、橫截面特性等因素，是壓桿的重要性能指標(biāo)。壓桿的柔度λ越大，越容易失穩(wěn)；即柔度λ越大，引起失穩(wěn)的壓力越小。2.壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法思路采用橫截面應(yīng)力作為壓桿失穩(wěn)的參數(shù)，但把軸向壓縮的許用應(yīng)力[σ]

“打上一個折扣”，來作為壓桿穩(wěn)定的許用應(yīng)力[σW]；

這個小于1的折扣數(shù)，就叫做折減系數(shù)，用字母“φ”表示。壓桿越細(xì)長，即柔度λ越大，折減系數(shù)φ越小。（4-6）式中[σW]為壓桿穩(wěn)定的許用應(yīng)力[σ]為同一材料的軸向許用壓應(yīng)力壓桿穩(wěn)定條件表達(dá)式（4-7）式中P為細(xì)長桿所受的軸向壓力，

A為細(xì)長桿橫截面的毛面積。⑶壓桿的柔度λ（又稱細(xì)長比）（4-5）柔度λ綜合反映21表4-4壓桿的折減系數(shù)（略）圖4-12例4-6圖例4-6家具Q235鋼管許用壓應(yīng)力[σ]＝120MPa，

斜支撐桿長l＝1.2m，外徑D＝20mm，內(nèi)徑d＝18mm，

可視為兩端鉸支，確定最大軸向壓力P。解⑴支柱柔度λ

由表4-2查得長度系數(shù)μ＝1，慣性半徑柔度從表4-4查出此Q235鋼立柱的折減系數(shù)φ≈0.223。⑵計(jì)算允許的最大軸向壓力P

立柱的橫截面面積由式（4-7）﹝一點(diǎn)評論﹞

這根細(xì)長立柱折減系數(shù)φ＝0.223表明，

由于細(xì)長，其承壓能力降到了同等截面短圓管的22%左右。壓桿柔度λ與折減系數(shù)φ的關(guān)系，可在手冊中查取。表4-4壓桿的折減系數(shù)（略）圖4-12例4-6圖22圖4-13例4-7圖

例4-7仿古“吊腳樓”臨崖樓閣兩根木柱支撐；木柱下端混凝土固結(jié)，上端淺嵌于樓閣底板。木柱l＝5.25m，直徑d＝140mm，[σ]＝10MPa，樓閣對每根木柱壓重F1＝40kN，問：再加壓10名體重800N的游客，是否安全？解⑴每根木柱可能受到的最大壓力F

樓閣的壓重加10名游客的體重F＝F1＋（800N×10）＝40000N＋8000N＝48000N。⑵木柱穩(wěn)定性允許的軸向壓力P下端固定，上端“淺嵌于樓板”可視為鉸支，由表4-2知其長度系數(shù)μ＝0.7；木柱的慣性半徑i＝（d/4）＝（140/4）×10-3m＝35×10-3m；

由此得到木柱的柔度由表4-4查得木柱的折減系數(shù)φ＝0.274，木柱的橫截面面積木柱穩(wěn)定性允許的壓力P＝φ[σ]A＝0.274×10×106×0.0154＝42200N。⑶安全性結(jié)論：∵F＞P，木柱不符合壓桿穩(wěn)定要求?！芭R崖樓閣”部分對游客是不安全的，應(yīng)采取加粗木柱等措施予以改進(jìn)。圖4-13例4-7圖例4-7仿古“吊腳樓”23三、提高壓桿穩(wěn)定性和桿件彎曲剛度的措施

壓桿失穩(wěn)的本質(zhì)是剛度，即彎曲變形問題。因此，提高壓桿穩(wěn)定性，與

提高桿件彎曲剛度的措施基本一致。差別僅在于：前者受軸向力，后者受橫

向力。合理安置橫向載荷的位置，能減小梁的彎曲變形；對柱沒有意義。1.選擇合理的截面形狀，提高截面的慣性矩I慣性矩I大，彎曲變形小，彎曲剛度就高，壓桿穩(wěn)定性也高。圖4-14截面

慣性矩對彎曲

剛度和壓桿穩(wěn)

定性的影響

材料多分布在離中性軸距離大的位置，是提高截面慣性矩的基本方法。空心方管、圓管優(yōu)于實(shí)心棒材。工字鋼、槽鋼等種型材，一般具有較高的彎曲剛度和壓桿穩(wěn)定性。圖4-14e形狀截面的Iy≈Iz，從防止壓桿失穩(wěn)來說才更為合理。三、提高壓桿穩(wěn)定性和桿件彎曲剛度的措施壓桿失242.改善支座情況

⑴對桿件彎曲剛度和壓桿穩(wěn)定性，固定端最佳，鉸支座次之，自由端最差。⑵如可能，應(yīng)增加支座數(shù)量，縮短支座間距離（對梁而言，即縮短跨度）。圖4-15增加支座，提高彎曲剛度和壓桿穩(wěn)定性例如：均布載荷簡支梁的跨中增加一個鉸支座，最大撓度可降至原來的1/16！2.改善支座情況⑴對桿件彎曲剛度和壓桿穩(wěn)定性，固定端最佳253.材料的合理利用影響剛度和壓桿穩(wěn)定的是彈性模量E，與強(qiáng)度參量（屈服點(diǎn)或強(qiáng)度極限）沒關(guān)系。優(yōu)質(zhì)合金鋼強(qiáng)度比普通鋼材高很多，但兩者彈性模量相差無幾；所以，為提高剛度或穩(wěn)定而采用價格昂貴的優(yōu)質(zhì)合金鋼，是不合理的。又如尼龍與鋼材強(qiáng)度相差不過幾倍，但彈性模量卻相差幾十以至上百倍，可見尼龍制作有強(qiáng)度要求的構(gòu)件，能發(fā)揮重量輕、耐腐蝕等優(yōu)點(diǎn)；但制作剛度或壓桿穩(wěn)定性高的構(gòu)件，就不合適。4.合理安置載荷對于梁，如果可能，將載荷分散安置和盡量讓載荷靠近支座。柱子的載荷總是軸向的，讓載荷減少對截面形心的偏心量，能提高壓桿穩(wěn)定性。3.材料的合理利用影響剛度和壓桿穩(wěn)定的是彈性模26第三節(jié)動載荷與動應(yīng)力

一、動載荷的概念與常見類型靜載荷→靜應(yīng)力；動載荷→動荷應(yīng)力（簡稱動應(yīng)力）。

1.動載荷及其對設(shè)計(jì)的影響

在前面的例題里，人的體重曾經(jīng)設(shè)定為1200N（約120kgf），你是否對此感到困惑？一般人哪有這么重??！但是……2.動載荷的常見類型

圖4-16慣性力動載的實(shí)例

⑴慣性力

鋼絲繩在加速度中吊升重物砂輪、渦輪葉片等高速旋轉(zhuǎn)的構(gòu)件，離心力導(dǎo)致材料顆粒間產(chǎn)生的應(yīng)力…⑵沖擊載荷

落錘打樁、提升重物中鋼絲繩突然卡住、傳動軸突然制動、

跳水運(yùn)動員蹬板一跳、汽車撞上欄桿、重物從高處跌落到梁上、

突發(fā)陣風(fēng)吹向廣告牌、人猛然往鋼管椅上一坐、……

第三節(jié)動載荷與動應(yīng)力一、動載荷的概念與常見類型靜載荷→27二、動載荷問題的一般計(jì)算方法1.動載荷與動應(yīng)力的一般計(jì)算方法動載荷問題，常用與同類靜載荷比照的方法進(jìn)行計(jì)算。思路：將動應(yīng)力σd與相應(yīng)的靜載應(yīng)力σ對比，比值稱為動荷系數(shù)Kd，即（4-8）或σd＝Kdσ

