同濟(jì)大學(xué)朱慈勉結(jié)構(gòu)力學(xué)第9章彎矩分配法課件

彎矩分配法彎矩分配法的本質(zhì)及其適用范圍彎矩分配法屬于位移法的范疇，是基于位移法的逐次逼近精確解的近似方法。彎矩分配法的適用范圍：

單獨(dú)使用時(shí)，只能用于只有結(jié)點(diǎn)角位移而無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移的結(jié)構(gòu)。彎矩分配法與位移法聯(lián)合應(yīng)用，可求解有結(jié)點(diǎn)線位移的結(jié)構(gòu)。彎矩分配法的基本概念以圖示結(jié)構(gòu)為例說(shuō)明，所有桿件的線剛度均為，桿長(zhǎng)均為，不計(jì)桿件軸向變形。根據(jù)位移法原理，原結(jié)構(gòu)分解為(a)(b)兩種受力狀態(tài)。只有一個(gè)位移法未知量—A結(jié)點(diǎn)的角位移。彎矩分配法中，把具有待求角位移的結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為分配單元。ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)狀態(tài)ABCD(b)狀態(tài)(a)狀態(tài)：只承受外荷載，不發(fā)生節(jié)結(jié)點(diǎn)位移——固定狀態(tài)(b)狀態(tài)：只發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移，無(wú)外荷載——放松狀態(tài)相當(dāng)于原結(jié)構(gòu)“先固定、后放松”彎矩分配法彎矩分配法的本質(zhì)及其適用范圍彎矩分配法的適用范圍：12/12/2022固定狀態(tài)下，由荷載引起的桿端彎矩稱(chēng)為固端彎矩。正負(fù)號(hào)規(guī)定：繞桿端順時(shí)針為正。ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)固定狀態(tài)內(nèi)力分析彎矩分配法是一種數(shù)值算法，正負(fù)號(hào)規(guī)定非常重要！固端彎矩根據(jù)第7章位移法表7-1計(jì)算，其本質(zhì)就是位移法Mp圖的計(jì)算。

結(jié)點(diǎn)附加剛臂上的約束力矩稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。正負(fù)號(hào)規(guī)定：順時(shí)針為正。結(jié)點(diǎn)不平衡力矩的計(jì)算：根據(jù)固端彎矩，利用結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件計(jì)算。在上述正負(fù)號(hào)規(guī)定條件下，結(jié)點(diǎn)不平衡力矩就是與該結(jié)點(diǎn)相連的所有桿件該端固端彎矩的代數(shù)和。

12/11/2022固定狀態(tài)下，由荷載引起的桿端彎矩稱(chēng)為固端12/12/2022放松狀態(tài)就是原結(jié)構(gòu)承受結(jié)點(diǎn)不平衡力矩的反向力矩（相當(dāng)于解除約束）。ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)內(nèi)力分析放松狀態(tài)的內(nèi)力可借助轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系數(shù)、傳遞系數(shù)等概念計(jì)算。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：AB桿件A端（又稱(chēng)近端）發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，A端產(chǎn)生的彎矩值，稱(chēng)為AB桿A端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，記為。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度不僅與桿件的彎曲線剛度有關(guān)，而且與桿件另一端（又稱(chēng)遠(yuǎn)端）的支承條件有關(guān)。遠(yuǎn)端為固定支座：遠(yuǎn)端為鉸支座：遠(yuǎn)端為定向滑動(dòng)支座：12/11/2022放松狀態(tài)就是原結(jié)構(gòu)承受結(jié)點(diǎn)不平衡力矩的反彎矩分配法中，結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在遠(yuǎn)端產(chǎn)生的彎矩可通過(guò)近端彎矩乘以傳遞系數(shù)得到。12/12/2022ABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)內(nèi)力分析傳遞系數(shù)：AB桿件僅A端發(fā)生轉(zhuǎn)角時(shí)，B端彎矩與A端彎矩之比，稱(chēng)為從A到B的彎矩傳遞系數(shù)，記為。遠(yuǎn)端為固定支座：遠(yuǎn)端為鉸支座：遠(yuǎn)端為定向滑動(dòng)支座：放松狀態(tài)內(nèi)力（分配系數(shù)）AA結(jié)點(diǎn)力矩A結(jié)點(diǎn)力矩平衡方程：而，所以，得，從而，稱(chēng)為力矩分配系數(shù)，表示桿件剛度在結(jié)點(diǎn)剛度中占的比例。每個(gè)分配單元上，力矩分配系數(shù)之和恒等于1，即。Why?