復變函數(shù)與積分變換第4章解析函數(shù)的級數(shù)展開及其應用課件

復變函數(shù)與積分變換第4章解析函數(shù)的級數(shù)展開及其應用復變函數(shù)與積分變換第4章解析函數(shù)的級數(shù)展開及其應用1

本章首先介紹復數(shù)項級數(shù)和復變函數(shù)項級數(shù)的一些基本概念與性質；其次介紹冪級數(shù)的概念及其收斂性的判別、解析函數(shù)的Taylor級數(shù)和Laurent級數(shù)展開；最后應用Taylor級數(shù)與Laurent級數(shù)研究解析函數(shù)的一些性質．

本章首先介紹復數(shù)項級數(shù)和復變函數(shù)項級數(shù)的一些基本概2

4.1復級數(shù)的概念及基本性質

4.1.1復數(shù)數(shù)列

與實數(shù)列一樣，把順序排列的一串復數(shù)：

稱為復數(shù)列，記為{zn}(n=1,2,…)，zn稱為數(shù)列的通項或一般項.

定義4.1設{zn}(n=1,2,…)為一復數(shù)列，z∈C．如果對任意ε>0，存在

自然數(shù)N，當n>N時，有

則z稱為復數(shù)列{zn}的極限，記為

此時也稱復數(shù)列{zn}收斂于z．如果復數(shù)列{zn}沒有極限，則稱{zn}發(fā)散．

4.1復級數(shù)的概念及3

定理4.1假設則的充分必要條件

是且

證必要性由即得，充分性由

可知.證畢.

定理4.1假設4

例4.1復數(shù)列

(n=1,2,…)收斂于2i，因為

收斂的復數(shù)列與收斂實數(shù)列有類似的性質，比如：

①收斂復數(shù)列{zn}的極限是唯一的；

②收斂復數(shù)列{zn}一定有界,即存在正數(shù)M，使得zn≤M對

任意自然數(shù)n成立.

例4.1復數(shù)列(n=1,2,…)收斂于5

4.1.2復數(shù)項級數(shù)

定義4.2設{zn}為復數(shù)列，定義

為復數(shù)項級數(shù)，如果其部分和數(shù)列

收斂于有窮復數(shù)S，則稱復數(shù)項級數(shù)

收斂于S，且稱S是該級數(shù)的和，此時記為

如果部分和數(shù)列{Sn}發(fā)散，則稱復數(shù)項級數(shù)

發(fā)散.

4.1.2復數(shù)項級數(shù)

定義4.2設{zn}為復數(shù)列，定義

6

利用復數(shù)數(shù)列的知識，可得到復數(shù)項級數(shù)的一系列結論，列舉如下.

定理4.2假設

(n=1,2,…)，則

收斂的充分必要條件是

和

都收斂.

證因為

由定理4.1及級數(shù)收斂的定義即知定理結論成立.

利用復數(shù)數(shù)列的知識，可得到復數(shù)項級數(shù)的一系列結論，列舉如下7

例4.2討論級數(shù)

的斂散性.

解因為

發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散.

由定理4.2及實數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件易得下面結論.

定理4.3

收斂的必要條件是

定理4.4若

收斂，則

收斂.

例4.2討論級數(shù)的斂散性.

解因8

證假設

(n=1,2,…)，則(n=1,2,…)，因

收斂，由正項級數(shù)的收斂判別法知

和

都絕對收斂，再由定理4.2

知

收斂.

定義4.3若

收斂，則稱

絕對收斂，若

收斂,而

發(fā)散，則稱

條件收斂.

定理4.5假設zn=xn+iyn(n=1,2,…)，則

絕對收斂的充分必要條件是

和

都絕對收斂.

證假設(n=1,2,…)，則9

證必要性因為(n=1,2,…)，故由

絕對收斂可推得

和

絕對收斂.

充分性由

和

絕對收斂知

收斂，又

從而

收斂，即絕對收斂.

證必要性因為(n=1,2,…)10

收斂復級數(shù)有下述性質，其證明與實數(shù)項級數(shù)完全相同.

①設

收斂，α,β為常數(shù)，則

收斂，且

②設

絕對收斂，則它的Cauchy乘積

也絕對收，且

收斂復級數(shù)有下述性質，其證明與實數(shù)項級數(shù)完全相同.

①設11

4.1.3復變函數(shù)項級數(shù)

定義4.4設{fn(z)}(n=1,2,…)是定義在平面點集E上的復變函數(shù)列，稱

為點集E上的（復變）函數(shù)項級數(shù)，

稱為部分和函數(shù).如果對

收斂，稱z0為級數(shù)式(4.1)的一個收斂點.收斂點的全體

稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域.在收斂域內級數(shù)收斂于一個復變函數(shù)f(z)，稱f(z)為級數(shù)式(4.1)的和函數(shù)，記為

.

4.1.3復變函數(shù)項級數(shù)

定義4.4設{fn(z)}(n=12

例4.3討論

的收斂域，并求出和函數(shù).

解當

≥1時，

，故

發(fā)散;

當<1時,又部分和函數(shù)

故和函數(shù)為

于是

的收斂域為z<1.

例4.3討論的收斂域，并求出和函數(shù).

解當13

定理4.6設{fn(z)}(n=1,2,…)是定義在平面點集E上的復變函數(shù)列,對充分大的n，存在正數(shù)列(n=1,2,…)使得

如果正項級數(shù)

收斂，則

在E上絕對收斂.

證由正項級數(shù)的比較原理知

在E上收斂，從而

在E上絕對收斂.

定理4.6設{fn(z)}(n=1,2,…)是定義在平面點14

4.2冪級數(shù)

4.2.1冪級數(shù)收斂圓及收斂半徑

冪級數(shù)是形式最簡單的函數(shù)項級數(shù)，稱形如

的函數(shù)項級數(shù)為冪級數(shù)，其中an,z0是復常數(shù)，特別當z0=0時，式(4.2)變成如下的特殊形式

4.215

為了研究上述級數(shù)的收斂域，首先介紹下面的Abel定理.