（4-9）由于σd＞σ，所以動荷系數(shù)Kd＞1。求出動應(yīng)力σd，動載荷的強(qiáng)度問題即可沿用靜載的方法進(jìn)行。動載荷下的強(qiáng)度條件

σd＝Kdσ≤[σ]（4-10）或（4-11）這樣，動載荷強(qiáng)度計(jì)算問題的關(guān)鍵，是如何獲得該問題的動荷系數(shù)Kd。二、動載荷問題的一般計(jì)算方法1.動載荷與動應(yīng)力的一般計(jì)算方282.動荷系數(shù)Kd

動載荷情況千差萬別，動荷系數(shù)Kd常需具體分析或?qū)崪y才能求得。汽車撞欄桿了，……情況千差萬別，怎能一概而論？……但有幾種典型、常見的動荷系數(shù)Kd很有實(shí)用價值，應(yīng)用也簡便，介紹如下。⑴等加速運(yùn)動慣性力的動荷系數(shù)

（4-12）式中a為構(gòu)件運(yùn)動的加速度，單位m/s2，方向與重力加速度相反時取正值；

g為重力加速度，g＝9.8m/s2。⑵自由落體沖擊力的動荷系數(shù)

重量W的重物自由落體所產(chǎn)生沖擊力的動荷系數(shù)：（4-13）式中h為重物自由落體的高度，δj為重物W在同一作用點(diǎn)以靜載荷加在構(gòu)件上所引起的變形量。2.動荷系數(shù)Kd動載荷情況千差萬別，動荷系數(shù)Kd常需具體29⑶突加載荷的動荷系數(shù)

重物自由落體的高度h＝0，即為突加載荷。將h＝0代入式（4-13）得到Kd＝2（4-14）突加載荷的動荷系數(shù)簡單又好記，在實(shí)用上很有價值，因?yàn)橥患虞d荷很常見。例如起重機(jī)向載重汽車上卸物，重物基本放到車板上了，起重機(jī)立即松鉤，汽車的受力是重物靜載作用的兩倍。又所謂“人猛然坐到鋼管椅上去”，也屬于突加載荷，其力學(xué)效應(yīng)是人靜坐在椅子上的兩倍。以上3公式的適用條件是：構(gòu)件內(nèi)的最大動應(yīng)力不超過材料的彈性極限。⑶突加載荷的動荷系數(shù)重物自由落體的高度h＝0，即為突加載荷30圖4-16例4-8圖例4-8起重機(jī)吊重W＝2.5kN，提升中有加速度a＝2m/s2，鋼絲繩橫截面積A＝28mm2，鋼絲材料[σ]＝140MPa，校核鋼絲繩的強(qiáng)度。解等加速度慣性力動荷系數(shù)為：由式（4-14）計(jì)算動應(yīng)力對比結(jié)果：σd＜[σ]，所以鋼絲繩滿足題述的動載強(qiáng)度要求。圖4-16例4-8圖例4-8起重機(jī)31圖4-17例4-9圖例4-9鋼貨架兩側(cè)橫檔

視為簡支梁，跨度l＝1.2m，

截面見圖，[σ]＝160MPa。

擱物時是突加載荷，求在跨

中擱物的最大重量G。解⑴突加載荷

動荷系數(shù)Kd＝2，兩橫檔的動載荷P雙為P雙＝KdG＝2G

單根橫檔所受的動載荷P單

P單＝P雙/2＝G（1）⑵簡支梁跨中受動載荷P單時，橫檔內(nèi)的最大彎矩（2）相應(yīng)的最大動應(yīng)力及強(qiáng)度條件為（3）橫檔橫截面的抗彎截面模量（習(xí)題3-23的解答）Wz＝0.95×10-6m3（4）將式（1）、（2）、（4）代入（3）可得因此得到圖4-17例4-9圖例4-9鋼貨架兩32第四節(jié)應(yīng)力集中現(xiàn)象和裂紋問題一、應(yīng)力集中現(xiàn)象

你的拖鞋從何處開裂損壞？——應(yīng)力集中！

皮腰帶、晾衣架呢？

——應(yīng)力集中！

攝像機(jī)的手帶？

產(chǎn)品的開裂損壞，常出現(xiàn)于材料厚薄突變的交界處，以及結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)折、尖角等部位。應(yīng)力集中截面的形狀、尺寸突變處的小范圍內(nèi)，應(yīng)力值急劇增加，而在離此稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力值即大為降低，并趨于均勻分布的現(xiàn)象。

圖4-18應(yīng)力集中致?lián)p的實(shí)例第四節(jié)應(yīng)力集中現(xiàn)象和裂紋問題一、應(yīng)力集中現(xiàn)象你的拖鞋從33圖4-19應(yīng)力集中的概念軸向拉伸的板上有個小孔，小孔邊緣及附近小范圍內(nèi)，應(yīng)力大大高于平均值。離小孔稍遠(yuǎn)，應(yīng)力趨于平緩。有一圈淺槽的軸，與此類似。2.理論應(yīng)力集中系數(shù)α

應(yīng)力集中的局部最大應(yīng)力σmax與該處的平均應(yīng)力σm之比。（4-15）

小孔、淺槽、螺紋、臺階等結(jié)構(gòu)要素，其應(yīng)力理論集中系數(shù)在手冊中可以

查到。圖4-19a）結(jié)構(gòu)，理論集中應(yīng)力系數(shù)α≈3。實(shí)際結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力集中程度，不同程度地小于理論應(yīng)力集中系數(shù)。理論集中應(yīng)力系數(shù)α有重要參考價值。圖4-19應(yīng)力集中的概念軸向拉伸的板上有343.應(yīng)力集中的危害和消除方法

圖4-19靜載下，

塑性材料對應(yīng)力集中的緩解對塑性材料靜載下，局部應(yīng)力達(dá)到σS后，就不再繼續(xù)攀升，因此對強(qiáng)度沒有明顯影響。值得注意：不少情況下并非靜載，應(yīng)力集中問題仍不可忽視。對脆性材料應(yīng)力集中的局部應(yīng)力會持續(xù)上升，使構(gòu)件高應(yīng)力區(qū)在局部首先開裂，繼而導(dǎo)致整個構(gòu)件的破壞。應(yīng)力集中是大敵。

