2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市四校高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 解析版

湖南省長(zhǎng)沙市四校2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．若圓與圓相外切，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．3．已知圓：，為圓心，為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．4．已知空間向量，，則在上的投影向量坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．5．已知橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是A．1 B． C． D．6．如圖，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，若，則（

）A． B． C． D．7．已知正方體棱長(zhǎng)為2，P為空間中一點(diǎn).下列論述正確的是（

）A．若，則異面直線BP與所成角的余弦值為B．若，三棱錐的體積不是定值C．若，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面D．若，則異面直線BP和所成角取值范圍是8．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，離心率為.過且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是（

）A．19 B．14 C． D．13二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．若方程表示的曲線為，則下列說法正確的有（

）A．若，則曲線為橢圓 B．若曲線為雙曲線，則或C．曲線不可能是圓 D．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則10．在三維空間中，定義向量的外積：叫做向量與的外積，它是一個(gè)向量，滿足下列兩個(gè)條件：①，，且，和構(gòu)成右手系（即三個(gè)向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示）；②的模，(表示向量，的夾角)．在正方體中，有以下四個(gè)結(jié)論，正確的有（）A． B．與共線C． D．與正方體表面積的數(shù)值相等11．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，且圓上的所有點(diǎn)均在橢圓外，若的最小值為，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓的直徑長(zhǎng)相等，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的焦距為2 B．橢圓的短軸長(zhǎng)為C．的最小值為 D．過點(diǎn)的圓的切線斜率為12．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，半圓面平面，點(diǎn)為半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），下列說法正確的是（

）A．三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形B．三棱錐的體積最大值為C．異面直線與的距離是定值D．當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，平面截四棱錐外接球的截面面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．13．已知，空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為．經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為．用以上知識(shí)解決下面問題：已知平面的方程為，直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為_________．14．若，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)，為橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_________．15．已知圓，點(diǎn)，設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，令，則的最小值為________．16．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓與另一點(diǎn)（不與重合）．設(shè)的外心為，則的值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：（Ⅰ）若BC的中點(diǎn)為D，求直線AD的方程；（Ⅱ）求△ABC的面積．18．在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足(1)求角C的大??；(2)若，角A與角B的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，求面積的取值范圍.19．如圖，斜三棱柱的體積為，的面積為，，，平面平面，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．(1)求到平面的距離；(2)求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．20．已知圓的圓心在直線：上，且與直線：相切于點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．21．如圖，，為圓柱的母線，是底面圓的直徑，，分別是，的中點(diǎn)，面．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面的夾角余弦值．22．已知直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D.當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓E的左頂點(diǎn)時(shí)，橢圓E兩焦點(diǎn)到直線l的距離之比為.(1)求橢圓E的離心率；(2)若，求的值.

