2023屆安徽省廬江盛橋中學高三第二次模擬考試數(shù)學試卷（含解析）

2023學年高考數(shù)學模擬測試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等比數(shù)列若則（）A．±6 B．6 C．-6 D．2．如圖，已知平面，，、是直線上的兩點，、是平面內的兩點，且，，，，．是平面上的一動點，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（）A． B． C． D．3．函數(shù)的最小正周期是，則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是（）A． B． C． D．4．設等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A． B． C．7 D．25．如圖，中，點D在BC上，，將沿AD旋轉得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得6．已知函數(shù)，為的零點，為圖象的對稱軸，且在區(qū)間上單調，則的最大值是（）A． B． C． D．7．設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（）A． B． C． D．8．甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去三個不同社區(qū)進行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū)，乙不去社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．59．直線與圓的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切10．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則其共軛復數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．11．已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)與函數(shù)，在公共點處有共同的切線，則實數(shù)的值為______．14．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．15．在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐為陽馬，側棱底面，且，，設該陽馬的外接球半徑為，內切球半徑為，則__________．16．某校名學生參加軍事冬令營活動，活動期間各自扮演一名角色進行分組游戲，角色按級別從小到大共種，分別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以人一組或者人一組.如果人一組，則必須角色相同；如果人一組，則人角色相同或者人為級別連續(xù)的個不同角色.已知這名學生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，現(xiàn)在新加入名學生，將這名學生分成組進行游戲，則新加入的學生可以扮演的角色的種數(shù)為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：（）的左、右頂點分別為、，焦距為2，點為橢圓上異于、的點，且直線和的斜率之積為.（1）求的方程；（2）設直線與軸的交點為，過坐標原點作交橢圓于點，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.18．（12分）為迎接2023年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核．記表示學生的考核成績，并規(guī)定為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：（Ⅰ）從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據圖中數(shù)據，估計這名學生考核優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）記表示學生的考核成績在區(qū)間的概率，根據以往培訓數(shù)據，規(guī)定當時培訓有效．請根據圖中數(shù)據，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由．19．（12分）這次新冠肺炎疫情，是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經歷過很多磨難，但從來沒有被壓垮過，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長，從磨難中奮起.在這次疫情中，全國人民展現(xiàn)出既有責任擔當之勇、又有科學防控之智.某校高三學生也展開了對這次疫情的研究，一名同學在數(shù)據統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，從2020年2月1日至2月7日期間，日期和全國累計報告確診病例數(shù)量（單位：萬人）之間的關系如下表：日期1234567全國累計報告確診病例數(shù)量（萬人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根據表中的數(shù)據，運用相關系數(shù)進行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關系？（2）求出關于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）.并預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù).參考數(shù)據：，，，.參考公式：相關系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.20．（12分）已知實數(shù)x，y，z滿足，證明：.21．（12分）在中,角、、所對的邊分別為、、，角、、的度數(shù)成等差數(shù)列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.22．（10分）若函數(shù)為奇函數(shù)，且時有極小值.（1）求實數(shù)的值與實數(shù)的取值范圍；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

根據等比中項性質代入可得解，由等比數(shù)列項的性質確定值即可.【題目詳解】由等比數(shù)列中等比中項性質可知，，所以，而由等比數(shù)列性質可知奇數(shù)項符號相同，所以，故選：B.【答案點睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應用，注意項的符號特征，屬于基礎題.2、B【答案解析】

為所求的二面角的平面角，由得出，求出在內的軌跡，根據軌跡的特點求出的最大值對應的余弦值【題目詳解】，，，，同理為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角，又，在平面內，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系則，設，整理可得：在內的軌跡為為圓心，以為半徑的上半圓平面平面，，為二面角的平面角，當與圓相切時，最大，取得最小值此時故選【答案點睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依據題目選擇方法求出結果．3、D【答案解析】

由三角函數(shù)的周期可得，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為，再求其對稱軸方程即可.【題目詳解】解：函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經過平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當時，.故選D.【答案點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎題.4、B【答案解析】

根據等差數(shù)列的性質并結合已知可求出，再利用等差數(shù)列性質可得，即可求出結果．【題目詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B【答案點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質及前項和公式，屬于基礎題．5、A【答案解析】

根據題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【題目詳解】由題可得過點作交于點，過作的垂線，垂足為，則易得，．設，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【答案點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關系，考查三角函數(shù)的圖象和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．6、B【答案解析】

由題意可得，且，故有①，再根據，求得②，由①②可得的最大值，檢驗的這個值滿足條件．【題目詳解】解：函數(shù)，，為的零點，為圖象的對稱軸，，且，、，，即為奇數(shù)①．在，單調，，②．由①②可得的最大值為1．當時，由為圖象的對稱軸，可得，，故有，，滿足為的零點，同時也滿足滿足在上單調，故為的最大值，故選：B．【答案點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．7、C【答案解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面積比.【題目詳解】作圖，設與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【答案點睛】解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.8、B【答案解析】根據題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（?。〤（乙）；A（甲，?。〣（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（?。〤（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7種，選B.9、D【答案解析】

由幾何法求出圓心到直線的距離，再與半徑作比較，由此可得出結論．【題目詳解】解：由題意，圓的圓心為，半徑，∵圓心到直線的距離為，，，故選：D．【答案點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題．10、D【答案解析】

由已知等式求出z，再由共軛復數(shù)的概念求得，即可得虛部.【題目詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復數(shù)=-1+，虛部為1故選D．【答案點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共軛復數(shù)的基本概念，屬于基礎題．11、D【答案解析】