（注：鑄鐵雖是脆性材料，但材料內(nèi)部不均勻等因素，能使應(yīng)力集中得到緩解。）3.應(yīng)力集中的危害和消除方法圖4-19靜載下，

塑性35圖4-21減輕應(yīng)力集中的方法

減輕應(yīng)力集中的基本方法：

是使構(gòu)件截面尺寸的變化盡可能地平緩。

看看圖中的例子吧：

a）臺階軸→圓角過渡

b）有孔→兩側(cè)加“卸載孔”

c）軸和輪轂壓緊配合，減小剛度差別→開“卸載槽”

d）軸上有槽→槽底改圓弧

那么，圖4-18中拖鞋和攝

象機(jī)手帶容易損壞的問題，

該怎樣改進(jìn)設(shè)計(jì)呢？

圖4-21減輕應(yīng)力集中的方法減輕應(yīng)力集中的基本方法：

36二、裂紋的危害和利用1.裂紋的危害和防范如果材料的缺陷是縫隙、且其底部存在著銳利的尖角，稱為裂紋。裂紋是截面形狀尺寸急劇變化的極端形式，會造成很高的應(yīng)力集中。外載不大，裂紋尖端即出現(xiàn)很高的應(yīng)力值，可能導(dǎo)致嚴(yán)重的斷裂破壞。裂紋所致破壞的兩個特點(diǎn)：①“低應(yīng)力”，②“突發(fā)性”?！獞?yīng)予警惕！人類工程史上留下了驚心動魄的黑色記錄……

二、裂紋的危害和利用1.裂紋的危害和防范如果材料的缺陷是縫37裂紋對結(jié)構(gòu)破壞的影響1943-1947年，美國近500艘全焊船中發(fā)生了1000多起脆性破壞，其中238艘完全報(bào)廢，有的甚至斷成兩截。為了分析原因，從100多個損壞處割下試件進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)論是：事故總是在有焊接缺陷等的應(yīng)力集中處產(chǎn)生；當(dāng)氣溫降到-3℃和水溫降到4℃時斷裂容易發(fā)生；破壞處的沖擊韌性ak值低于未破壞處的ak值。1947年蘇聯(lián)4500立方米的大型石油儲罐底部和下部的殼連接處，在氣溫降到-43℃時形成大量裂紋，造成儲罐的破壞。事后的分析認(rèn)為：在焊接處，存在由焊裂、焊瘤、未焊透引起的各種應(yīng)力集中；在溫度降低時，儲罐材料CT3鋼的塑性明顯下降；由于焊接和罐的內(nèi)外溫差，造成較高的內(nèi)應(yīng)力。裂紋對結(jié)構(gòu)破壞的影響1943-1947年，美國近500艘全焊38裂紋對結(jié)構(gòu)破壞的影響20世紀(jì)50年代初，美國北極星導(dǎo)彈固體燃料發(fā)動機(jī)殼體在試驗(yàn)時發(fā)生爆炸，材料用屈服限為1372MPa的高強(qiáng)度合金，傳統(tǒng)的強(qiáng)度和韌性指標(biāo)全部合格，而且爆炸時的工作應(yīng)力遠(yuǎn)低于材料的許用應(yīng)力。事后多方面研究認(rèn)為：破壞是由宏觀裂紋（深度為0.1-1mm）引起的，裂紋源可能是焊裂、咬邊、雜質(zhì)和晶界開裂等。1969年美國F111飛機(jī)在執(zhí)行飛行訓(xùn)練途中，做投彈恢復(fù)動作時，左翼脫落，導(dǎo)致飛機(jī)墜毀。當(dāng)時的飛行速度、總質(zhì)量和過載等指標(biāo)遠(yuǎn)低于設(shè)計(jì)指標(biāo)，原因是制造時熱處理不當(dāng)，機(jī)翼樞軸出現(xiàn)缺陷，漏檢后經(jīng)疲勞載荷作用，裂紋繼續(xù)擴(kuò)展，最后造成低應(yīng)力破壞。裂紋對結(jié)構(gòu)破壞的影響20世紀(jì)50年代初，美國北極星導(dǎo)彈固體燃39裂紋事故——斷裂力學(xué)防范裂紋事故的方法材料方面：提高材料的韌性，采用具有止裂特性的材料，如多層板、帶有多方向增強(qiáng)纖維的復(fù)合材料。設(shè)計(jì)和工藝方面：正確確定構(gòu)件形狀，嚴(yán)格控制焊接、澆鑄、鍛造、沖壓、彎邊彎角等加工工藝。

止裂實(shí)例兩則

①大型氣輪機(jī)主軸，檢查出了小裂紋，……

②鄉(xiāng)間鼓樂隊(duì)里的銅鑼有了小的裂紋，……裂紋事故——斷裂力學(xué)止裂實(shí)例兩則①大402.裂紋的利用

圖4-22裂紋利用舉例逆向思維：可怕的事物→神奇的功能裁又硬又脆玻璃、瓷磚——一劃一嗑就斷易拉罐、食油罐、食品袋——一拉就開

切割石料、沖斷厚鋼板、應(yīng)力斷料機(jī)、……

豬棒骨又硬又結(jié)實(shí)，怎樣輕巧地弄斷它？

2.裂紋的利用圖4-22裂紋利用舉例逆向思維41第五節(jié)交變應(yīng)力與疲勞強(qiáng)度簡介一、交變應(yīng)力的概念與類型1.交變應(yīng)力的實(shí)例與概念圖4-23交變應(yīng)力與σ—t曲線薄鐵條（或鐵絲等）反復(fù)彎折中，其

中任一點(diǎn)的材料，經(jīng)歷受拉→受壓→受拉

→受壓→…的過程，即受力經(jīng)歷正→負(fù)→

正→負(fù)→…的變化。以時間t為橫坐標(biāo)，彎曲正應(yīng)力σ為縱坐標(biāo)，可畫出應(yīng)力隨時間

變化的“σ—t”曲線。材料承受隨時間作周期性變化的應(yīng)力，稱為交變應(yīng)力。圖4-24輪齒的交變應(yīng)力及σ—t曲線其他實(shí)例工作中齒輪上某點(diǎn)(如A）處的應(yīng)力塑料拖鞋鞋幫鞋底交接點(diǎn)等處鋼管椅、鍵盤、橋梁、汽車底盤、攪拌機(jī)的槳和軸、發(fā)動機(jī)曲軸、

單雙杠、……第五節(jié)交變應(yīng)力與疲勞強(qiáng)度簡介一、交變應(yīng)力的概念與類型1.422.循環(huán)特性和交變應(yīng)力的類型

⑴交變應(yīng)力的循環(huán)特性r

圖4-25應(yīng)力循環(huán)中的參量應(yīng)力循環(huán)：交變應(yīng)力中，應(yīng)力每重復(fù)變化一次循環(huán)次數(shù)：重復(fù)變化的次數(shù)最大應(yīng)力σmax最小應(yīng)力σmin

平均應(yīng)力循環(huán)特性

σmax和σmin取代數(shù)值，拉應(yīng)力為正，壓為負(fù)。⑵交變應(yīng)力的類型有三種類型①對稱循環(huán)

σmin＝－σmax，即循環(huán)特性r＝－1（圖4-23）②脈動循環(huán)

