北京通州區(qū)2022年高三數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．2B0．53．請4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。已知雙曲線Cx2

y2b2

b0

的一條漸近線方程為y2 2x，F(xiàn)1

FCP2CPF1

3PF2

( )A．9 B．5 C．2或9 D．1或5已知在BC的對邊分別為abcf(x

1x3 bx2

a2c2ac

x存在極值，則113 2 411角B的取值范圍是（ ）A．0,

B． ,

C．,

D．, 3

6 3

3

6 Ax

，Bx,

是函數(shù)fxa

bx2yfx在點x1 1 2 2xxx xx 2 1 22

f 1

2處的切線與直線AB平行，則( )A．a(chǎn)0，b為任意非零實數(shù)C．a(chǎn)、b均為任意實數(shù)xy之間的一組數(shù)據(jù)：

b0，a為任意非零實數(shù)Dxx1234ym3.24.87.5若y關于x的線性回歸方程為y0.25，則m的值為（ ）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5已知拋物線C：y2

2pxpykx

pk0與CA與CN，22若AMMN，則k（ ）A．3 B．

12 222 D．2 223 36A{2,3,4}BmAA．0 B．1 C．2

B{2}，則m（ ）42019年11月全國CP（居民消費價格指數(shù)，同比上漲4.5，CPI上漲的主要因素是CPI3.27201911CPI圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．CPI一籃子商品中所占權重最大的是居住B．CPI一籃子商品中吃穿住所占權重超過50%C．豬肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%D．豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為0.18%201920161.220162019年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結(jié)論正確的是（ ）.2016年相比，2019年不上線的人數(shù)有所增加2016年相比，2019年一本達線人數(shù)減少2016年相比，20190.3D．20162019年藝體達線人數(shù)相同y

1cosxy

1 sin 2x 的圖象上所有點的（ ）3 32 2 1橫坐標縮短到原來的2

（縱坐標不變，再向左平移3

個單位長度

1 （縱坐標不變，再向右平移個單位長度2 6橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變，再向左平移個單位長度6橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變，再向右平移個單位長度310．若向量m(0,2)，n( 3,1)，則與2mn共線的向量可以是（ ）A．( 3,1) B．(1, 3) C．( 3,1) D．(1, 3)已知平面向量b滿足aba與

的夾角為3

，且(a+b)，則實數(shù)的值為（）7

B．C．2 D．3拋物線y22x的焦點為F，則經(jīng)過點F與點M2,2且與拋物線的準線相切的圓的個數(shù)有（ ）個 B．2個 C．0個二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

D．無數(shù)個若點N為點M在平面上的正投影，則記N f(M).如圖，在棱長為1的正方體ABCDABC

中，記平11 1 1AB

為，平面ABCD 為，點P是線段

f[f

(P)],Q

f[f

(P)].給出下列四個結(jié)論：1 1 1

1

2 ①Q(mào)為ABD

的重心；2 1 1②QQ

BD；1 2③當CP4PQ

平面；5④當三棱錐D1

1APB1

的體積最大時，三棱錐D1

APB1

外接球的表面積為2.其中，所有正確結(jié)論的序號.14．已知t0f(t)t(1C12xC24x2C38x3C7128x7C8256x8)dxf(t)的展開式中各項系數(shù)和為 ．

0 8 8 8 8 81已知函數(shù)f(x)x3xa,x[ ,e]與g(x)x1的圖象上存在關于x軸對稱的點則a的取值范圍為e ．xx在

1n的展開式中，各項系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項.x7017（12分）已知函數(shù)f(x)xx2.fx≤1；fxsabcsabc0a2b2b2c2c2a2.18（12分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1

