2022-2023學(xué)年浙江省南太湖聯(lián)盟高二年級上冊學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省南太湖聯(lián)盟高二上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)O為原點(diǎn)，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2＋3i，－3－2i，那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A．－1＋i B．1－iC．－5－5i D．5＋5iD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)橛梢阎剑?，3），＝（－3，－2），所以，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5＋5i；故選：D.2．已知集合，為整數(shù)集，則

A． B．C． D．D【分析】根據(jù)集合運(yùn)算的定義計(jì)算即可.【詳解】由已知得，則；故選：D．3．已知，則的最小值為（

）A．3 B．2C．4 D．1A【分析】因?yàn)?，所以，將分離常數(shù)既可以用基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)?，所以，由均值不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最小值為3，故選：A本題主要考查了基本不等式求和的最小值，屬于基礎(chǔ)題.4．已知，則等于（

）A． B．2 C． D．D【分析】根據(jù)已知條件，利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求即可.【詳解】由，即，所以，故選：D．5．上、下底面面積分別為和，母線長為的圓臺，其兩底面之間的距離為（

）A．4 B． C． D．A【分析】根據(jù)圓臺底面半徑，母線，高之間的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)圓臺的母線長l、高h(yuǎn)和上、下兩底面圓的半徑r，R，因?yàn)樯稀⑾碌酌婷娣e分別為36π和49π，所以，因?yàn)?，解得h＝4，即兩底面之間的距離為4故選：A6．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，，，∴.故選：A7．有四個(gè)冪函數(shù)：①；②；③；④.某同學(xué)研究了其中的一個(gè)函數(shù)，他給出這個(gè)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：（1）偶函數(shù)；（2）值域是且；（3）在上是增函數(shù).如果他給出的三個(gè)性質(zhì)中，有兩個(gè)正確，－個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是（

）A．① B．② C．③ D．④B【分析】分析每個(gè)冪函數(shù)的奇偶性、值域、單調(diào)性，根據(jù)題意，選擇滿足題意的即可.【詳解】①，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱.因?yàn)?，故為奇函?shù)；因?yàn)?，故其值域?yàn)椋呵?；其在是單調(diào)減函數(shù).在給出的函數(shù)性質(zhì)中，有兩個(gè)錯(cuò)誤，故①不是研究的函數(shù).②，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱.因?yàn)?，故其在定義域是偶函數(shù)；因?yàn)椋势渲涤驗(yàn)?；其在是單調(diào)增函數(shù).在給出的函數(shù)性質(zhì)中，有兩個(gè)正確，故②是研究的函數(shù).③，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.因?yàn)?，故其在定義域是奇函數(shù)；因?yàn)?，故其值域?yàn)?；其在上是單調(diào)增函數(shù).在給出的函數(shù)性質(zhì)中，有兩個(gè)錯(cuò)誤，故③不是研究的函數(shù).④，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.因?yàn)?，故其是奇函?shù)；因?yàn)?，故其值域?yàn)?；其在定義域上單調(diào)遞增.在給出的函數(shù)性質(zhì)中，有兩個(gè)錯(cuò)誤，故④不是研究的函數(shù).綜上所述，研究的函數(shù)是②.故選.8．窗的運(yùn)用是中式園林設(shè)計(jì)的重要組成部分，在表現(xiàn)方式上常常運(yùn)用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境．從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等．已知圓O是某窗的平面圖，O為圓心，點(diǎn)A在圓O的圓周上，點(diǎn)P是圓O內(nèi)部一點(diǎn)，若，且，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．9 D．16A【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積，可求得，確定其取值范圍，再根據(jù)平方后的式子，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，則．因?yàn)辄c(diǎn)P是圓O內(nèi)部一點(diǎn)，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值是3,故選：A.二、多選題9．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為B．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為C．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為BC【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】，，對于A，與不存在關(guān)系，不一定相等，故錯(cuò)誤；對于B，，，所以數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故正確；對于C，，，故正確；對于D，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，故錯(cuò)誤.故選：BC.10．將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的值可能為(

)A． B． C． D．BD【分析】根據(jù)圖象平移求出平移后函數(shù)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性即可求出的值．【詳解】平移后得到函數(shù)解析式為，∵g(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即g(x)是奇函數(shù)，∴，∴，∴．當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝；當(dāng)k＝1，φ＝．故選：BD．11．三角形有一個(gè)角是，這個(gè)角的兩邊長分別為8和5，則（

）．A．三角形另一邊長為7 B．三角形的周長為20C．三角形內(nèi)切圓周長為 D．三角形外接圓面積為ABD【分析】利用余弦定理求得第三邊長，由此判斷AB選項(xiàng)的正確性；利用三角形面積列方程，解方程求得內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切圓的周長，由此判斷C選項(xiàng)的正確性；利用正弦定理求得外接圓的半徑，由此求得外接圓的面積，從而判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】可得另一邊長為，三角形的周長為20，則A正確，B正確；設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，則，則內(nèi)切圓周長為，則C不正確；設(shè)外接圓半徑為，則，,其面積為，則D正確．故選：ABD.本題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形內(nèi)切圓，外接圓有關(guān)計(jì)算.屬于較易題.12．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體(semi-regularsolid)，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種半正多面體．已知，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（