定理4.7(Abel定理)若冪級數(shù)式(4.2)在z=z1(≠z0)時收斂，則它在開圓盤內任一點絕對收斂（圖4.1）.

圖4.1

為了研究上述級數(shù)的收斂域，首先介紹下面的Abel定理.

定16

證因為級數(shù)

收斂，所以從而

為有界數(shù)列，即M>0，使得

設，則，注意到

而級數(shù)

收斂.由定理4.6知，級數(shù)

在開圓

盤內絕對收斂，證畢.

證因為級數(shù)收斂17

推論4.8若冪級數(shù)(4.2)在z=z2(≠z0)時發(fā)散，則它在區(qū)域z－z0>z2－z0內任一點發(fā)散.

事實上，若存在使得－z0>z2－z0，且

收斂，則由定理4.7知級數(shù)

在z－z0<－z0內絕對收斂，特別在z2處收斂，與推論的條件矛盾.

由上面的討論知，冪級數(shù)(4.2)可分為三類：

推論4.8若冪級數(shù)(4.2)在z=z2(≠z0)時發(fā)散，則18

①冪級數(shù)式(4.2)僅在z=z0處收斂.比如

，因為當z≠z0時，limn→+∞nn(z-z0)此時級數(shù)發(fā)散.

②冪級數(shù)式(4.2)在全平面I上處處收斂.比如

,因為n充分大時，對任意有窮復數(shù)z有z－z0n故

由定理4.6知

在全平面I上絕對收斂.

③存在z1，使冪級數(shù)(4.2)在z1處收斂，又存在z2，使冪級數(shù)(4.2)在z2處發(fā)散，由Abel定理及推論可知，此時一定存在實數(shù)R>0，使得

a.當z－z0<R時，冪級數(shù)（4.2）收斂；

b.當z－z0>R時，冪級數(shù)（4.2）發(fā)散.

①冪級數(shù)式(4.2)僅在z=z0處收斂.比如19

定義4.5如果存在R:0≤R≤+∞，使得當z－z0<R時，冪級數(shù)式（4.2）收斂；當z－z0>R時，冪級數(shù)式式（4.2）發(fā)散，則稱R為冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑，而圓盤z－z0<R稱為冪級數(shù)式（4.2）的收斂圓.

注：若冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑為R，則在圓周z－z0=R上，冪級數(shù)式（4.2）可能收斂可能發(fā)散.

定義4.5如果存在R:0≤R≤+∞，使得當z－z0<R20

下面的定理給出了求收斂半徑的方法，其證明完全類似于實函數(shù)的情形.

定理4.9如果冪級數(shù)式（4.2）的系數(shù)滿足

則冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑

下面的定理給出了求收斂半徑的方法，其證明完全類似于實函數(shù)的21

定理4.10如果冪級數(shù)式（4.2）的系數(shù)滿足

則冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑

定理4.10如果冪級數(shù)式（4.2）的系數(shù)滿足

則冪22

例4.4求冪級數(shù)

的收斂半徑與收斂域.

解因為

，故原級數(shù)的收斂半徑R=1，即收斂圓為

.而當

時，因

，而

收斂，由定理

4.6知

在

上處處收斂，故它的收斂域為z≤1.

例4.4求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂23

例4.5求冪級數(shù)

的收斂半徑與收斂域.

解因為

故原級數(shù)的收斂半徑R=1e，即收斂圓為z－1<1e.當z－1=1e時，因為

故

，由級數(shù)收斂的必要條件知

上處處發(fā)散，從而原級數(shù)的收斂域即為收斂圓z－1<1e.

例4.5求冪級數(shù)的收24

例4.6求冪級數(shù)

的收斂半徑，并討論它在z=0和z=2處的斂散性

解因為

，故原級數(shù)的收斂半徑R=1,即收斂圓為

z－1<1.當z=2時，原級數(shù)為

，它是調和級數(shù)，故發(fā)散；當z=0時，原級數(shù)為

，由交錯級數(shù)的Leibniz判別法知級數(shù)收斂，即在

收斂圓的邊界z－1=1上，原級數(shù)既有收斂點，也有發(fā)散點.

例4.6求冪級數(shù)的收斂半徑，并討25

4.2.2冪級數(shù)的性質

（1）冪級數(shù)的運算性質

設

與

的收斂半徑分別為R1和R2，則

①

,α為常數(shù)；

②

③

其中

4.2.2冪級數(shù)的性質

（1）冪級數(shù)的運算性質

設26

（2）冪級數(shù)的分析性質

定理4.11設冪級數(shù)

的收斂半徑為R，和函數(shù)為S(z)，則

S(z)在z－z0<R內解析，且S(z)可逐項求導

②S(z)在z－z0<R內可逐項積分，即對收斂圓內任一點z有

證明從略.

（2）冪級數(shù)的分析性質

定理4.11設冪級數(shù)27

4.2.3Taylor級數(shù)

定理4.11表明冪級數(shù)式（4.2）的和函數(shù)S(z)在收斂圓z－z0<R內解析，一個自然的問題是，圓內解析的函數(shù)能表達成冪級數(shù)嗎？下面的Taylor定理肯定地回答了此問題.

定理4.12（Taylor定理）設f(z)在圓NR(z0)=z:z－z0<R內解析，則f(z)在NR(z0)內可展開成冪級數(shù)

其中

，并且展式（4.4）是唯一的.

4.2.3Taylor級數(shù)

定理4.11表明冪級數(shù)式（4.28

證取ρ：0<ρ<R,并令Γρ：ξ－z0=ρ,使得z落在Γρ的內部（圖4.2），則由Cauchy積分公式，得

圖4.2

證取ρ：0<ρ<R,并令Γρ：ξ－z0=ρ,使得z落在Γρ29

因為，故由例4.3可知

于是由Cauchy導數(shù)公式得

因為，故由例4.3可30

其中

令

則q與積分變量ξ無關且0≤q<1.又f(z)在Γρ上連續(xù)，故存在常數(shù)M>0，使得f(z)≤M在Γρ成立，于是

其中

令

則q與積分變量ξ無關且0≤q<1.31

故在式（4.6)兩端令N→+∞，得式（4.4）和式（4.5），證畢.