的極坐標方程為cosm，曲線C2

的極坐標方程為2 ．123sin212求曲線C1

的直角坐標方程和曲線C2

的參數(shù)方程；設曲線C1

與曲線C2

A，曲線C1

xHM(1,0)，求AMH的周長l的最大值．

0

1 019（12分）試求曲線＝sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M N2 ．0 2

0 120（12分）在直角坐標系xOy中，曲線C1

上的任意一點M到直線y1的距離比M點到點F2的距離小1.（1）求動點M的軌跡C1

的方程；（）若點P是圓Cx22y222

1上一動點，過點P作曲線C1

的兩條切線，切點分別為BAB斜率的取值范圍.21（12分已知數(shù)列an

是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列bn

為等差數(shù)列，且ba1 1

1，b3

a13

a7.5求數(shù)列n

與n

的通項公式；求數(shù)列bnn

的前nA；n 1

為數(shù)列a2n n

的前n項和，若對于任意nSn

t2bn，求實數(shù)t的值.322（10分）已知函數(shù)fx

ex，gx2xlnxx（Ⅰ）當x0時，證明fxgx；（Ⅱ）已知點Px,xfx，點（sinx,cos，設函數(shù)hxOPOQ，當x

,時，試判斷hx的零點2 2個數(shù)．參考答案125601、B【解析】根據(jù)漸近線方程求得bPF.2【詳解】2b22a

，所以b2 ，又PF1

PF2

2PF222

ca2，【點睛】2、C【解析】求出導函數(shù)f(x)，由f(x)0有不等的兩實根，即可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】

x3 bx2x3 bx2a2c2acxf(x)x2bxf(x)f(x)13

1 a2a2c2ac1 若f(x)存在極值，則b24 a2c2ac 0，a2c2b2ac4又cosB

a2c2b2

,cosB

1.又B0,,

B． 2ac 2 3故選：C．【點睛】3、A【解析】fx的導函數(shù)，結(jié)合兩點斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得a0b為任意非零實數(shù).【詳解】2 x依題意f'x a 2bx，yfx在點xx2 x

xx ,f 處的切線與直線AB平行，即有a bxx

1 22

1 22 2xx 1 22 1 2x1x1

xxa x a x bx2a xbx22 2 1 1a x 2

a2xx1 2bx2xx1 2

x

上式都成立，可得a0b為非ax x1 2xax x1 22 1零實數(shù).【點睛】4、D【解析】利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到x2.5,代入回歸方程，可得y5，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù)，可得x2.5,又y2.1x0.25,y5，m3.24.87.520．解得m4.5故選：D【點睛】5、C【解析】根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】ykx

pk0Fp,02 2 2 如圖，過A,M作準線的垂直，垂足分別為C，D，過M作AC的垂線，垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點，所以MD為三角形NAC的中位線，故MD=CE=EA=1AC2設MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME= AM2AE2 9t2t22ktanMAE

2

2 2AE t故選：C【點睛】6、A【解析】m2m22，驗證交集后求得m的值.【詳解】AA.

B{2}，所以m2或m22.當m2時，A B{2,4}，不符合題意，當m22時，m0.故選【點睛】7、D【解析】A從第一個圖觀察居住占23.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.919.9%，再看第二個圖，分清2.5%CPI.D.CPI2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%，所占權重最大的，故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，權重超過50%，故正確.C.食品占中19.9%，分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%，故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查統(tǒng)計圖的識別與應用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.8、A【解析】設2016年高考總?cè)藬?shù)為x，則2019年高考人數(shù)為1.2x，通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.【詳解】20162019年高考人數(shù)為1.2x，2016年高考不上線人數(shù)為，2019年不上線人數(shù)為1.2x0.280.336x0.3xA正確；2016年高考一本人數(shù)0.3x，2019年高考一本人數(shù)1.2x0.260.312x0.3x，故B錯誤；2019年二本達線人數(shù)1.2x0.40.48x，2016年二本達線人數(shù)0.34x，增加了0.48x0.34x0.41C錯誤；0.34x2016年藝體達線人數(shù)0.06x，2019年藝體達線人數(shù)1.2x0.060.072x，故D錯誤.A.【點睛】9、C【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關系，即可容易求得.【詳解】1為得到y(tǒng) cosx1

1 sin x ，2 22 2 將y1sin2x橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變， 32 321 y

sinx ；23 23 1 再將y sin x

向左平移個單位長度，32 32 61sinx1sinx1sinx1 2 3 6 222 C.【點睛】

cosx.本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.10、B【解析】先利用向量坐標運算求出向量2mn,然后利用向量平行的條件判斷即可.mm2,n3,12mn3,33 33 3

3,3故選B【點睛】屬于基礎題不可錯位.11、D 由已知可得ab2ab 0，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律，建立方程，求解即.【詳解】依題意得ab21cos3

1由b02a2b21ab090，解得3.故選D.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題.12、B【解析】FMFM且與lF22個圓．【詳解】M(2,2)y2F(10)，2

2x上，F(xiàn)M且與lFM2個，F(xiàn)M且與l2種．故選：B．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，本題解題的關鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線上，且在垂直平分線上．452013、①②③【解析】①點P在平面ABCD 內(nèi)的正投影為點C而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直所以直線CA1