）A．該半正多面體的體積為B．該半正多面體過三點(diǎn)的截面面積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足關(guān)系式ACD【分析】根據(jù)幾何體的構(gòu)成可判斷A，由截面為正六邊形可求面積判斷B，根據(jù)外接球?yàn)檎睦庵膳袛郈，根據(jù)頂點(diǎn)，面數(shù)，棱數(shù)判斷D.【詳解】如圖，該半正多面體，是由棱長為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的.對于A，因?yàn)橛烧襟w沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：，故正確；對于B，過三點(diǎn)的截面為正六邊形，所以，故錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為,側(cè)棱長為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積，故正確；對于D，幾何體頂點(diǎn)數(shù)為12，有14個(gè)面，24條棱，滿足，故正確.故選：ACD三、填空題13．甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則密碼被成功破譯的概率_________．【分析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進(jìn)而由對立事件的概率性質(zhì)分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼的概率，故該密碼被成功破譯的概率．故．14．寫出一個(gè)與向量的夾角為45°的向量__________．（答案不唯一寫出一個(gè)即可）（1，0）（答案不雅一）【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角即可.【詳解】設(shè)，則故可取故15．如圖，已知，D是中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面的距離是___________.【分析】證明，得線面垂直，從而得點(diǎn)到平面的距離，由此易得其長度．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，又D是中點(diǎn)，所以，，平面，所以平面，的長就是點(diǎn)B到平面的距離，由已知，，故．16．已知函數(shù)若方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是________．【分析】作出的圖像，令，問題等價(jià)于關(guān)于t的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，再分解因式求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示．令，則方程有6個(gè)不等實(shí)數(shù)解，等價(jià)于關(guān)于t的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令，則解得且．故答案為.方法點(diǎn)睛：研究方程問題，一方面用函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．四、解答題17．在銳角中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)若，，求△ABC的面積．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，根據(jù)△ABC是銳角三角形求出角C的值；（2）根據(jù)余弦定理求出，再利用面積公式求出答案.【詳解】(1)由及正弦定理得．因?yàn)?，故，又△ABC是銳角三角形，所以；(2)由余弦定理得:，解得：或（舍去）．故．18．已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，其中．(1)求及在上的投影向量；(2)證明，，三點(diǎn)共線，并求當(dāng)時(shí)的值．(1)，在上的投影向量為；(2)證明見解析；【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算算出，接著先算，，接著利用投影公式算出答案；（2）先利用得到且，利用題意算出能得到，再結(jié)合公共點(diǎn)能得到三點(diǎn)共線，最后，最終算出的值【詳解】(1)因?yàn)?，，所以，，，所以在上的投影向量?2)證明：因?yàn)?，所以且，因?yàn)椋?，，所以，即，又有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線；因?yàn)椋?，?9．已知函數(shù).(1)求的最小正周期和對稱中心坐標(biāo)(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值．(1)，，(2)最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，進(jìn)而可得最小正周期與對稱中心；（2）利用整體代入法求最值.【詳解】(1)由已知，所以最小正周期，令，，得，，所以對稱中心為，；(2)當(dāng)時(shí)，，所以，故，所以函數(shù)的最大值為，最小值為.20．某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對該部門評分的50%分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(3)從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評分都在的概率．(1)(2)76.4(3)【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的各個(gè)小矩形的面積之和為1求出a；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖求出從評分在和的人中抽取的人數(shù)，再根據(jù)古典概型計(jì)算概率.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得：，解得．(2)評分在的概率為，評分在的概率為，該企業(yè)的職工對該部門評分的50%分位數(shù)位于，所以50%分位數(shù)為；(3)受訪職工中評分在的有：人，記為，，，受訪職工中評分在的有：人，記為，，從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有的可能結(jié)果有10種，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，此2人評分都在包含的基本事件有，，，，，，共3個(gè)，從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，此2人評分都在的概率．21．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；(3)若關(guān)于的不等式在有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(1)(2)減函數(shù)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，利用進(jìn)行求解．（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參變分離的思想結(jié)合函數(shù)有解的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【詳解】(1)由為定義在上奇函數(shù)，可知，解得．則，，故．(2)由單調(diào)遞增可知在上為減函數(shù)，證明如下：對于任意實(shí)數(shù)，，不妨設(shè)，遞增，且，，，，故在上為減函數(shù)．(3)由為奇函數(shù)得：，等價(jià)于．又由在上為減函數(shù)得：，即；因?yàn)?，所以．原問題轉(zhuǎn)化為在上有解，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，當(dāng)時(shí)，取得最大值．，解得，的取值范圍是．22．如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，點(diǎn)分別在線段和上，且．（1）求證：平面；（2）設(shè)二面角大小為，若，求直線和平面所成角的正弦值．（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連接，交于，只須證明平行于平面內(nèi)直線即可；（2）取中點(diǎn)，連接、，可得為二面角的平面角，再在中利用余弦定理求出，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可證平面，即為點(diǎn)到平面的距離，又平面，則也為點(diǎn)到平面的距離，再利用等面積法求出，再求長，二者之比即為所求．【詳解】（1）證明：連接，交于，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）解：取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉檎切危?，，因?yàn)闉橹苯翘菪?，，，，所以四邊形為矩形，所以，因?yàn)?，所以平面，所以平面平面，所以為二面角的平面角，所以，設(shè)，由余弦定理得，于是，整理得，解得或（舍去），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，