故在式（4.632

最后證明展式（4.4）的唯一性.

設另有展式

則由冪級數(shù)性質（定理4.11）有

故展式是唯一的.

稱式（4.4）中的級數(shù)為f(z)在點z0的Taylor展式，稱式（4.5）中的系數(shù)為其Taylor系數(shù)，而等式（4.4）右邊的級數(shù)稱為Taylor級數(shù).

由Taylor定理可得到刻畫解析函數(shù)的第四個等價命題.

最后證明展式（4.4）的唯一性.

設另有展式

則由冪級33

定理4.13f(z)在區(qū)域D內解析的充要條件是f(z)在區(qū)域D內任何

一點z0的某個鄰域內可展成z－z0的冪級數(shù).

推論4.14f(z)在點a解析的充要條件是f(z)在點a的某個鄰域內

可展成z－a的冪級數(shù)

其中收斂半徑R為從a到f(z)的距a最近的奇點的距離.

定理4.13f(z)在區(qū)域D內解析的充要條件是f(z)在區(qū)34

下面應用Taylor定理來求一些初等函數(shù)的Taylor展式，

這種方法稱為直接展開法.

例4.7求f(z)=在處的Taylor級數(shù).

解因為f(z)=在全平面上解析且

下面應用Taylor定理來求一些初等函數(shù)的Taylor展式35

故

有時我們也可以借助已知函數(shù)的展開式，利用冪級數(shù)的

運算性質及和函數(shù)的分析性質來求另一些函數(shù)的Taylor

級數(shù)，即間接展開法，下面舉例說明這種方法：

故

有時我們也可以借助已知函數(shù)的展開式，利用冪級數(shù)36

例4.8求sinz，cosz在處的Taylor級數(shù).

解利用f(z)=sinz的定義及展開式（4.7）得

但當n為偶數(shù)時于是

例4.8求sinz，cosz在處的Tayl37

因為

所以有

應用定理4.11中的逐項微分性質，在等式（4.8）兩邊微分有

即cosz在z0=0處的Taylor級數(shù)為

因為

所以有

應用定理4.11中的逐項微分性質38

例4.9求ln(1+z)在=0處的Taylor級數(shù).

解因為ln(1+z)在=0處解析，且它的離z0=0最近的奇點為z1=－1，故由推論4.14知它在z<1在內可展成關于z的冪級數(shù).

由例4.3知

若在上式中用－z代替z，則有

在式（4.10）兩端同時積分并應用定理4.11中逐項積分性質得

例4.9求ln(1+z)在=0處的Taylor級數(shù).39

例4.10展開函數(shù)成為z－1的冪級數(shù).

解由

得

例4.10展開函數(shù)成為z－1的冪級數(shù)40

下面再舉一個用待定系數(shù)法展開函數(shù)成Taylor級數(shù)的例子.

例4.11求

(α為復數(shù)）的主值支在z0=0處的Taylor級數(shù).

解因為的主值支f(z)=在z<1解析，且在圓周z=1上有一個奇點z=－1，故必能展成z的冪級數(shù)

且收斂半徑為R=1.因為

即(1+z)f′(z)=αf(z)，將f(z)用式（4.9）左端代入得

下面再舉一個用待定系數(shù)法展開函數(shù)成Taylor級數(shù)的例子.41

即

比較上式兩端同次冪的系數(shù)得

于是

即

比較上式兩端同次冪的系數(shù)得

于是

42

4.2.4解析函數(shù)的唯一性定理

定義4.6如果f(z)在點z=a解析，且有

則稱a是解析函數(shù)f(z)的m階零點.

定理4.15不恒為零的解析函數(shù)f(z)以a為m階零點的充要條件是

其中φ(z)在點z=a處解析且φ(a)≠0.

4.2.4解析函數(shù)的唯一性定理

定義4.6如果f(z)在點43

證明必要性：假設f(z)以a為m階零點，則由上述定義及Talory定理，在a的某個鄰域z－a<R內，有

其中

在點a處解析且

.

充分性的證明略.

證明必要性：假設f(z)以a為m階零點，則由上述定義及Ta44

例如f(z)=z－sinz以z=0為3階零點.這是因為

又如函數(shù)以z=－1為2階零點，這是因為

其中在點z=－1處解析且≠0.同理可知

f(z)以z=3為5階零點.

例如f(z)=z－sinz以z=0為3階零點.這是因為

45

定理4.16（解析函數(shù)零點的孤立性）設f(z)在z－a<R內解析且以a為零點，則存在r(0<r<R),使得f(z)在Nr（a）\{a}內無零點，除非f(z)≡0.

證明若f(z)不恒為零，不失一般性，設f(z)以a為m階零點，則由定理4.15可知，

其中φ(z)在點z=a處解析且φ（a）≠0，由此存在a的一個充分小的鄰域Nr（a）:z－a<r，使得在Nr（a）內，φ(z)≠0，從而在Nr（a）\{a}內，f(z)≠0.上述定理表明不恒為常數(shù)的解析函數(shù)的零點是孤立的.

定理4.16（解析函數(shù)零點的孤立性）設f(z)在z－a<R46

下面的唯一性定理揭示了解析函數(shù)深刻的內涵.

定理4.17（解析函數(shù)的唯一性定理）設f(z)，g(z)在

區(qū)域D內解析，若存在點列，滿足

則f(z)=g(z)(z∈D).

證明從略.

下面的唯一性定理揭示了解析函數(shù)深刻的內涵.

定理4.17（47

推論4.18一切在實軸上成立的恒等式，在復平面上也成立，只要這個恒等式的等號兩邊的函數(shù)在復平面上都是解析的.

例4.12試證在全平面I上處處成立.

證令則f(z),g(z)在全平面C上處處解析，因為當z=為實數(shù)列時,有

由解析函數(shù)唯一性定理得f(z)=g(z).