物理含義：結(jié)點(diǎn)力矩平衡彎矩分配法中，結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在遠(yuǎn)端產(chǎn)生的彎矩可通過(guò)近端彎矩乘以傳遞12/12/2022ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)計(jì)算過(guò)程小結(jié)固定狀態(tài)，計(jì)算固端彎矩和結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。固端彎矩結(jié)點(diǎn)不平衡力彎矩放松狀態(tài)，計(jì)算分配力矩和傳遞力矩。桿件轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：分配系數(shù)：近端分配力矩：遠(yuǎn)端傳遞力矩：桿端最終彎矩＝固端彎矩＋分配力矩＋傳遞力矩12/11/2022ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)AB12/12/2022ABCD原結(jié)構(gòu)計(jì)算過(guò)程小結(jié)固定狀態(tài)，計(jì)算固端彎矩和結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。固端彎矩結(jié)點(diǎn)不平衡力彎矩放松狀態(tài)，計(jì)算分配力矩和傳遞力矩。桿件轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：分配系數(shù)：近端分配力矩：遠(yuǎn)端傳遞力矩：桿端最終彎矩＝固端彎矩＋分配力矩＋傳遞力矩彎矩分配法通常列表計(jì)算結(jié)點(diǎn)桿端BACDBAABADACCADA分配傳遞備注分配力矩下劃線，以示與傳遞力矩區(qū)分12/11/2022ABCD原結(jié)構(gòu)計(jì)算過(guò)程小結(jié)固定狀態(tài)，計(jì)算12/12/2022ABCD原結(jié)構(gòu)彎矩分配法的物理含義：彎矩分配法實(shí)質(zhì)，是在原結(jié)構(gòu)上施加約束、再解除約束的過(guò)程。結(jié)點(diǎn)桿端BACDBAABADACCADA分配傳遞備注ABCDM圖(xql2)施加約束(固定)解除約束(放松)注意問(wèn)題：彎矩分配法是數(shù)值計(jì)算方法，彎矩的方向用正負(fù)號(hào)表示，故，必須牢記正負(fù)號(hào)規(guī)定，計(jì)算過(guò)程中切勿混淆和遺漏正負(fù)號(hào)。結(jié)點(diǎn)不平衡力矩必須反號(hào)后才能進(jìn)行分配和傳遞。彎矩分配法計(jì)算步驟：計(jì)算各桿的分配系數(shù)和傳遞系數(shù)。計(jì)算荷載作用下的固端彎矩。將結(jié)點(diǎn)不平衡力矩反號(hào)后，進(jìn)行力矩分配和傳遞。按疊加原理計(jì)算最終桿端彎矩。12/11/2022ABCD原結(jié)構(gòu)彎矩分配法的物理含義：彎矩12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示剛架的彎矩圖。【解】⑴計(jì)算分配系數(shù)：ABDC桿端BAABADACCADA結(jié)點(diǎn)BACD分配傳遞⑵計(jì)算固端彎矩：ABDCM圖(kNm)412/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【解】⑴計(jì)算分配系數(shù)：A12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例2】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。分配傳遞【解】ABC只有B結(jié)點(diǎn)1個(gè)分配單元。ABCM圖(kNm)⑴單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法計(jì)算結(jié)果是近似解嗎？答：是精確解。⑵如何通過(guò)彎矩分配過(guò)程計(jì)算B截面的轉(zhuǎn)角？答：只有放松狀態(tài)，即分配過(guò)程產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)角位移。12/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法分配【解】ABC只有B結(jié)C端既無(wú)線位移又無(wú)角位移，相當(dāng)于固定端，故。12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例3】試用彎矩分配法作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。DA結(jié)點(diǎn)桿端BACDBAABADACCA分配傳遞⑴AD桿件的處理：ABCDD端的鏈桿只產(chǎn)生軸力，故。⑵AC桿件的處理：（M圖略）C端既無(wú)線位移又無(wú)角位移，相當(dāng)于固定端，故12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例4】試用彎矩分配法作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。⑴幾個(gè)分配單元？2個(gè)或1個(gè)。法一：B結(jié)點(diǎn)和C結(jié)點(diǎn)2個(gè)分配單元。(多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法后續(xù)介紹)法二：B結(jié)點(diǎn)1個(gè)分配單元。