，即循環(huán)特性r＝0（圖4-24）

③非對稱循環(huán)平均應(yīng)力σm≠0、且r≠02.循環(huán)特性和交變應(yīng)力的類型⑴交變應(yīng)力的循環(huán)特性r圖443③非對稱循環(huán)平均應(yīng)力σm≠0、且r≠0圖4-26非對稱循環(huán)交變應(yīng)力的實(shí)例非對稱循環(huán)交變應(yīng)力實(shí)例如下圖，汽車車身下的疊板彈簧。傳動軸、齒輪的受力情況可以看成是應(yīng)力連續(xù)、均勻、穩(wěn)定變化的過程；鋼管椅、鍵盤下的彈簧、拖鞋等非連續(xù)、均勻、穩(wěn)定的受力，可以把每一次受力看成一個應(yīng)力循環(huán)，可作為交變應(yīng)力問題處理。上述概念適用于構(gòu)件的交變切應(yīng)力τ。③非對稱循環(huán)平均應(yīng)力σm≠0、且r≠0圖4-2644二、疲勞破壞問題簡介1.疲勞破壞的特點(diǎn)——“低應(yīng)力脆斷”

分開說是三個特點(diǎn)疲勞破壞構(gòu)件在交變應(yīng)力作用下發(fā)生的破壞。圖4-27疲勞破壞斷口的形態(tài)

①應(yīng)力低于（甚至低很多）強(qiáng)度極限σb時，就發(fā)生斷裂破壞。應(yīng)力集中在其中影響顯著。②塑性材料構(gòu)件也在無明顯塑性變形的情況下，突然發(fā)生脆性斷裂。斷裂前不易察覺征兆，具有突發(fā)性，危險(xiǎn)性大。③斷口形態(tài)獨(dú)特：存在著“光滑區(qū)”、顆粒狀的

“粗糙區(qū)”、“貝殼紋”和“裂紋源”。2.疲勞破壞發(fā)生的過程“疲勞”云云，歷史的誤解！——但“疲勞破壞”這個名詞一直沿用至今。實(shí)際過程為：應(yīng)力集中→促生裂紋源→裂紋擴(kuò)展→突然脆斷。

二、疲勞破壞問題簡介1.疲勞破壞的特點(diǎn)——“低應(yīng)力脆斷”

45三、持久極限與疲勞強(qiáng)度

1.材料的持久極限σ－1

材料的持久極限指在交變應(yīng)力作用下，能承受極多次應(yīng)力循環(huán)而不破壞的最大應(yīng)力值，也稱為疲勞極限。（“極多次”，通常指107（一千萬）次以上。）符號“σ－1”用下標(biāo)“—1”，是因測定試驗(yàn)是在對稱循環(huán)、即r＝－1的交變應(yīng)力下進(jìn)行的。試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：鋼材的疲勞強(qiáng)度一般只有靜載強(qiáng)度的四分之一左右或更低。2.構(gòu)件的持久極限（σ－1）構(gòu)材料的持久極限，用特定的“光滑小試件”試驗(yàn)測定；這種試件有三個特點(diǎn)：

①尺寸小，②表面光滑無缺陷，③試件外形不會引起應(yīng)力集中。三、持久極限與疲勞強(qiáng)度1.材料的持久極限σ－146實(shí)際構(gòu)件常不具備三個特點(diǎn)，因此構(gòu)件的持久極限常低于“材料的持久極限”。為此定義以下三個修正系數(shù)：（三個系數(shù)的數(shù)值，在手冊里能夠查到）

①尺寸系數(shù)εσ，②表面質(zhì)量系數(shù)β，③有效應(yīng)力集中系數(shù)Kσ。于是，可以根據(jù)材料的持久極限由下式算得構(gòu)件的持久極限：（4-16）3.疲勞強(qiáng)度計(jì)算的思路（σ－1）構(gòu)除以安全系數(shù)得到構(gòu)件的疲勞許用應(yīng)力[σ－1]構(gòu)。疲勞強(qiáng)度條件為：交變應(yīng)力中的最大應(yīng)力σmax小于構(gòu)件的疲勞許用應(yīng)力[σ－1]構(gòu)：σ

max≤[σ－1]構(gòu)

（4-17）可見，提高構(gòu)件疲勞強(qiáng)度的方法主要是：減輕構(gòu)件外形引起的應(yīng)力集中，和提高構(gòu)件的表面質(zhì)量。實(shí)際構(gòu)件常不具備三個特點(diǎn)，因此構(gòu)件的持久極限常47第四章構(gòu)件的剛度、壓桿穩(wěn)定和動載荷問題1.構(gòu)件的變形與剛度2.壓桿的穩(wěn)定性3.動載荷與動應(yīng)力4.應(yīng)力集中現(xiàn)象和裂紋問題5.交變應(yīng)力和疲勞強(qiáng)度第四章構(gòu)件的剛度、壓桿穩(wěn)定和動載荷問題1.構(gòu)件的變形與剛度48第一節(jié)構(gòu)件的變形與剛度

一、軸向拉壓桿的變形計(jì)算

對軸向拉壓變形的參量規(guī)定伸長變形量Δl為正，縮短變形量Δl為負(fù)。若橫截面面積A和軸力N都是常量，則Δl＝Nl/EA。若A和N是沿桿件軸線的變量：

（4-1）圖4-1例4-1圖例4-1木柱直徑d＝150mm，已知P1＝20kN，P2＝30kN，

l＝2m，木材彈性模量E＝10GPa，求木柱的總變形量Δl。解木柱上、下段軸力不同，應(yīng)分段計(jì)算后求和⑴求軸力上段（AB）N1＝－P1＝－20kN＝－20×103N（壓縮）下段（BC）N2＝－P1－P2＝－50kN＝－50×103N（壓縮）第一節(jié)構(gòu)件的變形與剛度一、軸向拉壓桿的變形計(jì)算對軸向49⑵求變形量Δl

木柱橫截面積上段木柱變形量下段木柱變形量木柱總變形量Δl＝Δl1＋Δl2＝－0.8mm。

[一點(diǎn)評論]

本題引用的基本數(shù)據(jù)（順紋木材的彈性模量E＝10GPa）

是符合實(shí)際的。本題計(jì)算結(jié)果是：一根4m長的木柱，受幾噸重壓著，縮短量還不到1毫米。相對壓縮量僅為原長的1/5000左右。可見，通常軸向拉壓引起的伸長、縮短量是很微小的。金屬材料的彈性模量比木材大得多，例如鋼材的彈性模量約為木材的20倍，因此金屬構(gòu)件在軸向拉壓下發(fā)生的伸縮變形量更加微小。因此，軸向拉壓變形問題在產(chǎn)品設(shè)計(jì)中通常不很突出。

⑵求變形量Δl木柱橫截面積上段木柱變形量下段木柱變形量50圖3-6例3-2圖

例4-2例3-2的結(jié)構(gòu)中，設(shè)AB、DC均為長度l＝1.5m的尼龍桿，E＝1.6GPa，計(jì)算B、C兩點(diǎn)的高度差δ。解例3-2已求出兩桿的軸力和橫截面積：