推論4.18一切在實軸上成立的恒等式，在復平面上也成立，只48

4.3雙邊冪級數(shù)表示及其應用

4.3.1雙邊冪級數(shù)

形如

的級數(shù)稱為雙邊冪級數(shù).記為

4.3雙邊冪級數(shù)表示及49

顯然，雙邊冪級數(shù)由

與

兩部分組成，對于前者，是冪級數(shù)，設其收斂半徑為R；而后者，作變換

則

是關于ξ的冪級數(shù)，設其收斂半徑為，

從而

在z－z0>r上絕對收斂.

當r<R時，雙邊冪級數(shù)式（4.12）在圓環(huán)H:r<<R上絕對收斂于圓環(huán)H內解析的和函數(shù).

一個自然的問題是，圓環(huán)內解析的函數(shù)能表達成雙邊冪級數(shù)嗎？下面的Laurent定理肯定地回答了此問題.

顯然，雙邊冪級數(shù)由與50

4.3.2Laurent級數(shù)

定理4.19（Laurent定理）設f(z)是圓環(huán)域H:r<<R內的解析函數(shù)，

則z∈H，有

其中

Γ為圓周=ρ(r<ρ<R)，并且展式(4.13）是唯一的.

4.3.2Laurent級數(shù)

定理4.19（Laurent51

證明對∈H，取ρ1,ρ2，使得

由Cauchy積分公式，得

圖4.3

其中Γj:z－z0=ρj(j=1,2).

證明對∈H，取ρ1,ρ2，使得52

同式（4.6）證明類似可得

其中

當ξ∈Γ1時，

于是

同式（4.6）證明類似可得

其中

當ξ∈Γ53

故

其中

令

故

其中

令

54

則q與積分變量ξ無關且0<q<1.又f(z)在Γ1上連續(xù)，故存在常數(shù)M>0，使得f(z)≤M在Γ1成立，于是

故，在式（4.17）兩端令N→+∞，得

其中

則q與積分變量ξ無關且0<q<1.又f(z)在Γ1上連續(xù)，55

取Γ為圓周ξ－z0=ρ(r<ρ<R)，因為f（ξ）在r<ξ－z0<R

內解析，故由多連通區(qū)域的Cauchy積分定理知

于是式(4.16)、式(4.18)可統(tǒng)一為式(4.14)，證畢.

取Γ為圓周ξ－z0=ρ(r<ρ<R)，因為f（ξ）在r<ξ56

最后證明展式（4.13）的唯一性.

設另有展式

取Γ為圓周ξ－z0=ρ(r<ρ<R)，由逐項可積性定理得

或

故c′n=cn(n=0,±1,±2,…).

最后證明展式（4.13）的唯一性.

設另有展式

取Γ為57

稱式(4.13)中的級數(shù)為f(z)在點z0的Laurent展式，稱式(4.14)中的系數(shù)為其Laurent系數(shù)，而等式(4.13)右邊的級數(shù)稱為Laurent級數(shù).

注：（1）當f(z)在圓NR(z0)內解析時，

NR(z0)可視為圓環(huán)的特殊情形，于是f(z)在NR(z0)內可展成Laurent級數(shù)，且由式(4.14)及Cauchy定理可知，當n<0時，cn=0，表明此時的Laurent級數(shù)就是Taylor級數(shù).因此，Taylor級數(shù)是Laurent級數(shù)的特例.

（2）一般來說，

稱式(4.13)中的級數(shù)為f(z)在點z0的Laurent58

例4.13因為函數(shù)在0<z<∞內解析，則由Laurent定理可知，此函數(shù)在0<z<∞內能表達成Laurent級數(shù)，且由sinz的Taylor展式得

例4.14在z=0的去心鄰域：0<z<1內，函數(shù)

的Laurent級數(shù)為

例4.13因為函數(shù)在0<z<∞內解析，59

例4.15求的Laurent級數(shù)，其中0<z<∞.

解在的Taylor級數(shù)中用代替z，我們有的Laurent級數(shù)形式

例4.16求函數(shù)

分別在域

內的Laurent級數(shù).

例4.15求的Laurent級數(shù)，其中0<z<∞60

解顯然函數(shù)f(z)在C上有兩個奇點z=1和z=2，在域(1)z<1;(2)1<z<2;(3)2<z<+∞;(4)1<z－1<+∞

內均解析，則f(z)在上述區(qū)域內均可展成Laurent級數(shù).

首先注意

解顯然函數(shù)f(z)在C上有兩個奇點z=1和z=2，在域61

（1）

（2）

（1）

（2）

62

（3）

即

（4）

（3）

即

（4）

63

例4.17將函數(shù)在z=1的去心鄰域內展成Laurent級數(shù).

解利用正余弦函數(shù)的展開式得

例4.17將函數(shù)在z=1的去心鄰域內展成64

例4.18求積分其中C為繞原點的正向簡單閉曲線.

解f(z)=在圓環(huán)0<z<+∞ez內處處解析，閉曲線C含在內部，又的Laurent級數(shù)為

即，根據(jù)Laurent系數(shù)的計算公式得

例4.18求積分其中C為繞原點的正向簡65

4.3.3孤立奇點及其分類

定義4.7如果f(z)在z0不解析，但在z0的某個去心鄰域NR(z0)\{z0}內解析，則稱z0是f(z)的孤立奇點.

例如以z=1為孤立奇點，以z=0為孤立奇點.

注：一個函數(shù)的奇點并不一定都是孤立的，例如函數(shù)

的所有有限奇點為

4.3.3孤立奇點及其分類

定義4.7如果f(z)在z0不66

其中(n=±1,±2,±3,…)是孤立奇點，但z=0不是孤立奇點，事實上它是f(z)的奇點集合的一個聚點.

若z0是f(z)的孤立奇點，則由定義及Laurent定理，

稱

為f(z)在z0的正則部分，而

稱為f(z)在z0

的主要部分.

其中(n=±1,±2,±3,…)是孤立奇點，但z=67

定義4.8設z0是f(z)的孤立奇點.

①如果f(z)在z0的主要部分為零，則稱z0是f(z)的可去奇點；

②如果f(z)在z0的主要部分僅為有限多項，設為

則稱z0是f(z)的m階極點；

③如果f(z)在z0的主要部分為無限多項，則稱z0是f(z)的本性奇點.