（CD彎矩靜定，原結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化）ABCDABC彎矩分配法的分配單元數(shù)量與位移法的基本未知量數(shù)量是統(tǒng)一的。理論上講，彎矩分配法即適用于超靜定結(jié)構(gòu)，也適用于靜定結(jié)構(gòu)，但具體應(yīng)用中，如結(jié)構(gòu)含有內(nèi)力靜定部分，應(yīng)盡可能先簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，以減少計(jì)算工作量。分配傳遞⑵B結(jié)點(diǎn)的集中外力矩如何處理？可見(jiàn)，固端彎矩需改變符號(hào)后參與分配，而作用在結(jié)點(diǎn)上的集中力矩?zé)o需改變符號(hào)直接參與分配。ABCB點(diǎn)增加附加剛臂后，剛臂上的約束力矩，即結(jié)點(diǎn)不平衡力矩為。反號(hào)后，即作為結(jié)點(diǎn)分配力矩。B結(jié)點(diǎn)分配力矩為41－20＝21（M圖略）12/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法⑴幾個(gè)分配單元？2個(gè)或112/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例5】試用彎矩分配法作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。ABCDCB結(jié)點(diǎn)桿端ABDCABBABCBDDB分配傳遞B分配單元的分配系數(shù)如何計(jì)算？（M圖略）AB桿上無(wú)荷載，不產(chǎn)生固端彎矩12/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法ABCDCB結(jié)點(diǎn)桿端AB12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例6】試用彎矩分配法作圖示帶剛域結(jié)點(diǎn)連續(xù)梁的彎矩圖。如何計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系數(shù)和傳遞系數(shù)？分配傳遞（M圖略）ABC根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的定義，和分別表示B發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)BA和BC的桿端彎矩。ABC時(shí)變形ABC時(shí)彎矩12/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法如何計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例6】試用彎矩分配法作圖示帶剛域結(jié)點(diǎn)連續(xù)梁的彎矩圖。錯(cuò)誤。因?yàn)镸DA+MEC≠M(fèi)(D、E截面剪力對(duì)B點(diǎn)也產(chǎn)生矩)，故結(jié)點(diǎn)力矩M不能向D、E兩點(diǎn)分配。ABC時(shí)變形ABC時(shí)彎矩思考題：將結(jié)點(diǎn)力矩M向剛域兩側(cè)D和E點(diǎn)分配，計(jì)算過(guò)程如下，是否正確？為什么？ABCDE12/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法錯(cuò)誤。ABC時(shí)變形ABC12/12/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB固定狀態(tài)固端彎矩結(jié)點(diǎn)不平衡力彎矩ACDB放松狀態(tài)兩個(gè)分配單元B和C結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角是耦合的，如同時(shí)放松，需建立并求解聯(lián)立方程組。為了避免求解聯(lián)立方程，將各分配單元依次逐個(gè)放松。①放松C(B保持鎖定狀態(tài))此時(shí)，C結(jié)點(diǎn)力矩平衡，B結(jié)點(diǎn)不平衡力矩為-5kNm②鎖住C，放松B此時(shí)，B結(jié)點(diǎn)力矩平衡，C結(jié)點(diǎn)不平衡力矩為1.25kNm完成一輪分配由于分配系數(shù)和傳遞系數(shù)不大于1且不可能全為1，故，經(jīng)過(guò)彎矩分配和傳遞后，結(jié)點(diǎn)不平衡力矩逐漸減小。依次經(jīng)過(guò)多輪分配，可使結(jié)構(gòu)受力和變形逐步接近實(shí)際狀態(tài)。12/11/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法ACDB固定狀態(tài)固端彎矩12/12/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB上述計(jì)算過(guò)程一般通過(guò)列表進(jìn)行（固定狀態(tài)）分配與傳遞（鎖B放C）（鎖C放B）第1輪分配（鎖B放C）（鎖C放B）第2輪分配（鎖B放C）（鎖C放B）第3輪分配多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法是一種漸近法，計(jì)算結(jié)果為近似解。為了使計(jì)算收斂速度快，通常先從不平衡力矩較大的分配單元開(kāi)始分配。終止彎矩分配的條件一般有兩種：a）明確分配輪次。如：要求完成兩輪分配，則不管計(jì)算誤差多大，兩輪分配完成后即可終止計(jì)算。