AB

N1＝8.5×103N，A1＝707×10－6m2；

DC

N2＝4.5×103N，A2＝100×10－6m2。

AB桿的伸長量Δl1和DC桿的伸長量Δl2為

B、C兩點(diǎn)的高度差δ＝Δl2－Δl1＝（42.2－11.3）mm＝30.9mm。[一點(diǎn)評論]計(jì)算結(jié)果高度差為30.9mm，約為女生兩個手指并攏的寬

度，頗為可觀。這是因?yàn)槟猃埖膹椥阅Ａ亢苄?。變形量與彈性模量成反比

例關(guān)系。若兩桿采用同樣粗細(xì)的鋼桿，其彈性模量E＝210GPa，由于鋼的

彈性模量約為尼龍的（210/1.6≈）130倍，則引起的高度差也要降低到原

來的約1/130，即只有0.24mm左右，這就是個很小的數(shù)字了。圖3-6例3-2圖例4-2例3-2的結(jié)51二、圓軸扭轉(zhuǎn)的變形問題1.圓軸扭轉(zhuǎn)變形的計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)變形的參量，是圓軸橫截面間的相對轉(zhuǎn)動角，稱為扭轉(zhuǎn)角，用“

”表示。扭轉(zhuǎn)角

與扭矩T及軸長L成正比，與材料的剪切彈性模量G及橫截面的極慣性矩Iρ成反比，即（4-2）GIρ稱為圓軸的抗扭剛度,綜合反映材料性能、橫截面尺寸、形狀對圓軸扭

轉(zhuǎn)變形的抵抗能力。式（4-2）適用的條件：長度L的圓軸，Iρ是常量，軸段內(nèi)扭矩T也是常量。用式（4-2）計(jì)算所得扭轉(zhuǎn)角的單位是弧度（rad）。2.圓軸扭轉(zhuǎn)變形的影響機(jī)器傳動軸的過大扭轉(zhuǎn)變形，會影響傳動精度；啟動、停車、反轉(zhuǎn)中的

扭轉(zhuǎn)變形會影響產(chǎn)品正常工作，例如攪拌機(jī)的工作等。

但在生活日用品中，突出的扭轉(zhuǎn)變形問題不太多見。二、圓軸扭轉(zhuǎn)的變形問題1.圓軸扭轉(zhuǎn)變形的計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)變形52三、梁的彎曲變形計(jì)算1.梁的彎曲變形實(shí)例圖4-2彎曲變形有時很顯著

與拉壓和扭轉(zhuǎn)變形量通常較小不同，產(chǎn)品包括日用品中，?？赡墚a(chǎn)生較大的彎曲變形。彎曲變形可能較大，對產(chǎn)品的不良影響也明顯。齒輪軸

橋式起重機(jī)大梁

搖臂鉆床框架長鋁制窗簾桿

……

圖4-3彎曲變形的實(shí)例

三、梁的彎曲變形計(jì)算1.梁的彎曲變形實(shí)例圖4-2彎曲變53有弊必有利。彎曲變形又頗多可利用之處。彈性力矩扳手

車輛的鋼板彈簧

簧片電磁繼電器撐桿跳桿…

圖4-4利用彎曲變形的例子

2.度量彎曲變形的參量——撓度和轉(zhuǎn)角

圖4-5撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角

撓曲線（彈性曲線）

受力變形后的梁軸線⑴撓度橫截面形心C在垂直x軸方向的線位移yC。

位移與y軸正方向一致，撓度為正；反之為負(fù)。⑵轉(zhuǎn)角橫截面C繞中性軸轉(zhuǎn)過的角位移θC。

角位移與右手坐標(biāo)系中從x軸逆時針轉(zhuǎn)到撓曲線的切線形成的轉(zhuǎn)角為正的；反之，為負(fù)的。

有弊必有利。彎曲變形又頗多可利用之處。彈性力矩扳手車輛的54撓曲線方程

以梁端點(diǎn)為原點(diǎn)，變形前軸線為x軸，表示撓度y的方程。⑴查表法

（4-3）3.彎曲變形計(jì)算的查表法和疊加法

基本形式梁受典型載荷的單獨(dú)作用，變形計(jì)算式已列表載于手冊中，把具體問題的參數(shù)代入即可得出結(jié)果。表4-1梁在簡單載荷作用下的變形表4-1中有三個欄目，簡單說明如下：①撓曲線方程由該欄可以算出任一截面所產(chǎn)生的撓度值。②端截面轉(zhuǎn)角端截面轉(zhuǎn)角通常是梁變形中的最大轉(zhuǎn)角。③最大撓度

梁的彎曲變形分析所關(guān)注的數(shù)據(jù)。撓曲線方程以梁端點(diǎn)為原點(diǎn)，變形前軸線為x軸，表示撓度y55梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度表4-1梁在簡單載荷作用下的變形梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度表4-1梁在簡單載荷作用下的56梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度57梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度58梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度梁的簡圖撓曲線方程轉(zhuǎn)角和撓度59表4-1中有三個欄目，簡單說明如下：①撓曲線方程由該欄可以算出任一截面所產(chǎn)生的撓度值。②端截面轉(zhuǎn)角端截面轉(zhuǎn)角通常是梁變形中的最大轉(zhuǎn)角。③最大撓度

梁的彎曲變形分析所關(guān)注的數(shù)據(jù)。⑵疊加法

實(shí)際問題中，梁可能受所謂“復(fù)雜載荷”、即幾種簡單載荷的共同作用。若梁內(nèi)的最大應(yīng)力不超過材料比例極限，仍可用查表法分別求得各簡單載荷所引起的變形，然后簡單疊加，其代數(shù)和就是復(fù)雜載荷作用下的彎曲變形值。表4-1中有三個欄目，簡單說明如下：①撓曲線方程由該60例4-3簡支梁在跨中C點(diǎn)受集中力P作用，求兩端點(diǎn)A、B處的轉(zhuǎn)角θA、θB和C、D兩截面的撓度yC、yD。（本例題及例4-4的目的是練習(xí)查表法及疊加法，梁的參量如l、EI等數(shù)據(jù)未列出，以省略純粹的數(shù)字運(yùn)算。）圖4-6例4-3圖

解：用查表法解這個例題。⑴A、B兩截面的轉(zhuǎn)角可從表4-1的序號⑦一欄查出：⑵跨中C截面的撓度正是此梁的最大撓度，也可直接查得:⑶將D點(diǎn)的坐標(biāo)x＝l/4代入該欄的撓曲線方程，可得到D點(diǎn)的撓度yD：例4-3簡支梁在跨中C點(diǎn)受集中力P作用，求兩端61例4-4簡支梁受力情況如圖，求A截面的轉(zhuǎn)角θA和跨中C截面的撓度yC。

圖4-7例4-4圖

解：用疊加法解這個例題。圖4-7b、c兩種情況的變形量可從表4-1中的第⑦欄和第⑨欄查出：

疊加后得到本題解答（在梁內(nèi)最大應(yīng)力不超過材料比例極限的條件下）例4-4簡支梁受力情況如圖，求A截面的轉(zhuǎn)角θA和跨中C62例4-5“軟著陸游戲”平臺跳板可視為懸臂梁，尼龍材質(zhì)彈性模量E＝1.6GPa，懸跨長度2500mm，跳板寬度600mm。要求游戲者的蹬跳力F＝1600N時跳板前端下?lián)?00mm。確定跳板厚度h。圖4-8