定義4.8設z0是f(z)的孤立奇點.

①如果f(z)在z68

于是由例4.13~例4.15可知，函數(shù)

分別以z=0為可去奇點、二階極點、本性奇點.

對于f(z)的可去奇點z0，由定義可知，f(z)在z0的Laurent級數(shù)實際上就是

Taylor級數(shù)

適當定義f(z)在z0的值，比如f(z0)=c0，則f(z)在z0解析，所以通常把可去奇點當作解析點.對于可去奇點，有下述等價刻畫.

于是由例4.13~例4.15可知，函數(shù)69

定理4.20設z0是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.

①f(z)在z0的主要部分為零;

②

③f(z)在z0的某個去心鄰域內有界.

定理4.20設z0是f(z)的孤立奇點，則下列三種說70

證我們只要證明

即可，

由Laurent定理及條件(3)可知，存在z0的某個去心鄰域NR(z0)\{z0}及常數(shù)M>0，使得對z∈NR(z0)\{z0}，有f(z)≤M，且

，其中

于是當n<0時，

即cn=0,(n=－1,－2,…),f(z)在z0的主要部分為零.

證我們只要證明即可，71

對于極點，有下述定理.

定理4.21設z0是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.

f(z)在點z0的主要部分為

②

其中φ(z)在點z=z0處解析且φ(z0)≠0;

③z0是函數(shù)1f(z)的m階零點.

對于極點，有下述定理.

定理4.21設z0是f(z)的孤立72

證明①②：由假設有

其中

在點z=z0處解析且φ(z0)=c－m≠0.

證明①②：由假設有

其中73

②③：由假設知，在點z=z0處解析且Φ(z0)≠0，因為

由定理4.15可知，z0是函數(shù)的m階零點.

②③：由假設知，在點z=z074

③①：設z0是函數(shù)的m階零點，根據(jù)定理4.15可設

其中Φ(z)在點z=z0處解析且Φ(z0)≠0，那么也在點z=z0處解析，從而有

③①：設z0是函數(shù)的m階零點，根據(jù)定理475

其中1Φ(z0)=a0≠0.故

可見f(z)在點z0的主要部分為式(4.19)的形式.

其中1Φ(z0)=a0≠0.故

可見f(76

推論4.22函數(shù)f(z)以孤立奇點z0為極點的充要條件是

注意本性奇點是既不為可去奇點，又不為極點的孤立奇點，因此，

對本性奇點有定理4.23.

定理4.23設z0是f(z)的孤立奇點，則下列說法等價.

①f(z)在點z0的主要部分為無限多項;

②不存在，也不為∞.

推論4.22函數(shù)f(z)以孤立奇點z0為極點的充要條件是

77

例4.19求下列函數(shù)在C上的所有奇點并判別其類型

解（1）f(z)的有限奇點為z=0，因為z=0為sinz的一階零點，故z=0為f(z)的二階極點.事實上f(z)可表為，其中φ(z)在點z=0處解析且φ(0)≠0.

（2）g(z)的有限奇點為z=0,z=±i，其中z=0為g(z)的三階極點，z=－i為g(z)的二階極點，z=i為g(z)的一階極點.

例4.19求下列函數(shù)在C上的所有奇點并判別其類型

78

（3）h(z)的所有有限奇點為z=2kπi(k=0,±1,±2,±3,…).

當z0=0時

故z0=0為h(z)的可去奇點.

當zk=2kπi≠0時，因為zk是ez－1的一階零點，于是zk是的一階極點，又zk是1z解析點，從而zk是h(z)的一階極點.

（3）h(z)的所有有限奇點為z=2kπi(k=0,±1,79

4.3.4解析函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)

如果f(z)在∞的某個去心鄰域N\(∞):0≤r<z<+∞內解析，則稱∞是

f(z)的孤立奇點.

令ξ=1z，則F（ξ）=f1ξ在原點的去心鄰域內

解析,即ξ=0是F（ξ）的孤立奇點，自然地有如下定義.

4.3.4解析函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)

如果f(z)在∞的80

定義4.9如果ξ=0是F（ξ）的可去奇點(解析點)、m階極點、本性奇點，則稱z=∞是函數(shù)f(z)的可去奇點(解析點)、m階極點、本性奇點.

根據(jù)Laurent定理，可設

于是有

其中(n=0,±1,±2,…)，對應于F（ξ）在ξ=0的主要部分，我們稱

為f(z)在z=∞的主要部分.

定義4.9如果ξ=0是F（ξ）的可去奇點(解析點)、m階極81

根據(jù)定義4.9，類似定理4.20、定理4.21、定理4.23，可得下列定理.

定理4.24設∞是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.

①f(z)在∞的主要部分為零；

③f(z)在∞的某個去心鄰域內有界.

根據(jù)定義4.9，類似定理4.20、定理4.21、定理82

定理4.25設∞是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.

f(z)在∞的主要部分為

②f(z)=zmφ(z)，其中φ(z)在點∞處解析且φ∞≠0；

③∞是函數(shù)1f(z)的m階零點.

定理4.26函數(shù)f(z)以孤立奇點∞為極點的充要條件是

定理4.27設∞是f(z)的孤立奇點，則下列說法等價.

①f(z)在∞的主要部分為無限多項；

定理4.25設∞是f(z)的孤立奇點，則下列三種說法等價.83

例4.20在

上，函數(shù)

有奇點z=0，z=(n=±1,±2,

…)以及z=∞.

對于z=0，因為，所以z=0是f(z)的非孤立奇點，從而f(z)

在z=0的去心鄰域內不能展開為Laurent級數(shù)；

例4.20在上，函數(shù)有奇點z84

對于z=∞，因為

而ξ=0是F（ξ）的一階極點，

由定義4.9知，z=∞是f(z)的一階極點.

對于z=∞，因為

而ξ=0是F（ξ）的一階極85

例4.21將函數(shù)

在z=∞展開為Laurent級數(shù).

解f(z)在2<z<+∞內解析，即∞是f(z)的一個孤立奇點，此函數(shù)在2<z<+∞內可展開為Laurent級數(shù).