b）明確計(jì)算精度。如：計(jì)算要求保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位，則應(yīng)計(jì)算至分配彎矩或傳遞彎矩小于0.01。注意最后一個(gè)輪次分配與傳遞需同時(shí)完成，不可以只分配不傳遞。ACDBM圖(kNm)12/11/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法ACDB上述計(jì)算過(guò)程一般12/12/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB（固定狀態(tài)）分配與傳遞（鎖B放C）（鎖C放B）（鎖B放C）（鎖C放B）（鎖B放C）（鎖C放B）思考題一：如何通過(guò)計(jì)算過(guò)程求C結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角？ACDBM圖(kNm)思考題二：B支座反力為多少？BBC受力對(duì)稱(chēng)剪力為荷載的一半12/11/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法ACDB（固定狀態(tài)）分配12/12/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例2】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。(只分配兩輪)分配與傳遞（鎖C放B、D）（鎖B、D放C）ACBDE本結(jié)構(gòu)三個(gè)分配單元：B、C、D鎖C后，B、D相互之間無(wú)影響，故，可同時(shí)放松第1輪（鎖C放B、D）（鎖B、D放C）第2輪ACBDEM圖(kNm)12/11/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法分配（鎖C放B、D）（鎖12/12/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展彎矩分配法主要適用于無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移的超靜定結(jié)構(gòu)，因?yàn)橛薪Y(jié)點(diǎn)線位移時(shí)，桿件的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和傳遞系數(shù)一般難以確定。對(duì)于有結(jié)點(diǎn)線位移的超靜定結(jié)構(gòu)，彎矩分配法可以從以下兩個(gè)方面修正或拓展應(yīng)用。無(wú)剪力分配法適用條件：有相對(duì)側(cè)移的桿件剪力靜定；剪力靜不定的桿件無(wú)相對(duì)側(cè)移。例：柱子：有相對(duì)側(cè)移，但剪力靜定；橫梁：剪力未知，但兩端無(wú)相對(duì)側(cè)移。12/11/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展無(wú)剪力分配法適用條件：12/12/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展無(wú)剪力分配法剪力靜定桿考慮兩端相對(duì)側(cè)移后的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、傳遞系數(shù)和固端彎矩：對(duì)mn柱，由位移法知：根據(jù)靜力平衡條件可得：從而，剪力靜定桿的相對(duì)側(cè)移與桿端轉(zhuǎn)角是相關(guān)的，二者關(guān)系可以通過(guò)桿件剪力大小確定根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和傳遞系數(shù)的定義：比較可見(jiàn)：剪力靜定桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和傳遞系數(shù)與一端固定一端定向滑動(dòng)約束的桿件相同固端彎矩根據(jù)剪力和反彎點(diǎn)位置確定12/11/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展剪力靜定桿考慮兩端相對(duì)12/12/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展無(wú)剪力分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖?！窘狻竣爬脤?duì)稱(chēng)性取半結(jié)構(gòu)⑵計(jì)算分配系數(shù)：⑶計(jì)算固端彎矩：剪力靜定桿分配傳遞結(jié)點(diǎn)桿端ABCABBABDBCCBCEEC/DB桿端略12/11/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展【例1】試用彎矩分配12/12/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展無(wú)剪力分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。分配傳遞結(jié)點(diǎn)桿端ABCABBABDBCCBCEEC/DB桿端略M圖(kNm)12/11/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展【例1】試用彎矩分配12/12/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展彎矩分配法與位移法聯(lián)合應(yīng)用【例】原結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)Z1Mp圖M1圖既承受外荷載又發(fā)生Z1基本結(jié)構(gòu)只承受外荷載基本結(jié)構(gòu)只發(fā)生Z1=1Mp圖和M1圖均可利用彎矩分配法計(jì)算，計(jì)算過(guò)程略。