2020高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.1 綜合法和分析法學(xué)案 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．理解綜合法、分析法的意義,掌握綜合法、分析法的思維特點(diǎn)．（重點(diǎn)、易混點(diǎn)）2．會(huì)用綜合法、分析法解決問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))通過綜合法、分析法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng).1．綜合法定義推證過程特點(diǎn)利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法eq\x（P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3）→…→eq\x(Qn?Q)(P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論）順推證法或由因?qū)Ч?。分析法定義框圖表示特點(diǎn)一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析法逆推證法或執(zhí)果索因法思考1:綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？［提示］綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，因?yàn)榫C合法與分析法的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理，從而得到的每一個(gè)結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想"．思考2：綜合法與分析法有什么區(qū)別?［提示］綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч?；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因．1．用分析法證明：欲使①A〉B,只需②C〈D，這里②是①的（）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A［②?①，∴②是①的充分條件．]2．命題“對(duì)于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ)（cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其過程應(yīng)用了(）A．分析法 B．綜合法C．綜合法、分析法綜合使用 D．間接證法B［從證明過程來看，是從已知條件入手，經(jīng)過推導(dǎo)得出結(jié)論，符合綜合法的證明思路．］3．要證明A＞B，若用作差比較法，只要證明________．A－B＞0［要證A＞B,只要證A－B＞0.］4．將下面用分析法證明eq\f(a2＋b2，2）≥ab的步驟補(bǔ)充完整：要證eq\f（a2＋b2，2)≥ab，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證________，即證______，由于______顯然成立，因此原不等式成立．a(chǎn)2＋b2－2ab≥0（a－b)2≥0(a－b)2≥0[用分析法證明eq\f(a2＋b2,2）≥ab的步驟為：要證eq\f(a2＋b2,2）≥ab成立,只需證a2＋b2≥2ab，也就是證a2＋b2－2ab≥0,即證（a－b）2≥0。由于（a－b)2≥0顯然成立,所以原不等式成立．］綜合法的應(yīng)用【例1】(1）已知a，b是正數(shù),且a＋b＝1,證明：eq\f（1，a)＋eq\f(1,b）≥4。（2）在△ABC中,a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝（2b－c）sinB＋(2c－b）sinC①求證：A的大小為eq\f(π，3)；②若sinB＋sinC＝eq\r(3),證明△ABC為等邊三角形．[證明］(1)法一：∵a，b是正數(shù)且a＋b＝1，∴a＋b≥2eq\r（ab），∴eq\r(ab)≤eq\f(1，2），∴eq\f（1，a)＋eq\f(1，b)＝eq\f(a＋b，ab）＝eq\f（1，ab)≥4。法二:∵a，b是正數(shù),∴a＋b≥2eq\r（ab）>0，eq\f(1，a）＋eq\f(1，b)≥2eq\r（\f(1，ab))>0，∴（a＋b）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,a)＋\f（1，b)））≥4.又a＋b＝1，∴eq\f(1，a)＋eq\f（1,b）≥4。法三:eq\f(1，a）＋eq\f（1,b)＝eq\f(a＋b,a）＋eq\f（a＋b，b)＝1＋eq\f(b,a）＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f（a,b）)＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取“＝”號(hào)．(2)①由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b）sinC得2a2＝(2b－c）b＋（2c－b)即bc＝b2＋c2－a2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1，2），所以A＝eq\f(π，3）.