當2<z<+∞時，0<2z<1，故

即

例4.21將函數(shù)在86

習題4

1.討論下列數(shù)列的斂散性，如果收斂，求出它們的極限.

2.判別下列級數(shù)斂散性.

3.求下列級數(shù)的收斂半徑.

87

4.下列結論是否正確？為什么？

（1）每一個冪級數(shù)在它的收斂圓內與收斂圓上收斂；

（2）每一個冪級數(shù)收斂于一個解析函數(shù)；

（3）每一個在z0連續(xù)的函數(shù)一定可以在z0的鄰域內展開成Taylor級數(shù).

5.冪級數(shù)

能否在z=0收斂而在z=3發(fā)散？

6.如果

的收斂半徑為R，證明級數(shù)

的收斂半徑≥R.

7.函數(shù)當x為任何實數(shù)時，都有確定的值，但它的Taylor展開式：

卻只當|x|<1時成立，試說明其原因.

4.下列結論是否正確？為什么？

（1）每一個冪級數(shù)在它的收88

8.把下列各函數(shù)展成z的冪級數(shù)，并指出它們的收斂半徑.

9.求下列函數(shù)在指定點處的Taylor展開式，并指出它們的收斂半徑.

8.把下列各函數(shù)展成z的冪級數(shù)，并指出它們的收斂半徑.

89

10.把下列各函數(shù)在指定的圓環(huán)域內展開成Laurent級數(shù).

10.把下列各函數(shù)在指定的圓環(huán)域內展開成Laurent級數(shù)90

11.問下列各函數(shù)有哪些孤立奇點？各屬于哪一種類型？如果是極點，

指出它的級.

11.問下列各函數(shù)有哪些孤立奇點？各屬于哪一種類型？如果是91

12.指出下列函數(shù)在無窮遠點的性質.

13.若f(z)與g(z)分別以為m級與n級極點，試問下列函數(shù)在z=z0點有何性質？

（1）f(z)+g(z)（2）f(z)·g(z)

14.若f(z)在z0點解析g(z)在z0點有本性奇點，試問：

（1）f(z)+g(z)；（2）f(z)·g(z)；在z0有何性質？

12.指出下列函數(shù)在無窮遠點的性質.

13.92

15.求證：如果z0是f(z)是m（m≥2）級零點，那么z0是f′(z)的m－1級零點.

16.函數(shù)在z=2處有一個三級極點，這個函數(shù)又有如下列的洛朗展開式

所以“z=2又是f(z)的一個本性奇點”，又因為上式不含有(z-2)－1冪項，因此，Res［f(z),2］=0，這些結論對否？

17.設冪級數(shù)

的收斂半徑R>0，和函數(shù)為f(z)，證明：

15.求證：如果z0是f(z)是m（m≥2）級零點，那么z93

18.求證如下不等式.

（1）對任意的復數(shù)z有

（2）當0<|z|<1時，證

19.設

a≠0，求其中C為任一條包含原點

且落在圓周：z=a內的簡單閉曲線。

18.求證如下不等式.

（1）對任意的復數(shù)z有

（2）當94

20.討論下列各函數(shù)在擴充復平面上有哪些孤立奇點？各屬于哪一種類型？如果是極點，請指出它的級.

21.假設解析函數(shù)f(z)在z0點有m級零點，試問函數(shù)

在點z0的性質如何？

20.討論下列各函數(shù)在擴充復平面上有哪些孤立奇點？各屬于哪95復變函數(shù)與積分變換第4章解析函數(shù)的級數(shù)展開及其應用復變函數(shù)與積分變換第4章解析函數(shù)的級數(shù)展開及其應用96

本章首先介紹復數(shù)項級數(shù)和復變函數(shù)項級數(shù)的一些基本概念與性質；其次介紹冪級數(shù)的概念及其收斂性的判別、解析函數(shù)的Taylor級數(shù)和Laurent級數(shù)展開；最后應用Taylor級數(shù)與Laurent級數(shù)研究解析函數(shù)的一些性質．

本章首先介紹復數(shù)項級數(shù)和復變函數(shù)項級數(shù)的一些基本概97

4.1復級數(shù)的概念及基本性質

4.1.1復數(shù)數(shù)列

與實數(shù)列一樣，把順序排列的一串復數(shù)：

稱為復數(shù)列，記為{zn}(n=1,2,…)，zn稱為數(shù)列的通項或一般項.

定義4.1設{zn}(n=1,2,…)為一復數(shù)列，z∈C．如果對任意ε>0，存在

自然數(shù)N，當n>N時，有

則z稱為復數(shù)列{zn}的極限，記為

此時也稱復數(shù)列{zn}收斂于z．如果復數(shù)列{zn}沒有極限，則稱{zn}發(fā)散．

4.1復級數(shù)的概念及98

定理4.1假設則的充分必要條件

是且

證必要性由即得，充分性由

可知.證畢.

定理4.1假設99

例4.1復數(shù)列

(n=1,2,…)收斂于2i，因為

收斂的復數(shù)列與收斂實數(shù)列有類似的性質，比如：

①收斂復數(shù)列{zn}的極限是唯一的；

②收斂復數(shù)列{zn}一定有界,即存在正數(shù)M，使得zn≤M對

任意自然數(shù)n成立.

例4.1復數(shù)列(n=1,2,…)收斂于100

4.1.2復數(shù)項級數(shù)

定義4.2設{zn}為復數(shù)列，定義

為復數(shù)項級數(shù)，如果其部分和數(shù)列

收斂于有窮復數(shù)S，則稱復數(shù)項級數(shù)

收斂于S，且稱S是該級數(shù)的和，此時記為

如果部分和數(shù)列{Sn}發(fā)散，則稱復數(shù)項級數(shù)

發(fā)散.

4.1.2復數(shù)項級數(shù)

定義4.2設{zn}為復數(shù)列，定義

101

利用復數(shù)數(shù)列的知識，可得到復數(shù)項級數(shù)的一系列結論，列舉如下.

定理4.2假設

(n=1,2,…)，則

收斂的充分必要條件是

和

都收斂.