從而，可求出和。由得最終彎矩Mp計(jì)算：一般荷載作用下的彎矩分配法M1計(jì)算：支座位移情況下的彎矩分配法利用哪個(gè)隔離體？哪個(gè)平衡條件？12/11/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展【例】原結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)剪力分配法一、柱頂有水平荷載作用的鉸結(jié)排架側(cè)移剛度（ki）及柱頂發(fā)生水平位移Δ時(shí)，各柱頂?shù)募袅Γ篜EI1EI2EI3l2l3l1(a)ΔΔΔ(b)Δ=1EIhd=3EI/h3(c)PQ1=k1ΔQ2=k2ΔQ3=k3Δ(d)Q1=μ1PQ2=μ2PQ1l1Q2l2Q3l3Q3=μ3P(e)由圖（d）：代（2）入（1）：式中g(shù)

稱(chēng)剪力分配系數(shù)剪力分配法一、柱頂有水平荷載作用的鉸結(jié)排架側(cè)移剛度（ki二、橫梁剛度無(wú)限大時(shí)剛架的剪力分配P（a）EI1EI2EI3l2l3l1(c)PQ1Q2Q3（b）Δ=1PEIhk=12EI/h3P（d）Q1=c1PQ2=c2PQ3=c3PQ1l1/2Q2l2/2Q3l3/2Q1l1/2圖示剛架，橫梁剛度無(wú)限大，無(wú)結(jié)點(diǎn)角位移，只有水平線位移Δ。側(cè)移剛度（k）及柱頂側(cè)移為Δ時(shí)，各柱的剪力：由圖（c）：代（2）入（1）：式中c稱(chēng)剪力分配系數(shù)柱上端無(wú)轉(zhuǎn)角，柱中點(diǎn)的彎矩為零，柱上下端的彎矩等值反向。由剪力求得各柱兩端彎矩為M=Ql/2；由結(jié)點(diǎn)的平衡，可求出梁端彎矩。二、橫梁剛度無(wú)限大時(shí)剛架的剪力分配P（a）EI1EI2EI3彎矩分配法彎矩分配法的本質(zhì)及其適用范圍彎矩分配法屬于位移法的范疇，是基于位移法的逐次逼近精確解的近似方法。彎矩分配法的適用范圍：

單獨(dú)使用時(shí)，只能用于只有結(jié)點(diǎn)角位移而無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移的結(jié)構(gòu)。彎矩分配法與位移法聯(lián)合應(yīng)用，可求解有結(jié)點(diǎn)線位移的結(jié)構(gòu)。彎矩分配法的基本概念以圖示結(jié)構(gòu)為例說(shuō)明，所有桿件的線剛度均為，桿長(zhǎng)均為，不計(jì)桿件軸向變形。根據(jù)位移法原理，原結(jié)構(gòu)分解為(a)(b)兩種受力狀態(tài)。只有一個(gè)位移法未知量—A結(jié)點(diǎn)的角位移。彎矩分配法中，把具有待求角位移的結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為分配單元。ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)狀態(tài)ABCD(b)狀態(tài)(a)狀態(tài)：只承受外荷載，不發(fā)生節(jié)結(jié)點(diǎn)位移——固定狀態(tài)(b)狀態(tài)：只發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移，無(wú)外荷載——放松狀態(tài)相當(dāng)于原結(jié)構(gòu)“先固定、后放松”彎矩分配法彎矩分配法的本質(zhì)及其適用范圍彎矩分配法的適用范圍：12/12/2022固定狀態(tài)下，由荷載引起的桿端彎矩稱(chēng)為固端彎矩。正負(fù)號(hào)規(guī)定：繞桿端順時(shí)針為正。ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)固定狀態(tài)內(nèi)力分析彎矩分配法是一種數(shù)值算法，正負(fù)號(hào)規(guī)定非常重要！固端彎矩根據(jù)第7章位移法表7-1計(jì)算，其本質(zhì)就是位移法Mp圖的計(jì)算。

結(jié)點(diǎn)附加剛臂上的約束力矩稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。正負(fù)號(hào)規(guī)定：順時(shí)針為正。結(jié)點(diǎn)不平衡力矩的計(jì)算：根據(jù)固端彎矩，利用結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件計(jì)算。在上述正負(fù)號(hào)規(guī)定條件下，結(jié)點(diǎn)不平衡力矩就是與該結(jié)點(diǎn)相連的所有桿件該端固端彎矩的代數(shù)和。