②因?yàn)锳＋B＋C＝180°,所以B＋C＝180°－60°＝120°，由sinB＋sinC＝eq\r(3)，得sinB＋sin(120°－B）＝eq\r(3)，sinB＋（sin120°cosB－cos120°sinB）＝eq\r(3)，eq\f(3,2)sinB＋eq\f(\r(3）,2）cosB＝eq\r(3），即sin（B＋30°)＝1.因?yàn)?°＜B＜120°,所以30°＜B＋30°＜150°，所以B＋30°＝90°，B＝60°，所以A＝B＝C＝60°，即△ABC為等邊三角形．綜合法的解題步驟1.如圖所示，在四棱錐P。ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．（1)證明：CD⊥AE；(2）證明：PD⊥平面ABE.[證明]（1)在四棱錐P.ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A,∴CD⊥平面PAC。而AE?平面PAC，∴CD⊥AE。（2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°,可得AC＝PA?！逧是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC。由（1)知,AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD。而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD.又AB⊥AD，∴AB⊥PD。又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.分析法的應(yīng)用【例2】設(shè)a，b為實(shí)數(shù),求證:eq\r（a2＋b2)≥eq\f（\r（2）,2)(a＋b）．［證明]當(dāng)a＋b≤0時(shí)，∵eq\r(a2＋b2)≥0,∴eq\r（a2＋b2)≥eq\f（\r（2）,2)（a＋b)成立．當(dāng)a＋b＞0時(shí)，用分析法證明如下：要證eq\r(a2＋b2）≥eq\f(\r（2),2)（a＋b）,只需證(eq\r（a2＋b2))2≥eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（\r(2），2)a＋b)）eq\s\up12（2).即證a2＋b2≥eq\f（1,2）(a2＋b2＋2ab）,即證a2＋b2≥2ab。∵a2＋b2≥2ab對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，∴eq\r（a2＋b2)≥eq\f(\r（2)，2）(a＋b)成立．綜上所述,不等式得證．用分析法證明不等式的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)（1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、已知的重要不等式等．（2)分析法是綜合法的逆過程,即從“未知”“看"“需知”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”,其逐步推理,實(shí)際上是要尋找它的充分條件或充要條件．（3）分析法為逆推證明，因此在使用時(shí)要注意邏輯性與規(guī)范性，其格式一般為“要證……，只要證……。只需證……，……顯然成立，所以……成立”．2．已知a，b是正實(shí)數(shù)，求證：eq\f(a，\r（b))＋eq\f（b,\r(a）)≥eq\r(a）＋eq\r(b)。[證明]要證eq\f（a,\r（b）)＋eq\f（b,\r(a））≥eq\r(a)＋eq\r（b）,只要證aeq\r（a）＋beq\r（b)≥eq\r（ab)(eq\r（a）＋eq\r(b))．即證(a＋b－eq\r(ab))(eq\r(a)＋eq\r(b))≥eq\r(ab)（eq\r（a)＋eq\r（b)）,因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，即證a＋b－eq\r（ab)≥eq\r（ab），也就是要證a＋b≥2eq\r（ab），即（eq\r（a）－eq\r(b）)2≥0.而該式顯然成立,所以eq\f(a，\r(b））＋eq\f（b，\r(a）)≥eq\r(a）＋eq\r（b）.綜合法和分析法的綜合應(yīng)用[探究問題］1．在實(shí)際解題時(shí)，綜合法與分析法能否可以結(jié)合起來使用？[提示］在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用,即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程．2．你會(huì)用框圖表示綜合法與分析法交叉使用時(shí)的解題思路嗎?［提示]用框圖表示如下：其中P表示已知條件、定義、定理、公理等，Q表示要證明的結(jié)論．【例3】已知a，b,c是不全相等的正數(shù),且0<x<1.求證：logxeq\f（a＋b，2）＋logxeq\f（b＋c,2)＋logxeq\f（a＋c，2)〈logxa＋logxb＋logxc。思路探究：解答本題的關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化成整式不等式證明．［證明］要證明：logxeq\f(a＋b，2)＋logxeq\f（b＋c,2）＋logxeq\f（a＋c,2）〈logxa＋logxb＋logxc，只需要證明logxeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a＋b,2）·\f(b＋c,2)·\f(a＋c，2)）)〈logx（abc)．