北京市西城區(qū)第三中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項10．5請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．作答選擇題，必須用2B答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．52B一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。記Sn

為數(shù)列an

的前n項和數(shù)列n

pqN*

p

a ap

13.若a3

7Sn

取最小值時，n等于（ ）A．6 B．7 C．8 D．9x0，y0已知x，y滿足條件yx （k為常數(shù)，若目標函數(shù)z3xy的最大值為，則k（ ）2xyk0A．B．C．27 D．274 4xx1B（3．若集合A1xBx 0xx1B（ A．

B．C．1,1 D．過雙曲線Cx2y2a2 b2

0,b0)FCAB，且FAFB0AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為（ ）235B． C．2 D．235fxlnxgx3xn，若對任意的x0,fxgx恒成立，記3n的最小值為fn，則fn最大值為（ ）1B．e

1 1eC． D．ee2106．已知AB，AC,，若cosBAC1010

，則實數(shù)的值是（ ）A．-1 B．7

C．1

D．1或7x2y26x70y22pxp0p的值為（）1A．1 B．2 C．2下列說法正確的是（ ）

D．4a1，則a1”的否命題是a1，則a21”在ABC 中，“AB是“sinAsinB成立的必要不充分條件C．“tan1，則4

”是真命題D．存在x0

(,0)，使得2x

3x成立00Rf(x)2|xm|為實數(shù)af000.5

3，bflog2

f(2m)則a，b，c的大小關(guān)系為( )abc B．a(chǎn)cb C．cab D．cba2x (x0)

f(x)lnx (x

，且關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍（ ．A．[0,) B．) C．(0,) D．[,1)已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（ ）兩兩垂直

P-ABC83C．|PAPBPC|

6 D．三棱錐P-ABC的側(cè)面積為3 5已知變量的幾組取值如下表：x 1 2 3 4y 2.4 4.3 5.3 7若y與x線性相關(guān)，且y0.8xa，則實數(shù)a（ ）7 11 9 13A． B． C． D．4 4 4 4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。α﹣l﹣βAl△ABC的周長的最小值為 ．如圖是一個算法流程圖，若輸出的實數(shù)y的值為1，則輸入的實數(shù)x的值為 .e已知函數(shù)fxaln2xe2x有且只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍.e將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參文明交通志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE平面ABCD.AECBED；若BAD60，AEEC，三棱錐EACD的體積為8 6，求菱形ABCD的邊長.33 2 32 1 1 18（12分）已知矩陣A ,B ，且二階矩陣M滿足A，求M2 1 1 特征向量.19（12分）在ABC中，asinCccosA．（Ⅰ）A的大??；（Ⅱ）若SABC 3，bc22 3，求a的值．20（12分《ft東省高考改革試點方案》規(guī)定：從20172020年開始，高考總成績由語數(shù)外3A、B、BCC、D、D、E83%7%、16%24%24%、16%、7%、3%AE等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．某校高一年級共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布N(60,169)．求物理原始成績在區(qū)間(47,86)的人數(shù)；3X3人中等級成績在區(qū)間[61,80]X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（附：若隨機變量~N,2P()0.682P()0.954，P(33)0.997）21（12分）在ABC中，角,B,C所對的邊分別為c，sin2Asin2BsinAsinBcsinC，ABC的面積Sabc.C；求ABC周長的取值范圍.22（10分）已知拋物線W:y22px(p0)上一點Ct,2)到焦點F的距離為，求t的值與拋物線W的方程；A在點C右側(cè)，拋物線上第四象限內(nèi)的動點B，滿足OABFAB的斜率范圍.參考答案125601、A【解析】p1,q1，找出aa2 1

p1,q2a2

,a,a1

的關(guān)系，從而可求出a1

pnq1，可得a an1

2，得出數(shù)列an

為等差數(shù)列，得Sn

n212n，可求出Sn

取最小值.【詳解】解法一：由a3

aa1

13a1

131

13a1

11，由條件可得，對任意的nN*,a

aa

13a2

a

a 2n13 S

a 0, 11

n 13n6

n1 n 1

n

是等差數(shù)列，n n

最小由 解得 ，n a 0 2 2n1解法二：由賦值法易求得a1

11,a2

9,a3

7,

,a 2n13,Sn

n212n，可知當(dāng)n6時，Sn

取最小值.故選：A【點睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.2、B【解析】

x 0,y 0由目標函數(shù)z3xy的最大值為9，我們可以畫出滿足條件件y x2xyk 0

(k為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點的坐標，然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)k的方程組，消參后即可得到k的取值．【詳解】

x 0,y 0畫出x，y滿足的y x2xyk

(k為常數(shù)）可行域如下圖：由于目標函數(shù)z3xy的最大值為9，可得直線y0與直線93xy的交點B(3,0)，使目標函數(shù)zx3y取得最大值，x3y0代入2xyk0故選：B．【點睛】