12/11/2022固定狀態(tài)下，由荷載引起的桿端彎矩稱(chēng)為固端12/12/2022放松狀態(tài)就是原結(jié)構(gòu)承受結(jié)點(diǎn)不平衡力矩的反向力矩（相當(dāng)于解除約束）。ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)內(nèi)力分析放松狀態(tài)的內(nèi)力可借助轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系數(shù)、傳遞系數(shù)等概念計(jì)算。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：AB桿件A端（又稱(chēng)近端）發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，A端產(chǎn)生的彎矩值，稱(chēng)為AB桿A端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，記為。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度不僅與桿件的彎曲線剛度有關(guān)，而且與桿件另一端（又稱(chēng)遠(yuǎn)端）的支承條件有關(guān)。遠(yuǎn)端為固定支座：遠(yuǎn)端為鉸支座：遠(yuǎn)端為定向滑動(dòng)支座：12/11/2022放松狀態(tài)就是原結(jié)構(gòu)承受結(jié)點(diǎn)不平衡力矩的反彎矩分配法中，結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在遠(yuǎn)端產(chǎn)生的彎矩可通過(guò)近端彎矩乘以傳遞系數(shù)得到。12/12/2022ABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)內(nèi)力分析傳遞系數(shù)：AB桿件僅A端發(fā)生轉(zhuǎn)角時(shí)，B端彎矩與A端彎矩之比，稱(chēng)為從A到B的彎矩傳遞系數(shù)，記為。遠(yuǎn)端為固定支座：遠(yuǎn)端為鉸支座：遠(yuǎn)端為定向滑動(dòng)支座：放松狀態(tài)內(nèi)力（分配系數(shù)）AA結(jié)點(diǎn)力矩A結(jié)點(diǎn)力矩平衡方程：而，所以，得，從而，稱(chēng)為力矩分配系數(shù)，表示桿件剛度在結(jié)點(diǎn)剛度中占的比例。每個(gè)分配單元上，力矩分配系數(shù)之和恒等于1，即。Why?物理含義：結(jié)點(diǎn)力矩平衡彎矩分配法中，結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在遠(yuǎn)端產(chǎn)生的彎矩可通過(guò)近端彎矩乘以傳遞12/12/2022ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)計(jì)算過(guò)程小結(jié)固定狀態(tài)，計(jì)算固端彎矩和結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。固端彎矩結(jié)點(diǎn)不平衡力彎矩放松狀態(tài)，計(jì)算分配力矩和傳遞力矩。桿件轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：分配系數(shù)：近端分配力矩：遠(yuǎn)端傳遞力矩：桿端最終彎矩＝固端彎矩＋分配力矩＋傳遞力矩12/11/2022ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)AB12/12/2022ABCD原結(jié)構(gòu)計(jì)算過(guò)程小結(jié)固定狀態(tài)，計(jì)算固端彎矩和結(jié)點(diǎn)不平衡力矩。固端彎矩結(jié)點(diǎn)不平衡力彎矩放松狀態(tài)，計(jì)算分配力矩和傳遞力矩。桿件轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：分配系數(shù)：近端分配力矩：遠(yuǎn)端傳遞力矩：桿端最終彎矩＝固端彎矩＋分配力矩＋傳遞力矩彎矩分配法通常列表計(jì)算結(jié)點(diǎn)桿端BACDBAABADACCADA分配傳遞備注分配力矩下劃線，以示與傳遞力矩區(qū)分12/11/2022ABCD原結(jié)構(gòu)計(jì)算過(guò)程小結(jié)固定狀態(tài)，計(jì)算12/12/2022ABCD原結(jié)構(gòu)彎矩分配法的物理含義：彎矩分配法實(shí)質(zhì)，是在原結(jié)構(gòu)上施加約束、再解除約束的過(guò)程。結(jié)點(diǎn)桿端BACDBAABADACCADA分配傳遞備注ABCDM圖(xql2)施加約束(固定)解除約束(放松)注意問(wèn)題：彎矩分配法是數(shù)值計(jì)算方法，彎矩的方向用正負(fù)號(hào)表示，故，必須牢記正負(fù)號(hào)規(guī)定，計(jì)算過(guò)程中切勿混淆和遺漏正負(fù)號(hào)。結(jié)點(diǎn)不平衡力矩必須反號(hào)后才能進(jìn)行分配和傳遞。彎矩分配法計(jì)算步驟：計(jì)算各桿的分配系數(shù)和傳遞系數(shù)。計(jì)算荷載作用下的固端彎矩。將結(jié)點(diǎn)不平衡力矩反號(hào)后，進(jìn)行力矩分配和傳遞。按疊加原理計(jì)算最終桿端彎矩。12/11/2022ABCD原結(jié)構(gòu)彎矩分配法的物理含義：彎矩12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示剛架的彎矩圖?！窘狻竣庞?jì)算分配系數(shù)：ABDC桿端BAABADACCADA結(jié)點(diǎn)BACD分配傳遞⑵計(jì)算固端彎矩：ABDCM圖(kNm)412/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【解】⑴計(jì)算分配系數(shù)：A12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例2】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。