例4-5圖

解⑴懸臂梁端受集中力的撓度問題，用表4-1第②欄；參數(shù)對照關(guān)系為：集中力F＝1600N，懸跨長度l＝2.5m，材料彈性模量E＝1.6GPa，

梁端撓度yB＝－400mm，跳板矩形截面寬b＝0.6m，待求高度h，梁的慣性矩為I＝bh3/12。⑵由表4-1的公式可得于是有可見此尼龍?zhí)迦『穸萮＝64mm可滿足設(shè)計(jì)要求。例4-5“軟著陸游戲”平臺跳板可視63第二節(jié)壓桿的穩(wěn)定性一、壓桿穩(wěn)定的實(shí)例和概念“立柱頂千斤”的合理解釋，及限制條件：立柱不能太細(xì)長。例如：橫截面積20mm×5mm，高30mm的小木塊，能“抗住”約400kgf的壓力。高度增加到500mm，壓力加到約30N（僅及原來的1/13～1/14），木條子會突然在扁窄方向被壓彎，進(jìn)而折斷。圖4-9細(xì)長桿受壓“失穩(wěn)”

壓桿失去穩(wěn)定性，簡稱壓桿失穩(wěn)：細(xì)長桿受壓突然彎曲、繼而破壞的現(xiàn)象。仰望恒山懸空寺

設(shè)計(jì)鋼橋結(jié)構(gòu)時，用較為細(xì)長的受壓弦桿，按軸向拉壓強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算校核。未諳壓桿竟失穩(wěn)橋塌命喪嘆百年！

或問：支撐千年懸空寺的，不是又細(xì)又高的立柱嗎？答曰：上當(dāng)啦！那是不起作用的“擺設(shè)”，讓人看著放心。

是橫插在山崖石壁里的一根根“懸臂梁”，緊貼在

懸空寺底部，才把懸空寺支托了千年。第二節(jié)壓桿的穩(wěn)定性一、壓桿穩(wěn)定的實(shí)例和概念“立柱頂千斤”64結(jié)構(gòu)產(chǎn)品中的壓桿穩(wěn)定問題實(shí)例工作平臺下的細(xì)高立柱

設(shè)備托架的細(xì)長支撐桿

細(xì)長活塞桿、螺旋千斤頂、……

薄殼、薄板、薄拱等類構(gòu)件也會發(fā)生失穩(wěn)問題。a）薄壁圓環(huán)；b）過于窄而高的梁；c）薄拱。圖4-11薄壁構(gòu)件的失穩(wěn)現(xiàn)象圖4-10承載的和不承載的細(xì)長桿結(jié)構(gòu)產(chǎn)品中的壓桿穩(wěn)定問題實(shí)例工作平臺下的細(xì)高立柱設(shè)備托架65二、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的方法有幾種，其中折減系數(shù)法使用簡便、也易于理解。1.長度系數(shù)μ、慣性半徑i和柔度λ⑴長度系數(shù)（又稱端支系數(shù)或支承系數(shù)）

μ與相當(dāng)長度μl

細(xì)長度相同的壓桿，支座不同，則發(fā)生失穩(wěn)傾向的程度亦不同。長度系數(shù)μ：

反映支承情況對壓桿穩(wěn)定性影響的參量。

相當(dāng)長度：長度系數(shù)μ與壓桿自然長度l的乘積μl。

表4-2常見壓桿的長度系數(shù)（略）表列4種情況中，兩端固定時μ＝0.5，最不易發(fā)生壓桿失穩(wěn)；

一端固定、一端自由時，μ＝2，最容易發(fā)生壓桿失穩(wěn)。

二、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的方法66二、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法⑵橫截面的慣性半徑i

壓桿失穩(wěn)當(dāng)然與橫截面的尺寸形狀有關(guān)，據(jù)此定義：（4-4）橫截面的慣性半徑

式中A為壓桿橫截面的面積，I為壓桿橫截面的慣性矩。除圓、圓管截面外，其他形狀的截面，在不同方向上的慣性半徑是不同的。對中性軸x、y的慣性半徑分別記為ix和iy。

工字鋼、槽鋼、角鋼、槽鋁、角鋁等型材的慣性半徑，在手冊中可以查到。表4-3幾種常用截面的慣性半徑（略）

局部桿長中截面的削弱（如開槽、缺口、螺紋等）對壓桿穩(wěn)定的影響不大。二、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法⑵橫截面的慣性半徑i壓桿失穩(wěn)67⑶壓桿的柔度λ（又稱細(xì)長比）

（4-5）柔度λ綜合反映長度、端支情況、橫截面特性等因素，是壓桿的重要性能指標(biāo)。壓桿的柔度λ越大，越容易失穩(wěn)；即柔度λ越大，引起失穩(wěn)的壓力越小。2.壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的折減系數(shù)法思路采用橫截面應(yīng)力作為壓桿失穩(wěn)的參數(shù)，但把軸向壓縮的許用應(yīng)力[σ]

“打上一個折扣”，來作為壓桿穩(wěn)定的許用應(yīng)力[σW]；

這個小于1的折扣數(shù)，就叫做折減系數(shù)，用字母“φ”表示。壓桿越細(xì)長，即柔度λ越大，折減系數(shù)φ越小。（4-6）式中[σW]為壓桿穩(wěn)定的許用應(yīng)力[σ]為同一材料的軸向許用壓應(yīng)力壓桿穩(wěn)定條件表達(dá)式（4-7）式中P為細(xì)長桿所受的軸向壓力，

A為細(xì)長桿橫截面的毛面積。⑶壓桿的柔度λ（又稱細(xì)長比）（4-5）柔度λ綜合反映68表4-4壓桿的折減系數(shù)（略）圖4-12例4-6圖例4-6家具Q235鋼管許用壓應(yīng)力[σ]＝120MPa，

斜支撐桿長l＝1.2m，外徑D＝20mm，內(nèi)徑d＝18mm，

可視為兩端鉸支，確定最大軸向壓力P。解⑴支柱柔度λ

由表4-2查得長度系數(shù)μ＝1，慣性半徑柔度從表4-4查出此Q235鋼立柱的折減系數(shù)φ≈0.223。⑵計(jì)算允許的最大軸向壓力P

立柱的橫截面面積由式（4-7）﹝一點(diǎn)評論﹞

這根細(xì)長立柱折減系數(shù)φ＝0.223表明，

由于細(xì)長，其承壓能力降到了同等截面短圓管的22%左右。壓桿柔度λ與折減系數(shù)φ的關(guān)系，可在手冊中查取。表4-4壓桿的折減系數(shù)（略）圖4-12例4-6圖69圖4-13例4-7圖

例4-7仿古“吊腳樓”臨崖樓閣兩根木柱支撐；木柱下端混凝土固結(jié)，上端淺嵌于樓閣底板。木柱l＝5.25m，直徑d＝140mm，[σ]＝10MPa，樓閣對每根木柱壓重F1＝40kN，問：再加壓10名體重800N的游客，是否安全？解⑴每根木柱可能受到的最大壓力F