．交點，然后得到一個含有參數(shù)的方程（組)xy后，即可求出參數(shù)的值．3、A【解析】用轉(zhuǎn)化的思想求出B中不等式的解集，再利用并集的定義求解即可．【詳解】xx1xx1Bx

0B{x|0x，BB|1 x |0x|1 xA．【點睛】4、C【解析】FAFB0FAB的中點ABxb2a

ac，再結(jié)合a,b,c關(guān)系求解即可【詳解】因為FAFB0，所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，所以b2acc2a2

ac，則caa，故e

c2.a a a故選：C【點睛】5、C【解析】對任意的x0,總有fxgx恒成立，因為lnx(2m3)xn，對x0,恒成立，可得2m30，ylnx(2m3)xny【詳解】

1(2m3).xx0,fxgx恒成立lnx(2m3)xnx0,恒成立，2m30令ylnx(2m3)xn，y

1(2m3)xy0x

12m3x

12m

，y0當(dāng)0x

1 y02m3x

12m3

，y max

12m3

1n0，2m3e1n故(2m3)n

nen1

f(m,n)f(m,n)1nen11n令en1

0，得 n1n1f(mn0n1f(mn0n1f(m【點睛】

1max e2本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考查了分析能力和計算能力,屬于難題.6、C【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算，化簡即可求得的值.【詳解】ABABAC 2ABAC 5 1210cosBAC∴解得1.C.【點睛】

10 .7、B【解析】因為圓x2y26x70與拋物線y22pxp0的準線相切，則圓心為3,，半徑為，根據(jù)相切可知，圓心p2B.【詳解】請在此輸入詳解！8、C【解析】A：否命題既否條件又否結(jié)論，故A錯B：由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C：可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解：A：“a1a1”若a1，則a21”，故A錯.：在ABCABab2RsinA2RsinBAB是sinAsinBB錯.C：“tan1，則4

”“若=，則tan=1”，故C正確.4：由冪函數(shù)yxn(n0)在遞減，故D錯.故選：C【點睛】考查判斷命題的真假，是基礎(chǔ)題.9、B【解析】m＝0f（x）＝2

﹣1，根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解：∵f（x）為偶函數(shù)；∴（﹣）＝（；∴2xm﹣1＝2xm

﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝2

﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，并且a＝f（|logb＝（log5＝（；2∵0＜log3＜2＜log5；2 2B．【點睛】

3|）＝f（log0.5

3，上，根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大?。?0、B【解析】根據(jù)條件可知方程f(x)xa0有且只有一個實根等價于函數(shù)yf(x)的圖象與直線yxa只有一個交點，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可．【詳解】yf(xyxa只有一個交點，作出圖象如圖，a1，故選：B．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計算可得.【詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點，PD底面ABC.P-ABC112224，3 2 3ACBCPD2，AB

AC2BC2

2 2DADBDC| 2， PAPBPC| 22 2 PA2PB

AB2，PAPB不可能垂直，即PA,PB,PC不可能兩兩垂直，1 1

2SPBA

2 222 2，2

S PAC 2

6 122 5.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為2 52 2.故正確的為C.【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.12、B【解析】求出x,y，把坐標(x,y)代入方程可求得a．【詳解】x

1234 y14.35.3719，所以190.85a，所以a11．54 2 4 4 4 2 45故選：B．【點睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(x,y)可計算參數(shù)值．3452013、3【解析】AαβαβADC的周長AB+AC+BC＝MB+BC+CN.【詳解】AαβM，NαβD，E，MN，AM，AN，DE，根據(jù)對稱性三角形ABC的周長為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，M，B，C，NMNADEl于，OOD⊥l，OE⊥l，∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根據(jù)余弦定理，故MN2＝1+1﹣2×1×1×cos120°＝3，3故MN ．33故答案為： ．3【點睛】此題考查求空間三角形邊長的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對稱關(guān)系，結(jié)合解三角形知識求解.14、14【解析】根據(jù)程序框圖得到程序功能，結(jié)合分段函數(shù)進行計算即可.【詳解】

log

2x1,x0解：程序的功能是計算y 2 ，2x,x0y1，x0時，由log2

2x11x1，4x0時，由2x1，此時無解.故答案為：1.4【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、

e【解析】2x當(dāng)x1時，轉(zhuǎn)化條件得a ee

2x有唯一實數(shù)根，令gx ee

，通過求導(dǎo)得到gx的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即2 ln2x ln2x可得解.【詳解】x