證因為

由定理4.1及級數(shù)收斂的定義即知定理結論成立.

利用復數(shù)數(shù)列的知識，可得到復數(shù)項級數(shù)的一系列結論，列舉如下102

例4.2討論級數(shù)

的斂散性.

解因為

發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散.

由定理4.2及實數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件易得下面結論.

定理4.3

收斂的必要條件是

定理4.4若

收斂，則

收斂.

例4.2討論級數(shù)的斂散性.

解因103

證假設

(n=1,2,…)，則(n=1,2,…)，因

收斂，由正項級數(shù)的收斂判別法知

和

都絕對收斂，再由定理4.2

知

收斂.

定義4.3若

收斂，則稱

絕對收斂，若

收斂,而

發(fā)散，則稱

條件收斂.

定理4.5假設zn=xn+iyn(n=1,2,…)，則

絕對收斂的充分必要條件是

和

都絕對收斂.

證假設(n=1,2,…)，則104

證必要性因為(n=1,2,…)，故由

絕對收斂可推得

和

絕對收斂.

充分性由

和

絕對收斂知

收斂，又

從而

收斂，即絕對收斂.

證必要性因為(n=1,2,…)105

收斂復級數(shù)有下述性質，其證明與實數(shù)項級數(shù)完全相同.

①設

收斂，α,β為常數(shù)，則

收斂，且

②設

絕對收斂，則它的Cauchy乘積

也絕對收，且

收斂復級數(shù)有下述性質，其證明與實數(shù)項級數(shù)完全相同.

①設106

4.1.3復變函數(shù)項級數(shù)

定義4.4設{fn(z)}(n=1,2,…)是定義在平面點集E上的復變函數(shù)列，稱

為點集E上的（復變）函數(shù)項級數(shù)，

稱為部分和函數(shù).如果對

收斂，稱z0為級數(shù)式(4.1)的一個收斂點.收斂點的全體

稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域.在收斂域內級數(shù)收斂于一個復變函數(shù)f(z)，稱f(z)為級數(shù)式(4.1)的和函數(shù)，記為

.

4.1.3復變函數(shù)項級數(shù)

定義4.4設{fn(z)}(n=107

例4.3討論

的收斂域，并求出和函數(shù).

解當

≥1時，

，故

發(fā)散;

當<1時,又部分和函數(shù)

故和函數(shù)為

于是

的收斂域為z<1.

例4.3討論的收斂域，并求出和函數(shù).

解當108

定理4.6設{fn(z)}(n=1,2,…)是定義在平面點集E上的復變函數(shù)列,對充分大的n，存在正數(shù)列(n=1,2,…)使得

如果正項級數(shù)

收斂，則

在E上絕對收斂.

證由正項級數(shù)的比較原理知

在E上收斂，從而

在E上絕對收斂.

定理4.6設{fn(z)}(n=1,2,…)是定義在平面點109

4.2冪級數(shù)

4.2.1冪級數(shù)收斂圓及收斂半徑

冪級數(shù)是形式最簡單的函數(shù)項級數(shù)，稱形如

的函數(shù)項級數(shù)為冪級數(shù)，其中an,z0是復常數(shù)，特別當z0=0時，式(4.2)變成如下的特殊形式

4.2110

為了研究上述級數(shù)的收斂域，首先介紹下面的Abel定理.

定理4.7(Abel定理)若冪級數(shù)式(4.2)在z=z1(≠z0)時收斂，則它在開圓盤內任一點絕對收斂（圖4.1）.

圖4.1

為了研究上述級數(shù)的收斂域，首先介紹下面的Abel定理.

定111

證因為級數(shù)

收斂，所以從而

為有界數(shù)列，即M>0，使得

設，則，注意到

而級數(shù)

收斂.由定理4.6知，級數(shù)

在開圓

盤內絕對收斂，證畢.

證因為級數(shù)收斂112

推論4.8若冪級數(shù)(4.2)在z=z2(≠z0)時發(fā)散，則它在區(qū)域z－z0>z2－z0內任一點發(fā)散.

事實上，若存在使得－z0>z2－z0，且

收斂，則由定理4.7知級數(shù)

在z－z0<－z0內絕對收斂，特別在z2處收斂，與推論的條件矛盾.

由上面的討論知，冪級數(shù)(4.2)可分為三類：

推論4.8若冪級數(shù)(4.2)在z=z2(≠z0)時發(fā)散，則113

①冪級數(shù)式(4.2)僅在z=z0處收斂.比如

，因為當z≠z0時，limn→+∞nn(z-z0)此時級數(shù)發(fā)散.

②冪級數(shù)式(4.2)在全平面I上處處收斂.比如

,因為n充分大時，對任意有窮復數(shù)z有z－z0n故

由定理4.6知

在全平面I上絕對收斂.

③存在z1，使冪級數(shù)(4.2)在z1處收斂，又存在z2，使冪級數(shù)(4.2)在z2處發(fā)散，由Abel定理及推論可知，此時一定存在實數(shù)R>0，使得

a.當z－z0<R時，冪級數(shù)（4.2）收斂；

b.當z－z0>R時，冪級數(shù)（4.2）發(fā)散.

①冪級數(shù)式(4.2)僅在z=z0處收斂.比如114

定義4.5如果存在R:0≤R≤+∞，使得當z－z0<R時，冪級數(shù)式（4.2）收斂；當z－z0>R時，冪級數(shù)式式（4.2）發(fā)散，則稱R為冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑，而圓盤z－z0<R稱為冪級數(shù)式（4.2）的收斂圓.

注：若冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑為R，則在圓周z－z0=R上，冪級數(shù)式（4.2）可能收斂可能發(fā)散.

定義4.5如果存在R:0≤R≤+∞，使得當z－z0<R115

下面的定理給出了求收斂半徑的方法，其證明完全類似于實函數(shù)的情形.