樓閣的壓重加10名游客的體重F＝F1＋（800N×10）＝40000N＋8000N＝48000N。⑵木柱穩(wěn)定性允許的軸向壓力P下端固定，上端“淺嵌于樓板”可視為鉸支，由表4-2知其長度系數(shù)μ＝0.7；木柱的慣性半徑i＝（d/4）＝（140/4）×10-3m＝35×10-3m；

由此得到木柱的柔度由表4-4查得木柱的折減系數(shù)φ＝0.274，木柱的橫截面面積木柱穩(wěn)定性允許的壓力P＝φ[σ]A＝0.274×10×106×0.0154＝42200N。⑶安全性結(jié)論：∵F＞P，木柱不符合壓桿穩(wěn)定要求?！芭R崖樓閣”部分對游客是不安全的，應(yīng)采取加粗木柱等措施予以改進(jìn)。圖4-13例4-7圖例4-7仿古“吊腳樓”70三、提高壓桿穩(wěn)定性和桿件彎曲剛度的措施

壓桿失穩(wěn)的本質(zhì)是剛度，即彎曲變形問題。因此，提高壓桿穩(wěn)定性，與

提高桿件彎曲剛度的措施基本一致。差別僅在于：前者受軸向力，后者受橫

向力。合理安置橫向載荷的位置，能減小梁的彎曲變形；對柱沒有意義。1.選擇合理的截面形狀，提高截面的慣性矩I慣性矩I大，彎曲變形小，彎曲剛度就高，壓桿穩(wěn)定性也高。圖4-14截面

慣性矩對彎曲

剛度和壓桿穩(wěn)

定性的影響

材料多分布在離中性軸距離大的位置，是提高截面慣性矩的基本方法?？招姆焦堋A管優(yōu)于實(shí)心棒材。工字鋼、槽鋼等種型材，一般具有較高的彎曲剛度和壓桿穩(wěn)定性。圖4-14e形狀截面的Iy≈Iz，從防止壓桿失穩(wěn)來說才更為合理。三、提高壓桿穩(wěn)定性和桿件彎曲剛度的措施壓桿失712.改善支座情況

⑴對桿件彎曲剛度和壓桿穩(wěn)定性，固定端最佳，鉸支座次之，自由端最差。⑵如可能，應(yīng)增加支座數(shù)量，縮短支座間距離（對梁而言，即縮短跨度）。圖4-15增加支座，提高彎曲剛度和壓桿穩(wěn)定性例如：均布載荷簡支梁的跨中增加一個鉸支座，最大撓度可降至原來的1/16！2.改善支座情況⑴對桿件彎曲剛度和壓桿穩(wěn)定性，固定端最佳723.材料的合理利用影響剛度和壓桿穩(wěn)定的是彈性模量E，與強(qiáng)度參量（屈服點(diǎn)或強(qiáng)度極限）沒關(guān)系。優(yōu)質(zhì)合金鋼強(qiáng)度比普通鋼材高很多，但兩者彈性模量相差無幾；所以，為提高剛度或穩(wěn)定而采用價格昂貴的優(yōu)質(zhì)合金鋼，是不合理的。又如尼龍與鋼材強(qiáng)度相差不過幾倍，但彈性模量卻相差幾十以至上百倍，可見尼龍制作有強(qiáng)度要求的構(gòu)件，能發(fā)揮重量輕、耐腐蝕等優(yōu)點(diǎn)；但制作剛度或壓桿穩(wěn)定性高的構(gòu)件，就不合適。4.合理安置載荷對于梁，如果可能，將載荷分散安置和盡量讓載荷靠近支座。柱子的載荷總是軸向的，讓載荷減少對截面形心的偏心量，能提高壓桿穩(wěn)定性。3.材料的合理利用影響剛度和壓桿穩(wěn)定的是彈性模73第三節(jié)動載荷與動應(yīng)力

一、動載荷的概念與常見類型靜載荷→靜應(yīng)力；動載荷→動荷應(yīng)力（簡稱動應(yīng)力）。

1.動載荷及其對設(shè)計(jì)的影響

在前面的例題里，人的體重曾經(jīng)設(shè)定為1200N（約120kgf），你是否對此感到困惑？一般人哪有這么重??！但是……2.動載荷的常見類型

圖4-16慣性力動載的實(shí)例

⑴慣性力

鋼絲繩在加速度中吊升重物砂輪、渦輪葉片等高速旋轉(zhuǎn)的構(gòu)件，離心力導(dǎo)致材料顆粒間產(chǎn)生的應(yīng)力…⑵沖擊載荷

落錘打樁、提升重物中鋼絲繩突然卡住、傳動軸突然制動、

跳水運(yùn)動員蹬板一跳、汽車撞上欄桿、重物從高處跌落到梁上、

突發(fā)陣風(fēng)吹向廣告牌、人猛然往鋼管椅上一坐、……

第三節(jié)動載荷與動應(yīng)力一、動載荷的概念與常見類型靜載荷→74二、動載荷問題的一般計(jì)算方法1.動載荷與動應(yīng)力的一般計(jì)算方法動載荷問題，常用與同類靜載荷比照的方法進(jìn)行計(jì)算。思路：將動應(yīng)力σd與相應(yīng)的靜載應(yīng)力σ對比，比值稱為動荷系數(shù)Kd，即（4-8）或σd＝Kdσ

（4-9）由于σd＞σ，所以動荷系數(shù)Kd＞1。求出動應(yīng)力σd，動載荷的強(qiáng)度問題即可沿用靜載的方法進(jìn)行。動載荷下的強(qiáng)度條件

σd＝Kdσ≤[σ]（4-10）或（4-11）這樣，動載荷強(qiáng)度計(jì)算問題的關(guān)鍵，是如何獲得該問題的動荷系數(shù)Kd。二、動載荷問題的一般計(jì)算方法1.動載荷與動應(yīng)力的一般計(jì)算方752.動荷系數(shù)Kd

動載荷情況千差萬別，動荷系數(shù)Kd常需具體分析或?qū)崪y才能求得。汽車撞欄桿了，……情況千差萬別，怎能一概而論？……但有幾種典型、常見的動荷系數(shù)Kd很有實(shí)用價值，應(yīng)用也簡便，介紹如下。⑴等加速運(yùn)動慣性力的動荷系數(shù)

（4-12）式中a為構(gòu)件運(yùn)動的加速度，單位m/s2，方向與重力加速度相反時取正值；

g為重力加速度，g＝9.8m/s2。⑵自由落體沖擊力的動荷系數(shù)

重量W的重物自由落體所產(chǎn)生沖擊力的動荷系數(shù)：（4-13）式中h為重物自由落體的高度，δj為重物W在同一作用點(diǎn)以靜載荷加在構(gòu)件上所引起的變形量。2.動荷系數(shù)Kd動載荷情況千差萬別，動荷系數(shù)Kd常需具體76⑶突加載荷的動荷系數(shù)