分配傳遞【解】ABC只有B結(jié)點(diǎn)1個(gè)分配單元。ABCM圖(kNm)⑴單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法計(jì)算結(jié)果是近似解嗎？答：是精確解。⑵如何通過(guò)彎矩分配過(guò)程計(jì)算B截面的轉(zhuǎn)角？答：只有放松狀態(tài)，即分配過(guò)程產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)角位移。12/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法分配【解】ABC只有B結(jié)C端既無(wú)線位移又無(wú)角位移，相當(dāng)于固定端，故。12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例3】試用彎矩分配法作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。DA結(jié)點(diǎn)桿端BACDBAABADACCA分配傳遞⑴AD桿件的處理：ABCDD端的鏈桿只產(chǎn)生軸力，故。⑵AC桿件的處理：（M圖略）C端既無(wú)線位移又無(wú)角位移，相當(dāng)于固定端，故12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例4】試用彎矩分配法作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。⑴幾個(gè)分配單元？2個(gè)或1個(gè)。法一：B結(jié)點(diǎn)和C結(jié)點(diǎn)2個(gè)分配單元。(多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法后續(xù)介紹)法二：B結(jié)點(diǎn)1個(gè)分配單元。（CD彎矩靜定，原結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化）ABCDABC彎矩分配法的分配單元數(shù)量與位移法的基本未知量數(shù)量是統(tǒng)一的。理論上講，彎矩分配法即適用于超靜定結(jié)構(gòu)，也適用于靜定結(jié)構(gòu)，但具體應(yīng)用中，如結(jié)構(gòu)含有內(nèi)力靜定部分，應(yīng)盡可能先簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，以減少計(jì)算工作量。分配傳遞⑵B結(jié)點(diǎn)的集中外力矩如何處理？可見(jiàn)，固端彎矩需改變符號(hào)后參與分配，而作用在結(jié)點(diǎn)上的集中力矩?zé)o需改變符號(hào)直接參與分配。ABCB點(diǎn)增加附加剛臂后，剛臂上的約束力矩，即結(jié)點(diǎn)不平衡力矩為。反號(hào)后，即作為結(jié)點(diǎn)分配力矩。B結(jié)點(diǎn)分配力矩為41－20＝21（M圖略）12/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法⑴幾個(gè)分配單元？2個(gè)或112/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例5】試用彎矩分配法作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。ABCDCB結(jié)點(diǎn)桿端ABDCABBABCBDDB分配傳遞B分配單元的分配系數(shù)如何計(jì)算？（M圖略）AB桿上無(wú)荷載，不產(chǎn)生固端彎矩12/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法ABCDCB結(jié)點(diǎn)桿端AB12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例6】試用彎矩分配法作圖示帶剛域結(jié)點(diǎn)連續(xù)梁的彎矩圖。如何計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系數(shù)和傳遞系數(shù)？分配傳遞（M圖略）ABC根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的定義，和分別表示B發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)BA和BC的桿端彎矩。ABC時(shí)變形ABC時(shí)彎矩12/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法如何計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系12/12/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例6】試用彎矩分配法作圖示帶剛域結(jié)點(diǎn)連續(xù)梁的彎矩圖。錯(cuò)誤。因?yàn)镸DA+MEC≠M(fèi)(D、E截面剪力對(duì)B點(diǎn)也產(chǎn)生矩)，故結(jié)點(diǎn)力矩M不能向D、E兩點(diǎn)分配。ABC時(shí)變形ABC時(shí)彎矩思考題：將結(jié)點(diǎn)力矩M向剛域兩側(cè)D和E點(diǎn)分配，計(jì)算過(guò)程如下，是否正確？為什么？ABCDE12/11/2022單結(jié)點(diǎn)彎矩分配法錯(cuò)誤。