2022-2023學(xué)年上海外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高一年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則必有（

）A．， B．， C．， D．，D函數(shù)的圖像是由的圖像向下平移個單位長度得到，根據(jù)題意得到且，計算得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)圖像的性質(zhì)知函數(shù)的圖像過第一、二象限，且恒過點，而函數(shù)的圖像是由的圖像向下平移個單位長度得到的，故若函數(shù)的圖像過第一、三、四象限，則且，從而且，故選：D.本題考查了函數(shù)圖像的平移，意在考查學(xué)生對于函數(shù)圖像的應(yīng)用能力.2．設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是（

）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)B函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點的橫坐標(biāo)即為的零點，將問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的零點所在區(qū)間的問題，再由函數(shù)零點的存在性定理可得到答案．【詳解】設(shè)，則是增函數(shù)，又.所以，所以x0所在的區(qū)間是(1，2)故選：B本題考查函數(shù)圖象的交點，考查函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，正確運用函數(shù)零點存在定理，屬于中檔題.3．函數(shù)是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，、為實數(shù)，則是的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要C【分析】討論的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及不等式的性質(zhì)判斷的大小.【詳解】，即，則，即；，即，則，即；，即，則，即；其它情況，不妨假設(shè)i若，即時，則，故，所以；ii若時，則，故，，，即時，則，故，所以；，即時，則，故，所以，即時，則，故，則；iii若，即時，則，故，所以；綜上，時有，反之也成立；時有，反之也成立；時有，反之也成立.所以是的充要條件.故選：C4．函數(shù)（其中P，M為實數(shù)集R的兩個非空子集）又規(guī)定,給出下列四個判斷，其中正確的判斷有（

）①若，則

②若，則

③若，則

④若，則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個B【分析】由函數(shù)的表達(dá)式知，可借助兩個函數(shù)與的圖像來研究，分析可得答案【詳解】由題意知函數(shù)的圖像如圖所示：設(shè)，，則而，故①錯誤；同理可知②正確；設(shè)，，則，故③錯誤④由③的判斷知，當(dāng)，則是正確的，故④正確故選：B二、填空題5．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為__________．【分析】由題設(shè)有求解集，即可得定義域.【詳解】由題設(shè)，即，解得，所以函數(shù)的定義域為.故6．設(shè)f（x）為一次函數(shù)，且f[f（x）]＝4x+3，則f（x）的解析式_________．或【詳解】試題分析：設(shè)，由題意可得，即解得或，所以函數(shù)解析式為或求函數(shù)解析式7．已知函數(shù)滿足，則__________．10【分析】整體代換求解，即可得到結(jié)果.【詳解】令得，所以，.故10.8．已知，且，若，，則__________．【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得，結(jié)合已知即可求結(jié)果.【詳解】由且，則，則，所以，而，，則，所以，故.故9．若函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，請寫出一個符合條件的區(qū)間__________．【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則：同增異減.【詳解】設(shè)，則函數(shù)可以看成由與復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則：同增異減.又為R上的減函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù).因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以，即可.故答案為.10．函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是__________．【分析】假設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，求出a、b的值，再代入函數(shù)中檢驗.【詳解】假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則有，，即整理得，又

∴b=0

∴a=0即是函數(shù)是奇函數(shù)的必要條件；當(dāng)，，有.即是函數(shù)是奇函數(shù)的充分條件.綜上可得，函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是.故答案為.11．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【分析】結(jié)合a是否等于0進(jìn)行分類討論，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.【詳解】當(dāng)a=0時，y=-1不滿足條件，舍去；當(dāng)時，函數(shù)為二次函數(shù)，對稱軸為要使函數(shù)在上是增函數(shù)，則有，