答案：1．A【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的知識(shí)點(diǎn)即可得到答案.【詳解】空間中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)相反，所以點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A2．C【分析】由兩圓外切圓心距等于半徑之和求解即可【詳解】的圓心，半徑為2，的圓心，半徑為1，因?yàn)閮蓤A外切，所以，即，解得，故選：C3．D【分析】利用圓的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，所以有，由，得，該圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所以有，于是有，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為，故選：D4．B【分析】根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，所以則在上的投影向量坐標(biāo)是：故選：B5．D【分析】由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【詳解】由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時(shí)|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D．本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．6．C【分析】由已知，根據(jù)題意，將利用線性運(yùn)算表示成的關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法即可求解出.【詳解】由已知，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，所以所以.故選：C.7．D【分析】A：為中點(diǎn)，連接，若分別是中點(diǎn)，連接，找到異面直線BP與所成角為或其補(bǔ)角，求其余弦值；B：在（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，△面積恒定，到面的距離恒定，即可判斷；C：若分別是中點(diǎn)，在（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，證明面，易知要使面，則必在面內(nèi)，即可判斷；D構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)表示求，進(jìn)而判斷夾角的范圍.【詳解】A：由，即為中點(diǎn)，連接，若分別是中點(diǎn)，連接，則，又且，即為平行四邊形，所以，所以異面直線BP與所成角，即為或其補(bǔ)角，而，，，故，錯(cuò)誤；B：由知：在（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，如下圖示，△面積恒定，到面的距離恒定，故的體積是定值，錯(cuò)誤；C：若分別是中點(diǎn)，由知：在（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，由面，面，則面面，由，面面，面，所以面，面，則，同理可證：，由，、面，故面，而面面，要使面，則必在面內(nèi)，顯然面，故錯(cuò)誤；D：由知：在（含端點(diǎn)）上移動(dòng)，如下圖建系，，，則，設(shè)，則，所以，令，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)直線和所成角是；當(dāng)，即時(shí)，則，當(dāng)，即時(shí)，取最大值為，直線和所成角的最小值為，正確.故選：D關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)向量的線性關(guān)系判斷的位置，結(jié)合異面直線夾角的定義、錐體體積公式、線面垂直的判定及向量夾角的坐標(biāo)求法，證明或求解線面垂直、體積、異面直線夾角范圍等.8．D【分析】由離心率為，得到a，b，c之間的關(guān)系，做出簡(jiǎn)圖，分析可得直線的方程為：，且直線垂直平分，所以的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，等于，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出c，a的值.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，，如圖，，所以為正三角形，又因?yàn)橹本€過且垂直于，所以，直線的方程為：，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)，點(diǎn)E坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，則，，所以，得，.由圖，直線垂直平分，所以的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，等于.故選：D.9．BD【分析】根據(jù)的取值，結(jié)合圓與圓錐曲線方程的特征逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，此時(shí)曲線為圓，故A錯(cuò)，對(duì)于B,若曲線為雙曲線，則，即或，故B對(duì)，對(duì)于C,若曲線為圓，則即，故曲線可能是圓，故C錯(cuò)，對(duì)于D,曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則，解得，故D對(duì).故選：BD.10．ABD【分析】根據(jù)所給定義及正方體的性質(zhì)一一計(jì)算可得.【詳解】解：對(duì)于A，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，在正方體中，則，因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以A正確；對(duì)于B，，，，平面，平面，因?yàn)槠矫妫?，同理可證，再由右手系知，與同向，所以B正確；對(duì)于C，由，和構(gòu)成右手系知，與方向相反，又由模的定義知，，所以，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，正方體棱長(zhǎng)為，，正方體表面積為，所以D對(duì)．故選：ABD．11．AD【分析】根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓的直徑長(zhǎng)相等求得；將的最值轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)到定點(diǎn),以及左焦點(diǎn)的最小值問題，數(shù)形結(jié)合求得，即可判斷選項(xiàng)；再結(jié)合橢圓定義，以及圓的切線方程的求解，即可判斷.【詳解】根據(jù)題意，作出如下所示的圖形，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與圓的直徑長(zhǎng)相等，，，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的定義可知，，，，解得或，因?yàn)?，?橢圓的焦距為2，即正確；由，得橢圓的短軸長(zhǎng)為，即錯(cuò)誤；，即錯(cuò)誤；設(shè)過點(diǎn)的圓的切線方程為，則，解得，即正確．綜上所述：正確的選項(xiàng)是.故選.12．