第一單元 集合與常用邏輯用語 課堂練習(xí)題

第一單元集合與常用邏輯用語1.1集合的概念與運算一、選擇題1．若A、B、C為三個集合，A∪B＝B∩C，則一定有()A.A?CB．C?AC．A≠CD．A＝?解析：A?A∪B＝B∩C?C，則A?C.答案：A2．設(shè)D是正三角形P1P2P3及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，點P0是△P1P2P3的中心．若集合S＝{P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i＝1,2,3}，則集合S表示的平面區(qū)域是()A．三角形區(qū)域B．四邊形區(qū)域C．五邊形區(qū)域D．六邊形區(qū)域解析：∵|PP0|≤|PPi|，∴點P在P0Pi的垂直平分線將平面分成的靠近P0的區(qū)域內(nèi)，即點P在如下圖六邊形ABCDEF內(nèi)(包括邊界)，故選D.答案：D3．設(shè)A、B是兩個非空集合，定義運算A×B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}，已知A＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，則A×B＝()A．[0,1]∪(2，＋∞)B．[0,1)∪(2，＋∞)C．[0,1]D．[0,2]解析：由2x－x2≥0解得0≤x≤2，則A＝[0,2]，B＝{y|y＝2x，x＞0}＝(1，＋∞)．A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：A4．滿足條件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：滿足條件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M為{2,3}，{1,2,3}，共兩個．答案：B二、填空題5．設(shè)全集U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5,6}，則下圖中陰影部分表示的集合是________．解析：圖中陰影部分表示的集合是B∩(?ZA)＝{2,4,6}．答案：{2,4,6}6．(原創(chuàng)題)已知集合U＝R，A＝{x|x2＋eq\f(y2,4)＝1}，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，則(?UA)∩(?UB)等于________．解析：A＝{x|－1≤x≤1}＝[－1,1]，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}＝[0，2]，(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26、15、13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有________人．解析：由容斥原理知共有(26＋15＋13)－36＝18名同學(xué)同時參加兩個小組，沒有人參加三個小組，于是同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有18－(6＋4)＝8(人)．答案：8三、解答題8．設(shè)A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x、y的值．解答：∵A∩B＝C＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B，－1∈B.即有x2－x＋1＝7?x＝－2或x＝3.①當(dāng)x＝－2時，x＋4＝2，又2∈A，∴2∈A∩B，但2?C，∴不滿足A∩B＝C，∴x＝－2不符合題意．②當(dāng)x＝3時，x＋4＝7，∴2y＝－1?y＝－eq\f(1,2).因此，x＝3，y＝－eq\f(1,2).9．已知集合A＝{x|y＝eq\r(15－2x－x2)},B＝{y|y＝a－2x－x2}，若A∩B＝A，求實數(shù)a的取值范圍．解答：由15－2x－x2≥0，即(x＋5)(x－3)≤0得－5≤x≤3，∴A＝[－5,3]．又y＝a－2x－x2＝a＋1－(x＋1)2≤a＋1，∴B＝(－∞，a＋1]，A∩B＝A即A?B.∴a＋1≥3.即a≥2.因此實數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞)．10．設(shè)A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B?A，求實數(shù)a的取值范圍．解答：A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，因此A的子集分別為?，{0}，{－4}，{0，－4}．又B?A，若B＝?，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝4(2a＋2)<0，解得a若B＝{0}，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2(a＋1)＝0，,a2－1＝0，))解得a＝－1；若B＝{－4}，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2(a＋1)＝－8，,a2－1＝16，))無解；若B＝{0，－4}，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2(a＋1)＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a≤－1或a＝1.1．設(shè)集合A＝{(x，y)|y≥|x－2|，x≥0}，B＝{(x，y)|y≤－x＋b}，A∩B≠?.(1)b的取值范圍是________；(2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值為9，則b的值是______．解析：(1)如下圖所示，A∩B為圖中陰影部分，若A∩B≠?，則b≥2；(2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值為9，x＋2y在(0，b)處取得最大值，∴2b＝9，b＝eq\f(9,2).答案：(1)b≥2(2)eq\f(9,2)2．(2009·北京)已知數(shù)集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性質(zhì)P：對任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj與eq\f(aj,ai)兩數(shù)中至少有一個屬于A.(1)分別判斷數(shù)集{1,3,4}與{1,2,3,6}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；(2)證明：a1＝1，且eq\f(a1＋a2＋…＋an,a\o\al(－1,1)＋a\o\al(－1,2)＋…＋a\o\al(－1,n))＝an；(3)證明：當(dāng)n＝5時，a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列．解答：(1)由于3×4與eq\f(4,3)均不屬于數(shù)集{1,3,4}，所以該數(shù)集不具有性質(zhì)P.由于1×2,1×3,1×6,2×3，eq\f(6,2)，eq\f(6,3)，eq\f(1,1)，eq\f(2,2)，eq\f(3,3)，eq\f(6,6)都屬于數(shù)集{1,2,3,6}，所以該數(shù)集具有性質(zhì)P.(2)證明：因為A＝{a1，a2，…，an}具有性質(zhì)P，所以anan與eq\f(an,an)中至少有一個屬于A.由于1≤a1＜a2＜…＜an，所以anan＞an，故anan?A.從而1＝eq\f(an,an)∈A，因為1＝a1＜a2＜…＜an，所以akan＞an，故akan?A(k＝2,3，…，n)．由A具有性質(zhì)P可知eq\f(an,ak)∈A(k＝1,2,3，…，n)．又因為eq\f(an,an)＜eq\f(an,an－1)＜…＜eq\f(an,a2)＜eq\f(an,a1)，所以eq\f(an,an)＝a1，eq\f(an,an－1)＝a2，…，eq\f(an,a2)＝an－1，eq\f(an,a1)＝an.從而eq\f(an,an)＋eq\f(an,an－1)＋…＋eq\f(an,a2)＋eq\f(an,a1)＝a1＋a2＋…＋an－1＋an.故eq\f(a1＋a2＋…＋an,a\o\al(－1,1)＋a\o\al(－1,2)＋…＋a\o\al(－1,n))＝an.(3)證明：由(2)知，當(dāng)n＝5時，有eq\f(a5,a4)＝a2，eq\f(a5,a3)＝a3，即a5＝a2a4＝aeq\o\al(2,3).因為1＝a1＜a2＜…＜a5，所以a3a4＞a2a4＝a5，故a3a4?A.由A具有性質(zhì)P可知eq\f(a4,a3)∈A.由a2a4＝aeq\o\al(2,3)