解得，故12．若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為______．【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到恒成立，再根據(jù)即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，所以恒成立，等價于恒成立，即，解得.故13．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對稱，則=_________．0【詳解】試題分析：的圖像關(guān)于直線對稱，所以，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，，，所以.函數(shù)圖象的中心對稱和軸對稱.14．已知是偶函數(shù)，當(dāng)時，，且對任意的時，都成立，則的取值范圍是__________．【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)，求解時的值域，得出m，n的取值范圍.【詳解】∵是偶函數(shù)，∴在上的值域與在上的值域相同，求解在上的值域，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值4，而所以在上的值域為，由于時恒成立，則，，則，故15．設(shè)a>0，且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，則實數(shù)a的值為________．或3【分析】首先換元，設(shè)，函數(shù)變?yōu)?，再分和兩種情況討論的范圍，根據(jù)的范圍求二次函數(shù)的最大值，求得實數(shù)的范圍.【詳解】令t＝ax(a>0，且a≠1)，則原函數(shù)化為y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．①當(dāng)0<a<1，x∈[－1，1]時，t＝ax∈，此時f(t)在上為增函數(shù)．所以f(t)max＝f＝－2＝14.所以＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.②當(dāng)a>1時，x∈[－1，1]，t＝ax∈，此時f(t)在上是增函數(shù)．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．綜上得a＝或3.本題考查了二次型函數(shù)求值域，考查了分類討論的思想，屬于中檔題型.16．設(shè)實數(shù)a，x，y，滿足則xy的取值范圍是____．【詳解】實數(shù)a，x，y，滿足，①2﹣②解得：2xy＝3a2﹣6a+4，∵a2+2a﹣3≥0，∴a≥1或a≤﹣3．根據(jù)圓心到直線的距離小于或等于半徑，得：，解得，令g（a）＝（3a2﹣6a+4），對稱軸a＝1，1?[2﹣，2+]，∴a＝2﹣時：g（a）最?。憨?，a＝2+時：g（a）最大：+，xy∈[﹣，+]，故17．設(shè)、是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根,則_______．【分析】根據(jù)韋達(dá)定理將,之間的關(guān)系找到,然后用換底公式進(jìn)行化簡,找到之間的關(guān)系,將用換底公式進(jìn)行化簡,代入即可.【詳解】解:由題知的兩個實數(shù)根是、,根據(jù)韋達(dá)定理有,即,即,.故答案為:三、解答題18．已知偶函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)解關(guān)于的不等式．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，解出n的值；（2）求解與偶函數(shù)以及單調(diào)性相結(jié)合的不等式問題時，借助絕對值來求解.【詳解】（1）∵在上是嚴(yán)格增函數(shù)∴

解得，又，所以，n=0或n=1或n=2.當(dāng)n=0時，不是偶函數(shù)，舍去；當(dāng)n=1時，是偶函數(shù)，滿足條件；當(dāng)n=2時，不是偶函數(shù)，舍去.所以，.（2）由（1）知，是偶函數(shù)，所以，，.則，則等價于又是上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，有所以，.整理得，解得，或.所以，不等式的解集為.19．某水庫共可蓄水立方米，該地區(qū)去年8月1日零時至8月22日24時為大汛期，在大汛期中第n天注入水庫的水量為立方米，其中P為定值．已知8月1日零時水庫的存水量為立方米，且大汛期的第一、二天注入水庫的總水量為1700立方米．(1)求P的值；(2)該水庫有兩個泄洪閘，每打開一個閘門，一天可泄水6000立方米，為了保證水庫的安全，又要減輕下游地區(qū)的抗洪壓力，指揮部于8月8日零時打開了第一個泄洪閘，問第二個泄洪閘最遲應(yīng)在哪一天打開？(1)500(2)8月17日【分析】（1）根據(jù)第一、二天注入水庫的總水量為1700立方米，代入求解即可；（2）由（1）可得是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的前項和，根據(jù)題意列出方程求解，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為第n天注入水庫的水量為立方米，且大汛期的第一、二天注入水庫的總水量為1700立方米，將值代入可得，求得；（2）由（1）可知，即可看作首項為，公差為的等差數(shù)列，其前項和，設(shè)第天第二個泄洪閘打開，則，解得（舍）或，所以最遲8月17日.20．已知、是定義在上的函數(shù)，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，設(shè)滿足，且對于中的任意兩個相異的實數(shù)、，恒有．(1)求證：在上是嚴(yán)格增函數(shù)；(2)設(shè)，，，求證：．(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）令，結(jié)合已知條件判斷的大小關(guān)系，即可證結(jié)論；（2）由題設(shè)，只需證，根據(jù)（1）的結(jié)論即可證結(jié)論.【詳解】（1）令，則，又在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故，由，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，即，故，綜上，，即在上是嚴(yán)格增函數(shù)；（2），，且，所以，要證，即證，而，由，，故，根據(jù)（1）的結(jié)論，，所以，即，得證.21．已知函數(shù)（1）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若的最小值為，求實數(shù)的值；（3）若對任意實數(shù)、、，均存在以、、為三邊邊長的三角形，求實數(shù)的取值范圍.（1）；（2）；（3）【分析】（1）問題等價于4x+k?2x+1＞0恒成立，分離出參數(shù)k后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可；（2），令，則，分k＞1，k＝1，k＜1三種情況進(jìn)行討論求出f（x）的最小值，令其為﹣3即可解得k值；（3）由題意得f（x1）+f（x2）＞f（x3）對任意x1，x2，x3∈R恒成立，當(dāng)k＝1時易判斷；當(dāng)k＞1，k＜1時轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決即可，借助（2）問結(jié)論易求函數(shù)的最值.【詳解】（1）因為4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等價于4x+k?2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，因為﹣2x﹣2﹣x＝﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2﹣x，即x＝0時取等號，所以k＞﹣2.（2），令，則，當(dāng)k＞1時，無最小值，舍去