定理4.9如果冪級數(shù)式（4.2）的系數(shù)滿足

則冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑

下面的定理給出了求收斂半徑的方法，其證明完全類似于實函數(shù)的116

定理4.10如果冪級數(shù)式（4.2）的系數(shù)滿足

則冪級數(shù)式（4.2）的收斂半徑

定理4.10如果冪級數(shù)式（4.2）的系數(shù)滿足

則冪117

例4.4求冪級數(shù)

的收斂半徑與收斂域.

解因為

，故原級數(shù)的收斂半徑R=1，即收斂圓為

.而當

時，因

，而

收斂，由定理

4.6知

在

上處處收斂，故它的收斂域為z≤1.

例4.4求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂118

例4.5求冪級數(shù)

的收斂半徑與收斂域.

解因為

故原級數(shù)的收斂半徑R=1e，即收斂圓為z－1<1e.當z－1=1e時，因為

故

，由級數(shù)收斂的必要條件知

上處處發(fā)散，從而原級數(shù)的收斂域即為收斂圓z－1<1e.

例4.5求冪級數(shù)的收119

例4.6求冪級數(shù)

的收斂半徑，并討論它在z=0和z=2處的斂散性

解因為

，故原級數(shù)的收斂半徑R=1,即收斂圓為

z－1<1.當z=2時，原級數(shù)為

，它是調和級數(shù)，故發(fā)散；當z=0時，原級數(shù)為

，由交錯級數(shù)的Leibniz判別法知級數(shù)收斂，即在

收斂圓的邊界z－1=1上，原級數(shù)既有收斂點，也有發(fā)散點.

例4.6求冪級數(shù)的收斂半徑，并討120

4.2.2冪級數(shù)的性質

（1）冪級數(shù)的運算性質

設

與

的收斂半徑分別為R1和R2，則

①

,α為常數(shù)；

②

③

其中

4.2.2冪級數(shù)的性質

（1）冪級數(shù)的運算性質

設121

（2）冪級數(shù)的分析性質

定理4.11設冪級數(shù)

的收斂半徑為R，和函數(shù)為S(z)，則

S(z)在z－z0<R內解析，且S(z)可逐項求導

②S(z)在z－z0<R內可逐項積分，即對收斂圓內任一點z有

證明從略.

（2）冪級數(shù)的分析性質

定理4.11設冪級數(shù)122

4.2.3Taylor級數(shù)

定理4.11表明冪級數(shù)式（4.2）的和函數(shù)S(z)在收斂圓z－z0<R內解析，一個自然的問題是，圓內解析的函數(shù)能表達成冪級數(shù)嗎？下面的Taylor定理肯定地回答了此問題.

定理4.12（Taylor定理）設f(z)在圓NR(z0)=z:z－z0<R內解析，則f(z)在NR(z0)內可展開成冪級數(shù)

其中

，并且展式（4.4）是唯一的.

4.2.3Taylor級數(shù)

定理4.11表明冪級數(shù)式（4.123

證取ρ：0<ρ<R,并令Γρ：ξ－z0=ρ,使得z落在Γρ的內部（圖4.2），則由Cauchy積分公式，得

圖4.2

證取ρ：0<ρ<R,并令Γρ：ξ－z0=ρ,使得z落在Γρ124

因為，故由例4.3可知

于是由Cauchy導數(shù)公式得

因為，故由例4.3可125

其中

令

則q與積分變量ξ無關且0≤q<1.又f(z)在Γρ上連續(xù)，故存在常數(shù)M>0，使得f(z)≤M在Γρ成立，于是

其中

令

則q與積分變量ξ無關且0≤q<1.126

故在式（4.6)兩端令N→+∞，得式（4.4）和式（4.5），證畢.

故在式（4.6127

最后證明展式（4.4）的唯一性.

設另有展式

則由冪級數(shù)性質（定理4.11）有

故展式是唯一的.

稱式（4.4）中的級數(shù)為f(z)在點z0的Taylor展式，稱式（4.5）中的系數(shù)為其Taylor系數(shù)，而等式（4.4）右邊的級數(shù)稱為Taylor級數(shù).

由Taylor定理可得到刻畫解析函數(shù)的第四個等價命題.

最后證明展式（4.4）的唯一性.

設另有展式

則由冪級128

定理4.13f(z)在區(qū)域D內解析的充要條件是f(z)在區(qū)域D內任何

一點z0的某個鄰域內可展成z－z0的冪級數(shù).

推論4.14f(z)在點a解析的充要條件是f(z)在點a的某個鄰域內

可展成z－a的冪級數(shù)

其中收斂半徑R為從a到f(z)的距a最近的奇點的距離.

定理4.13f(z)在區(qū)域D內解析的充要條件是f(z)在區(qū)129

下面應用Taylor定理來求一些初等函數(shù)的Taylor展式，

這種方法稱為直接展開法.

例4.7求f(z)=在處的Taylor級數(shù).

解因為f(z)=在全平面上解析且

下面應用Taylor定理來求一些初等函數(shù)的Taylor展式130

故

有時我們也可以借助已知函數(shù)的展開式，利用冪級數(shù)的

運算性質及和函數(shù)的分析性質來求另一些函數(shù)的Taylor

級數(shù)，即間接展開法，下面舉例說明這種方法：

故

有時我們也可以借助已知函數(shù)的展開式，利用冪級數(shù)131

例4.8求sinz，cosz在處的Taylor級數(shù).

解利用f(z)=sinz的定義及展開式（4.7）得

但當n為偶數(shù)時于是

例4.8求sinz，cosz在處的Tayl132

因為

所以有

應用定理4.11中的逐項微分性質，在等式（4.8）兩邊微分有

即cosz在z0=0處的Taylor級數(shù)為

因為

所以有

應用定理4.11中的逐項微分性質133

例4.9求ln(1+z)在=0處的Taylor級數(shù).

解因為ln(1+z)在=0處解析，且它的離z0=0最近的奇點為z1=－1，故由推論4.14知它在z<1在內可展成關于z的冪級數(shù).

由例4.3知

若在上式中用－z代替z，則有

在式（4.10）兩端同時積分并應用定理4.11中逐項積分性質得

例4.9求ln(1+z)在=0處的Taylor級數(shù).134

例4.10展開函數(shù)成為z－1的冪級數(shù).

解