2022-2023學年黑龍江省佳木斯市第十二中學高二年級上冊學期開學考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年黑龍江省佳木斯市高二上學期開學數(shù)學試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運算，求得，即可得，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】,則，即z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限，故選：C2．在中，角所對的邊分別是，則（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)正弦定理，即可求解.【詳解】解：由正弦定理得，，故選：A.3．已知向量，，若，則實數(shù)（

）A． B． C．2 D．-2B【分析】由平面向量線性運算的坐標表示出，，再由平面向量共線的坐標表示即可得解.【詳解】由已知得，，又因為，所以有，解得.故選：B4．袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個小球，分別寫有“風”、“展”、“紅”、“旗”四個字，若有放回地從袋子中任意摸出一個小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個球都摸到就停止摸球.利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用1，2，3，4分別代表“風”、“展”、“紅”、“旗”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：411

231

324

412

112

443

213

144

331

123114

142

111

344

312

334

223

122

113

133由此可以估計，恰好在第三次就停止摸球的概率為（

）A． B． C． D．B【分析】利用列舉法求出恰好在第三次就停止摸球的隨機數(shù)有3個，再利用古典概型的概率求解.【詳解】由題得恰好在第三次就停止摸球的隨機數(shù)有：324，443，334，共有3個.由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率為.故選：B5．在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是（

）A． B．C． D．B【分析】計算出四個選項中對應(yīng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標準差最大的一組.【詳解】對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項這一組的標準差最大.故選：B.本題考查標準差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．已知四邊形的對角線交于點O，E為的中點，若，則（

）A． B． C． D．1A【分析】利用向量的線性運算結(jié)合平面向量基本定理可求的值.【詳解】由已知得，，故，又B，O，D共線，故，所以.故選：A.7．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．C【分析】由題知，，進而利用向量求解異面直線所成角即可.【詳解】解：由題知，在直三棱柱中，平面，平面，∵平面，平面，∴，，∵，，∴.∵，，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為故選：C.8．已知在三棱錐P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．B【分析】利用空間點、線、面的位置關(guān)系，根據(jù)三棱錐的特點計算其外接球的半徑.【詳解】在等腰中，易知，所以，的外接圓的半徑為，所以三棱錐P－ABC的外接球的半徑為.所以其表面積為.故選：B.二、多選題9．設(shè)，為不重合的平面，，為不重合的直線，則其中正確命題的為（

）A．，，則B．，，，則C．，，，則D．，，，則CD【分析】以正方體為特例，結(jié)合線面（面面）垂直的判定、性質(zhì)，排除錯誤選項，得出結(jié)果.【詳解】如圖，平面，平面平面，但是，平面，A不正確；平面，平面，平面平面，但是，、異面，B錯誤；由，可得，或.又，可得，C正確；由，，可得，.又，所以，D正確.故選：CD.10．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點數(shù)為偶數(shù)”，則（

）A．M與N互斥 B．M與N不對立C．M與N相互獨立 D．BCD【分析】相互獨立事件，互斥事件，對立事件，利用定義即可以逐一判斷四個選項正誤.【詳解】對于選項A：事件與是可能同時發(fā)生的，故與不互斥，選項A不正確；對于選項：事件與不互斥，不是對立事件，選項正確；對于選項：事件發(fā)生與否對事件發(fā)生的概率沒有影響，與相互獨立.對于選項：事件發(fā)生概率為，事件發(fā)生的概率，，選項正確.故選：本題主要考查了相互獨立事件，互斥事件，對立事件，以及隨機事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.11．下列說法正確的是（

）A．一條直線和一個點可以確定一個平面B．如果、是兩條異面直線，且，，，，那么C．向量，，若向量與垂直，則D．復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為BD【分析】當點在直線上時可判斷A，由面面平行的判定定理可判斷B，利用向量數(shù)乘的坐標運算可判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)模長的三角不等式可判斷D.【詳解】選項A，當點在直線上時，可以確定無數(shù)個平面，錯誤；選項B，如果、是兩條異面直線，且，，，，則存在使得，且故，正確；選項C，由題意，向量與垂直，故，即，錯誤；選項D，由復(fù)數(shù)模長的三角不等式，即的最大值為，正確.故選：BD12．在四棱錐中，底面是正方形，底面，，截面與直線平行，與交于點，則下列判斷正確的是（