ACD【分析】對(duì)于A，使用空間中直線、平面垂直有關(guān)定理證明；對(duì)于B，三棱錐底面積固定，當(dāng)高最大時(shí)，體積最大，可通過計(jì)算進(jìn)行判斷；對(duì)于C，找到與和均垂直的即可判斷；對(duì)于D，首先利用空間向量解決與平面所成角最大時(shí)點(diǎn)的位置，再用△的外接圓解決平面的截面圓面積的計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，∵四邊形為正方形，∴△為直角三角形；∵為直徑，為半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，∴，△為直角三角形；∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∵平面，∴，△為直角三角形；∵平面，平面，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，△為直角三角形；因此，三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，故A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，為三棱錐的高，∴三棱錐的體積∵△的面積為定值，∴當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)，，∴三棱錐體積的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A選項(xiàng)解析可知，，又∵四邊形為正方形，∴，∴異面直線與的距離為線段的長(zhǎng)，，∴異面直線與的距離是定值，故C正確；對(duì)于D，由B選項(xiàng)解析知，平面，為在平面內(nèi)的射影，∴為直線與平面所成角，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，取最小值，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，，，則∴在直角三角形內(nèi)，，即，∴，，，，∵，∴∴∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，直線與平面所成角最大，此時(shí)，∵，，三點(diǎn)均為四棱錐的頂點(diǎn)，∴平面截四棱錐外接球的截面為△的外接圓面，∵直角三角形外接圓半徑，∴截面面積，故D正確.故選：ACD.易錯(cuò)點(diǎn)睛：在判斷三棱錐的四個(gè)面是否都是直角三角形時(shí)，易忽視△，需通過證明平面進(jìn)行判斷；在確定直線與平面所成角最大時(shí)點(diǎn)的位置時(shí)，容易錯(cuò)誤的認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大，需使用空間向量，借助三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行判斷.13．【分析】由已知定義可確定平面的法向量和直線的方向向量，由線面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：平面的一個(gè)法向量，直線的一個(gè)方向向量，，即直線與平面所成角的正弦值為.故答案為.14．8【分析】根據(jù)橢圓對(duì)稱性及矩形的性質(zhì)知四邊形為矩形，進(jìn)而有，再根據(jù)橢圓定義、勾股定理求即可.【詳解】由已知及對(duì)稱性得：四邊形為矩形，即，所以，由橢圓定義與勾股定理知：，可得．所以四邊形的面積為8.故815．【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，整理的表達(dá)式，則可得當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，由定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值，可得答案.【詳解】設(shè)，，，，當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，由圓，則圓心，半徑，易知，則.故答案為.16．4【分析】設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后由弦長(zhǎng)公式得，再由幾何關(guān)系得點(diǎn)坐標(biāo)，得出后化簡(jiǎn)計(jì)算【詳解】由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，代入橢圓方程得．設(shè)，則，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴．∵是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)，的垂直平分線方程為，令，得，即，∴∴．故417．（Ⅰ）x-3y+1=0（Ⅱ）10【分析】（Ⅰ）求出中點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用直線方程的兩點(diǎn)式即可得解．（Ⅱ）求出的長(zhǎng)度，再求出直線的方程及點(diǎn)到直線的距離，問題得解．【詳解】解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3），∴D（-1，0）．∴直線AD的方程為，整理得：x-3y+1=0；（Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3），∴|BC|=．又直線BC的方程為3x+y+3=0，則A點(diǎn)到直線BC的距離為，∴△ABC的面積為=10．本題主要考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線方程的兩點(diǎn)式，考查了兩點(diǎn)距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．18．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理及三角恒等變換可得，進(jìn)而即得；（2）設(shè)，利用正弦定理，三角形面積公式及三角恒等變換可得，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）∵，由正弦定理可得,，整理可得：,即，即：,又因?yàn)殇J角，所以，，所以，即，又，所以；（2）由題意可知，設(shè)，所以，又，，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，所以，又，所以，所以，所以即面積的取值范圍為.19．(1)(2)【分析】（1）由等體積法求高即可；（2）先證明，計(jì)算出的長(zhǎng)，從而得到的長(zhǎng)，再由等面積法求得長(zhǎng)的范圍，最后代入幾何關(guān)系求線面角的正弦值的取值范圍.【詳解】（1）所以即到平面的距離為.（2）如下圖取的中點(diǎn)，連接，，又平面平面平面則即為直線與平面所成的角，且于是有，平面又平面，在中由等面積法求得A到的距離為又.20．(1)，(2)或.【分析】（1）由題意設(shè)圓心為，再根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，解出，則可得圓心坐標(biāo)，再求出半徑，從而可求出圓的方程；（2）由可得圓心到直線的距離為1，然后分直線的斜率不存和存在兩種情況求解即可.【詳解】（1）由題意設(shè)圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與直線：相切于點(diǎn)，所以，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以圓心為，半徑,所以圓的方程為，（2）因?yàn)?，所以，所以圓心到直線的距離為1，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的方程為，此時(shí)滿足條件，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，即，因?yàn)閳A心到直線的距離為1，所以，解得，所以直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.21．(1)證明見解析(2)