由已知0<x〈1，只需證明eq\f（a＋b，2）·eq\f（b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)〉abc。由公式eq\f(a＋b，2）≥eq\r（ab）〉0，eq\f(b＋c，2)≥eq\r（bc）>0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r（ac）〉0，又∵a，b，c是不全相等的正數(shù),∴eq\f（a＋b,2)·eq\f(b＋c,2）·eq\f(a＋c,2）〉eq\r(a2b2c2)＝abc。即eq\f(a＋b，2）·eq\f（b＋c，2）·eq\f(a＋c,2）〉abc成立．∴l(xiāng)ogxeq\f(a＋b，2）＋logxeq\f(b＋c,2）＋logxeq\f(a＋c，2）〈logxa＋logxb＋logxc成立．1．(變條件)刪掉本例條件“0<x<1”，求證:lgeq\f(a＋b，2)＋lgeq\f(b＋c，2)＋lgeq\f(c＋a，2）＞lga＋lgb＋lgc。［證明]要證lgeq\f(a＋b,2）＋lgeq\f(b＋c，2）＋lgeq\f(c＋a,2）＞lga＋lgb＋lgc，只需證lgeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a＋b，2)·\f(b＋c,2)·\f(c＋a,2）))>lg(a·b·c),即證eq\f（a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f（c＋a,2）＞abc。因?yàn)閍，b,c為不全相等的正數(shù),所以eq\f（a＋b,2）≥eq\r（ab)＞0，eq\f（b＋c，2）≥eq\r(bc)＞0，eq\f(c＋a，2)≥eq\r(ac)＞0,且上述三式中等號(hào)不能同時(shí)成立，所以eq\f（a＋b,2)·eq\f（b＋c,2）·eq\f(c＋a，2)＞abc成立，所以lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c，2）＋lgeq\f(c＋a，2)＞lga＋lgb＋lgc成立．2．（變條件）把本例條件“0<x<1”換成“abc＝1”，求證：eq\f(1，a）＋eq\f（1,b)＋eq\f（1,c)＞eq\r(a)＋eq\r（b）＋eq\r（c）.[證明]法一:由左式推證右式∵abc＝1,且a，b，c為不全相等的正數(shù)，∴eq\f（1，a)＋eq\f(1，b)＋eq\f（1，c)＝bc＋ac＋ab＝eq\f（bc＋ac,2)＋eq\f（ac＋ab，2）＋eq\f(ab＋bc,2）＞eq\r（bc·ac)＋eq\r(ac·ab)＋eq\r(ab·bc）＝eq\r(c）＋eq\r(a）＋eq\r（b）?！鄀q\f(1,a）＋eq\f(1，b）＋eq\f（1，c）＞eq\r（a）＋eq\r（b）＋eq\r（c）.法二：由右式推證左式∵a，b，c為不全相等的正數(shù)，且abc＝1,∴eq\r（a)＋eq\r（b)＋eq\r(c)＝eq\r（\f(1，bc)）＋eq\r（\f（1,ac))＋eq\r(\f（1，ab）)＜eq\f(\f(1，b)＋\f（1,c），2）＋eq\f(\f（1，a）＋\f（1,c），2）＋eq\f（\f（1，a)＋\f（1，b),2)＝eq\f(1,a）＋eq\f(1，b)＋eq\f(1,c）。分析綜合法的解題思路分析綜合法的解題思路是:根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)；若由P可推出Q，即可得證．1．綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?分析法是從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因．2．分析法證題時(shí),一定要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“要證”“只需證”“即證”等詞語．3．在解題時(shí)，往往把綜合法和分析法結(jié)合起來使用.1．欲證eq\r（2)－eq\r（3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需證(）A．(eq\r(2)－eq\r（3）)2<（eq\r（6）－eq\r(7））2B．(eq\r(2）－eq\r（6))2<(eq\r(3）－eq\r（7））2C．(eq\r（2)＋eq\r（7)）2〈（eq\r（3)＋eq\r（6))2D．（eq\r（2)－eq\r(3）－eq\r(6））2〈(－eq\r（7)）2C[∵eq\r(2）－eq\r（3)〈0，eq\r（6)－eq\r(7)〈0，故eq\r（2）－eq\r（3）〈eq\r(6）－eq\r(7）?eq\r（2)＋eq\r(7)<eq\r（3）＋eq\r（6）?（eq\r(2）＋eq\r（7)）2<(eq\r(3)＋eq\r(6）)2。]2．在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB，則△ABC一定是(）A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形C［由sinAsinB〈cosAcosB得cos(A＋B）＝－cosC〉0，所以cosC〈0,即△ABC一定是鈍角三角形．]3．如果aeq\r(a)＋beq\r(b）＞aeq\r（b)＋beq\r（a），則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是________．a(chǎn)≠b且a≥0，b≥0[aeq\r（a）＋beq\r（b）＞aeq\r(b)＋beq\r(a）?aeq\r（a)－aeq\r(b)＞beq\r（a)－beq\r(b)?a（eq\r（a)－eq\r(b））＞b(e