根據拋物線的性質，設出直線方程，代入拋物線方程，求得k的值，設出雙曲線方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用雙曲線的離心率公式求得e．【題目詳解】直線F2A的直線方程為：y＝kx，F(xiàn)1（0，），F(xiàn)2（0，），代入拋物線C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，∴A（p，），設雙曲線方程為：1，丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，2c＝p，∴離心率e1，故選：D．【答案點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題．12、C【答案解析】

否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【題目詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【答案點睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結構，即它的條件和結論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關的知識進行判斷．(2)當一個命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：①若由“”經過邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

函數(shù)的定義域為，求出導函數(shù)，利用曲線與曲線公共點為由于在公共點處有共同的切線，解得，，聯(lián)立解得的值．【題目詳解】解：函數(shù)的定義域為，，，設曲線與曲線公共點為，由于在公共點處有共同的切線，∴，解得，．由，可得．聯(lián)立，解得．故答案為：．【答案點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．14、9【答案解析】分析：先根據三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質和三角形面積公式得，化簡得，因此當且僅當時取等號，則的最小值為.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.15、【答案解析】

該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，由此能求出，內切球在側面內的正視圖是的內切圓，從而內切球半徑為，由此能求出．【題目詳解】四棱錐為陽馬，側棱底面，且，，設該陽馬的外接球半徑為，該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，，，側棱底面，且底面為正方形，內切球在側面內的正視圖是的內切圓，內切球半徑為，故．故答案為．【答案點睛】本題考查了幾何體外接球和內切球的相關問題，補形法的運用，以及數(shù)學文化，考查了空間想象能力，是中檔題．解決球與其他幾何體的切、接問題，關鍵是能夠確定球心位置，以及選擇恰當?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有很多，主要有兩種：（1）補形法（構造法），通過補形為長方體（正方體），球心位置即為體對角線的中點；（2）外心垂線法，先找出幾何體中不共線三點構成的三角形的外心，再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線，則球心一定在垂線上.16、【答案解析】

對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，分析各種情況下個學生所扮演的角色的分組，綜合可得出結論.【題目詳解】依題意，名學生分成組，則一定是個人組和個人組.①若新加入的學生是士兵，則可以將這個人分組如下；名士兵；士兵、排長、連長各名；營長、團長、旅長各名；師長、軍長、司令各名；名司令.所以新加入的學生可以是士兵，由對稱性可知也可以是司令；②若新加入的學生是排長，則可以將這個人分組如下：名士兵；連長、營長、團長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令；名排長.所以新加入的學生可以是排長，由對稱性可知也可以是軍長；③若新加入的學生是連長，則可以將這個人分組如下：名士兵；士兵、排長、連長各名；連長、營長、團長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令.所以新加入的學生可以是連長，由對稱性可知也可以是師長；④若新加入的學生是營長，則可以將這個人分組如下：名士兵；排長、連長、營長各名；營長、團長、旅長各名；師長、軍長、司令各名；名司令.所以新加入的學生可以是營長，由對稱性可知也可以是旅長；⑤若新加入的學生是團長，則可以將這個人分組如下：名士兵；排長、連長、營長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令；名團長.所以新加入的學生可以是團長.綜上所述，新加入學生可以扮演種角色.故答案為：.【答案點睛】本題考查分類計數(shù)原理的應用，解答的關鍵就是對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）是定值，且定值為2【答案解析】

（1）設出點坐標并代入橢圓方程，根據列方程，求得的值，結合求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得點的橫坐標，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得，由此化簡求得為定值.【題目詳解】（1）已知點在橢圓：（）上，可設，即，又，且，可得橢圓的方程為.（2）設直線的方程為：，則直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，由，可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，即，即.即為定值，且定值為2.【答案點睛】本小題主要考查本小題主要考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值問題的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【答案解析】

（Ⅰ）根據莖葉圖求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）結合圖表得到6人中有2個人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可；（Ⅲ）求出滿足的成績有16個，求出滿足條件的概率即可．【題目詳解】解：（Ⅰ）設這名學生考核優(yōu)秀為事件，由莖葉圖中的數(shù)據可以知道，30名同學中，有7名同學考核優(yōu)秀，所以所求概率約為（Ⅱ）設從圖中考核成績滿足的學生中任取2人，至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件，因為表中成績在的6人中有2個人考核為優(yōu)，所以基本事件空間包含15個基本事件，事件包含9個基本事件，所以（Ⅲ）根據表格中的數(shù)據，滿足的成績有16個，所以所以可以認為此次冰雪培訓活動有效．【答案點睛】本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉化思想，是一道常規(guī)題．19、（1）可以用線性回歸模型擬合與的關系；（2），預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù)約有4.5萬人.【答案解析】

（1）根據已知數(shù)據，利用公式求得，再根據的值越大說明它們的線性相關性越高來判斷.（2）由（1）的相關數(shù)據，求得，，寫出回歸方程，然后將代入回歸方程求解.【題目詳解】（1）由已知數(shù)據得，，，所以，，所以.因為與的相關近似為0.99，說明它們的線性相關性相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.（2）由（1）得，，，所以，關于的回歸方程為：，2月10日，即代入回歸方程得：.所以預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù)約有4.5萬人.【答案點睛】本題主要考查線性回歸分析和回歸方程的求解及應用，還考查了運算求解的能力，屬于中