）A．為的中點B．與所成的角為C．平面D．三棱錐與四棱錐的體積之比等于ACD【分析】在A中，連結(jié)，交于點，連結(jié)，則平面平面，推導(dǎo)出，由四邊形是正方形，從而，進而；在B中，由，得（或其補角）為與所成角，推導(dǎo)出，從而與所成角為；在C中，推導(dǎo)出，，由此能證明平面；在D中，設(shè)，則，．由此能求出三棱錐與四棱錐的體積之比等于．【詳解】解：在A中，連結(jié)，交于點，連結(jié)，則平面平面，∵平面，平面，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，故A正確；在B中，∵，∴（或其補角）為與所成角，∵平面，平面，∴，在中，，∴，∴與所成角為，故B錯誤；在C中，∵四邊形為正方形，∴，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，故C正確；在D中，設(shè)，則，．∴，故D正確．故選：ACD．三、填空題13．已知點，，則___________.【分析】由向量坐標得，再由模長公式進而得解.【詳解】由題意得，故.故答案為.14．在中，，，其面積為，則_______．【分析】利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得，結(jié)合正弦定理求得正確答案.【詳解】依題意，，由余弦定理得，，由正弦定理得.故15．向量、滿足，，且，則向量在上的投影向量為_________.【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及定義求出向量、的夾角的余弦值，再根據(jù)向量在上的投影為求出投影，最后根據(jù)計算可得.【詳解】解：因為，，且，所以，所以，所以向量在上的投影為，所以向量在上的投影向量為.故答案為.16．如圖，正方體的棱長為4，點P在正方形的邊界及其內(nèi)部運動.平面區(qū)域W由所有滿足的點P組成，則四面體的體積的取值范圍_________.【分析】連接，由線面垂直的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出，即可得到以為圓心2為半徑的圓面上，即可求出的面積，再根據(jù)得到當在邊上時四面體的體積最大，當在邊的中點時四面體的體積最小，再根據(jù)面體的體積公式計算可得取值范圍.【詳解】連接，如圖所示，因為平面，平面，所以，∵，由，，則；所以在以為圓心2為半徑的圓面上，由題意可知，，所以當在邊上時，四面體的體積的最大值是.所以當在邊的中點時，的面積取得最小值，此時，所以四面體的體積的最小值是，所以，故答案為.思路點睛：求解三棱錐體積的最值問題，要找準突破口，也即是按三棱錐的體積公式，通常會有以下兩種：①如果底面積固定，則通過找高的最值來進行求解；②如果高已知確定，則求底面積的最值來進行求解（如本題）.四、解答題17．已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，底面.(1)求證：平面；(2)已知，當直線與平面所成的角為時，求四棱錐的體積.(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意可證得，，再由線面平行的判定定理即可證明.（2）平面，所以為四棱錐的高，由題意求出菱形的面積，再由棱錐的體積公式計算即可得出答案.【詳解】（1）四邊形是菱形，，又平面，平面，，又，平面，平面；（2）解：平面，是直線與平面所成的角，于是，，，又，所以菱形的面積為，故四棱錐的體積.18．在中，角、、所對的邊分別為、、，且與共線.(1)求：(2)若，且，，求的面積.(1)(2)【分析】（1）利用向量共線的坐標表示結(jié)合正弦定理可求得，再由角的取值范圍可求得角的值；（2）求出、的長，在中，利用余弦定理可得出關(guān)于的方程，解出的長，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：在中，，因為向量與向量共線，則，由正弦定理可得，所以，，、，則，所以，，因此，.（2）解：，且，，，，在中，由余弦定理有，即，即，，解得，所以，.19．第24屆冬奧會于2022年2月在北京舉行，志愿者的服務(wù)工作是冬奧會成功舉辦的重要保障.某高校承辦了北京冬奧會志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三?四?五組的頻率之和為，第一組和第五組的頻率相同.(1)求的值；(2)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)；(3)在第四?第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率.(1)；(2)；(3).【分析】（1）由題設(shè)及直方圖各組頻率和為1，列方程組求參數(shù)a、b.（2）由（1）的結(jié)果，根據(jù)頻率直方圖求平均值即可.（3）由分層抽樣的性質(zhì)可得抽取5人有4人來自第四組，1人來自第五組，應(yīng)用列舉法求兩人來自不同組的概率.【詳解】（1）由題設(shè)，，解得.（2）由（1）及直方圖可知：這100名候選者面試成績的平均數(shù)為.（3）由題設(shè)，第四?第五組頻率比為，所以抽取5人有4人來自第四組，1人來自第五組，第四組的4人分別為，第五組的1人為，所以5人中選出2人的所有組合有，共10種情況，而兩人來自不同組的組合有，共4種，所以兩人來自不同組的概率為.20．某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)已知樣本中分數(shù)在的學生有5人，試估計總體中分數(shù)小于40的人數(shù)；(2)試估計測評成績的第三四分位數(shù)；(3)已知樣本中男生與女生的比例是3：1，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請計算出總體的方差.(1)20人(2)78.75(3)【分析】（1）（2）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解，（3）由平均數(shù)與方差的計算公式求解，【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，分數(shù)在的頻率為，在樣本中分數(shù)在的人數(shù)為（人），在樣本中分數(shù)在的人數(shù)為95人，所以估計總體中分數(shù)在的人數(shù)為（人），總體中分數(shù)小于40的人數(shù)為20人（2）測試成績從低到高排序，樣本中分數(shù)在的頻率為，樣本中分數(shù)在的頻率為，則75%分位數(shù)在之間，所以估計測評成績的75%分位數(shù)為.（3）總樣本的均值為，所以總樣本的方差為21．在中，角，，所對的邊分別為，，.在①；②；③這三個條件中任選一個作為已知條件.(1)求角的大??；(2)若，求周長的最小值.(1)(2)【分析】（1）選①.，利用二倍角的余弦公式求解；選②.，利用正弦定理和余弦定理求解；選③.，利用正弦定理，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)求解；（2）由（1）知，利用余弦定理得到，再結(jié)合基本不等式求解.【詳解】（1）解：選①.，即，所以，所以.又因為，所以.選②.因為，所以，即，由正弦定理得.由余弦定理知.又.所以；選③.因為.由正弦定理得，所以，即.因為，所以，又.所以；（2）由（1）知，則由余弦定理得，.所以，所以，當且僅當時取等號.所以周長的最小值為.22．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如圖，五面體是一個“芻甍”，四邊形為矩形，與都是正三角形，，.求證：面；求直線與平面所成角的正弦值.（1）見解析；（2）.【分析】（1）先證面，