1時，fxe1

0x

1不是函數(shù)的零點；2 e 2當(dāng)x當(dāng)x 時，fx0即a ，e，ln2xgx

2xeeln2x

，x0,11,， 2 2 2 2x 1 2eee

e2x2ln2x1gxe

ln2x

ee e exx ，exln2x2 ln2x2x0,11egx0xegx0， 2

2 2

2 gx的單調(diào)減區(qū)間為0,1,1,e，增區(qū)間為e,， 2

2 2

2 ee ee

又g

e eg

x的草圖，如圖：2 lneagx有唯一實數(shù)根，則a,0

e.

e.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.916、20【解析】先求出總的基本事件數(shù)，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型求解．【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有nC6

20個，mC2C1C2C1C

9個，2 3 2 3 3m 9所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為p9故答案為：20【點睛】

.n 20本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.7017（）（）1【解析】AC平面BDE（2設(shè)ABxACDGEB的長，運用三棱錐的體積公式，計算可得所求值．【詳解】四邊形ABCD為菱形，ACBD，BE平面ABCD，ACBE，又BDBEB，ACBDEACAEC，平面AEC平面BED ；xABxABCD中，由BAD60，xAGGCAEEC，

x，GBGD323

2，AC 3x，32RtAECEG32

2x，EG2BG2由BE面ABCD ，知BEBG，EG2BG268 61 168 6

2x，三棱錐EACD的體積V AC·GD·BE x3 ，EACDx4，1．

3 2 24 3【點睛】本題考查面面垂直的判定，注意運用線面垂直轉(zhuǎn)化，考查三棱錐的體積的求法，考查化簡運算能力和推理能力，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．018、特征值為1，特征向量為1．【解析】設(shè)出矩陣M結(jié)合矩陣運算和矩陣相等的條件可求矩陣M，然后利用M可求特征值的另一個特征向量.【詳解】設(shè)矩陣M＝a b，則AM＝3a bab23，c d

21cd

2ac 2bd

a3c2b3d3 02ac1

，解得a1,b0,c1,d1

11， bd1Mf()1)20，解得11，y設(shè)特征值1的特征向量為xMy x y y 1即 x x，解得x＝0，所以屬于特征值的x y y 1 【點睛】本題主要考查矩陣的運算及特征量的求解，矩陣運算的關(guān)鍵是明確其運算規(guī)則，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).19、(1) A【解析】

;(2) a2.6試題分析（）由正弦定理得到3siAsinCsinCcosA．消去公因式得到所以tanA 3．3進而得到角）結(jié)合三角形的面積公式，和余弦定理得到bc22 3，聯(lián)立兩式得到a2．解析：因為3asinCccosA，所以0，a b csinA

sinB

sinC，得3sinAsinCsinCcosA．又因為C0,sinC03所以tanA ．33又因為A0,，所以A6S

．1bcsinA

1bc

33，得bc4 ，33ABC 2 4由余弦定理a2b2c22bccosA，a2

b2c22bccos ，63即a2bc2bc bcbc283

12，3因為bc22 ，3解得a24.因為a0所以a2.20（Ⅰ）1636（Ⅱ）見解析．【解析】（Ⅰ）根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可將區(qū)間47,86分為47,60和60,86兩種情況，然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績在區(qū)間47,86內(nèi)的概率，進而可求出相應(yīng)的人數(shù)（Ⅱ）[61,80的概率為2，且5XB3,2X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 5 5【詳解】 （Ⅰ）因為物理原始成績N 60,132 ，所以P(4786)P(4760)P(6086)1P(60136013)1P(6021360213)2 20.6820.9542 20.818．所以物理原始成績在4，8）的人數(shù)為20000.8181636（人．2（Ⅱ）由題意得，隨機抽取1人，其成績在區(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為．5X0,1,2,3XB3,2， 所以PX03 所以5

5 527 ，125 PX

22354C1 23543 55 125 22 3 36P X2C2 ，3 5 5 125 PX32 5

．81258 所以X的分布列為XX0123P2712554125361258125所以數(shù)學(xué)期望EX326．5 5【點睛】3232 321（Ⅰ）C

3（Ⅱ）2, 4 【解析】（Ⅰ）Sabc1absinC，代入sin2Asin2BsinAsinB2csinC，結(jié)合正弦定理可得到2a2b2abc2，再利用余弦定理可求出coC的值，即可求出角C（Ⅱ）由csiC，并結(jié)合正弦定理可得到abc

1sinBsinC，利用C

2π，AB

，可得到2 3 33sinAsinBsinCsinAsin3

A

π

，進而可求出周長的范圍．3332 sinA 3332 2【詳解】（Ⅰ）由Sabc1absinC可知csiC，2sin2Asin2BsinAsinBsin2Ca2b2abc2.由余弦定理得cosC

a2b2c2

1

，∴C2π.2ab 2 3（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a.的周長為abc

1sinBsinC231sinAsinA32 3 4 331 1 33 sin