重物自由落體的高度h＝0，即為突加載荷。將h＝0代入式（4-13）得到Kd＝2（4-14）突加載荷的動荷系數(shù)簡單又好記，在實(shí)用上很有價值，因?yàn)橥患虞d荷很常見。例如起重機(jī)向載重汽車上卸物，重物基本放到車板上了，起重機(jī)立即松鉤，汽車的受力是重物靜載作用的兩倍。又所謂“人猛然坐到鋼管椅上去”，也屬于突加載荷，其力學(xué)效應(yīng)是人靜坐在椅子上的兩倍。以上3公式的適用條件是：構(gòu)件內(nèi)的最大動應(yīng)力不超過材料的彈性極限。⑶突加載荷的動荷系數(shù)重物自由落體的高度h＝0，即為突加載荷77圖4-16例4-8圖例4-8起重機(jī)吊重W＝2.5kN，提升中有加速度a＝2m/s2，鋼絲繩橫截面積A＝28mm2，鋼絲材料[σ]＝140MPa，校核鋼絲繩的強(qiáng)度。解等加速度慣性力動荷系數(shù)為：由式（4-14）計(jì)算動應(yīng)力對比結(jié)果：σd＜[σ]，所以鋼絲繩滿足題述的動載強(qiáng)度要求。圖4-16例4-8圖例4-8起重機(jī)78圖4-17例4-9圖例4-9鋼貨架兩側(cè)橫檔

視為簡支梁，跨度l＝1.2m，

截面見圖，[σ]＝160MPa。

擱物時是突加載荷，求在跨

中擱物的最大重量G。解⑴突加載荷

動荷系數(shù)Kd＝2，兩橫檔的動載荷P雙為P雙＝KdG＝2G

單根橫檔所受的動載荷P單

P單＝P雙/2＝G（1）⑵簡支梁跨中受動載荷P單時，橫檔內(nèi)的最大彎矩（2）相應(yīng)的最大動應(yīng)力及強(qiáng)度條件為（3）橫檔橫截面的抗彎截面模量（習(xí)題3-23的解答）Wz＝0.95×10-6m3（4）將式（1）、（2）、（4）代入（3）可得因此得到圖4-17例4-9圖例4-9鋼貨架兩79第四節(jié)應(yīng)力集中現(xiàn)象和裂紋問題一、應(yīng)力集中現(xiàn)象

你的拖鞋從何處開裂損壞？——應(yīng)力集中！

皮腰帶、晾衣架呢？

——應(yīng)力集中！

攝像機(jī)的手帶？

產(chǎn)品的開裂損壞，常出現(xiàn)于材料厚薄突變的交界處，以及結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)折、尖角等部位。應(yīng)力集中截面的形狀、尺寸突變處的小范圍內(nèi)，應(yīng)力值急劇增加，而在離此稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力值即大為降低，并趨于均勻分布的現(xiàn)象。

圖4-18應(yīng)力集中致?lián)p的實(shí)例第四節(jié)應(yīng)力集中現(xiàn)象和裂紋問題一、應(yīng)力集中現(xiàn)象你的拖鞋從80圖4-19應(yīng)力集中的概念軸向拉伸的板上有個小孔，小孔邊緣及附近小范圍內(nèi)，應(yīng)力大大高于平均值。離小孔稍遠(yuǎn)，應(yīng)力趨于平緩。有一圈淺槽的軸，與此類似。2.理論應(yīng)力集中系數(shù)α

應(yīng)力集中的局部最大應(yīng)力σmax與該處的平均應(yīng)力σm之比。（4-15）

小孔、淺槽、螺紋、臺階等結(jié)構(gòu)要素，其應(yīng)力理論集中系數(shù)在手冊中可以

查到。圖4-19a）結(jié)構(gòu)，理論集中應(yīng)力系數(shù)α≈3。實(shí)際結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力集中程度，不同程度地小于理論應(yīng)力集中系數(shù)。理論集中應(yīng)力系數(shù)α有重要參考價值。圖4-19應(yīng)力集中的概念軸向拉伸的板上有813.應(yīng)力集中的危害和消除方法

圖4-19靜載下，

塑性材料對應(yīng)力集中的緩解對塑性材料靜載下，局部應(yīng)力達(dá)到σS后，就不再繼續(xù)攀升，因此對強(qiáng)度沒有明顯影響。值得注意：不少情況下并非靜載，應(yīng)力集中問題仍不可忽視。對脆性材料應(yīng)力集中的局部應(yīng)力會持續(xù)上升，使構(gòu)件高應(yīng)力區(qū)在局部首先開裂，繼而導(dǎo)致整個構(gòu)件的破壞。應(yīng)力集中是大敵。

（注：鑄鐵雖是脆性材料，但材料內(nèi)部不均勻等因素，能使應(yīng)力集中得到緩解。）3.應(yīng)力集中的危害和消除方法圖4-19靜載下，

塑性82圖4-21減輕應(yīng)力集中的方法

減輕應(yīng)力集中的基本方法：

是使構(gòu)件截面尺寸的變化盡可能地平緩。

看看圖中的例子吧：

a）臺階軸→圓角過渡

b）有孔→兩側(cè)加“卸載孔”

c）軸和輪轂壓緊配合，減小剛度差別→開“卸載槽”

d）軸上有槽→槽底改圓弧

那么，圖4-18中拖鞋和攝

象機(jī)手帶容易損壞的問題，

該怎樣改進(jìn)設(shè)計(jì)呢？

圖4-21減輕應(yīng)力集中的方法減輕應(yīng)力集中的基本方法：

83二、裂紋的危害和利用1.裂紋的危害和防范如果材料的缺陷是縫隙、且其底部存在著銳利的尖角，稱為裂紋。裂紋是截面形狀尺寸急劇變化的極端形式，會造成很高的應(yīng)力集中。外載不大，裂紋尖端即出現(xiàn)很高的應(yīng)力值，可能導(dǎo)致嚴(yán)重的斷裂破壞。裂紋所致破壞的兩個特點(diǎn)：①“低應(yīng)力”，②“突發(fā)性”?！獞?yīng)予警惕！人類工程史上留下了驚心動魄的黑色記錄……

二、裂紋的危害和利用1.裂紋的危害和防范如果材料的缺陷是縫84裂紋對結(jié)構(gòu)破壞的影響1943-1947年，美國近500艘全焊船中發(fā)生了1000多起脆性破壞，其中238艘完全報(bào)廢，有的甚至斷成兩截。為了分析原因，從100多個損壞處割下試件進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)論是：事故總是在有焊接缺陷等的應(yīng)力集中處產(chǎn)生；當(dāng)氣溫降到-3℃和水溫降到4℃時斷裂容易發(fā)生；破壞處的沖擊韌性ak值低于未破壞處的ak值。1947年蘇聯(lián)4500立方米的大型石油儲罐底部和下部的殼連接處，在氣溫降到-43℃時形成大量裂紋，造成儲罐的破壞。事后的分析認(rèn)為：在焊接處，存在由焊裂、焊瘤、未焊透引起的各種應(yīng)力集中；在溫度降低時，儲罐材料CT3鋼的塑性明顯下降；由于焊接和罐的內(nèi)外溫差，造成較高的內(nèi)應(yīng)力