ABC時(shí)變形ABC12/12/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB固定狀態(tài)固端彎矩結(jié)點(diǎn)不平衡力彎矩ACDB放松狀態(tài)兩個(gè)分配單元B和C結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角是耦合的，如同時(shí)放松，需建立并求解聯(lián)立方程組。為了避免求解聯(lián)立方程，將各分配單元依次逐個(gè)放松。①放松C(B保持鎖定狀態(tài))此時(shí)，C結(jié)點(diǎn)力矩平衡，B結(jié)點(diǎn)不平衡力矩為-5kNm②鎖住C，放松B此時(shí)，B結(jié)點(diǎn)力矩平衡，C結(jié)點(diǎn)不平衡力矩為1.25kNm完成一輪分配由于分配系數(shù)和傳遞系數(shù)不大于1且不可能全為1，故，經(jīng)過(guò)彎矩分配和傳遞后，結(jié)點(diǎn)不平衡力矩逐漸減小。依次經(jīng)過(guò)多輪分配，可使結(jié)構(gòu)受力和變形逐步接近實(shí)際狀態(tài)。12/11/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法ACDB固定狀態(tài)固端彎矩12/12/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB上述計(jì)算過(guò)程一般通過(guò)列表進(jìn)行（固定狀態(tài)）分配與傳遞（鎖B放C）（鎖C放B）第1輪分配（鎖B放C）（鎖C放B）第2輪分配（鎖B放C）（鎖C放B）第3輪分配多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法是一種漸近法，計(jì)算結(jié)果為近似解。為了使計(jì)算收斂速度快，通常先從不平衡力矩較大的分配單元開(kāi)始分配。終止彎矩分配的條件一般有兩種：a）明確分配輪次。如：要求完成兩輪分配，則不管計(jì)算誤差多大，兩輪分配完成后即可終止計(jì)算。b）明確計(jì)算精度。如：計(jì)算要求保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位，則應(yīng)計(jì)算至分配彎矩或傳遞彎矩小于0.01。注意最后一個(gè)輪次分配與傳遞需同時(shí)完成，不可以只分配不傳遞。ACDBM圖(kNm)12/11/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法ACDB上述計(jì)算過(guò)程一般12/12/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB（固定狀態(tài)）分配與傳遞（鎖B放C）（鎖C放B）（鎖B放C）（鎖C放B）（鎖B放C）（鎖C放B）思考題一：如何通過(guò)計(jì)算過(guò)程求C結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角？ACDBM圖(kNm)思考題二：B支座反力為多少？BBC受力對(duì)稱(chēng)剪力為荷載的一半12/11/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法ACDB（固定狀態(tài)）分配12/12/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法【例2】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。(只分配兩輪)分配與傳遞（鎖C放B、D）（鎖B、D放C）ACBDE本結(jié)構(gòu)三個(gè)分配單元：B、C、D鎖C后，B、D相互之間無(wú)影響，故，可同時(shí)放松第1輪（鎖C放B、D）（鎖B、D放C）第2輪ACBDEM圖(kNm)12/11/2022多結(jié)點(diǎn)彎矩分配法分配（鎖C放B、D）（鎖12/12/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展彎矩分配法主要適用于無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移的超靜定結(jié)構(gòu)，因?yàn)橛薪Y(jié)點(diǎn)線位移時(shí)，桿件的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和傳遞系數(shù)一般難以確定。對(duì)于有結(jié)點(diǎn)線位移的超靜定結(jié)構(gòu)，彎矩分配法可以從以下兩個(gè)方面修正或拓展應(yīng)用。無(wú)剪力分配法適用條件：有相對(duì)側(cè)移的桿件剪力靜定；剪力靜不定的桿件無(wú)相對(duì)側(cè)移。例：柱子：有相對(duì)側(cè)移，但剪力靜定；橫梁：剪力未知，但兩端無(wú)相對(duì)側(cè)移。12/11/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展無(wú)剪力分配法適用條件：12/12/2022彎矩分配法應(yīng)用拓展無(wú)剪力分配法剪力靜定桿考慮兩端相對(duì)側(cè)移后的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、傳遞系數(shù)和固端彎矩：對(duì)mn柱，由位移法知：根據(jù)靜力平衡條件可得：從而，剪力靜定桿的相對(duì)側(cè)移與桿端轉(zhuǎn)角是相關(guān)的，二者關(guān)系可以通過(guò)桿件剪力大小確定根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和傳遞