垂直于AB

，而ABD

為正三角形，可得Q

為正三角形ABD

的重心，所以①是正確的；1 1 1 1 2 1 1B

EAE，則點PAB

AE上，記為Q，而BD

AQQ平1 1面ACC

，所以QQ

1 1BD，所以②正確；

1 1 1 211 1 2③若設AE CC1

MPQ1

AERtMAC∽RtMPQCP45④由于V

V AB

PAB

APB的DAPB

PABD 1 1

1 1 1 11 1 11P與點CPAB

PAB

為棱長為2的正四面體，其外R【詳解】

32

1 1 1 13，所以④錯誤.球f(PC，連接

，則有CA

ABD

AB

Q,CA

CD,AB

為正三角形，1 1 1 1

1 1

1 1 1 1所以Q為正三角形ABD的中心，也是AB

的重心，所以①正確；2 1 1 1 1由

AB

ACC

AB

，記f(P)Q，1 1 1 1 1 1 1BDACBD

BD

A,Q,

ACC

，則QQ

BD，所以②正確；1 1 1 1 2 11 1 2若PQ1

PQ1

AE，設CPt(0 t 1),AECC1

2tM由Rt MAC∽Rt MPQ得PQ ，易得3QC

2(2tPQ

tAE，則PQCMACtanPQCtanMAC得，2

22，解得1 3 1 1

1 (2t)3tCP4，所以③正確；5P與C

V 最大，PAB

為棱長為2的正四面體，其外接球半徑R

3S

3，DAPB

PABD 1 1 球1 1 11 2所以④錯誤.故答案為：①②③【點睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.114、9【解析】f

(12t)9

1，令t1f

1，即可得到答案．【詳解】根據(jù)定積分的計算，可得t

18 18 9t 1f(t)

C12xC24x2C38x3...C7128x7C8256x8)dx (12x)8dx

(12x)9|t0 8 8 8 8 8 0

18 01 (12t)9 ，1 18 18令t1f1(121)911，18 18 9即f(t)的展開式中各項系數(shù)和為1.9【點睛】本題主要考查了定積分的應用，以及二項式定理的應用，其中解答中根據(jù)定積分的計算和二項式定理求得f(t)的表示是解答本題的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．15、[2,e32]【解析】1

軸對稱的點的等價命題是方程﹣x3

xx1在區(qū)間[ ,e]上有解，化簡方程1e1x3

在區(qū)間[ ,e]上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得.e【詳解】f(x)x2xa(1xegx3lnxx1x軸對稱的點，e1則方﹣x3xx1在區(qū)間[ ,e]上有解，1e即方程x

1在區(qū)間[ ,e]上有解，e

3 3(x31)設函數(shù)g(x)x3，其導數(shù)g'(x)3x2 ，x xx[1e1x1時，g'(x0,g(x為減函數(shù)，e e當1xe時，g'(x0,g(x為增函數(shù)，g(x)x3g(1)1，1 1 1又由g() 3,g(e)e33；比較可得：g()g(e)，e e3 e故函數(shù)gxx33lnx有最大值gee33，故函數(shù)

gxx33lnx

1在區(qū)間[ ,e]上的值域e

[1e33]；1若方程ax3lnx在區(qū)間[ ,e]上有解，1e必有1a1e33，則有2ae32，a的取值范圍是[2,e32]；故答案為：[2,e32]；【點睛】本題利用導數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點問題的拓展.由于函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)=0..16、15【解析】利用展開式各項系數(shù)之和求得n的值，由此寫出展開式的通項，令指數(shù)為零求得參數(shù)的值，代入通項計算即可得解.【詳解】xx 1xx

2n64

，得n6，x 16 x

6r 1r 63r所以， 的展開式通項為T Cr x

Crx 2 ， x63r

r6

x 6令 0，得r2

2，因此，展開式中的常數(shù)項為C26

15.故答案為：15.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的計算，涉及二項展開式中各項系數(shù)和的計算，考查計算能力，屬于基礎題.7017（）,（）證明見解析【解析】

3, x1

f(x)2x1, 1x 3, x2

,進而分類討論求解不等式即可；fx3,.【詳解】f(x)xx23, x1f(x)2x1, 1x2 3, x2x131恒成立，x1；②當1x22x11x1，1x1；x231綜上所述，不等式的解集為.（2）由（1）知f(x) 3s，maxa2b4c2于是aba2b4c2a2b2b2c22

2ab2c （當且僅當ac時取等號）b2c2c2a22c2a2a2b22

2abc2 （當且僅當ba時取等號）a2b2c4a4b2c22a2bca2b2c4a4b2c2上述三式相加可得 2a2b2b2c2c2a2 2abc(abc（當且僅當abc時取等號）abc3，a2b2b2c2c2a2，故得證.【點睛】.18（1）曲線C1

xm，曲線C2

的參數(shù)方程為x2cos 為參數(shù))（）2 333y 3n【解析】xcoscosmxm，所以曲線C1

的直角坐標方程為xm．2

123sin2

可得3

2sin212，ysin

x2y2代入上式，可得3x23y2y212，x2 y2整理可得 1，所以曲線

x2cos的參數(shù)方程為

(為參數(shù))．4 3 2

y 3sin由題可設A(2cos, 3sin)，2

，H(2cos,0)，所以|AH| 3sin，|HM12cos，(12cos)23sin2cos24cos(12cos)23sin2cos24cos4所以lAH||HM||AM| 3sin(12cos)(2cos) 3sin3cos32 3sin()3，32

6

，33 33所以當

333

，即2

56

時，l取得最大值為2

3，所以AMH的周長l的最大值為2

3．19、y＝2sin2x．【解析】

1 01

0 1 0計算MN 2

2

，計算得到函數(shù)表達式.0 20 1 0 2 【詳解】1 0

1 0

1 01

0 1 0∵M ，N2

，∴MN 2 2 ，0

0 1 0 20 1 0 2 x x'

1x

∴在矩陣MN變換下， → 2 y y' 2y ∴曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y＝2sin2x．【點睛】本題考查了矩陣變換，意在考查學生的計算能力.20（1）x2

8y（）1,3 4 4 【解析】MxyM的軌跡方程滿足的等式，化簡即可求得動點M的軌跡C1

的方程；PB的斜率分別為k

Ax

，Bx,

，點Pm,n，則可得過點P的拋物線的1 2 1 2 2 2ykxmn，聯(lián)立拋物線方程并化簡，由相切時0可得兩條切線斜率關系k1

k,kk2 1

；由拋物y,y1 2

，可求得kAB

m，結(jié)合點Pm,n滿足4x22y2【詳解】

1的方程可得m的取值范圍，即可求得k

的范圍.ABMxy，∵點M到直線y1的距離等于y1，2y2y2

1x2

8y，∴動點M的軌跡C1

的方程為x28y.PB的斜率都存在，分別設為k

Ax

，Bx,y，1 2 1 2 2 2設點Pm,n，過點P的拋物線的切線方程為ykxmn，ykxmn聯(lián)立 x28y

，化簡可得x28kx8km8n0，∴64k232km32n0，即2k2kmn0，∴kk1

m，kk2 1

n.2xx2

8y，求得導函數(shù)y ，4x2 x2∴x4k，y12k2，y

22k2，1 1 1 8

1 2 8 2y y 2k22k2 k k m∴k 2 1 2 1 2 1 ，AB xx2 1

4k 4k 2 42 1因為點Pn滿足x2

y2

1，由圓的性質(zhì)可得1m3，∴1k

m

3，即直線AB斜率的取值范圍為1,3.4 AB 4 4

4 4【點睛】本題考查了動點軌跡方程的求法，直線與拋物線相切的性質(zhì)及應用，導函數(shù)的幾何意義及應用，點和圓位置關系求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.21（1）a【解析】

2n1（2）A2n2nn1，bn

(2n3)2n3（3）t23假設公差d，公比q，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，化簡式子，可得dq果.根據(jù)（1）.計算出S ，代值計算并化簡，可得結(jié).n【詳解】

b2daq21解（）依題意：1 1 ，b4daq471 12dq2 d2即 ，解得：2nn1，bn4dq42nn1，bna

2n1abnn

(2n1)2n1，A 132522 (2n1)2n1，n2A 12322523n

(2n1)2n，上面兩式相減，得：A 12(222 2n1)(2n1)2nn2(12n1)則A 12 (2n1)n 12An

(32n)2n3An

(2n3)2n3an

22n2

4n1S 144243n

4n1，Sn

14n4n114 31t1t24n113bn得，33n

t22n1，即t

22n 122322n1 3 3【點睛】22（Ⅰ）（Ⅱ1.【解析】（Ⅰ）令xfxgxex

2xlnxx0；則